启发、融合和约束的框架

相反，ρuζ完全由eκ和ρuξ决定*到25岁。此外，ψ、τ和ρuξ*, 与eκ不同，它完全不受可观察物的限制。如以下结果所示，我们的假设也限制了仪器无效参数ρuζ，尽管没有限制回归器内生性。推论2.1。在orem2.1的条件下，ρuζ有一个非平凡的单侧界。如果rr<Lr，则ρuζ∈ ( -|r|/√五十、 1）；否则ρuζ∈ ( -1，| r|/√五十） ，其中L在第2.2条中定义。这些界限很明确。因为L>r，推论2.1总是排除ρuζ的一系列值。然而，请注意，它从未排除ρuζ=0的可能性。这是不足为奇的，因为它是已知的是不可能的测试仪器的有效性在我们考虑的模型。令人惊讶的是，模型本身并没有限制因果效应β。推论2.2。在ORE m 2.1的条件下，感兴趣的因果效应β的尖锐识别集为(-∞, ∞).在这个模型中，了解β的唯一方法是强加信念。在我们的例子中，我们考虑了Eκ和πu z的简单区间约束。*.附录中的命题B.1展示了eκ和ρuξ的区间限制*从推论2.1收紧ρuζ的界限。命题B.2显示了对ρuξ的任何限制*这排除了任意接近-1或1的值会产生有限的β。在经典测量误差的情况下，ψ=0，因此β的边界相当于β的边界。在一般情况下，将β的边界转换为β的边界需要对ψ进行限制。当T*是二进制的，数据提供了这样的限制。在下一节中，我们将推导这些限制条件，并展示如何将其纳入我们的部分识别工作中。3.一个婴儿的情况*在许多应用研究中，感兴趣的是二元：T*, T∈ {0, 1}.

在这种情况下，定理2.1不再适用：数据通过对T的支持限制对ψ施加额外的限制*. 现在，我们将展示如何将我们的分析从第2节扩展到包含二进制T中可用的附加信息*案例当T*有一个任意的离散支持集，尽管我们不在这里讨论一般情况。首先，我们定义了一些特定于二进制设置的附加符号。首先让p*≡ P（T）*= 1） 和p≡ P（T=1）。接下来定义错误分类错误率α和α如下：α≡ P（T=1 | T*= 0), α≡ P（T=0 | T*= 1). （27）参数α等于向上分类错误的概率，当T*= 0.相反，α等于向下分类错误的概率，当T*= 1.使用这个符号，我们可以将ψ、τ和w表示为（α，α）的函数，如下所示。引理3.1。假设T*, T∈ {0,1}和（27）中的定义（α，α）。然后（i）ψ=-（α+α）（ii）τ=α（iii）w=（T）- α) - (1 - α- α） T*.引理3.1揭示了二元T的两个重要特征*案例首先，虽然ψ在一般情况下可以是正的或负的，但在二元情况下它必须是负的。第二，虽然τ和ψ通常是两个自由参数，但在二元情况下，它们通过它们对α的联合依赖关系联系在一起。在假设2.1（v）下，我们有ψ>-1.通过引理3.1，这相当于当T*是二进制的。下面的引理利用这个事实来解释p*并给出（α，α）的σwin项和p引理3.2的一个简单表达式。假设T*, T∈ {0,1}和（27）中的定义（α，α）。n，假设α+α6=1，（i）p*= （p- α)/(1 - α- α） （ii）σw=α（1）- α) + (1 - p） （α）- α） 现在我们有两个关于二元T的方程*案例：（21）和引理3.2（ii）。将这些等同于ψ和eκ之间的交叉限制。提议3.1。

勒特*, T∈ {0，1}并假设∑是正定义。这是低估。1-2.3，ψ（eκ）≤ ψ ≤ ψ（eκ），其中ψ（eκ）≡-s（1）- eκ）max{p，1- p} ，ψ（eκ）≡-s（1）- eκ）min{p，1- p} ，s（1）- eκ）≤ m（p）pp（1）- p）- s（1）- eκ）- 1，s（1）- eκ>m（p）与m（p）≡ max{（1）-p） （2p）- 1） ，p（1）- 2p）}a和p≡ P（T=1）。命题3.1背后的直觉如下。在二进制T中*在这种情况下，ε和ψ是错误分类概率α和α的函数。根据定义，它们必须介于0和1之间，根据假设2.1（v），它们也满足α+α<1。该区域如图1所示。因为σw=s（1-通过（21），为eκ选择一个值相当于选择一个σw的值。因此，通过解引理3.2（ii）中的表达式，选择eκ将α确定为α的函数。图中描述了三种这样的功能，对应于eκ的三种不同选择：L<eκ<eκ。由于命题3.1给出了L<eκ，这些选择中的第一个给出了这一系列函数的外部环境。ψ的边界是通过选择eκ的一个可行值来确定的，首先从该族中固定一个函数，然后确定C的所有值，使得tα+α=C与该函数相交。（α+α）的最小值总是出现在拐角处。在该图中，我们设置p>1/2，以使最小值出现在s（1）处-eκ）/p。图中填充的圆圈表示的最大值可以是内部（红色）或出现在角落（蓝色）。角点最大值出现在κ足够大或相当于σw足够小时。最后，引理3.1将（α+α）的边界f转化为ψ的边界。在某些情况下，额外的先验信息可用于进一步限制α和α，从而限制（eκ，ψ）。

