随机股利贴现中随机股票价格的协方差

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英文标题：
《Covariance of random stock prices in the Stochastic Dividend Discount
  Model》
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作者：
Arianna Agosto, Alessandra Mainini, Enrico Moretto
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最新提交年份：
2017
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英文摘要：
  Dividend discount models have been developed in a deterministic setting. Some authors (Hurley and Johnson, 1994 and 1998; Yao, 1997) have introduced randomness in terms of stochastic growth rates, delivering closed-form expressions for the expected value of stock prices. This paper extends such previous results by determining a formula for the covariance between random stock prices when the dividends\' rates of growth are correlated. The formula is eventually applied to real market data.
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中文摘要：
股息贴现模型是在确定性环境下开发的。一些作者（Hurley和Johnson，1994和1998；Yao，1997）在随机增长率方面引入了随机性，为股票价格的预期值提供了封闭式表达式。本文通过确定股息增长率相关时随机股票价格之间的协方差公式，扩展了上述结果。该公式最终应用于实际市场数据。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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PDF下载：
--> Covariance_of_random_stock_prices_in_the_Stochastic_Dividend_Discount_Model.pdf (141.83 KB)

2022-5-25 15:30:41 上传

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关键词：股票价格 协方差 Quantitative Determining derivatives

随机股利贴现模型：随机股价波动的公式*Alessandra Mainini+Enrico Moretto抽象股息贴现模型是确定普通股价格的第一种也是最常用的方法，从财务角度来看，普通股价格是所有贴现未来股息的总和。经典的Gordon和Shapiro模型（1956年）处理的是一个确定性环境，其中股息增长率为常数。后来，Hurley和J oh nson（1994年和1998年）以及Yao（1997年）引入了随机性，假设增长率由有限状态随机变量描述。这导致了双重后果：股票价格预期值的封闭式表达式和一系列马尔可夫式随机分割。然而，由于预期值只能对随机现象提供有限的解释，因此需要高阶矩。这激发了目前的贡献，当股票价格的随机增长率（可能）相关时，它为股票价格之间的协方差提供了一个明确的公式。这个公式有许多应用，例如在标准投资组合选择模型中选择福利最大化的投资组合。理论结果最终应用于实际市场数据。关键词：股票估值、股息贴现模型、马尔可夫链、金融风险1简介股息贴现模型（以下简称DDM）首次尝试为普通股找到一个财务上正确的定价公式。

为了进行更可靠的分析，还需要分散度度量，正如马科维茨的投资组合选择模型（1952年）中所述，在该模型中，风险和绩效分别根据方差和均值进行度量。Agosto和Moretto（2015）在SDDM框架中对此问题给出了第一个答案，他们提出了随机股票价格方差的封闭式表达式。由于投资组合方差的表达（即具有给定权重的股票的线性组合）需要协方差，为了填补剩余缺口，本文分析推导了随机股票价格与（可能）相关随机增长率之间的协方差公式。一个相关的结果是，这种协方差以单调的方式取决于增长率之间的协方差；如果增长率是不相关的，那么随机股票价格的协方差为零。本文的结构如下：第2节总结了SDDM中以前的结果，而第3节说明了两种股票价格之间的协方差公式。第4节包含对实际市场数据的分析；第5节最终结束。2 SDDMDDM的回顾提供了一个股票价格的表达式，如果每sh的股息以恒定几何率g>-因此，在时间j=1，2。，dj=d（1+g）j等于当前值。如果股息永远支付，且折扣率k>g也保持不变，则股票在0时的价值为=+∞Xj=1dj（1+k）j=d（1+g）k- g、 如第1节所述，该框架可以扩展到包含随机股息dj。例如，Hurley和Johnson（1998）将增长率设为有限状态随机变量g=增长率g，GNP概率，pn，（2.1）其中-1<g<···<gn，pi=P[°g=gi]>0，i=1，n、 andPni=1pi=1。

