具有交互作用的异质面板数据的二进制响应模型

最后，在bF（j）上执行SVD分解，并更新bF（j）以确保bF（j）′bF（j）=I.停止：达到一定标准后停止（例如，√NkbB（j）-bB（j）-1） k≤ 其中是一个有效的整数）。与Boneva和Linton（201 7）相比，上述程序实际上更耗时。通过利用回归器的结构，CCE类型的方法因其计算效率而备受赞赏。因此，模型的灵活性和计算效率之间存在权衡。在文献中，一些研究旨在从理论上证明上述算法的合理性。近期的工作可能可以追溯到Chen（2014），最近，Liu（2020）和Jiang等人（2021）分别为无参数模型和参数模型提供了理论证据。在本文中，我们不追求这一研究方向的理论结果，因为这可能会导致不同的论文。最后，在实践中，我们可以跟随Chen（2014）对几个初始值运行算法，并选择产生最大对数似然值的解决方案。2.2渐近结果在本小节中给出渐近结果之前，必须满足以下条件。假设1.1。假设{εit}是（i，t）中相同分布的随机变量的数组，其中knownPDF和CDF分别为gε（·）和gε（·），分别为ly.2。存在一个集合ΞNT=[ΞlNT，ΞuNT]，使得所有zit都属于概率接近1的ΞNT，并且0<Gε（ΞlNT）<Gε（ΞuNT）<1，其中zit=x′itβ0i+γ′0if0t。3.LetNTPNi，j=1PTt，s=1E[|E[eitejs | wit，wjs]|]=O（1），w这里wit=（xit，γ0i，f0t）和eit=1-yit1-Gε（zit）-yitGε（zit）。假设1.1要求相同的分布，这在非线性模型的文献中是常规的（例如，Chen、Fern’andez Val和Weidner，2021年的假设1）。

此外，备注2.1部分解释了为什么从识别角度来看，该条件是合理的。对于假设1.2，Ξ的范围随所考虑的分布而变化。如果分布定义在R上（比如说正态分布），我们可能会允许Ξnto的上下限发散到±∞ 分别地如果考虑指数分布，我们可以让下限收敛到0，让上限发散；例如，Chen和Christensen（2015）以及Li等人（2016）都使用类似的技术来容纳回归器的一些无限支持。假设1.3的当前形式允许某种类型的弱横截面相关性和时间序列相关性。注意，通过构造E[eit | wit]=0，因此可以将eit视为新创建的平均值为0的剩余项。假设1.3实质上对eit的二阶矩进行了限制，例如，对于独立且相同分布（i.i.d.）的情况或涉及某些混合条件的情况（例如，下面的假设3.3），可以验证eit的二阶矩。引理2.1。假设1下，as（N，T）→ (∞, ∞),NTNXi=1TXt=1Gε（bzit）-Gε（zit）= 操作√新界,其中，假设1中定义了Zit，bzit=x′itbβi+bγ′ibft，以及（2.8）中定义的bβi、bγi和bftar。引理2.1在非常有限的限制下，确保了本文所考虑方法的整体有效性。值得注意的是，即使对于没有回归器的模型，t引理2.1仍然成立：yit=1，γ′0if0t- ε它≥ 00，否则，（2.9），这是Wang（2020）研究的模型之一。当然，最大似然函数应该以非常明显的方式进行调整。

