启发、融合和约束的框架

与此相反，Nevo和Rosen（2012）推导出了因果效应的界限，在这种情况下，非内生回归因子“更内生性”，而用于测量它的变量是无效的。我们的框架包括这两篇论文中考虑的设置，但严格来说更一般，因为我们允许测量误差与治疗内生性和仪器失效同时存在。更重要的是，我们论文的核心信息是，如果只将信念强加在部分识别问题的一个维度上，则可能会产生误导，除非有办法确保其与所有其他相关研究信念的相互一致性。例如，尽管单一有效仪器既解决了经典测量误差问题，也解决了治疗内生性问题，但如Incoley等人（2012年）所述，仅仅放松排除限制的部分识别工作是不够的。当在隔离状态下观察时，z和u之间的相关性值似乎是合理的，这很容易意味着测量误差或治疗内生性的数量不可信。这篇论文的其余部分组织如下。第2节导出了当T*有无限的支持。第3节考虑了T*是二进制的，由此派生适用于此设置的其他交叉参数限制。第4节详细介绍了贝叶斯推理的两种方法，包括使用第3节和第4节的结果进行先验启发的细节。第5节给出了一些实质性的实证例子，说明我们的程序在经典测量误差和二进制T*案例，第6节总结。

证明、辅助结果和额外的计算细节出现在在线附录中。2.在本节中，我们推导了与测量误差、回归器内生性和仪器失效相关的联合限制条件，给出了观测数据。然后，我们使用这些限制来说明β的确定集如何取决于研究人员在三个维度上的信念。我们的做法如下。首先，我们使用非差分测量误差的假设，根据辅助测量误差分量w和控制测量误差“非经典”部分的参数ψ重新写入（3），这种方法类似于Bollinger（2003）在代理变量设置中采用的方法。其次，我们将结构模型fr（1）-（3）与x上（y，T，z）的简化形式回归系统联系起来。我们在下面的部分识别练习中使用的限制来自结构协方差矩阵和简化形式协方差矩阵之间的映射，以及非差异测量误差的假设。第三，我们重新参数化问题，以“吸收”非经典测量误差参数ψ。尽管测量误差是经典的，但这允许我们继续进行测量，并在第二步中调整ψ，大大简化了计算。我们在本节中推导出的边界条件是*他得到了全力支持。当T的支持*然而，它可能会被收紧，这是我们探索二进制T的一种可能性*下文第3节。2.1模型和假设我们首先陈述本文将使用的基本假设。假设2.1（模型）。

我们观察到由（1）-（3）生成的（y，T，z，x），其中（i）x是外源性的：Cov（x，u）=0；（ii）v是投影误差：Cov（x，v）=0，Cov（z，v）=0；（iii）z与T相关*: π 6= 0;（iv）x包括一个常数，因此E[u]=E[v]=0；（v） T与T呈正相关*: Cov（T，T*) > 0.假设2.1中唯一的实质性限制是（i）和（v）：（i）假设控制回归因子x是外生的，而（v）假设错误测量的回归因子与真实的、未观察到的回归因子T正相关*.假设2.1（ii）可以定义为误差项v from（2）。它等于未观测到的利益回归子T的投影残差*在仪器z和外部控制回归器X上。假设2.1（iii）是标准的工具变量相关性条件，但说明了未观察到的真回归因子T*而不是观察到的、测量错误的回归系数T。虽然*假设2.1（iii）在我们的其他假设下是可测试的。在这篇论文中，我们将从弱仪器的考虑中抽象出来。下面我们所依据的主要附加假设涉及（3）中测量误差ew的性质。假设2.2（非差异性测量误差）。冠状病毒（u，ew）冠状病毒（z，ew）冠状病毒（x，ew）= ψ冠状病毒（u，T*)Cov（z，T）*)Cov（x，T*), ψ ≡Cov（T*, ew）Var（T）*).假设2.2要求ew和（u，z，x）之间的任何相关性仅由T之间的相关性产生*和（u，z，x）。换句话说，我们假设T中不包含关于（u，z，x）的额外信息，除了T中包含的信息*. 非差分测量误差是经典测量误差在T和T*支持有限。

