启发、融合和约束的框架

最后，Becker和Woessmann（2009）对新教份额内生性的本质进行了长时间的讨论，表明新教很可能与不可观察的事物呈负相关：富裕地区在宗教改革时选择新教的可能性较小，因为他们从天主教等级结构中受益更多，因为放纵所提供的机会对他们有吸引力，而且放纵成本对他们的影响较小。“新教”最初是一场涉及农民起义的“抗议”运动，反映了社会的不平等，这一事实表明了这种消极的选择偏见（第556-557页）。“韦伯错了吗？”示例见表2。β的估计值和界限表明，如果新教徒的比例增加一个百分点，那么一个县的识字率将发生一个百分点的变化。表中的所有其他值都是无单位的：它们是概率、相关性或方差比。OLS和IVE估计a和标准误差，以及面板（I）第四行中出现的κ的下界L的估计值。面板（II）给出了识别集的推断。面板（II）的第一列给出了减少后的for m参数的后向绘制分数，这些参数产生了一个空的识别集，而第二列给出了与有效仪器兼容的分数：ρuζ=0。面板（II）的第三列和第四列显示了ρuζ和β的识别集90%的后验可信区间，该区间是通过对称扩展以∑的后验平均值评估的条件识别集而构建的，如第4.1节所述。

相比之下，面板（III）显示了零件识别参数ρuζ和β的后中位和90%的最高后密度间隔。在本练习中，我们包括贝克尔和沃斯曼（2009）第三节中列出的控制措施，具体包括：10岁以下人口、犹太人、女性、在该市出生的个人、普鲁士血统个人的比例、平均家庭规模、对数人口、前十年的人口增长，未报告教育信息的人口比例，以及盲人、聋哑人和疯子的人口比例。如表2所示，Becker和Woessmann（2009）得出的OLS估计值为0.10，IV估计值几乎是前者的两倍：0.19，标准误差为0.03。如果仪器有效，这相当于一个特定县的新教普及率每增加一个百分点，新教普及率就会增加不到0.2个百分点。在这个例子中，κ的估计下限不到一半，这意味着新教徒所占份额中最多有50%的测量变化可归因于测量恐惧。请注意，这个界限有些弱：鉴于作者关于普鲁士人口普查数据准确度的论点，它允许比人们认为合理的测量误差大得多。图3A描述了（κ，ρuξ）的识别集*, ρuζ）以∑的后验平均值计算。如上所述，表面用颜色表示相应的β值：蓝色表示正的处理效果，红色表示负的效果，零无效果。在两个方向上，较深的颜色表示较大的幅度。我们立即从图中看到，除非ρuξ*无论测量误差有多大，治疗效果都是积极的。

被厚厚的黑色边界包围的矩形区域表明与贝克和沃斯曼（2009）先前的信念非常接近：负选择，测量误差不太严重。该区域位于蓝色区域内，与积极的治疗效果相对应。尽管从图中可以看出有些困难，但在黑色边界a lso中包含的区域包含ρuζ=0。ρuξ*< 0，并且测量误差不大，在本例中，它似乎确实与有效仪器兼容。虽然这个例子的实质是从图3A中清楚的，但仅仅检验MLE中所评价的识别集是因式的，因为它不能解释R导出形式的不确定度。表2第3行通过为韦伯示例中的已识别集和部分识别参数提供贝叶斯推断完成了我们的分析，施加了图3A中黑色边界表示的限制：κ>0.8和-0.9<ρuξ*< 0.在本例中，小组（II）中已识别集合的推论和小组（III）中部分识别集合的推论都说明了同样的道理：鉴于我们强加的研究者信念，在本例中β极不可能为负。这是因为100%的简化形式为该Previor绘制生成一个包含ρuζ=0的识别集。类似地，如图（III）所示，在条件一致的参考先验下，ρuζ的后中值非常接近于零。如果我们希望报告β的点估计值，那么从第二栏（III）中的统一参考值得出的后中值表明，IV估计值大致正确，尽管最高后验密度区间有点偏向更大的因果影响。