我们推测引理2.1有助于简化Wang（2020）的渐近发展（可能是一个假设）。此外，引理2.1推断最大似然估计或多或少可以简化为非线性最小二乘估计。下面我们提供几个例子。例1：有趣的是，如果εIt服从均匀分布，那么引理2.1给出的表达式完全具有最小二乘法的形式：NTNXi=1TXt=1Gε（bzit）- Gε（zit）≡NTNXi=1TXt=1（bzit- 青春痘）。（2.10）因此，Bai（2009）第1264-1265页中关于术语Nt（β，F）的大多数论点将适用。我们建议感兴趣的读者参考其中的详细讨论。例2：假设1的ΞNTof是一个具有固定边界和infz的紧集∈ΞNTgε（z）≥c> 引理2.1立即产生这个结果√新界=NTNXi=1TXt=1Gε（bzit）- Gε（zit）≥ c·NTNXi=1TXt=1（bzit- zit），（2.11），其中右侧再次减少了一个与Bai（2009）中忽略常数c的snt（β，F）相同的项。事实上，可以允许ΞNT=[ΞlNT，ΞuNT]具有发散边界，并允许gε（·）是正态分布的密度函数。如果是这种情况，我们需要一个附加条件（即下面的假设2.1）来进一步调整Ξtint，以实现（2.8）的所有估计量的渐近一致性。简单代数表明，在n|lNT |+uNT |=oP（plog（NT））的条件下，假设2.1已满，因此新提出的带有估计过程的模型仍然成立。备注2.2。在继续之前，我们现在讨论选择的因素数量。这一主题已经在各种参数线性模型的论文中进行了研究（例如，Bai和Ng，200 2；Onaski，2009；Lam和Yao，2012；Ahn和Horenstein，2013；以及其中的参考文献）。

在文献中可用的结果和讨论中，一个重要的结果是，如果在进行回归时因子的数量过多（例如，Fan等人，2013；Moon和Weidner，2015），许多渐近结果仍然成立（但失去了一些效率）。在这项研究中，我们发现，在中等限制条件下，这种论点也适用于（2.1）的二元反应面板数据模型。为简单起见，将示例2视为一个前文。很明显，（2.11）的右侧完全简化为参数化模型，因此针对参数化线性模型的论证立即适用。我们现在准备调查（2.8）的估计量，再次强调我们暂时假设因子的数量已知，并在第2.3节中选择因子的数量。为了实现（2.8）的每个估计量的一致性，下一个假设是必要的。假设2.1。假设存在满足infw的序列{aNT}∈ΞNTgε（w）≥ 蚂蚁>0和蚂蚁√新界→ ∞, 其中Ant可能收敛到0或是常数。2.设Zi=Xi（β0i）-βi），并假设下面的l i mits e x是给定的kB-Bk/√N≤ C、 其中C是一个足够大的正常数。（a） supBNTPNi=1（Zi） 子- E[Zi [Zi]）= oP（1）；（b） supBN√TPNi=1（γi 子- E[γi [Zi]）= oP（1）；（c） NΓ′Γ→P∑γ和tf′F→P∑f.3。假设0<infF∈FOhm（F）在哪里Ohm（F）=diag{TOhm1T（F），TOhmNT（F）}，以及OhmiT（F）=E[X′iMFXi | F]- E[γ0i （MFXi）|F]′（γ∑） （它）-1E[γ0i （MFXi）| F]。假设2.1从下面对PDF进行了限定，这与Hansen（2008）和Li等人（2012）等的处理方法类似。上面的两个例子应该已经清楚地解释了为什么需要这样的条件。假设2.2的前两个结果需要一致性，这是因为系数由i索引。

