潜在指数选择模型的锐界

特别是，均匀下界（或上界）的导数恢复了反单调处理效应的分布-cvia及其分位数函数：（ψl）（p）=Q-CP- 聚丙烯- P几乎每一个p∈ [p，p]。因此（ψl）（Uc）d=-c、 因此，通过将极值MTE函数（ψl）（u）与加权函数w（u）重新排列，可以得到编译器之间WTE（w）的尖锐界。反过来说，达到尖锐边界的候选MTE函数的增加的重排（在编译器之间）重合（在编译器之间）∈ [p，p]）与极值MTE函数（ψl）（u）的分段。类比逻辑适用于减少重排和统一上限。因此，反事实平均数的统一公式总结了假设1和假设2关于治疗效果的经验内容。一个吸引人的地方是，这些界限可以用图形来描述，如第5节中的经验所示。这种图形表示有助于可视化、总结和比较模型及其特例的扩展能力；此外，正如将在手册（子章节）中讨论的，它有助于评估其他假设的一致性。统一边界之间的区域提供了模型和数据赋予的外推能力的直观且有理论依据的汇总统计。也就是说，确定不确定区域R（p，p）：[0，1]→ R+∪ {∞} 作为区间[p，p]：R（p，p）=Zpp[ψh（u）上一致界之间的总面积- ψl（u）]duan并将p>p的平均不确定度区域定义为R（p，p）=R（p，p）/（p- p） 。

对于任何可积随机变量X，定义其基尼均值差ΓX，如果E[X]6=0，则其基尼指数γXby:ΓX=2Z[qE[X]- IX（q）]dq，γX=ΓXE[X]（18）下一个结果将基本模型中的（平均）不确定区域与标准化和非标准化基尼系数联系起来。命题2（不确定性领域）。在假设1和假设2下，编译器之间的平均不确定区域是有限的，由以下公式得出：`R（p，p）=（p- p） ·Γ-如果Ia6=0，则平均不确定区域也可以表示为：`R（p，p）=（p- p） ·LATEIA·γ-在非零处理效应的情况下，编译器之间的不确定性区域是数据的三个特征的产物：第一阶段p- p、 complier治疗对迟发症的影响，以及治疗效果周围的平均标准化离散量，如基尼指数所示。不确定性的（平均）区域在基本模型中的非编者之间是有限的，这直观地反映了基本模型无法对编者之外的治疗效果进行反事实推理的事实。尽管如此，随着假设被添加到模型中，不确定性的平均区域仍然很明确，因此也为潜在指数选择框架内的模型研究和比较提供了一系列有用的总结措施。3.4与文学的关系3。4.1平均独立潜在指数选择模型的界限在最近但已经有影响的贡献中，Mogstad等人（2018）介绍了平均独立潜在指数选择模型中反事实推理的计算框架。他们的方法基于i）一组类似IV的估计，总结观察到的数据；ii）一组边际结果函数，可以对研究人员可能希望施加的各种附加假设进行编码。

值得注意的是，即使它们的框架具有灵活性，它们也表明它们的边界可以耗尽手段的经验内容。因此，他们的框架恢复了OREM 1中的平均一致性条件（11）。然而，在潜在指数选择模型中，平均一致性本身并没有提供反事实的内容——换句话说，它对治疗效果没有任何限制，超过了穆利埃和斯卡西尼（1989）中基尼指数的IQF表示。注意，如果X取负值，基尼指数可能大于1。拉蒂娅。相比之下，定理1的分布一致性条件（12）表明（完全独立的）潜在指数选择模型有一些反事实的内容。它在编者的子群体中对治疗效果进行了界定；也就是说，它允许部分插值。此外，工具的完全独立性是一个常见的经验假设，这通常是由（准）随机分配驱动的。也许正因为这个原因，尽管在逻辑上更强大，但完全独立也是理论文献中的一个常见假设。本文的另一个相对贡献是明确推导了锐化界，而不是隐式地描述为一对类似于（7）的有限维凸规划的最优值。事实上，尽管它们具有有限维的性质，但尖锐边界下的解可以相对简单地描述。这种精确的界限有助于研究人员推断他们可能愿意接受更多（或更少）的假设。例如，基本模型中尖锐边界的一个特别明显的特征是，编译器之间的处理效果可能存在完美的反单调性。

