具有交互作用的异质面板数据的二进制响应模型

因此，我们准备得出结论，bθi- θ0i=∑-1u，iA1T i+OP日志（NT）N∧ T. （A.34）通过（A.34），引理B.4和这个定理主体中的条件，定理2.1的证明。（1） 完成了。（2） 定理2.1的证明。（2） 类似于定理2.1。(1). 因此，这里省略了它。补充附录B“具有交互固定效应的异质面板数据的二元响应模型”Jiti Gao, 刘飞*, 彭斌还有Yayi Yan莫纳什大学*南开大学作为补充文件，附录B.1给出了定理2.2和定理2.3的证明。引理2.1-2.3和引理A.1的证明见附录B.2。附录B.3总结了一些次要结果。附录BB。1定理2.2和定理2.3的证明定理2.2的证明：从方程（A.34）可以得出Bβi- β0i=TTXt=1[yit-Gε（zit）]Gε（zit）∑（dβ）u，i[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit+OPN∧ T, （B.1）式中，∑（dβ）u，i对应于∑的前dβ行-因此，我们没有nxi=1bβi- β0i=NTTXt=1NXi=1[yit- Gε（zit）]Gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）∑（dβ）u，iuit+OPN∧ T=NTTXt=1NXi=1[yit- Gε（zit）]Gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）∑（dβ）u，iuit+OPN∧ T, （B.2）其中zit=x′itβ0i+λ′0ift。进一步注意，β0i=β+OPNα作为N→ ∞.为了建立定理2.2中每种情况的不对称分布，我们需要处理以下偏差项：√tnαN∧ T=最大值√TN1-α、 Nα√T（B.3）我们现在完成第2.2条的证明。让我们从定理2.2（1）的证明开始。(1). 观察0≤ α <√tnα（bβ）- β) =√tnα（bβ）- β+ β-β) =√TN1-αNXi=1（bβi- βi0）+rTN√NNXi=1ηi.（B.4）通过方程（B.2）-（B.4），我们得到α+（Bβ- β） =Nα+（bβ-β+ β- β） =N-αT√NTXt=1NXi=1[yit- Gε（zit）]Gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）∑（dβ）u，iuit+√NNXi=1ηi+OPN-α∨Nα+T！，（B.5）完成了定理2.2（i）的证明，考虑到N-α→ ∞ andNα+T→ 0 as（N，T）→(∞, ∞ ).(2)-(3).

对于α=的情况，我们有√NT（bβ- β- 偏差（N，T））=√NT（bβ-β- 偏倚（N，T）+β- β)=√NT·NNXi=1bβi-βi0-偏差（N，T）+rTN√NNXi=1ηi=√NTTXt=1NXi=1[yit- Gε（zit）]Gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）∑（dβ）u，iuit+rTN√NNXi=1ηi，（B.6），其中偏差（N，T）=OPN∧T. eq值（B.6）表明，对于qtn的每种情况，我们都有一个渐近分布→ ρ ∈ (0, ∞]. 定理2.3的证明：在不丧失一般性的情况下，我们考虑以下两种情况：情况1（过度选择），d=df+1；案例2（在选择中）的d=df- 1.从案例1开始。注意，ntnxi=1TXt=1hyit- Gε（zit）+Gε（zit）- Gε（bzdit）i=NTNXi=1TXt=1耶- Gε（zit）+NTNXi=1TXt=1hGε（zit）- Gε（bzdit）i+NTNXi=1TXt=1耶- Gε（zit）·hGε（zit）- Gε（bzdit）i.通过引理2.1，我们得到nxi=1TXt=1hGε（zit）- Gε（bzdit）i=OP√新界和（B.10）类似，我们可以在zdit的NTNXi=1TXt=1耶-Gε（zit）·hGε（zit）- Gε（zdit）i= 操作√新界.因此，简单代数表明IC（d）- IC（df）=OP√新界+ （d）- df）·ξNT√NT>0，概率接近1，给定ξNT→ ∞ 和ξNT√新界→ 0.接下来，考虑案例2。如果我们不充分指定因子的数量，那么引理2.2的概率中的NTPNi=1γ0iF′MbFFγ0i=oP（1）就不再是可实现的。在引理2.2的p屋顶上，它将产生一个不可忽略的偏差，即Ntpni=1PTt=1Gε（zit）- Gε（bzdit）.基于上述发展，结果如下。B.2引理的证明引理2.1的证明：在下面的证明中，我们提供了一个健壮的版本，其中假设F和Γ分别是T×dmax和n×dmax，其中dmax≥ DFI是用户指定的大固定常数。(1). 为了简单起见，设zit=x′itβi+γ′iftand青春痘-zit，第2.2节开头定义了zit。注意，在假设1下，我们需要研究（2.8）在zit∈ ΞNT。

