潜在指数选择模型的锐界

等价性来自两个事实：i）积分分布和积分分位数函数是另一个函数的凸共轭[Ogryczak和Ruscczy\'nski，（2002）]，以及ii）凸共轭是顺序反转的。从模型变量开始，让D表示二元实现的治疗决策，让Z表示治疗决策或仪器的外部关联。为了简化记法，并明确部分识别方法的直观性，我假设仪器Z也是二进制的。例如，这发生在不符合规定的策略评估设置中，例如第5节。在这种情况下，Z是治疗任务，我从此采用这个术语。让DZ表示如果治疗分配是外源性的，则观察到的潜在治疗决定。注意，已实现的治疗决定与已实现的治疗分配的潜在决定D=DZ一致。设“pz=E[D|Z=Z]表示作为治疗分配函数的倾向评分（或选择概率）。Y表示已实现的结果，Yd，zdenote表示如果治疗决定和分配被外源性设置为（d，z）将观察到的潜在结果。从今往后，我将在排除限制下继续进行，即治疗任务仅通过其对治疗决定的影响来影响结果。因此，抑制分配下标z，并用Yd表示潜在结果。如前所述，注意已实现结果与已实现治疗决策的潜在结果一致，Y=Yd。让 = Y- 请注意治疗效果。治疗效果是研究人员感兴趣的主要目标。由于研究人员只观察治疗任务和已实现的治疗决策和结果，因此存在识别挑战。假设1（数据）。

研究者观察（D，Y，Z）的分布。换句话说，对于（几乎）每一个人，研究者要么观察治疗的结果，要么观察未治疗的结果。此外，结果和治疗效果可能通过不可观察因素U与治疗决策相关。潜在指数选择模型[Heckman and Vytlacil（1999，2005）]非参数识别了各种加权平均治疗效果，具有丰富的变异来源。如Vytlacil（2002）所示，其基本假设与后期模型[Imbens and Angrist（1994）]相当。然而，选择模型的结构基础使其在进行反事实政策推断时特别有用。假设2（模型：使用二元工具选择潜在指数）。二进制仪器：P（Z=Z）>0表示Z∈ supp Z={0，1}.1。潜在指数规则：观察和反事实处理由可加性分离指数规则确定。对于标准制服，不可观察的U~ U[0,1]，Dz=1[U≤pz]（1）2。独立性：（U，Y，Y）⊥ Z.3。第一阶段：p<p.4。期望是存在的：潜在的结果是可积的。假设2构成了Vytlacil（2002）在二元仪器中的基本公式，不可观测的U遵循标准均匀分布。正如Vytlacil（2002）所讨论的，考虑到其他假设，这种规范化在技术上是无害的；同时，它也是Heckman和Vytlacil（2005）提出并在本文中进行研究的边缘处理效应识别方法的基础。我现在谈谈这个方法。2.2目标参数许多与政策相关的因果问题都有治疗效果（加权）平均值的答案 在一些不可观察的群体中 [0, 1].

对于给定的不可观察的U={U}，Heckman和Vytlacil（2005）定义了边际治疗效果：MTE（U）=e[|U=U]。（2） MTE函数有选择理论的基础，并对其本身感兴趣。例如，在第5节的OHIE应用中，MTE（u）是不可观察类型u=u的医疗保险覆盖范围内支出（ER费用）的预期变化。在医疗保险文献中，这被解释为类型u=u的道德风险[Einavet al.（2013）；Kowalski（2016）]。在一定程度上，MTE可以指导治疗决策，因为衡量的结果代表了决策者所关心的结果。MTE功能还可以作为其他治疗效果的基础。特别是，一系列与政策相关的平均处理效果可以表示为MTE函数的加权平均值或线性函数：对于某些加权函数w:[0,1]，WTE（w）=ZMTE（u）w（u）du（3）→ R[Heckman and Vytlacil（2005）]。由于不可观察的对象是根据其通过（1）进行治疗的倾向来排序的，因此一个简单而重要的组U族是区间[U，U]。相应的一组治疗效果是当地平均治疗效果家族：晚期（u，u）=e[|U∈ [u，u]]（4）通过加权函数wu，u（s）=I（u）从（3）中获得≤ s≤ u） /（u）-u） 。正如Heckman和Vytlacil（2005）所讨论的，定义（4）概括了Imbens和Angrist（1994）引入和识别的仪器规格效应：LATEIA=e[|D<D]=后期（p，p）（5），包括手头的工具无法识别的影响，但可能永远不会失去政策利益。

