启发、融合和约束的框架

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最后，Cov（x，w）=[Cov（x，ew）- ψCov（x，T）*)] = 假设2.2和w的定义为0。引理2.2的证明。将（2）代入（1），并将z的约化形式代入（1），通过与（4）中y的约化形式等式相等，y=x′аy+ε=x′[β（πаz+η）+γ]+[β（πζ+v）+u]。同样地，将（2）和z的简化形式替换为（5），通过与（4）中T的简化形式等式相等，给出=x′аT+ξ=x′[τe+（1+ψ）（πаz+η）]+[（1+ψ）（πζ+v）+w]。现在，E（w）=0，因为x包含一个常数，ζ和v同样是平均值。结果如下，因为（ζ，v，u）与假设2.1和引理2.1下的x不相关。引理2.3的证明。随后立即检查（9）-（13）和联机附录-1E质量σuσ′uvσuζσ′uv（σ′v）σuζ0σζ=1 0 01+ψ1+ψ′0 0 1σuσuvσuζσuvσvσuζ0σζ1 0 01+ψ1+ψ′0 0 1,（1+ψ）>0和（1+ψ′）>0。命题2.1的证明。将（18）代入（19）并重新排列，eβ=（s-σuζ）/s，当解（21）前β时，给出β=（s- eσuξ*)/eκs。将这两种表达等同起来- σuζs=s- eσuξ*eκs（A.1）类似地，取代eβ=（s- σuζ）/sandeβeκs=（s）- eσuξ*) 转化为（22），（σu）- （s）+s- σuζs（eσuξ）*+ s） =0。（A.2）重新排列（24）得到eσuξ*= ρuξ*σu（eκs）1/2。将其替换为σuζ=σuρuζsinto（A.1）-（A.2），s- σuρuζss=s- ρuξ*σu（eκs）1/2eκs（A.3）（σu）- （s）+s- σuρuζssρuξ*σu（eκs）1/2+s= 0.（A.4）将（A.3）代入（A.4）并重新测量，我们得到σu=s（eκ）- r） eκ（1）-ρuξ*). （A.5）通过将（A.5）的正平方根代入（A.3）并求解ρuζ的结果表达式得出结果。引理A.1。在假设2.1-2.3下，（a）eσv=s（eκ- r） （b）ρuv=eρuv=ρuξ*√eκ- ρuζrpeκ- R位置2.1中定义的ris，ρuv≡ Cor（u，v）和eρuv≡ Co ru、 （1+ψ）v.艾玛A.1（A）的证明。到（18），r≡ Cor（ξ，ζ）=eπs/s。通过（11）和（17），seκ=eπs+eσv。

结果是将这些因素结合起来并重新安排。在线附录2引理A.1（b）的证明。通过（15）和（24），ρuξ*=eσv√eκsρuv+eπσζ√eκsρuζ。（A.6）通过操纵引理A.1（A），我们得到eσv/√eκs=p1- r/eκ。根据A.1（A）的定理，r=eπs/s，因此eπσζ/√eκs=r/√eκ。结果是将这两个等式代入（A.6）并求解ρuv。因为σv>0当且仅当ifeσv>0，而eσv>0当且仅当eκ>rby引理a.1（a），所以径向下的量总是严格正的，使得除以peκ- 这里是允许的。引理A.2。根据假设2.1、2.2和2。3（i）矩阵Ohm引理2.1中定义的是正定义，当且仅当σu，σv，σζ>0和ρuv+ρuζ<1。艾玛A.2.的证明。引理2.1，Ohm正定义当且仅当σu>0（A.7）σuσv- σuv>0（A.8）σζ（σuσv- σ（紫外线）- σvσuζ>0。（A.9）对于“如果”方向，首先请注意，通过（A.7），我们可以重新安排（A.8）以产生σv>σuv/σu≥0.除以σv，这意味着|ρuv |<1。现在，由于σu和σv都是正的，我们可以用σvσuto除以（A.9）的两边，得到σζ（1）- ρuv）>σuζ/σu≥ 0.由于ρuv<1，这意味着σζ>0。因此，将（A.9）除以σvσuσζ并重新排列，我们发现ρuv+ρuζ<1。对于“仅当”方向，ρuv+ρuζ<1意味着ρuv<1。通过σuσv将两侧复乘，得到σuσvρuv<σuσvsinceσu，σv>0。替换ρuv=σuv/（σuσv）并重新排列意味着（A.8）。方程式A.9采用类似的方法，将ρuv+ρuζ<1的两侧乘以σuσvσζ，然后重新排列。命题2.2的证明。根据假设2.3（ii），Ohm是积极的定义。因此，byLemma A.2σv、σu、σζ>0和ρuv+ρuζ<1。因为σv>0和ψ6=-1根据假设2.1（v），eσv≡ （1+ψ）σv>0。因此，通过引理A.1（A），eκ>ρtz。同样地，由于σu>0，它遵循m方程A。5在命题2.1的证明中，eκ>r。结合这些，我们看到eκ>max{r，r}。