此外，请注意，如果0<x，x<1，我们可以通过泰勒展开得到以下两个表达式：logx=logx+（x- x） x- （十）- x） 2（x）*), （B.7）日志（1）- x） =对数（1）- 十）- （十）- x） 一,- 十、- （十）- x） 2（1）- x+，（B.8）其中*x+位于x和x之间。我们现在准备开始调查。通过（B.7）和（B.8），写下L（β，F，Γ）- 对数L（β，F，Γ）=-NTNXi=1TXt=1（1- yit）日志[1]- Gε（zit）]- 日志1.- Gε（zit）-NTNXi=1TXt=1yit对数Gε（zit）- 对数Gε（zit）=NTNXi=1TXt=1[Gε（zit）- Gε（zit）]1- yit1- Gε（zit）+NTNXi=1TXt=1[Gε（zit）- Gε（zit）]1- yit2（1- G+it）-NTNXi=1TXt=1[Gε（zit）- Gε（zit）]·yitGε（zit）+NTNXi=1TXt=1[Gε（zit）- Gε（zit）]·yit2（G*it）=NTNXi=1TXt=1[Gε（zit）- Gε（zit）]·1.- yit1- Gε（zit）-yitGε（zit）+NTNXi=1TXt=1[Gε（zit）- Gε（zit）]·1- yit2（1- G+it）+yit2（G*it）#：：=L1NT+L2NT，（B.9）其中G*它和G+介于Gε（zit）和Gε（zit）之间，以及L1n和L2n的定义。我们分别考虑L1NT和L2n，然后从L1NT开始。回想一下，我们对上述假设2进行了定义。然后考虑“maxzit\'s”NTNXi=1TXt=1Gε（zit）eit#≤ Emaxzit\'s，zjs\'sNTNXi，j=1TXt，s=1Gε（zit）Gε（zjs）eitejs≤ Emaxzit\'s，zjs\'sNTNXi，j=1TXt，s=1Gε（zit）Gε（zjs）·E[eitejs | zit，zjs]|≤NTNXi，j=1TXt，s=1E[|E[eitejs | zit，zjs]|]=O新界,其中第三个不等式来自Gε（·）≤ 1一致，最后一个等式来自假设1。因此，很容易知道|L1NT |=OP√新界. （B.10）我们接下来研究L2NT。

WriteL=NTNXi=1TXt=1[Gε（zit）- Gε（zit）]·1- yit2（1- G+it）+yit2（G*（它）#≥NTNXi=1TXt=1[Gε（zit）- Gε（zit）·（1）- yit4[1+（G+it）]+yit2（G*是的≥NTNXi=1TXt=1[Gε（zit）- Gε（zit）]·1.- yit4·2+yit≥·NTNXi=1TXt=1[Gε（zit）- Gε（zit）]，其中等式中的第一项来自（a+b）≥2a+2b因为（a+b）≤ 2a+2b，第二个不等式源于G*它和G+介于Gε（zit）和Gε（zit）之间，第三个质量如下1-yit4·2+yit≥因为只需要输入1或0的值。事实上≥ 对数L（B，F，Γ）-logl（bB，bF，bΓ）和（b.9）和（b.10），我们现在可以得出ntnxi=1TXt=1[Gε（bzit）- Gε（zit）=OP√新界,这就完成了这个引理第一个结果的证明。引理2.2的证明：同样，在下面的证明中，我们提供了一个健壮的版本，其中假设F和Γ分别是T×dmax和N×dmax，其中dmax≥ DFI是用户指定的大固定常数。(1). 首先，请注意，使用假设2.2，我们可以编写nxi=1vec（Z′iMFZi）=NTNXi=1（Z′i）Z′i）vec（MF）=NTNXi=1E[Z′i Z′i]vec（MF）·（1+oP（1）），ntnxi=1（β0i）- βi′XiMFFγi=NTNXi=1γ′i [（β0i- βi′X′i]vec（MFF）=NTNXi=1E[γ′i （（β0i）- βi′X′i）]vec（MFF）·（1+oP（1））。然后我们再次让zit=x′itβi+γ′ift，并将writeNTNXi=1TXt=1[Gε（zit）- Gε（zit）]=NTNXi=1TXt=1[Gε（z+it）zit]=NTNXi=1[GiXi（βi-β0i）+Gi（Fγi- Fγ0i）]′[GiXi（βi- β0i）+Gi（Fγi- Fγ0i）]≥aNTNTNXi=1[Xi（βi- β0i）+（Fγi-Fγ0i）]′[Xi（βi- β0i）+（Fγi- Fγ0i）]≥aNTNTNXi=1[Xi（β0i- βi）+Fγ0i]′MF[Xi（β0i- βi）+Fγ0i]=aNTNTNXi=1（β0i）- βi′Ai（β0i）- βi）+η′Biη+（β0i-βi）′C′iη+ oP（aNT），（B.11），其中Gi=diaggε（z+i1）。