因此，它被广泛用于错误分类的离散变量的文献中（例如DiTraglia a和Garcia-Jimeno，20 19；Frazis和Lowenstein，2003；Hu，2008；Lewbel，2007；Mahajan，2006）。当ψ=0时，假设2.2简化为经典情况。当ψ6=0时，允许ew与t相关，从而推广了经典测量误差*. 如果我们想考虑二进制T，这个额外的通用性是必要的。*因为ew必须与T相关*在这种情况下：如果T*= 1则ew必须为0或-1.如果没有*= 0则ew必须为0或1。假设2.2对给定T的条件分布没有限制*因此对ψ没有限制；它只是强制要求T在投射出T之后是外生的*. 这确实是一个限制，但严格来说比经典测量误差弱。在继续之前，我们需要一些附加符号。首先让τ≡ E[ew]- ψE[T*], W≡ 电子战-τ - ψT*（4） 式中，ψ在假设2.2中定义。使用（4），我们可以重写（3）asT=τ+（1+ψ）T*+ w（5），其中（1+ψ）>0，根据假设2.1（v），以确保T与T正相关*.（3）和（5）都完全没有失去一般性：（3）可以被视为ew的定义，（5）可以被视为w的相应定义。因为w被定义为（9）中的剩余物，详情请参见（9）及其后的讨论。ew在T上的投影*一个常数，它的平均值为零，与T无关*通过构造，使（5）比（3）更便于使用。相反，ew可能具有非零均值，并且与T相关*. 虽然T和T*通过假设2.1（v）正相关，注意T*ew可以是正的，也可以是负的∈ (-1, +∞).我们部分识别工作的核心是简化形式和结构协方差矩阵之间的关系。

定义简化模型asy=x′аy+ε，T=x′аT+ξ，z=x′аz+ζ（6），其中（ε，ξ，ζ）是具有协方差矩阵∑的投影误差≡ 变量εξζ=ssssss. （7） 在假设2.1（y，T，z，x）下观察到，所以Φ≡ （y，T，z）和∑是点识别的。在本文中，我们将T o∑作为简化形式的协方差矩阵。为了避免琐碎但无趣的情况，我们假设∑是正定义。允许Ohm 表示（u，v，ζ，w）的协方差矩阵。我们将参考Ohm 作为结构协变矩阵。Ohm 因为T*是未被观察到的，可能是内生的。我们假设Ohm 在以下意义上是“行为良好的”。假设2.3。（i） 协方差矩阵Ohm （u，v，ζ，w）的存在是有限的。（ii）协方差矩阵Ohmof（u，v，ζ）为正定义。假设2.3并不要求Ohm 积极定义。这考虑到没有测量误差的可能性，在这种情况下，Var（w）=0。请注意，我们将w而不是ew视为“结构性”测量误差。遵循这一约定的优点是，与ew不同，w满足了经典测量误差的所有假设，如以下引理所示。引理2.1。在假设下。1, 2. 2和2.3（i），我们有Cov（x，w）=0和Ohm =\"Ohm′σw#，Ohm=σuσuvσuζσuvσvσuζ0σζ. （8） 注意，我们的约定将ζ视为结构错误和减少的形式错误。等式8考虑了z是无效仪器的可能性，σuζ6=0，而t*是内源性的，σuv6=0。中的零Ohm 产生于假设2.1（ii），该假设确保v与ζ不相关，以及假设2.2，该假设确保w具有经典测量误差的性质。现在我们将注意力转向简化形式协方差矩阵∑和结构协方差矩阵之间的关系Ohm. 这种关系是下列引理的推论。引理2.2。