对于齐次系数模型，这样的条件可以完全消除。这两种情况类似于Li等人（2020）的假设G，其中也考虑了异质系数。假设2.3是解释模型异质性设置的识别限制，其精神与Ando和Bai（2017）的假设D以及Huang等人（2021）对术语Q（F）施加的条件相同。考虑到引理2下的两个例子，为什么消费2.3是必要的应该非常清楚。1.在假设2中，我们总结了以下引理中的渐近一致性。引理2.2。在假设1和2下，as（N，T）→ (∞, ∞),1.NkbB- Bk=oP（1），2。NTkbFbΓ′- F′k=oP（1），3。kPbF- PFk=oP（1）。在引理2.2中，前两个结果保证了（2.8）中估计量的一致性，而第三个结果推断FCA列所跨越的空间可以一致地恢复。为了进一步进行分析，需要更多的结构和符号：lit（w）=（1）- yit）日志[1]- Gε（w）]+yitlog Gε（w），∑u，i=limT→∞TTXt=1E[gε（zit）][1-Gε（zit）]Gε（zit）uitu0′it,∑γ，t=limN→∞NNXi=1E[gε（zit）][1-Gε（zit）]Gε（zit）γ0iγ′0i,Ohmuγ，it=E[gε（zit）][1- Gε（zit）]Gε（zit）uitγ′0i, （2.12）式中，uit=（x′it，f′0t）′。此外，让我们Ohmu=diag{∑u，1，····∑u，N}，Ohmγ=diag{∑γ，1，····∑γ，T}，和Ohmuγ={Ohmuγ，it}N（dβ+df）×T df。为了节省篇幅，我们在附录A.2中解释了这些符号的必要性。下面的一组条件是导出收敛范围所必需的。假设3.1。让马克西≥1，t≥1Ekxitk4+δ<∞, 马克西≥1Ekγ0ik4+δ<∞, 还有maxt≥1Ekf0tk4+δ<∞, 关于某些常数δ≥ 2.另外，假设maxi≥1，t≥1kxitk=OP（log（NT）），马曦≥1kγ0ik=OP（对数N）和最大值≥1kf0tk=OP（对数T）。让F∈ F、 假设存在δ*∈（0，δ）使得tn1+δ*/4.→ 0和NT1+δ*/4.→ 0.2.

gε（w）在ΞNT上是二次可微的，且supw∈ΞNT（|l（2）it（w）|+|l（3）it（w）|）∞ 在（i，t）中统一，其中l（k）it（w）是lit（w）的k导数，此外，存在ρ，ρ<0，使得∈ΞNTρmaxTTXt=1l（2）it（w）uitu′it！≤ ρ、 苏普∈ΞNTρmaxNNXi=1l（2）it（w）γ0iγ0i！≤ ρ、 概率1，其中ρmax（·）已在第1.3节最后一段中定义。{εit}独立于{（xit，γ0i，f0t）：i≥ 1，t≥ 1}. 设{εit，xit，f0t}在t上是严格平稳的和α-混合的，且αij（|t- s |）表示α-混合系数。此外，假设Pni，j=1P∞t=1（αij（t））δ/（4+δ）=O（N），PNi，j=1（αij（0））δ/（4+δ）=O（N）和maxi≥1P∞t=1（αⅡ（t））δ/（4+δ）=O（1）。假设那只蚂蚁√NT[日志（NT）]→ ∞, ρmax(Ohmu） <∞, ρmax(Ohmγ) < ∞, ρmax新界OhmuγOhm-1γOhm′uγ< ∞,ρmax新界Ohm′uγOhm-1uOhmuγ< ∞.假设3.1对xit、γ0和f0t施加了力矩限制，这是文献中的标准。此外，当测量一系列随机观测的最大值时，可以很容易地填充速率对数（NT）、对数N和对数T。例如，参见Connor等人（2012）的假设A7。我们用tn1+δ来限制N和T的散度*/4.→ 0和NT1+δ*/4.→ 0，在许多情况下都可以满足，例如N/T→ 其中c是常数。该条件用于确定估计量的一致收敛性（即下面引理2.3的前两个结果）。条件F∈ F仅供识别之用。例如，给定F，我们总是可以找到旋转矩阵W，使得tw′F′FW=Idf。（2.13）因此，我们可以写出γ′0if0t=γ′0iW-1·W f0t，（2.14）这推断出，我们在fa-ct中使用γ′0iW，而不是γ0i和f0tas的真实参数-1和W f0tas假设3.1下的真实参数。对于线性模型（例如Bai，2009 amongothers），旋转矩阵通常通过PCA程序生效。