在第4节中，我展示了如何将目前给出的结果进行扩展，以适应另一个极端的共同分布假设，即秩相似性或不变性。因此，本文的结果也可以用作合并和比较其他假设的基础。最后，尖锐的界限可以用来测试附加假设的有效性，例如MTE函数的参数化。Brinch等人（2017年）的线性边际结果假设是一个流行且自然的候选者，该假设仅用一个二元工具来识别MTF函数。换句话说，线性降低了尖锐集M*从而实现所有加权平均治疗效果WTE（w）的点识别。可对候选MTE函数进行积分，以获得反事实随机函数，对于该函数，推论2的一致尖锐边界在潜在指数选择模型中提供了一个规格测试。事实上，在线性MTE候选函数的情况下，与一致边界的一致性也很有效。这是因为sucha函数是单调的，因此等于它在编译器之间的递增或递减重排。以下结果总结了这些观察结果。推论3。线性MTE函数与假设1和假设2if一致，且仅当通过（15）获得的相应反事实平均函数满足推论2的一致锐界。如第4节所示，对于参数化与附加假设的联合一致性，可以获得类似的结果，例如关于潜在结果的联合分布。3.4.2与完全依从性的界限从Heckman等人（1997年）开始的文献研究了治疗效果在完全依从性模型中的分布。

最相关的是，Fan and Park（2010）和Firpo Andrider（2019）研究了治疗效果和功能分布的界限。主要关注的是Fan和Park（2010）在治疗效果框架中引入的两个具有已知边际分布的随机变量之和的Makarov（1981）界。分别出租土地UBE随机变量与科瓦尔斯基（2016）在俄勒冈健康保险实验（在第5节中研究）的背景下提出的一个应用是，政策制定者可以考虑为彩票优胜者提供接受折扣而不是免费保险覆盖的机会。然后，实验产生的内插治疗效果将与政策相关。例如Imbens and Angrist（1994）和Vytlacil（2002）。Heckman和Vytlacil（1999年，2005年）假设完全两两独立（Yd，U）⊥ Z代表d=0，1。以下分布：FL（δ）=supymax{FY（y）- FY（y）- δ） ，0}FU（δ）=1+infymin{FY（y）- FY（y）- δ） ，0}马卡洛夫界由一阶随机优势关系总结：LF SD F SDFan和Park（2010）观察到的U（19），（19）提供了治疗效果的分布和分位数函数的逐点尖锐界限.

让-和+Fan and Park（2010）分别指出了反单调和共单调处理效应，并介绍了二阶随机优势关系：-固态硬盘 固态硬盘+（20） 事实上，通过SSD的积分分位数/分布表示和边界随机变量的可行性，（20）提供了积分分位数和分布函数的一致尖锐边界。此外，积分分位数或分布函数的逐点优势是二阶随机关系（20）成立的必要和充分条件。然而，无论是一阶随机关系（19）还是二阶随机关系（20），都不能描述一组可能的治疗效果。第一个观察结果是Firpo和Ridder（2019），第二个观察结果是附录C中的反例。更重要的是，我（再次通过反例）表明，（19）和（20）的组合并不能描述治疗效果分布的急剧变化。总之，治疗效果分布的已知界限在整个意义上并不明确，描述治疗效果分布的明确范围仍然是一个公开的问题。有趣的是，将这一结论与本文的结果进行对比，其中包括潜在指数选择模型中边缘处理效应的尖锐集的推导。为了简化比较，我考虑完美兼容= Z的特殊情况，并丢弃冗余编译器下标。在这种情况下，治疗效果的分位数函数Q（·）是一个可行的MTE函数，对应于治疗效果的完美（假设）负选择。因此，可行MTE函数的必要条件和充分条件是可行量化函数的必要条件。

条件不充分。更确切地说，MTE函数类似于分数分位数函数，推导MTE函数的尖界问题是推导分位数函数的尖界问题的一个放松。因此，如果anMTE泛函上的锐化界是由可行分位数函数获得的，那么在可行分位数函数集上的锐化界也是锐化的。根据定理1，松弛问题具有相对重要的特征，如分析特征及其可行集的凸性。这表明了一种推导量子位函数界的可能富有成效的方法。据我所知，这是文献中的一个新发现（如果不太重要的话）。值得注意的是，同时满足（19）和（20）的分布集比Firpo和Ridder（2019）研究的分布集严格尖锐，因为它对分布的矩提出了超出平均值的要求。分位数问题的MTE松弛与Kantorovich的Monge最优运输问题的线性规划松弛具有显著的相似性。有关经济学方面的更多细节，请参见Galichon（2016）。函数，即使没有分位数函数的特征。即使分位数函数无法获得边界，松弛MTE问题的解决方案也可能很有见地，如附录C.4扩展4中的一个简单示例所示。1协变量我现在讨论并扩展以前的结果，假设2以额外观察到的协变量为条件，用X表示。协变量信息至少有两个原因是有用的。