根据引理A.1（A），ρuv+ρuζ<1相当于ρuξ*√eκ-ρuζrpeκ- r！+ρuζ<1（A.10）将（A.10）的项置于公分母之上并重新排列，ρuζ*+ ρuζ-2ρuξ*ρuζreκ1/2<eκ- ρeκ利用eκ>r的事实完成平方，ρuζ-ρuξ*reκ1/2<1.- ρuξ*eκ- reκ.在线附录-3现在，用（2.1）代替（ρuζ）- ρuξ*r/√eκ），我们发现（rr- eκr）1.- ρuξ*eκ（eκ- r）<1.- ρuξ*eκ- reκ取消系数（1）- ρuξ*)/eκ从两侧a和重新排列（rr- eκρ）- （eκ- r） （eκ- r） <0（A.11）使用eκ>r.扩展和简化（r- 1） eκ+（r+r）- 2rrr）eκ<0。因为∑是正定义，所以r<1。因此，前面的不等式定义了一个eκ不能取的值区间，一个由向下打开的二次函数的根限定的区间。为了确定这些根，我们将a s分解如下：eκ（r）- 1） eκ+r+r- 2rrr= 因此一个根是零，另一个是L。为了完成证明，我们证明了L<1和L>max{r，r}。对于第一种说法，请注意，∑的正不确定性意味着1- R- R- r+2rrr>0。用r<1重新排列这个不等式，就建立了L<1。对于第二个声明，注意（A.11）在eκ=max{r，r}处被违反。这与帕拉博拉函数向下展开的事实相结合，证明了L大于零和max{r，r}。定理2.1的证明。设（ρuζ，ρuξ）*, eκ）是任何满足|ρuξ的三重数*| < 1，eκ∈ （1）和（25）。考虑到这个三元组，论证通过构造错误（u，v，w，ξ）进行*) 和参数值（ψ，τ，π，η，γ，ψ）*T、 β）满足假设2.1–2.3，并生成（1）、（2）和（5）下的观测随机变量。这种结构取决于可观察到的减少的形状参数（φy、φT、φz）和误差（ε、ξ、ζ）。第一步构造w，使E（w）=0，σw=s（1）-eκ，Cov（w，ε）=Cov（w，ζ）=0，Cov（w，x）=0，Cov（w，ξ）=σw。

为此，假设χ是ζ在ζ和ε上的投影的残差，即ξ=aε+bζ+χ，Cov（ε，χ）=Cov（ζ，χ）=0。接下来，设W为任意随机变量，E（W）=0，Var（W）=1，与χ、ε、ζ和x不相关。我们根据χ和W asw定义W=1.- eκ1- Lχ +s（1）- eκ）（eκ-五十） 一,- L1/2W。（A.12）注意，（A.12）A中的常数定义良好且非负，因为L<eκ≤ 1根据提议2.2。现在，因为x包含一个常数，（ξ，ζ，ε）的平均值为零，而henceE（w）=0。此外，由于χ在构造上与ε和ζ不相关，因此Cov（w，ε）=Cov（w，ζ）=0。同样，由于χ和W都与附录-4中的x不相关，所以W也是不相关的。要计算σ和Cov（W，ξ），没有te thatVar（χ）=s-党卫军ssss-1.党卫军= s（1）- 五十） 由此得出σw=1.- eκ1- Ls（1）- L）+s（1）- eκ）（eκ- 五十） 一,- L= s（1）- eκ）和Cov（w，ξ）=Cov（w，aε+bζ+χ）=Cov（w，χ）=1.- eκ1- LVar（χ）=s（1）- eκ=σw。第二步构造误差（ξ）*, v、 u）和参数（ψ）*T、 η，γ），从而（1）生成观测到的y分布，（2）生成分布f或T*这与我们的观测值是相容的，（5）生成了观测到的T的分布。为此，设置ξ*=ξ - w1+ψ，v=ξ- w1+ψ- πζ，u=ε- βξ - w1+ψ以及*T=~nT- τe1+ψ，η=φT- τe1+ψ- πνz，γ=Пy- β~nT- τe1+ψ.将前面的表达式和简化形式一起替换为T*z和简化，我们得到βT*+ x′γ+u=x′аy+ε，πz+x′η+v=x′а*T+ξ*, τ+（1+ψ）T*+ w=x′~nT+ξ（按要求）。注意，τ在这个构造中是完全不受约束的。此外，迄今为止对ψ施加的唯一限制是ψ6=-所以除以1+ψ是很好的定义。第三步设置π和ψ，使我们的构造满足假设2.1。