此外，这些结果都对限制性κ>0.8，-0.20.0.0.2 0.4 0.6 0.8βρuξ不敏感*-0.50.00.5κ0.60.81.0ρuζ0.00.5（a）在∑β0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.60 1 2 3 4（b）治疗效果的后验平均值确定集图3：“韦伯错了吗？”第5节的例子。2.面板（a）绘制了（ρuζ，ρuξ）的识别集*, κ） 以∑的后验平均值进行评估。表面颜色与治疗效果β的隐含值相关。面板（b）给出了在约束交叉点（κ，ρuξ）上的均匀先验下部分识别参数β的后验概率*) ∈ [0.8, 1] ×[-0.9,0]和条件识别集（详情见第4.2小节）。灰色红线表示OLS估计，蓝色线表示IV估计。正如我们从表2第2行看到的，该行仅-0.9<ρuξ*< 在这个例子中，作者的信念是相互一致的，他们的结果非常可靠。5.3阿富汗女孩RCTBurde和Linden（2013）使用随机对照试验的数据，研究了乡村学校对阿富汗西北部农村儿童学习成绩的影响。与没有被分配到学校的村庄相比，被分配到学校的村庄的考试成绩和报告入学率都显著提高。对女孩来说，这种影响尤为显著，她们的入学率增加了52个百分点，考试成绩增加了0.65个标准差。这两种效应在1%的水平上都具有统计学意义，并且在控制了大量人口统计学协变量后基本保持不变。这些结果量化了在农村建立学校的因果影响。

但是Burde和Linden（2013年）的数据非常丰富，足以让我们提出一个作者在论文中没有直接提到的更具体的问题：就学率对阿富汗女孩考试成绩的因果影响是什么？学校入学率作为我们对兴趣的处理方式，考试分数的0.65标准差增加成为意向性治疗（ITT）效应，而报告入学率的52%增加则成为第四阶段。在这个例子中，我们考虑了特殊阳离子测试得分＝常数+β（招生）+X’γ+ε和仪器登记使用实验随机化：在一个村子里建立的学校的女孩有Z＝1，女孩在一个村庄中没有Z＝0。vectorx包含Burde和Linden（2013）使用的相同协变量。这个数据集有三个特点，使其成为我们上面开发的方法的理想候选者。首先，入学变量不是衡量一个女孩是否上了新成立的乡村学校，而是衡量她是否上过任何类型的学校。这意味着，我们对兴趣的处理，即入学，是内生的：样本中有248名女孩没有入学，而他们的村庄正在建立一所茶学校，还有49名女孩尽管在他们的村庄里没有上过课。在这个例子中，正选择，ρuξ*> 0，似乎没有争议：让女儿入学的家长可能会有其他不受观察的特征，这有助于他们的学业成绩。第二，尽管乡村学校的分配是随机的，但这并不一定使其成为有效的工具。

事实上，作者认为，如果乡村学校的质量低于传统公立学校，并且一些原本会就读于传统公立学校的受教育学生转而就读于乡村学校，那么建立乡村学校可能会通过除增加入学人数之外的其他渠道影响绩效，或者，如果未被纳入治疗组的儿童经历了来自已纳入治疗组的兄弟姐妹或其他同龄人的积极溢出效应。（Burde and Linden（2013），第36页。）第三，学校入学状况是根据家庭调查确定的，因此可能会出现大量误报。请注意，入学过程中的非差异性测量误差不会影响ITT的估计，但会使建立学校对入学的估计因果影响产生偏差。阿富汗女孩随机对照试验的结果见表3。β的估计值和界限表明女孩入学后考试成绩的标准差增加。表中的所有其他值都是无单位的。面板（I）的前两列显示了OLS和IV估计值以及标准误差。面板（I）的最后三列包含错误分类概率（α，α）上界的后验平均值，这些是：女孩是否为户主子女的指标、女孩的年龄、家庭在村庄居住的年数、法尔西假人、塔吉克假人、农民假人、户主年龄、，户主的受教育年限、家庭人口数量、杰里布索夫兰、绵羊数量、到nea rest正规学校的距离，以及查查兰省的假人。ψ的下界=-(α+ α). 通过设置eκ=L并应用命题3.1计算，因此对应于图1中da shed曲线的轴截距和点o。