然而，对于本文中没有闭合形式估计的非线性模型，就我们所知，实现这种旋转矩阵的解析形式似乎是不可能的。类似的问题也可以在安藤和白（2020年）以及安藤和吕（2020年）中看到。假设3.2稍微放松了Wang（2020）的假设2和假设1。《陈四世》，弗恩·安德斯·瓦尔和韦德纳（2021年）。Probit和Logit模型显然被这一假设所掩盖。假设3.3通过施加混合条件来强化假设1.3。这一想法与Su和Chen（2013）的假设A.2和Feng等人（2019）的假设3.3一致。然后我们可以从这组低水平条件建立Bθi的渐近分布。假设3.4用于涉及Hessian矩阵逆的推导。这是因为Ohmγ和Ohm双对角矩阵。利用这个假设，我们可以证明在研究估计量的渐近性质时，Hessian矩阵中的对角元素起主导作用。我们现在准备在下一个引理中给出收敛速度。引理2.3。在假设1-3下，a s（N，T）→ (∞, ∞),1.maxi≥1kbθi- θ0ik=oP（1），2。马克斯特≥1kbft- f0tk=oP（1），3。NkbΘ-Θk=OPN∧T,4.TkbF- Fk=OPN∧T,其中bΘ=（bB，bΓ）和Θ在（2.2）中定义。在引理2.3中，前两个结果加强了引理2.2，并显示了i和t中Bθi的一致性。基于这两个结果，我们能够在引理2.3的最后两个结果中建立收敛速度，从而导出下面的渐近分布。为了给出渐近分布，必须满足以下条件。假设4。

假设∑u，i，∑θ，i和∑γ是我和t、 式中，∑θ，i=limT→∞TPTt=1PTs=1E[gε（zit）gε（zis）eitesuitu0′is]。假设4保证了渐近协方差的正不确定性。在假设3.3的混合条件下，我们可以证明∑θi是√T 对数L（B，F，Γ）θi。因此，我们可以在下面的定理中建立渐近分布。定理2.1。假设1-4成立，且（N，T）→ (∞, ∞).1.如果T（对数T）/N→ 0，那么√T（bθi）- θ0i）→DN（0，∑）-1u，i∑θ，i∑-其中bθi=（bβ′i，bγ′i′）和θ0i=（β′0i，γ′0i′）。如果N（对数N）/T→ 0和√N 对数L（B，F，Γ）英尺→DN（0，∑f，t）表示t、 然后√N（bft- f0t）→DN（0，∑）-1γ，t∑f，t∑-1γ，t）。条件T（logt）/N→ 0和N（对数N）/T→ 定理a主体中的0与Bai和Ng（2013）定理1中的0相似。可以将上述定理视为Bai和Ng（2013）定理1的二元响应对应物。如果误差项是i.i.d.，我们对定理2.1中涉及的未知量有以下一致估计：b∑θ，i=TTXt=1git（bzit）buitbu′it，b∑u，i=TTXt=1g（bzit）buitbuit，b∑f，t=NNXi=1git（bzit）bγib′i，b∑γ，t=NNXi=1g（bzit）bγib′i，（2.15）其中buit=（x′it，bf′，bf′，bf′，bf′，bf′t=yit）-Gε（w）]Gε（w）[1-Gε（w）]Gε（w）和G（w）=[Gε（w）][1-Gε（w）]Gε（w）。虽然εit’s中存在弱的序列相关性或横截面相关性，但B∑θ，iandb∑u的结构需要相应地调整，这实际上是一个相当复杂的问题，即使在时间序列分析的文献中，参见范和尧（2003）的第2章。因此，当弱相关涉及（i，t）时，我们不进一步考虑这些估计量。最后，我们考虑了β0i的一种平均群类型的估计，当涉及到共生系数时，通常会对其进行研究。