这些随机红利的顺序是马尔可夫的，因为它满足递归方程▄dj+1=▄dj（1+▄g）。描述当前股价为P的ran dom变量=+∞Xj=1dj（1+k）j.（2.2）如果进一步的k>g=Pni=1gipi，则Pis？P=d（1+g）k的预期值- \'g.（2.3）Agosto和Moretto（2015）对▄P的方差进行排序：Varh▄Pi=Var[▄g]（1+k）- （1±g）- Var【】g】×（1+k）（1+g）×’P.（2.4）Var▄P存在，如果Var【】g】<（1+k）则为非负- （1±g）。请注意，它存在一个k、(R)g和Var[g]的范围，其中预期库存p rice收敛，而方差不收敛。在下一节中，我们通过计算两个股票价格之间的协方差来推广这个公式。3扩大场景：股票价格之间的协方差公式考虑了两家公司，比如a和B，随机增长率gm，m=a，B，遵循联合分布πcd=P[（~gA=gAc）∩ （gB=gBd）]≥ 0，其中nxc=1nXd=1πcd=1，对于c，d=1，2，n、 这两家公司的增长率由以下随机变量表示：~gm=增长率gm1，GMN可能性pm1，pmn，（3.1）如（2.1）所示，-1<gm1<gm2<…<gmn，且“gm=Pni=1gmipmi”。假设km>gm，即km公司m=A，B的贴现率。根据（2.2）和（2.3），~Pm0=+∞Xj=1dmj（1+km）jandPm0=dm0（1+gm）km- ？gm，作为其当前股息。为了获得▄PA0和▄PB0之间的协方差，需要期望值Eh▄PA0▄PB0iis。在适当条件下，EhPA0PB0i=+∞Xj=1+∞Xp=1Eh▄dAj▄dBpi（1+kA）j（1+kB）p.（3.2）要确定Eh▄dAj▄dBpi，需要考虑两种情况，即j≤ p和j>p.Ifj≤ p letd（s、s、s，…）。

，snn）=dA0dB0nYc，d=1（1+gAc）scd（1+gBd）scd注意时间j乘积dAjdBj的可能结果，当dAj以gAc的速率在j步scd中生长时，同时dBj以r ate gBd的速率在j步scd中生长时，d=1scd=j。此类结果的概率为js，s，s，snn公司πscdcd。（3.3）另一方面，letzd=nXc=1scd，是指在第一个j步骤中，无论▄dAj的行为如何，股息▄dbjh以gBdin的速度增长的次数。如果总的来说，dBpgrows wdtimes的速率为gBd，那么从j+1开始，它最多可以以相同的速率增长rd=max{wd- zd，0}次。这使得可以进一步定义代表B在j+1和p之间股息行为的随机dom变量DBJP。dBjpared（r，…，rn）=nYd=1（1+gBd）rd的可能结果，PND=1rd=p- j、 相应的概率为P- jr，注册护士prdBd。股息序列的马尔可夫结构导致hdAjdBpi=dA0dB0×Xs++snn=jnYc，d=1（1+gAc）scd（1+gBd）scdjs，snn公司πscdcd|{z}(*)×Xr++rn=p-jnYd=1（1+gBd）rdP- jr，注册护士prdBd公司|{z}(**). （3.4）如果进行两次更改，则另一种情况j>p与前一种情况类似。Firstregards总额(*) 在（3.4）中，其中p替换s+…+中的jsnn=j。第二个变化与总和有关(**) 在（3.4）中，gBdand和pBdare替换为gAcand和pAc，RDIS替换为rc，其定义类似于rd。