也许最广泛的研究是对人群的平均治疗效果：ATE=e[] = 晚期（0，1）（6）除晚期家族外，其他可表达为（3）的治疗效果包括对被治疗者的平均治疗效果，U={U:D=1}。如果确定了MTE函数，则上述所有影响将通过（3）确定。在具有离散变化源的基本模型中，MTE函数未完全确定。但也有实证内容；例如，确定了MTE的某些函数，例如（5）[Imbens and Angrist（1994）]。让我*表示与数据（假设1）和模型（假设2）一致的候选MTE函数集。与这些假设相比，这一组是尖锐的。在下文中，我假设数据生成模型是正确指定的，因此MTE函数存在并属于集合M*. 考虑到候选人集M*, 表（3）的处理效果如下：Zm（u）w（u）du:m∈ M*. （7） D相对于U是可测量的，这一事实来自选择方程（1）。因此，WTE（w）的上下边界（可能是完整的）为：infm∈M*Zm（u）w（u）du≤ WTE（西）≤ 卸荷点法∈M*Zm（u）w（u）du（8）如果M*是一个凸集，那么可能的WTE（w）的集合是一个区间，其特征是上下界。在这种情况下，关于模型和数据，WTE（w）的界限（8）是尖锐的。

本文的主要理论贡献是推导MTE的锐界和潜在指数模型中的WTE函数类，我将在初步定义和结果之后讨论这一点。结果3。1.初步陈述和证明主要结果，首先根据总体的公共划分确定条件随机变量，然后汇编一些相关的识别结果。也就是说，让我们：=a如果D=D=1c如果D<Dn如果D=D=0d如果D>D.（9）表示一个随机变量，该变量根据每个治疗任务的潜在治疗决定对人群进行分组（或分层，用Frangakis和Rubin（2002）的语言）；名称{a，c，n，d}源于Angrist，Imbens和Rubin（1996）的always takers，compliers，never takers和Defier命名法。假设2规则定义，{G=d}=, 从今以后，这些都被省略了。对于另一组g，让（Ug，Y0，g，Y1，g，g）~ （（U，Y，Y，)|G=G）表示以群成员G为条件的同名随机变量的随机向量；对于P（G=G）>0的群体，这些都有很好的定义。下面的初步引理根据条件随机变量汇编了关于组内识别的已知结果。引理0（条件边际分布的识别）。该模型和数据确定了所有概率P（G=G），以及条件不可观测数据的边际分布Ugan和结果Yd，gfor d=0，G∈ {c，n}和d=1，g∈ {a，c}使得p（G=G）>0。相反，任何可积的联合分布（^U，^Y，^Y）与Ugand Yd，gis的所有识别边缘一致，与模型和数据一致。识别任何团体条件治疗效果引理0中明显没有gis。

相反，定义-g如果结果0，gand Y1，g是反单调的，则为团体条件治疗效果：也就是说，Y1，g的较高实例与Y0，g的较低实例配对。与真实团体条件治疗效果的分布相反g、 极值反单调处理效应的分布-Gc可以从Y0，gand Y1，g的边际分布中恢复，也许最简单的方法是通过分位数函数：-gd=QY1，g（V）- QY0，g（1）- V）对于V~ U[0,1]（10）反单调处理效应在随后的部分识别结果中起着重要作用。3.2夏普集和边界本小节提供了边际治疗效果（MTE）函数和加权平均治疗效果类别的主要部分识别结果。正如预期的那样，只有在编者区间的基本潜在指数模型中才可能进行有意义的部分识别，其中有一些关于治疗和未治疗结果的信息。然而，第4.2小节中的扩展说明了这些识别结果如何在作出其他假设时产生超出编译器的有意义且尖锐的外推。主要结果刻画了集合M*与数据和模型一致的候选MTE函数。定理1（边缘处理效果的尖锐集合）。在假设1和假设2下，夏普集M*由（等价类）可积函数SM[0,1]组成→ R满足：E[m（Uc）]=LATEIA（11）m（Uc）固态硬盘-c（12）尖锐的定势M*它是凸的。下一个结果确定了候选MTE函数，只要存在有限的边界，这些函数就可以达到治疗效果类别WTE（w）的尖锐边界。这些边界解有两个特征。

首先，它们是极值的，因为它们在编译器之间的值分布等于可行治疗效果的极值分布-由定理1确定。其次，它们对于加权函数是单调的。定理2（WTE泛函的锐界）。在假设1和假设2下，如果WTE（w）的锐界是有限的，那么它们可以通过一对解mw，mw满足：mw（Uc），mw（Uc）d=-candw（Uc）和mw（Uc）是共单调的，mw（Uc）是反单调的（13）。定理2的一个重要特例是反事实迟参数族。这里我们得到了一个直观的结果，即一些“几乎”与“几乎”相同的参数被“几乎”识别。尤其是，这些参数被极值分布的平均值急剧限定，其中最高分位数或最低分位数为三次方；这种修剪直觉让人想起Lee（2009）在sampleselection的一个相关模型中。使用积分分位数函数可以方便地表示边界。推论1（反事实板上的锐界）。在假设1和假设2下，反事实延迟对于编译器的任何子区间都是有界的。对于[u，u+δ] [p，p]和δc=δ/p（G=c）=δ/（p- p） ，我-c（δc）≤ δc·LATE（u，u+δ）≤ 拉蒂亚- 我-c（1）- δc）（14）因为点u处的MTE函数的值几乎可以在任何地方恢复为延迟极限（u，u+δ），其中δ→ 0，似乎推论1也对附加条件进行了详细的分析，数据只能将可行的MTE函数约束到测度为零的集合，偶尔（例如第3.3小节）考虑M会有所帮助*而是作为可积函数的一组等价类。