在假设下。1-2.3，ε=β（πζ+v）+uаy=β（πаz+η）+γξ=（1+ψ）（πζ+v）+wаT=τe+（1+ψ）（πаz+η），其中e=（1，0，…，0）′表示第一标准基向量。引理2.2表明，简化形式系数φ和φ是结构参数（β，π，ψ）的函数。虽然从该结果可以看出，知识o f（φy、φT、φz）提供了额外的识别信息，但事实并非如此。给定导出的形式回归系数的值（ηy，ηT，ηz），我们可以构造结构回归系数η和γ的值，这些值与其他结构参数的y期望值一致，即η=ηT- τe1+ψ- πφz，γ=βφT1+ψ，其中假设2.1（v）正好除以（1+ψ）：如果Cov（T，T*) > 0则ψ>-1资产负债表（5）。更重要的是，引理2.2暗示∑与Ohm 根据∑=ΓOhmΓ′, Γ ≡1 β βπ 00 (1 + ψ) (1 + ψ)π 10 0 1 0.扩展∑=ΓOhm我们得到如下结果：s=（1+ψ）πs（9）s=σuζ+βπs（10）s=（1+ψ）σv+πs+ σw（11）s=（1+ψ）（σuv+πσuζ）+βσv+πs（12） s=σu+2β（σuv+πσuζ）+β（σv+πs）。（13） 等式（9）-（13）构成了我们将用于执行以下部分识别练习的限制条件。等式9揭示了假设2.1（iii）即仪器相关性是可测试的：（1+ψ）π=（s/s）和（1+ψ）不能通过假设2.1（v）等于零。然而，正如下面的引理所示，假设2.1–2.3和关系∑=ΓOhmΓ′除了ψ>-引理2.3。假设v向量θ≡ （π，β，ψ，σu，σv，σw，σuv，σuζ）的结构参数值满足假设2。1-2.3和等式9-13。

那么，对于任何ψ′>-1，θ′也是≡ （π′，β′，ψ′，σu，σ′v，σw，σ′uv，σuζ），其中我们定义了π′≡1 + ψ1 + ψ′π, β′≡1 + ψ′1 + ψβ、 σ′v≡1 + ψ1 + ψ′σv，σ′uv≡1 + ψ1 + ψ′σuv。引理2.3表明，在没有进一步限制的情况下，约化形式协方差矩阵不包含关于ψ的信息。事实上，一个更强大的结果是：除非T*在一定条件下，具有结构参数θ的模型在观测上等价于具有结构参数θ′的模型。直觉上，因为*在未被观察到的情况下，我们可以任意缩放（2）的两侧——有效地“重新定义”T*– 只要我们把这个重新校准吸收到系统的剩余参数中。如果没有*然而，这种随意的重新缩放已经不可能了。例如，如果*是二进制的，通过观察T的分布可以排除某些尺度选择。在这种情况下，∑本身并不包含关于ψ的信息，而是t的二进制性质*创建可用于绑定ψ的额外交叉参数限制。由于二元处理在应用工作中很常见，我们将在第3节详细介绍这种特殊情况。类比推理适用于（5）中的参数τ。没有对T的支持限制*我们可以在定义E[T]时任意移动τ，将差异吸收到E[T]中*] 以及第一阶段的互动。2.2一个方便的参数化在继续推导测量误差、压力内生性和仪器无效性之间的联合限制之前，我们首先重新编写方程式9-13，其形式简化了我们的数学推导，并最终简化了研究人员信念的推导。首先，我们定义了未观测回归子T的简化形式回归*. 使用类似于Lemma 2.2的逻辑，我们可以编写*= x′~n*T+ξ*, φ*T=πφz+η，ξ*= πζ+v。

（14） 详见定理2.1的证明。由于根据假设2.1（ii），ζ与v不相关，因此允许σuξ*≡ Cov（u，ξ）*) = σuv+πσuζ。（15） 方程（15）显示了t的内生性*产生于两个来源：仪器z的无效性，以及误差项u和v之间的相关性。通过代表σuξt项的回归内生性*, （15） 允许我们从（9）-（13）中消除σuv。接下来，我们将参数κ定义为κ≡Var（ξ）*)Var（ξ）=Var（πζ+v）s=πs+σvs=1 + ψs- σws（16） 其中，最后一个等式后面是（πs+σv）的（11）。在xin只包含常数的特殊情况下，T*是外生的，测量误差是经典的，κ测量OLS估计器中存在的衰减偏差程度。更一般地说，κ测量包含在简化形式误差ξ中的“信号”的比例*. 例如，如果κ=1/2，这意味着ξ中一半的变量是由ξ生成的*, 剩余的是来自w的“噪声”。与σw不同，κ有界支撑：κ∈ （0，1）。当κ=1时，σw=0，因此存在非测量误差；当κ接近零时，极限对应于将σw取为其最大可能值：s。最后，定义β≡β1+ψ，eπ≡ （1+ψ）π，eσv≡ （1+ψ）σv，eσuξ*≡ （1+ψ）σuξ*, eκ≡ (1 + ψ)κ. （17） （17）中定义的参数对应于引理2.3中的设置ψ′=0，它将测量误差的非经典分量ψ“吸收”到剩余参数的定义中。注意，如果测量误差r ew实际上是经典的，那么ψ=0，因此eβ=β，eβ=π，依此类推。使用（15）-（17），我们可以写（9）-（13）ass=eπs（18）s=σuζ+eβeπs（19）s=eκs+σw（20）s=eσuξ*+eβeκs（21）s=σu+eβ（2eσuξ）*+eβeκs）。（22）本质上，我们已经将非经典测量误差问题转化为经典测量误差但参数值不同的等价问题。