第一个原因是它允许子组分析和比较。具体而言，潜在指数规则（1）可以推广到适应协变量：Dz=1[U]≤ pz，X]，（21）其中U~ U[0,1]，U⊥ 十、 pz，X=E[D | Z=Z，X=X]。然后根据一元条件边际处理效应函数MTE（u，x）=e进行分析[|U=U，X=X]与之前一样进行。第二个原因是协变量的聚集可以用来改进无条件推理。这将是剩余讨论的重点。为了赋予改进的边界与政策相关性，考虑一个家庭的替代政策干预W。 R满足以下假设。假设3（替代政策干预）。策略不变性：（Y0，w，Y1，w，Uw，Xw）=（Y，Y，U，X）对于所有w∈ W.2。政策单调性：跨政策的潜在治疗由以下因素决定：~Dw=1[U≤ ν（w，X）]，（22），其中，对于每X.3，ν（·X）是w的一个非减量右连续函数。仪器包括：每个z∈ {0，1}，存在一个策略wz∈ 这样：Dz=~D\'wz。(23)4. 连续性：由：W=inf{W:U定义的政策影响≤ ν（w，X）}，（24）是一个连续的随机变量。根据从Heckman和Vytlacil（2001年、2005年）开始的一系列研究，政策不变性假设替代政策只影响治疗倾向，而不影响潜在结果、不可观察或协变量。政策的单调性和工具的包容性对替代政策如何影响治疗的结构施加了影响，这些政策相互之间以及相对于观察到的实验；在这方面，与现有文献相比，实质性的新结构是跨协变量的单调性。假设3中的政策不变性与Carneiro等人（2010年、2011年）中的政策不变性相同。

它可以被弱化为对这些随机变量在不同政策中的分布的一种假设；有关更多详细信息，请参见Heckman and Vytlacil（2005）。以协变量为条件，政策单调性和工具包含性恢复了上述论文中随机政策定义的本质[Heckman和Vytlacil（2001年，2005年），Carneiro等人（2010年，2011年）]，其中每个政策* 与随机阈值P有关*以致于*= 1[U≤ P*]. 原因是随机政策被认为是外生的，（Y，Y，U）⊥ P*, 因此，预期结果E[Y]*]然而，对于同样满足政策不变性的典型政策，如在缺乏一般均衡效应的情况下，价格或治疗补贴，协变量单调性似乎是合理的。最后，政策削减满足度Dw=1[W≤ w] 尽管如此，w∈ Wby定义；切割的连续性是一个技术上方便的假设，允许根据其无条件分位数W:=FW（W）重新定义切割，因此~ U[0,1]和wz=E[pz，X]表示z∈ {0, 1}. 此后将采用这种标准化。接下来，定义边际政策相关的治疗效果函数：MPRTE（w）=e[|W=W]。（25）虽然这一定义与之前的文献有所不同，但它在MTE和MPRTE功能之间产生了密切的平行关系。当然，边缘治疗效果和政策相关性之间的联系是研究MTE功能及其功能的首要动机。

然而，相对于定理1的可行性表征，可行函数集受到额外的约束，因为边界下的极值处理效应“最多”可以是基于协变量的完美计数单调条件。详细说明，让我们-g、 xdenote一个随机变量，其分布与治疗效果相同，仅限于地层（g，x）内，且完全反单调。然后定义-g、 “\'x，通过分布函数，x上的平均组条件反单调处理效应：F-g、 \'x（δ）=E[F-g、 X（δ）|g=g]（26）让wg表示约束到g=g的政策约束的随机变量。它类似于定理1的推理，即可行MPRTE函数集R约束到可积函数集R:[0，1]→ R满足随机关系：E[R（Wc）]=Lateia和R（Wc）固态硬盘-c、 “-xFurthermore，因为（22）中关于ν的假设对跨子房的相对选择是不可知的，所以这种条件反单调性是唯一附加的限制。当然，对ν的进一步参数限制将收紧界限。类似地，正如在下一个扩展中所探讨的，可以通过进一步假设潜在结果的联合分布来收紧界限。相当于人口中统一政策的混合效应：E[Y]*] = EP*[P]*EU[Y | U≤ P*] + (1 - P*)欧盟[Y | U>P*]]两种方法在概念上的区别在于，一项政策是与观察到的工具Z相关的剪切力转移有关，还是与人口中相对于计数器实际工具Z的均匀剪切力（混合）有关；工具的外生性和考虑下的政策变化使得两者在计算上是等价的。即Carneiro等人。