将多项式定理应用于（3.4）yieldsEh▄dAj▄dBpi=dA0dB0nXc=1nXd=1（1+gAc）（1+gBd）πcd！jnXd=1（1+gBd）pBd！P-j=dA0dB0[（1+’gA）（1+’gB）+Cov[°gA，°gB]]j（1+’gB）p-j、 而如果j>p，则neh▄dAj▄dBpi=dA0dB0nXc=1nXd=1（1+gAc）（1+gBd）πcd！pnXc=1（1+gAc）pAc！J-p=dA0dB0[（1+’gA）（1+’gB）+Cov[°gA，°gB]]p（1+’gA）j-p、 如果gm=？gm+Cov[？gm，？gl]1+？gl，m，l=A，B，m 6=l，（3.5）被视为风险调整增长率，则以下表达式（1+gm）（1+？gl）=（1+？gA）（1+？gB）+Cov[？gA，？gB），m，l=A，B，m 6=l，holds，yieldingEhdAjdBpi=（dA0dB0（1+gA）j（1+？gB）pj≤ pdA0dB0（1+GB）p（1+gA）jj>p.（3.6）最后，将（3.2）中的（3.6）替换为简单（但繁琐）的计算，可在附录6中找到。最后，股票价格▄PA0和▄PB0isCovh▄PA0之间的协方差，▄PB0i=Cov[▄gA，▄gB]Ym=A，B（1+km）-Ym=A，B（1±gm）- 一旦条件满足，Cov[￠gA，￠gB]×Ym=A，B1+km1+gm×？Pm0，（3.7）Yi=A，B（1+(R)gm）+Cov[~gA，~gB]<Ym=A，B（1+km）（3.8）满足要求（更多详情见附录ix 6）。显然，当A=B公式（2.4）恢复时。请注意，条件（3.8）确保股票价格之间的协方差符号与增长率之间的协方差符号相同，如果股息增长率不相关，则d为零。此外，CovhPA0，Pb0i在Cov[gA，gB]中呈指数级增加，而当Cov[gA，gB]接近（1+kA）（1+kB）时，其会发生发散- （1+/gA）（1+/gB）。这个公式在许多问题上都很有用；以下部分将介绍其中最重要的一个。4实践中的协方差：最优投资组合选择投资组合理论的主要目标是确定“最佳”投资策略，即有效组合股票，使某些效用最大化。这里只考虑两种股票，比如A和B，它们在时间1的随机价格是▄PA1和▄PB1。

它们的区域返回值为▄rm=▄Pm1-“Pm0”Pm0，m=A，B。投资于A和B的投资组合x的随机单期回报率=[xA，xB]为▄r（x）=▄rAxA+▄rBxB。处理投资组合风险和预期回报之间最佳权衡的一种方法是通过某种风险规避效用函数来评估风险头寸。如果二次函数u（x）=x- 0.5αx，α>0，x≤ 选择1/α，仅需要▄稀有的前两个时刻。事实上，E[u（≈r（x））]=Er（x）- 0.5αОr（x）= \'\'r（x）- 0.5αEr（x）,因此，作为Var（▄r（x））=Er（x）- E[~r（x）]，E[u（~r（x））]=(R)r（x）- 0.5αVar（▄r（x））+▄r（x）,式中，r（x）=rAxA+？rBxBandVar（~r（x））=Var[~rA]xA+2Cov[~rA，~rB]xAxB+Var[~rB]xB。那么，“最优”投资组合就是唯一向量x*解决了约束最大化问题Maxx∈SE[u（￠r（x））]，其中S={x∈ R： xA+xB=1}。标准拉格朗日方法yieldsx*A=α-1（(R)rA- (R)rB）- 冠状病毒[￠rA，￠rB]+变异病毒[￠rB]- \'rB（\'rA- (R)rB）（Var[￠rA]- 2Cov[￠rA，￠rB]+Var[￠rB]+（(R)rA）- (R)rB）（4.1）并确保x*确实是E[u（~r）]的约束最大化子。rmis表示Pm1的关键点。公式（2.2）得出▄Pm1=（1+km）▄Pm0-dm1，m=A，B，因此'Pm1=（1+km）'Pm0- dm0（1+gm），VarhPm1i=（1+km）VarhPm0i- 2（1+km）Covhdm1、~Pm0i+dm0Var[~gm）、CovhPA1、~PB1i=CovhPA0、~PB0iYm=A、B（1+km）-m6=lXm，l=A，B（1+km）Covhdm1，Pl0i+dA0dB0Cov[gA，gB]。为了完成这项任务，需要确定单个股息和股票价格之间的协方差。

