启发、融合和约束的框架

因此，为了对ρuζ进行推断，我们可以完全按照经典测量误差的情况进行：所有的变化都是对eκ的解释。这突出了使用无标度PAR同位化的一个关键优势：对püz和püz的解释。*不要依赖于ψ。然而，命题3.1确实在eκ和ψ之间建立了一个cro-ss限制。如果β是我们感兴趣的参数，我们可以忽略这一事实，继续测量，就好像测量误差是经典的一样。因为我们实际上对β=（1+ψ）eβ感兴趣，所以需要额外的步骤。为了对β的已识别集进行推断，我们依赖命题B.3在任何给定的简化形式下得出β的屈服边界。为了对部分识别的参数β进行推断，我们首先画出φ（j），然后采样（eκ（j），ρ（j）uξ）*, ρ（j）uζ）统一于结果条件识别集，如第4.2节所述。然后，我们从命题3.1中定义的区间[ψ（eκ（j）），ψ（eκ（j））]中均匀地画出ψ（j）。考虑到这些绘图，我们使用第2.4.4节简化形式参数的后验推断的推导构造β（j）的隐含绘图，以执行第4.1小节和第4.2小节的程序。研究人员必须为简化形式参数获得后验。正如我们在上文第2节中所示，m回归斜率的减少（φy、φT、φz）在确定识别集f或θ时不起作用。因此，我们只需要∑的后向图。在下面的实证例子中，我们采用以下简单方法。给定一个包含n个观测值（yi，Ti，zi，xi）的iid样本，让y=（y，…，yn）′，并以类似方式定义T和z。进一步定义X′=（X′…，X′n）andY=[y T z]。

我们从逆Wishart（ν，S）分布中得出∑，其中ν=n- k+3+1，S=（Y）- XbB）′（Y- XbB），bB=（X′X）-1x’y和k是外生协变量向量席的维数。注意，这个分布的平均值等于S/（n）-k） ，从（6）中给出的简化形式回归得到的OLS残差的样本协方差矩阵。逆Wishart（ν，S）分布是多元简化形式回归中的边际后验概率∑，通过叠加（6）在一个有效的先验误差和正态误差下获得（参见例如Zellner，1 971，第8.1节）。为了简单起见，我们从经典测量误差和二进制测量误差的逆Wishart后验中得出简化形式的协方差矩阵*案例。当然，如果任何变量（y，T，z）是离散的，则简化形式的误差不能是标准的。尽管如此，我们发现Wishart后验f或∑仍然以S/（n）为中心-k） 正如我们在附录D中所讨论的，在温和条件下，在大样本中几乎是正常的。注意二元t中命题3.1的ψ的界*病例涉及p。为了解决这个小的并发症，我们采用经验贝叶斯方法，将p设置为样本分析bp。因为这个数量是非常精确的估计，它对我们的影响可以忽略不计。我们的∑逆Wishart后验法的另一种替代方法是Bayes Bootstrap方法，该方法遵循了ByBollinger和van Ha sselt（2017）。5个经验示例我们现在给出了三个经验示例，说明了上述框架如何应用于实践。第5节中的示例。1和5.2涉及一个连续处理，我们假设它受到经典测量误差的影响，即ψ=0，eκ=κ和β=β。相反，第5节中的例子。3涉及一个二元处理，所以任何存在的测量都必须是非经典的。5.1比较发展的殖民起源Acemoglu等人。

（2001）使用64个国家的横截面研究机构对人均GDP的影响。由于制度质量是内生的，他们将早期西方移民在不同殖民地的死亡率差异作为工具变量。我们考虑他们的基准指标GDP/人均=常数+β（机构）+单位=常数+π（对数沉降器死亡率）+V，其中不包括协变量。这导致IV估计值为0.94，标准误差为0.16——几乎是OLS估计值0.52（标准误差为0.06）的两倍。作者将这种差异归因于经典的测量误差：根据要求，可以考虑包括协变量的替代性的特殊阳离子。结果基本上没有变化。这个估计非常重要。事实上比OLS估计的要大。这表明，机构变量中产生衰减偏差的测量误差可能比逆转因果关系和忽略变量更重要。（Acemoglu等人，2001年，第1385页）Acemoglu等人（2001年）陈述了与我们的部分识别相关的两个信念。首先，他们的讨论意味着“真正的”制度和主要方程式错误术语u之间可能存在正相关关系。这可能来自反向因果关系——更富裕的社会可以提供更好的制度——或者忽略了一些变量，例如法律起源或英国文化，这些变量可能与当今的制度质量正相关。