传统上，具有异质系数的模型总是假设βi=β+ηi，（2.16），其中ηi.i.d.大于i，且平均值为0。被引用最多的作品之一是Pesa r an（2006）。由于ηiis仅以i为索引，因此β的估计总是以缓慢的速度实现√N.有趣的是，从准论文测试的角度来看，另一部分文献考虑了所谓的“小偏离”（例如Gon,calves，2011年的假设3和张和武，2012年的等式（3.5）），可以使用以下假设将其形式化。假设5。存在一个未知参数向量β，使得β0i=β+Nαηi，其中0≤ α ≤, ηi是一个独立且同分布（i.i.d.）的随机误差向量，E[ηi]=0，Var[ηi]=∑>0。此外，{ηi}独立于{（xit，εit，γ0i，f0t）：i≥ 1，t≥ 1}.假设5对β0i施加了一个局部版本，并缩小了通常的“偏离”形式：β0i=β+ηias，通常在相关文献中出现。如果我们考虑一个测试问题，比如H:β0i=β，那么β0i=β的选择+√Nηiis自然地被认为是一个最优收敛速度为o阶N的局部替代序列-1/2在常规参数设置中（例如，参见Dong和Gao（2018）了解关于小偏差花束的更多细节）。在接下来的内容中，我们的目标是在文学和探索的两个方面架起桥梁，在什么条件下，一个最佳的速度√这是可以实现的。这就是说，我们现在使用假设5考虑β0i的平均群类型估计。定义β=NPNi=1bβ和β=NPNi=1βi0。注意√tnα（bβ）- β) =√tnα（bβ）- β+ β- β)=√TN1-αNXi=1（bβi- βi0）+rTN√NNXi=1ηi.（2.17）方程（2.17）表明，在假设5下，可以实现快速收敛速度。取决于ρ的极限行为≡√TN1-α和ρ≡qTN，渐近分布的形式√tnα（bβ）-β） 可能取决于（2.17）的两个条款。

对于ρ→ 0，第一项对渐近分布有贡献。当ρ→ 0时，第二项主要贡献于渐近分布。在ρρ→ C∈ (0, ∞), 这两个术语都有助于形成交感分布。然而，在标准设置下的相关文献中：βi0=β+ηi，第二项总是主导渐近分布。我们现在在定理2.2中建立以下结果。定理2.2。假设1-5成立，且（N，T）→ (∞, ∞).1.考虑0的情况≤ α <. IfNα+T→ 0，nα+（bβ- β) →DN（0，∑）。考虑α=。如果→ ∞, thenN（bβ- β- 偏差（N））→DN（0，∑），其中偏差（N）=OPN.3.考虑α=。如果→ ρ ∈ (0, ∞), 然后作为（N，T）→ (∞, ∞)√nt（bβ- β- 偏差（N，T））→DN（0，∑），（2.18）式中，∑=∑+ρ∑>0，∑=limN，TNTNXi，j=1text，s=1E[git（zit）git（zjs）git（zjs）∑（dβ）u，iuitu0′js∑（dβ）′u，j]，git（·）定义在（2.15）下，∑（dβ）u，包括∑的前dβ行-定理2.2表明我们可以建立n情形的渐近分布→ρ ∈ (0, ∞]. 就TN而言→ 然而，我们无法建立Bβ的无症状分布。这是因为我们不能改进高阶项OPN∧T涉及前导阶近似：bβi- β0i=TTXt=1[yit- Gε（zit）]Gε（zit）∑（dβ）u，i[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit+OPN∧ T如定理2.2的证明开头所示。定理2.2的第一个结果表明，收敛速度可以与sn一样快-（α+）对于0的情况≤ α<nα+T→ 0.当α=0时，它会降低到相关时代确立的标准速率A（例如，见Pesaran，2006）。Reom 2.2的第三个结果表明，传统的参数Rat e of（NT）-1/2是可以实现的，但由于渐近偏差和渐近方差之间的“权衡”，存在一个偏差项。