首先，wehaveCov（x，u）=Covx、 ε- βξ - w1+ψ= 0，Cov（x，v）=Covx、 ξ- w1+ψ- πζ= 0因为x通过定义与减少的形状误差（ε、ξ、ζ）不相关，并且通过构造与w不相关。本验证（i）和（ii）的第一部分。现在设置π=s/[（1+ψ）s]。由于x与（ζ，ξ，w）不相关，因此Cov（z，v）=Covx′~nz+ζ，ξ- w1+ψ- πζ=s1+ψ- πs=0满足（ii）的第二部分。由于s6=0，π6=0满足（iii）。由于（iv）simpler要求x包含一个常数，这个要求基本满足。对于（v），sinceOnline附录-5T=τ+（1+ψ）T*+ w、 我们有Cov（T，T*) > 0表示任何ψ>-1.第四步验证我们的施工满足假设2.2。解决（5）堡垒问题*并将结果与（3）结合，得到ew=ψ（T+τ+w）/（1+ψ）。因此，对于任何随机变量Ξ，我们有Cov（Ξ，ew）=ψCov（Ξ，T+w）/（1+ψ）和Cov（Ξ，T）*) =Cov（Ξ，T）-w） /（1+ψ）。因此Cov（Ξ，ew）=ψCov（Ξ，T*) 当且仅当Cov（Ξ，w）=0。因此，为了验证假设2.2，必须证明Cov（u，w）=0，Cov（z，w）=0，以及Cov（x，w）=0。第一个和最后一个等式由我们对w和uabove的建设决定。对于第二种情况，我们有Cov（z，w）=~n′zCov（x，w）+Cov（ζ，w）=0。最后一步设置β=（s-σuζ）/以确保我们的施工满足假设2.3。通过引理A.2，可以验证σu、σv、σζ>0和ρuv+ρuζ<1。首先，σζ=s>0，因为∑是正定义。接下来，σv=Varξ - w1+ψ- πζ=1 + ψVar（ξ）- w） +πs- 2.π1 + ψCov（ξ）- w、 ζ）=1 + ψseκ+s（1+ψ）s-2s（1+ψ）s=1 + ψs（eκ- r） 用π=s/[（1+ψ）s]代入，并利用w的性质来构造上述结构。因为L<eκ≤ 1和L>rbyProposition 2.2，它允许σv>0。为了确定σu>0，我们证明了我们的构造满足（A.3）和（A.4）的命题2.1的证明。

通过命题2.1的论证，这意味着（A.5），并且由此得出σu>0，因为eκ>r。为此，首先注意σu=Var（ε）+β1 + ψVar（ξ）-w）-2β1+ψCov（ε，ξ）-w） =s+eβeβseκ- 2秒（A.13）为了简化这个表达式，我们使用σuξ*≡ Cov（u，ξ）*) = 冠状病毒ε - βξ - w1+ψ,ξ - w1+ψ=1 + ψ（s）-eβseκ）。重新排列，eσuξ*≡ （1+ψ）σuξ*= s-eβseκ。将其与eβ=（s）一起代入（A.13）- σuζ）/sgives（A.2）。所以lving eσuξ*= s-eβseκforeβ并将其与eβ=（s-σuz）/sgives（A.1）。如前位置2.1的证明中所述，（A.3）和（A.4）通过取代ρuζ=σuρuζ和eσuζ，从（A.1）和（A.2）开始*= ρuξ*σu（eκs）1/2。第一个等式只是定义ρuζ，因此需要验证第二个等式。通过我们的构造，Var（ξ）*) = 变量ξ - w1+ψ=1 + ψseκ=1 + ψs(1 + ψ)κ= sκ与henceeσuξ*≡ （1+ψ）σuξ*= ρuξ*σu（1+ψ）σξ*= ρuξ*σups（1+ψ）κ=ρuξ*σupseκ在线附录-6A是必需的。剩下的就是验证ρuv+ρuz<1。为了证明这一点，我们证明我们的构造满足给定引理A.1（b）的rρuv表达式。鉴于我们选择ρuζ来满足（25），所需的不等式随后出现，因为命题2.2证明中的步骤是可逆的。通过我们从上面构造u和v，σuv=Covε - βξ - w1+ψ,ξ - w1+ψ- πζ=1 + ψs-eβ1 + ψseκ-πs+πeβs.将我们选择的π和β与表达式一起替换为eσuξ*在我们对σu的推导中，这个简化为σuv=1 + ψeσuξ*-ssσuζ.替换σuv=ρuvσuσv，eσuξ*= ρuξ*σu（seκ）1/2，σuζ=ρuζρu√重新排砂会产生σvρuv=1 + ψρuξ*（seκ）1/2-s√sρuζ.期望的结果如下，因为σv=[s（eκ- r） ]1/2/（1+ψ），如上所示。推论2.1的证明。这个论点是用R=（L，1）×证明命题B.1的一个特例[-1, 1].