我们使用先验限制0<ρuξ对这种信念进行编码*< 0.9，排除了治疗内生性的不合理大值。第二，在一个脚注中，作者认为测量误差可能很大，该脚注首次使用了一种替代性的机构测量工具。从表面上看，这个脚注中的计算意味着κ=0.6的点估计，这意味着测量机构中40%的变量是噪声。下面我们考虑两种可选择的方法来编码关于席夫的辅助信息。殖民地起源示例的结果见表1。β的估计值和界限表示人均GDP的增长百分比，该百分比将由机构质量提高一个百分点而产生，通过平均征收风险保护来衡量。表中的所有其他值都是无单位的：它们要么是概率、相关性，要么是方差比s.O LS和IV估计值和标准误差，以及κ的下限L估计值，出现在面板（I）的第一行。面板（I）给出了识别集的推论。面板（II）的第一列给出了简化形式参数的后验绘图分数，该参数产生了一个空的识别集，而第二列给出了与有效仪器兼容的f r作用：ρuζ=0。面板（II）的第三列和第四列显示了ρuζ和β的识别集90%的后验可信区间，该区间是通过对称扩展以∑的后验平均值评估的条件识别集而构建的，如第4.1节所述。相比之下，根据推论2.2，面板（III）中β的识别集为(-∞, ∞) 除非ρuξ*限制。在这里，我们强调theresear chers所陈述的信念，即ρuξ*> 0以及ρuξ的n个非常保守的上界*为0.9。Emoglu等人的脚注#19。

（2001）指出，“在某种程度上，我们可以确定OLS和2SL估计值之间的差异是否可能是由于使用机构的替代测量值产生的测量误差造成的……这表明机构变量中的‘测量误差’在解释OLS和2SL估计值之间的差异方面具有正确的量级。”假设两个机构的测量值都服从经典测量误差或：T=T*+ 魔杖T=T*+ w、 两者都承受着完全相同程度的内生性，因为他们从T*在经典测量误差的假设下。因此，基于T的OLS估计收敛到κ（β+σT）*u/σT*) 而使用TTO仪器进行T转换的IV e刺激器则转换为β+σT*u/σT*. 识别率κ：0.52/0.87≈ 0.6.根据前文第4.2节所述的统一参考，给出了ρuζ和β的后中位和90%的最高后密度区间。我们考虑先验限制，即κ＜0.6，在测量误差的范围上设置一个下限。这种限制来自于与Emoglu等人（2001）的作者之一的个人交流。在这一限制下，约26%的简化形式参数的绘图产生了一个空的识别集，如面板（II）的第一列所示。直观地说，这意味着有一些协方差∑与最大似然估计b∑很接近，但它不在该区域内（κ，ρuξ）*) ∈ （0,0.6]×[0,0.9]。问题不是对ρuξ的限制*但是关于κ：数据对治疗内生性的范围没有限制，尽管它们确实提供了测量误差范围的上限，如OREM 2.1所示。

事实上，κ的先验上界为0.6，仅略大于我们对L的点估计值0.54，即2.2中定义的下界。在考虑∑的不确定性后，我们发现L的后验密度有26%在0.6以上。因此，我们的框架强烈地表明，b eliefκ<0.6与数据不兼容，我们不能在这个前提下进一步进行。现在我们考虑第二个限制，它取0.6作为κ的下界，同时继续施加πu z。*∈ [0, 0.9]. 这种限制对测量误差的范围设定了上限，排除了κ的最极端可能值。该限制的结果见表1的第三行。正如我们从面板（II）的第一列所看到的，该限制不会产生空的标识集。然而，这有力地表明沉降器死亡率是一个无效的工具：在限制条件下（κ，ρuξ），70%的简化形式参数的后向图排除ρuζ=0*) ∈ （0.6,1]×[0,0.9]。图2通过描述r（κ，ρuξ）的识别集，以略微不同的方式得出了这一点*, ρuζ），在ρuζ*这是积极的。灰色区域对应于L<κ<0.6，最大测量误差与B∑一致。我们从图中看到，平面ρuζ=0仅与测量误差极其严重的区域中的识别集相交。此外，除非κ=L，否则ρuζ=0意味着ρuξ*必须接近于零，换句话说，制度几乎是外生的。这似乎难以置信。