再次使用f或m，l=A、B和p的事实≥ 1（见（3.6）），Eh▄dm1▄dlpi=dA0dB0（1+Gm）（1+gl）p，结果是COVH▄dm1，▄Pl0i=dm0Cov[▄Gm，▄gl]1+gl▄Pl0；特别是，对于m=l，Covh▄dm1，▄Pm0i=dm0Var[▄gm]1+▄gm▄Pm0。后一个表达式最终包含了确定（4.1）和最优投资组合策略所需的所有元素。4.1计量经济分析为了对之前章节中提出的理论结果进行实证检验，利用了E.O N（A）和圣戈班（B）的真实市场数据（来源：彭博社）。截至2016年12月31日，这两家公司已被纳入欧洲斯托克50指数，该指数涵盖了欧洲市值最大的50家公司。选择这些公司的原因在于，他们的股息历史序列是可用的最充分的，从1989年到2016年，共有28笔股息的数据。此外，他们的数据满足（2.4）分母为严格正的条件，导致两种股票价格的正方差。表1总结了这些数据。它显示1989年和2016年支付的股息、时间序列中的最低和最高年度股息增长率以及增长率的几何平均值和中值。这两家公司的贴现率k是通过使用标准资本资产定价模型（CAPM）方法获得的。对于每家公司，都要估计一个线性回归模型，其中因变量是股票收益率超过无风险利率的部分，而回归变量（即CAPM的市场投资组合收益率）是Eurostoxx 50指数收益率。特别是，为了估计回归线的斜率，即夏普β，使用了2012年1月至2016年12月的每周收益（共261次观测）。风险降低率的代表是RF=0.5%。

一方面，欧洲央行利率指数已于2015年初终止，而另一方面，欧洲利率在过去几年中已达到非常低的水平，这一事实证明了这一选择的正确性。作为预期市场回报率RM的近似值，采用2012年1月至2016年12月Eurostoxx50指数的对数年平均值（即RM=6.905%）。使用比股息考虑的时间风小的时间风，使得估计的折扣不会受到时间上非常遥远的值的影响。从这个角度来看，五年期的选择似乎是足够的。根据标准CAPM模型，风险调整贴现率areki=RF+βi（RM- 因此kA=6.631%，kB=7.943%。回归结果如表2和表3所示，其中显示了参数估计、t统计量和p值。斜率参数β在两个模型中都很重要，其值与CAPM的常见解释一致。圣戈班的估计β指数大于1，属于被认为“放大”股市波动的制造业，而E.ON股票对系统可变性的敏感性略有降低（β<1），这是公用事业部门公司常见的情况。常数参数α在两种模型中均不显著。我们还计算了R平方值，这在两种情况下都是令人满意的。有限的可用股息数量表明，对于两家公司来说，股息增长率只有两种替代结果（即gand g）。这样的价值稳定1：divid ends（及其增长率）摘要时间序列：1989-2016年公司ddMin Max Geom。

平均中值。0.293 0.5上- 0.4545 0.2239 0.02 0.09091 SAINT-Gobain0。664 1.24-0.4631 0.25 0.0234 0.0303表2：线性回归输出-Eurostoxx 50 vs E.ON：R=0.3741参数估计t-统计P-值α-0.0032-1.6591 0.0983β0.9571 12.4647 2.8504·10-28通过两种不同的方式获得：1。gand gare恰好低于或高于几何平均值的增长率的几何平均值（如表1所示），以及2。并计算低于或高于其中值的增长率中值（即第一和第三个四分位数）（见表1）。之所以选择这一点，是为了调查离群值对股息增长率的影响，因为众所周知，四分位数是描述性统计数据，不受极值的影响。历史概率πCd是股息增长率联合低于或高于两个阈值之一的年份数与观察次数之间的比率。表4和表5报告了联合概率和边际概率，以及通过ju st描述的两种方式获得的增长率值。每个双向表导致增长率之间协方差的不同值。在Firstcase（几何平均数）中，协方差和相关性分别为0.043%和18.232%；考虑中间值时，该值分别为0.036%和12.179%。第二种情况下观察到的不相关减少至少可以部分解释为，2007年和2008年，股息增长率达到了E.ON的21.818%和22.388%，圣戈班的25%和20.588%。