例如，在单侧错误分类下，α或α（0,0）αp1- ps（1）-五十） 一,- ps（1）-五十） /psup（α+α）s（1）- eκ）1- ps（1）- eκ/ps（1）- eκ）1- ps（1）- eκ）/P图1：对eκ三个值的α和α的限制：L<eκ<eκ，其中L定义在位置2.2中。这里p>1/2，因此x-ed eκ的（α+α）最小值出现在s（1）处-（α+α）的最大值在eκ足够小（L和eκ）的内部，并出现在eκ足够大（eκ）的拐角处。这里，由于p>1/2，角点解的α=0。（α+α）的最大值出现在eκ=L处，最小值出现在eκ=0处，即测量误差为零。已知为零。另一种情况是对称分类错误，其中α=α。第三个例子涉及辅助数据表明p*≈ p、 这与限制α相对应≈ α(1 - 这三个特殊情况下，每一个特殊的情况都产生mα+ mα＝0的线性等式R，并将未知的标准杆数减少1。几何上，这是一条非负斜率的直线通过图1的原点的形式，这意味着ψ是eκ的显式函数。例如，在对称分类错误的情况下，ψ由45度线和对应于给定选择的eκ的曲线的交点确定。在没有支持度限制的情况下，我们从定理2.1得知，关于ψ的数据是非信息的。命题3.1表明，当*被限制在{0，1}这不再是事实：可观测约束ψ，而eκ和ψ是相互约束的。附录中的命题B.3展示了如何使用这些限制来约束β。

总之，命题B.2的逻辑表明，只要ρuξ，eβ就有界*限制先验地存在于(-1, 1).命题B.3将这一观察结果与命题3.1相结合，得出βvia（18）的界。正如我们在下面第5.3小节的实证示例中所示，命题3.1施加的限制，与命题2.1和命题2.2一致，在实践中可以提供非常丰富的信息。此外，它们允许我们处理连续和二进制T*具有共同的、基于回归的框架的案例。然而，当T*是二进制的。例如，了解T | x的条件分布原则上可以进一步限制（α，α）。然而，利用这一信息需要建模对象，应用研究人员在报告OLS和IV回归时，即使使用二进制T*. 因此，我们不会在这里进一步考虑这种可能性。4启发和推理我们现在描述如何使用我们的结果进行贝叶斯推理。我们提出了两种方法：对识别集Θ的推理和对部分识别参数θ的推理。我们始终关注应用中常见的两种情况：第一种是回归变量T*没有支持限制，受经典度量的限制，第二个是二进制T*如上文第3节所述。第4.1节和第4.2节考虑了经典测量误差，即ψ=0，其中β=β，eκ=κ，等等。第4节。3.解释当T*是二进制的。

在线附录D提供了一些关于部分识别模型中贝叶斯推理和频率推理之间关系的讨论。我们的方法基于这样一个原则，即参数化的选择应该清楚地表明，数据无法证实的任何先验信念如何影响最终结果。因此，标准杆数的结构与标准杆数的关系式有关。≡∑，аy，аT，аz, i、 e.Θ（Θ），因此关于θ的任何推论都只取决于通过Θ得出的数据。由于φ是点识别的，因此该参数向量的推断是标准的。我们首先假设研究人员计算出了一个φ的后验值。第4.4节讨论了如何获得一个。我们以符号和区间限制、R、过度回归内生性、仪器失效和测量误差的形式引出研究者的信念。将Θ（Θ）与相对较弱的先验信息相交，以透明的方式限制识别集。为了简化R的推导，我们在第2节中的结果用无标度参数表示。回归内生参数ρuξ*仪器失效参数ρuζ是相关性，无论测量结果是经典的还是非经典的，都具有相同的含义。在实践中，研究人员可能会对这两个量中的一个或两个量声明一个符号限制，以及一个上限，该上限被认为代表了很大程度的动物相关性。