在转换后的系统中，测量误差的大小由eκ控制，回归内生性由eσuξ控制*. 仪器失效由原始参数化和转换参数化中相同的参数控制：σuζ。而eκ是无标度的，σuζ和σuξ*不是。因此，当我们推导下面（18）-（22）所暗示的限制时，我们将用相关性而不是协方差来表示它们，即ρuζ≡ Cor（ζ，u），ρuξ*≡ Cor（u，ξ）*). （23）注意ρuξ*=σuξ*σu√κs=（1+ψ）σuξ*σup（1+ψ）κs=eσuξ*σu√eκs（24）使ρuξ*, 与σuξ不同*, 不受（18）-（22）中重新参数化的影响。总之，我们可以按照（ρuζ，ρuξ）来处理，就好像测量误差是经典的一样*, eκ）。对ψ的任何限制，例如在二进制T的情况下*, 可以在第二步中解决。在下一节中，我们推导了这些参数和β的识别集之间的联合约束。2.3联合约束本文的一个关键点是，对测量误差、回归内生性和仪器无效性的信念是相互约束的，并且数据是相互制约的。下面的结果通过将ρuζ表示为ρuξ的显式函数，使这种直觉变得精确*和eκ，给定特定的简化形式关联值。提议2.1。在假设下。1-2.3，ρuζ=rρuξ*eκ1/2- （rr）- reκ）1.- ρuξ*eκ（eκ- r）1/2（25），其中r≡ Co-r（ε，ξ），r≡ Co-r（ε，ζ）和r≡ Co-r（ξ，ζ）。等式25是我们描述测量误差、回归器内生性和仪器失效之间联合限制的第一个因素。第二个是限制数据中可能的测量误差范围的边界eκ。提议2.2。

在假设下。1-2.3，eκ∈ （L，1）其中≡r+r- 2rrr1- r> 麦克斯r、 r, （26）和缩减形式的相关性s r，r，以及Proposition 2.1中定义的罕见关系。因为命题2.2给出了eκ的下界，即L，所以命题2.2给出了测量误差范围的上界。这个界的推导依赖于两个更简单但较弱的边界。第一个，eκ>r，对应于经典测量误差下的familia r“反向回归界”。第二个，eκ>r，本质上是从IV第一阶段构建的反向回归界。界限eκ>L严格地比这些界限中的bot h更紧，因为它包含了来自所有三个简化的for m相关性：r、r和r的信息。然而，命题2.2没有t，允许我们排除没有测量误差的可能性：eκ=1总是满足界限，而不管简化形式相关性的值如何。命题2.1和命题2.2共同提供了工具无效性、回归内生性和测量误差的联合限制。具体地说，简化的协方差矩阵∑既有界eκ，又给出ρuζ作为ρuξ的显式函数*和eκ。正如我们现在所展示的，这些限制实际上构成了清晰的识别集。定理2.1。假设T*有充分的支持，∑是明确的，s6=0的正定义，和（y，T，z）同样是明确的。在假设下。1–2.3，限制ψ>-1，|ρuξ*| < 1，eκ∈ （L，1]和（25）刻画了（ρuζ，ρuξ）的s harp识别集*, eκ，ψ，τ）。OREM 2.1中的附加假设s6=0是假设2.1（iii）中结构工具相关性条件的简化版本；它要求z即使在投影出x之后也与T相关。而不是定理2.1在参数eκ、ψ、τ和ρuξ之间没有交叉限制*.