实际上，在（κ，ρuξ）的限制下*) ∈ (0.6, 1] × [0, 0.9]，在图2a中用红色和蓝色阴影表示，确定的集合仅位于平面ρuζ=0下方，表明原木沉降器死亡率与不可观察物呈负相关。图2a显示，人们需要对不可信的事物赋予高度的先验概率。基于本文的注释19，他表示相信，机构质量的测量变化中至少有40%可能是噪音。请注意，在我们的假设前提下，后验平均值等于最大似然估计值。确定集的区域，以支持定居者死亡率是va lid工具的信念。然而，由于该集合是以∑的单个值进行评估的，因此该图并未考虑简化形式参数的不确定性。相比之下，面板（III）中ρuζ的后验可信区间通过统一的参考先验值，在条件识别集本身的∑和d的后验可信区间上平均bot h。该区间显示，平均过度递减的表格绘制，与有效仪器兼容的条件识别的相对面积非常小。图（III）中参数tρuζ的可信区间与图（II）中参数tρuζ的确定区间形成鲜明对比。面板（II）表明，我们不能排除ρuζ的识别集包括零的可能性，即∑的平均不确定性。

相比之下，专家组（III）显示，需要在识别集的极小区域上放置过多的先验概率，以支持z是有效工具的说法-0.20.0 0.2 0.4 0.6 0.8βρuξ*0.00.20.40.60.8κ0.60.70.80.91.0ρuζ-0.50.00.5（a）∑β-1.0-0.50.0.0.0.0.5 1.00.0.5 1.0 1.5（b）治疗效果的后验平均值。图2：第5节中殖民起源示例的结果。1.面板（a）绘制了（ρuζ，ρuξ）的识别集*, κ） 在对应于正选择效应的区域中，∑的后验平均值进行评估：ρuξ*∈ [0, 0.9]. 0.6>κ的区域为灰色，而表面其余部分的颜色对应于处理效果β的隐含值。面板（b）给出了部分确定的参数β在限制（κ，ρuξ）相交的统一先验下的后验概率*) ∈ [0.6,1]×[0,0.9]与条件识别集（详情见第4.2小节）。红色虚线表示OLS估计，蓝色虚线表示IV估计。当然，人们感兴趣的主要问题不是定居者死亡率作为工具变量的有效性，而是制度对发展的因果影响。颜色见第4.2小节。图2a中的区域显示了κ，ρuξ*和ρuζ映射为β的相应值。蓝色表示积极的治疗效果，红色表示消极的治疗效果，白色表示零治疗效果。在bo t h方向上，颜色越深表示震级越大。从图中可以看出，我们不能排除β的负值。面板（II）第3-4列中β识别集的后可信集讲述了相同的故事，同时考虑了∑中的样本确定性。

然而，请注意，从图2a中可以看出，至少当以b∑计算时，识别集仅在ρuξ所在的区域中表示β的负值*非常大，测量误差非常小（κ接近1）。由于β的后验值完全由这些极值点确定，因此得出的推论非常保守，正如我们在第4.2节中提出的那样。这一观察结果不仅证明了m图∑的平均值过小，而且证明了条件识别集本身的平均值过小，正如我们在面板（III）中所做的那样，使用统一的参考值。与面板（II）中β的识别集的后验可信区间不同，我们的部分识别参数β的后验可信区间在有条件的统一参考之前构建，仅包含正值。这表明（κ，ρuξ）的条件识别集*, ρuz）平均只包含一个小区域，其中β为负。事实上，β的后中值为0.49，非常接近Acemoglu等人（2001）的OLS估计值。正如我们从2b中看到的，小组（III）中可信区间的后验值，IV估计值很可能过高。尽管在符合数据的合理先验信念下，死亡率和u之间可能存在负相关，但Emoglu等人。

（2001）继续讨论：似乎制度对人均收入的影响几乎肯定是积极的。5.2韦伯错了吗？现在我们考虑一个应用，在这个应用中，我们的框架从前面的例子中得出了非常明确的结论。Becker和Woessmann（2009）研究了16世纪普鲁士采用新教对许多经济和教育成果的长期影响，使用了与维滕堡相距较远的各县的差异，作为19世纪70年代新教人口比例的工具。维滕堡是马丁·路德介绍其思想和传教的城市。在这里，我们考虑他们对第4部分的估计，以详细讨论部分识别参数的识别集和推理之间的二度推理。由于先验值是一致的，“小”是指识别集上区域的相对面积：例如，图2a中，红色区域比蓝色和白色区域小。新教对识字率的影响，基于特定识字率=常数+β（新教份额）+x′γ+根除份额=常数+π（到维滕堡的距离）+x′δ+vw，其中x是人口和区域控制的向量。Becker和Woessmann（20 09）表达了对我们框架中三个关键参数的看法。首先，他们的IV策略依赖于ρuζ=0的假设，这是一个我们将在下面放松的假设。其次，作者认为1870年普鲁士人口普查被历史学家认为是非常准确的。因此，新教徒份额的测量误差应该相当小。