获取有关meaFor相关结果信息的适当方法，请参见DiTraglia和Garc'a-Jimeno（2019），他们在一个任意依赖于异源协变量的可加性可比模型中，推导了amis分类的二元内生回归器的尖锐识别集，给出了一个具有离散支持的有效工具。这在统计学文献中被称为透明参数化：例如，参见Gustafson（2015）。确定错误取决于错误的性质。在经典测量误差情况下，ψ=0，因此κ=eκ。在这种情况下，可以对无标度方差比κ进行区间限制。由于κ是由协变量x定义的净值，因此在某些情况下更容易得出λ≡ Var（T）*)/Var（T）并通过κ=（λ）将其转化为κ-RT.x）/（1-RT.x），其中RT.xis是二元T中T对x的回归的R平方*在这种情况下，ψ和eκ都不是一个自然参数，在这个参数上t o可以引出信念，但两者都完全由α和α决定。正是由于这些错误分类的可能性，也就是无标度的，研究人员才最有可能陈述信念。对于4.1的推理，对于Ti的识别集，而不是结构参数向量本身，考虑贝叶斯后验推理。如果Θ（j）是从后部抽出的Θ，则Θ（Θ（j））∩Ris根据研究人员的信念，从θ的后验分布中得出。通过收集大量这些绘画作品，人们可以用各种不同的方式来总结这些作品。首先，我们可以在一组先验约束条件下，为特定结构参数（如ρuζ或β）的识别集构造一个可信区间。

如果R限制ρ*uξ到(-1,1），则命题B.1给出了仪器失效参数ρuζ的双边边界，而命题B.2给出了因果效应β的双边边界。假设我们希望为β的确定集B形成90%的可信区间。为了构建该区间，从在后验平均值处评估的条件识别立根开始，并向外对称扩展该区间，直到所得区间包含90%的识别集。正如我们在下面的经验样本中所显示的那样，在某些情况下，β的这种区间可以提供令人惊讶的信息，尽管放松了z是有效工具的要求。第二，通过计算Θ（Θ）与R的交点为空的后验概率，可以使用后验概率来量化一组特定的先验信念R与da的符合程度。例如，研究人员认为选择是否定的（püz）。*< 0）并希望评估这是否与她的仪器有效（ρuζ=0）的信念兼容。如果我们将R定义为这两个限制的交点，则计算集合Θ（Θ（j））的分数∩ R是非空域的后验概率，我们不能在关于选择方向的特定假设下排除仪器有效性。在下面的经验样本中，我们将其缩写为P（有效）。如果P（有效）很小，数据强烈表明假设的选择方向与工具有效性不兼容。

更一般地，考虑任何限制R.计算集合的分数（（j））∩为空的R给出了可以排除R的后验概率，这个概率我们缩写为P() 在下面的实证例子中。如果P() 是小的但不是零，一个对自己的先验信念有信心的研究人员可以选择放弃Θ（Θ（j））的吸引∩R是空的。如果P() 这表明，在给定数据的情况下，R中编码的信念是可疑的。当R限制（ρuζ，ρuξ）的两个或更多维度时*, κ） ，P值很大() 表明相应的researcherbeliefs在后验中互不兼容。这个练习说明了我们方法的一个重要的总体观点。通过明确测量误差、治疗内生性和仪器失效之间的关系，我们的方法允许研究人员了解他们对问题的这些不同维度的信念是否一致。4.2部分识别参数的推断我们的第二种方法是通过对过度减少的形式绘制的Θ（j）和条件优先放置的Θ（j）进行平均，对部分识别参数θ进行后验概率陈述。对θ而不是其识别集进行推理是有吸引力的。例如，它允许我们计算β为正的后验概率。然而，这是有代价的：需要在已识别的集合上指定一个条件优先级。由于在实践中很难得出一个完整的信息性先验，因此Moon和Schorfeide（2012）建议在Θ（Θ（j））上放置一个统一的参考先验∩ R（实施细节见附录C）。我们使用此先验知识旨在表示对Θ（Θ（j））的先验无知∩ R.不可避免地，单一参数化的一致性可能意味着在某些不同的参数化中有一个高信息量的先验。

然而，我们强调，制服在此仅供参考。因此，不必完全地把它完全理解，而是可以考虑，例如，在标准杆数上，什么样的偏差是必要的，以支持对β的特定信念。数据无法更新条件识别集的先验信息。因此，它对后部的影响不会随着样本量的增加而消失。因此，在对θ进行后验推断时需要谨慎。关注这一问题的研究人员可能希望对条件识别集支持的一类先验进行贝叶斯稳健性检验。如果该类别包括所有可能的优先权（Θ（j））∩ R、 θ的后验概率的结果范围将与我们从4中确定的集合的推论一致。1.虽然有力，但这种推论本质上是保守的，因为它们只总结了Θ（Θ（j））的最极端点∩ R.举例说明，每个绘制Θ（Θ（j））∩R包括一个表示β为负值的单点。然后，对已识别集合B的推断将不会产生反对β≤ 0.相比之下，任何超过Θ（Θ（j））的合理优先权∩ R、 例如我们的统一参考域，将给出{β>0}的100%后验概率*案例我们现在总结了第4.1小节和第4.2小节对我们的推理方法的修改，这些修改是处理二进制T*第3节的案例。在这种情况下，ψ通常是非零的，因此eκ和β不必等于κ和β。然而，请注意，ρuζ和ρuζ的含义*, 在二进制T中保持不变*案例此外，（25）不涉及ψ，命题3.1也没有在ρuζ和ψ之间施加交叉限制。