我们依赖另一个事实，即thatg（L）=-符号{rr- Lr}，它来自于一些简单的代数。首先假设RR<Lr。在这种情况下，g对所有x都是正的∈ （L，1）。如果x*是内部，然后是x*是Lor 1。但在这种情况下，g（L）=1，所以最大值必须出现在（L，x）处*). 找到最大值后，我们现在需要最小值。最小值可能等于g（1）。或者，它可能发生在x的一个角解上*, 在这种情况下，f简化为f（x，1）=r/√xorf（x，-1) = -r/√X取决于xequals 1还是-1.这两种功能中的一种为阴性。相比之下，g（1）是正的，所以它不能是最小值：通过检查，最小值出现在-|r|/√L.类似推理适用于rr>Lr的情况。如果rr=Lr，那么f（x，x）=xr/√因此，我们可以通过检查再次找到极值。推论2.2的证明。参见命题B.2的结果，其中推论2.2是一个特例。引理3.1的证明。根据概率定律，Cov（t*, T）=（1）- α） p*- 聚丙烯*= {(1 - α) - [α(1 - P*) + (1 - α） p*]}P*= P*(1 - P*)(1 - α- α） =Var（T）*)(1 - α- α） 因此ψ=Cov（T*, ew）Var（T）*)=Cov（T*, T）Var（T*)- 1=Var（T*)(1 - α- α） Var（T）*)- 1 = -（α+α）由（3）中的ew定义，建立第（i）部分。对于第（二）部分，首先请注意，ew只能在附录7中采用这些值{-1,0,1}yieldingE[ew]=P（ew=1）- P（ew=-1） =P（T=1，T*= 0) - P（T=0，T*= 1)= α(1 - P*) - αp*= α- （α+α）p*从中我们得到τ≡ E[ew]- ψE[T*] = [α- （α+α）p*] + （α+α）p*= α.最后，w≡ 电子战- τ - ψT*= （T）-T*) - α+（α+α）T*= （T）- α) - (1 - α- α） T*建立（三）。引理3.2的证明。根据全概率定律，p=α（1- P*) + (1 - α） p*. 重新安排这种平等会产生（i）。对于第（ii）部分，首先请注意σw=E（w），因为w在构造上是零。

现在，使用单MMA 3.1（iii）w isP（w=-α） =P（T=0，T*= 0) = (1 - α)(1 - P*)P（w=α）- 1） =P（T=0，T*= 1） =αp*P（w=1- α） =P（T=1，T*= 0) = α(1 - P*)P（w=α）=P（T=1，T*= 1) = (1 - α） p*因此，我们有e（w）=α（1- α)(1 - P*) + (1 - α） αp*+ (1 - α)α(1 - P*) + α(1 - α） p*= P*α(1 - α) + (1 - P*)α(1 - α） 经过扩展和简化。消除p*使用第（i）部分给出σw=1- α- α[（p- α)α(1 - α) + (1 - P- α)α(1 - α） 【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】【典型范例】。命题3.1的证明。首先，我们展示一下p*不能等于零或一。根据假设2.1（iv），ξ*如果p*∈ {0, 1}. 但是自从ξ*= πζ+v根据等式14，如果|Cor（ζ，v）|=1，则通常会发生这种情况，这被假设2.3排除。类似地，∑的正不确定性意味着p/∈ {0, 1}. 现在，依次求解α和α的引理3.2（b），我们得到α=σw- pα1- P- α、 α=σw- (1 - p） αp- α.式中σw=s（1- eκ）乘以（20）。引理3.2（a）得出α<p和α<1- pOnline附录-8自0起<p*< 1，所以分母都不能为零。现在，把α看作α的函数，α=σw- p（1）- p） （p- α),αα= 2σw- p（1）- p） （p- α)所以我们看到，一阶和二阶导数的符号完全由σw的符号决定- p（1）- p） 。因为T=τ+（1+ψ）T*+ w其中Cov（T*, w） =0，它遵循Var（T）=p（1- p） =（1+ψ）Var（T）*) + Var（w）=（1）- α- α） p*(1 - P*) + σwSince p*/∈ {0，1}，我们有σw- p（1）- p） <0。因此，α是α在区间α上的严格递减和严格共凹函数∈ [0，p）.在α=0时计算这个函数，我们得到α=s（1）-eκ）/p.设置α=0并求解α，我们得到α=s（1）-eκ）/（1-p） 。这些分别是图1中的α和α轴截距。请注意，这两个都不是负的≥ 0和eκ≤ 1.因为sis是T在x上投影的残差的方差，我们知道≤ p（1）- p） 。