那么我*也是可积函数L[0，1]的赋范向量空间的子集。MTE函数在某些点上的逐点界限。事实并非如此。此外，这是不可能的，因为给定的点是极小的，并且模型和数据不会对度量零集的MTE函数施加任何约束。然而，下面的小节表明，该模型不仅在点方向上，而且（在编译器之间）在一个密切相关的对象上施加了一致的尖锐边界，即反事实平均结果作为潜在指数处理阈值的函数。反过来，这些逐点边界提供了一种简单的、图形化的方法来总结迄今为止导出的尖锐边界。3.3总结边界本小节根据R上实值函数的逐点（更进一步，一致）锐边界总结了以前的边界。这就为MTE函数及其线性泛函的潜在指数模型的经验内容提供了一个简单而新的图形表示。为此，将反事实平均结果y（p）定义为如果潜在指数选择方程（1）中的阈值被外源性设置为p时将发生的平均结果∈ [0,1]：\'y（p）=pE[y|U≤ p] +（1）- p） E[Y | U>p]。反事实平均函数也有MTE函数的表示：`y（p）=E[y]+ZpMTE（u）du。（15） 这种众所周知的表示法支持了MTE函数估计的局部工具变量（LIV）程序[Heckman和Vytlacil（1999，2000）]。以下结果提供了编译器区间反事实平均值的逐点锐化界限，其中存在有限界限。推论2（反事实平均值的逐点锐利界限）。

在假设1和假设2下，反事实平均值在编译器的区间上逐点有界：ψl（p）≤ “y（p）≤ ψh（p）（16）式中：ψl（p）=y（p）+- p） ·我-CP-聚丙烯-Pψh（p）=y（p）- （p- p） ·我-CP-聚丙烯-P为了p∈ [p，p]和ψl（p）=-∞ ψh（p）=∞ 其他的这个结果来自于推论1，替换后的（p，p）=y（p）-“y（p）p-p、 LATEIA=\'y（p）-“y（p）p-简化。此外，倾向性得分pz=E[D|Z=Z]和平均结果“y（pz）=E[y|Z=Z]是确定的，因此（16）确实限制了编译器之间的实际平均值。反事实平均函数的推论2的界通过函数重排操作对第3.2小节的锐集和界结果进行编码。表示函数m，~m:[0,1]→ 如果重新排列的概念和语言的分布暗示了随机凸序（位于定理1的核心）和函数优化序（隐含在命题1中）之间的密切联系，那么R是彼此的重新排列。即，当且仅当随机变量的分位数函数按优序排列时，随机变量按凸序排列；此外，分位数函数有效地充当重排算子。哈代、利特尔伍德和波利亚（1929年）取得了基本的多数票。马歇尔等人（2011年）提供了一本教科书参考（重点是离散理论）。函数取的值相同，~m（U）d=m（U）。作为特例，将可积函数m的编译器之间不断增加的重新排列定义为：m↑c（u）=（Qm（Uc）U-聚丙烯-P如果你∈ [p，p]m（u）如果你/∈ [p，p]转变↑cre通过m（Uc）的分位数函数按递增顺序排列编译器间隔上的函数值。

让我们*表示精确的反事实平均结果函数集；设a表示泛型元素和aits导数（如果存在）。下面的结果在重排和反事实平均函数方面重申了定理1的经验内容。命题1（一组精确的反事实平均结果）。在假设1和假设2下，夏普设定了*反事实平均函数由绝对连续函数a[0,1]组成→ 满足：ψl（p）的R≤ a（p）+Zpp（a）↑c（u）du≤ ψh（p）（17）对于点态界ψl，ψhof推论2。锋利的刀锋划破了一道鸿沟*它是凸的。命题1的一个含义是，在complier区间上，ψlandψhin（16）的边界是一致的：存在一个与假设1和假设2一致的数据生成过程，对于该过程，真实的反事实平均结果与整个complier区间p上的上（下）界函数一致∈ [p，p]。也就是说，下界（上界）由一个数据生成过程统一获得，i）编译器潜在结果的完全反单调性，由-c、 以及ii）编译器之间的完美负（正）选择处理，由-坎特伯雷大学。因此，边界函数本身就是可行平均结果函数的一部分。然而命题1也表明，满足一致界并不足以使绝对连续函数成为候选反事实平均函数；此外，还必须通过编译器之间不断增加的（事实上是任何）重新排列来满足边界。编码在一致界中的信息有助于恢复定理2的尖界泛函WTE（w）。