面板（II）的第一列给出了简化形式参数的后验图分数，这些参数产生了一个空的识别集，而第二列给出了与有效仪器兼容的分数：ρuζ=0。面板（II）的第三列和第四列显示了ρuζ和β的识别集90%的后验可信区间，该区间是通过对称扩展以∑的后验平均值评估的条件识别集而构建的，如第4.1节所述。相比之下，根据之前在第4.2节中描述的统一参考，图（III）显示了ρuζ和β的后中位和90%的最高后密度间隔。在0.86标准偏差下，本例中的OLS估计值相当大，但IVestimate甚至很低：1.3标准偏差。ψ的后验平均值，ψ的下界=-然而，（α+α）等于-0.3. 从简化形式参数的抽样不确定性中提取，这意味着（1）-α-α） 位于[0.7,1]范围内。因此，如果z是一个有效的工具，我们将通过（17）获得约[0.9,1.3]的真实因果效应范围：二元回归器中的n-差异测量误差不影响IVestimate。然而，如果z可能无效，情况就更复杂了。我们考虑了回归子内生性的四种可能的限制条件，即ρuξ*> 0，相应的正性选择进入治疗。前三组ρuξ*∈ [0，\'ρ]表示\'ρ∈ {0.2,0.5,0.9}，对应于关于正选择的最大可能范围的信念。如表3所示，我们对ρuζ和ρuξ下的β了解很少*∈ 标准杆数（0，0.9），无论我们考虑在面板（II）中是否识别出了一个识别集，还是在面板（iii）中对T部分识别的标准杆数进行推断。但是ρuξ*= 0.9将需要一个极端的积极选择。

降低ρuξ的上界*在0.5和0.2之间，我们看到β的推论变得信息丰富。在ρuξ下*∈ [0,0.2]正如我们从面板（II）中看到的，β的识别集的90%后验可信区间不包括零。底部ρuξ*∈ [0,0.5]和ρuξ*∈ [0,0.2]，在传统一致的先验条件下，β的90%后验可信区间表明，注册率显著正回归。然而，在所有这些情况下，我们对ρuζ的推断都不能表明z是否无效。最后两个行3考虑了一个可替代的约束条件，在该约束下*∈ [0.5, 0.9]. 这与研究人员的一个信念相符，即存在很大程度的积极选择。在这种限制下，情况发生了转变：虽然我们对β一无所知，但我们有非常明确的证据表明z是无效的，ρuζ是正的。因此，相信高度积极选择的研究者将为积极溢出理论找到经验支持，该理论被认为是Burde和Linden（2013）中工具失效的可能渠道。6结论和扩展性因果推理依赖于研究者的信念。这篇论文的主要信息是，实施它们需要一个正式的框架，以防止矛盾，并确保我们了解数据所教给我们的一切。虽然这一点是一般性的，但我们在这里关注的是一个简单但常见的设置，即一个线性模型，该模型具有错误测量、内源性治疗和潜在无效的仪器，呈现了受经典测量误差影响的连续治疗和无差异测量误差影响的二元治疗的结果。

通过描述测量误差、治疗内禀性和仪器无效性之间在直观和经验上有意义的参数方面的关系，我们开发了一种贝叶斯工具，用于解释、约束和合并以符号和区间限制形式存在的可信研究者信念。正如我们通过大量的说明性实证样本所证明的那样，即使是相对较弱的研究者信念在实践中也能提供令人惊讶的信息。我们上面描述的方法可以在多个方向上扩展。一种可能性是考虑多个工具变量。另一种方法是在当地平均治疗效果（后期）环境中考虑异质性治疗效果。参考资料：塞塞莫格鲁，D.，约翰逊，S.，罗宾逊，J.A.，2001年。比较发展的殖民起源：一项实证研究。《美国经济评论》91（5），1369-1401。阿米尔·艾哈迈迪，P.，德克萨斯州德劳茨堡，2019年。具有排名限制的识别和推断，工作文件。Arias，J.E.，Rubio Ramirez，J.F.，Waggoner，D.F.，2018年。基于符号和零限制的结构自回归推理：理论和应用。鲍迈斯特，C.，汉密尔顿，J.D.，2015年9月。符号限制、结构向量自回归和有用的先验信息。《计量经济学》83（5），1963-1999年。贝克，S.O.，沃斯曼，L.，2009年。韦伯错了吗？新教经济史的人力资本理论。《经济学季刊》124（2），531-596。贝克，P.，卡普泰恩，A.，T.温斯贝克，1987年。在所有变量的任意子集中具有相关或不相关测量误差的回归的一致估计集。计量经济学：计量经济学学会杂志，1223-1230。布莱克，D.，伯杰，M.，斯科特，F.，2000年。具有非经典测量误差的边界参数估计。

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