，gε（z+iT）对于每个（i，t），z+在zit和zit之间，Ai=E[X′iMFXi|F]，Bi=E[γ0iγ′0i] IT，Ci=E[γ0i （MFXi）| F]，η=vec（MFF），第一个等式遵循假设2.1，第三个等式遵循假设开始时指出的这两个等式。请注意，除了额外的术语aNT，对于每个i，（B.11）的右侧具有与inBai（2009，第1265-1266页）相同的形式。结合引理2.1和假设2，我们可以得出NPNi=1kbβi的结论- β0ik=oP（1）。(2). 建立第二个结果后，我们将（B.11）写成如下。NTNXi=1TXt=1[Gε（bzit）- Gε（zit）]≥aNTNTNXi=1hXi（bβi- β0i）+（bF bγi- Fγ0i）i′hXi（bβi- β0i）+（bF bγi- Fγ0i）i=aNTNTNXi=1（bβi- β0i′X′iXi（bβi-β0i）+aNTNTNXi=1（bF bγi- Fγ0i′（bF bγi- Fγ0i）+2antnxi=1（bβi- β0i′X′i（bF bγi）- Fγ0i），（B.12）直接产生Ntnxi=1kbF Bγi- Fγ0ik=oP（1）。接下来是第二个结果。(3). 通过（B.11）和这个引理的第二个结果，我们得到了（1）=NTNXi=1γ0iF′MbFFγ0i=traceF′MbFFT·Γ′N,这与Γ′ΓN有关→假设2的P∑γ产生thatoP（1）=迹线F′MbFFT= 轨迹（F′FT-F′bFT·bF′FT）。比夫英尺→P∑对于假设2，我们可以进一步写P（1）=trace（Idf）-F′bFT·bF′FTF’FT-1） =跟踪（Idf）-bF′PFbFT）。（B.13）注意，很容易证明这一点PbF- PF= tr（PbF）- （PF）= trPbF- PbFPF- PFPbF+PF= tr[Idmax]- 2·trPbFPF+ tr以色列国防军= （dmax- df）+2·tr[Idf-bF′PFbF/T]，（B.14）与（B.13）相结合，得到第三个结果。第三个结果是让dmax=df。证据现已完成。引理2.3的证明：（1）。回想一下，对数似然函数定义为log L（Θ，F）=NXi=1TXt=1n（1- yit）日志[1]- Gε（zit）]+yitlog Gε（zit）o，其中zit=x′itβi+γ′ift。为了研究Bθi的一致一致性，我们引入了以下目标函数，用于i=1。

，N，Li（θi，F）=TXt=1n（1- yit）日志[1]- Gε（zit）]+yitlog Gε（zit）o.为了表示法的适用性，我们表示lit（zit）=（1-yit）日志[1]- Gε（zit）]+yitlog Gε（zit）。通过定义lit（zit）和Li（θi，F），我们可以观察到log L（Θ，F）=PNi=1Li（θi，F）=PNi=1pt=1lit（zit）。在我们进行一致一致性证明之前，我们首先研究kbθi- θi0k=oP（1）对于每个i.为了建立bθi的一致性，必须证明li（θ0i，F）- Li（bθi，bF）≤ 0，（B.15），概率接近1，然后我们可以使用类似于引理2.2证明中的参数来证明kbθi-θi0k=oP（1）。我们首先重新编写BΘ和BF的一阶条件（FOC）。回想一下，我们有以下条件f orbΘ和bf： 日志L（bΘ，bF）θi=0， 日志L（bΘ，bF）ft=0，对于t=1，T它相当于haveTXt=1l（1）It（bzit）xit=0，TXt=1l（1）It（bzit）bft=0，NXi=1l（1）It（bzit）bγi=0，其中l（1）It（zit）=[yit-Gε（zit）]Gε（zit）[1-Gε（zit）]Gε（zit）是lit（zit）的第一个动词。通过泰勒展开，我们得到了（θ0i，F）- Li（bθi，bF）=TXt=1lit（zit）-TXt=1lit（bzit）=TXt=1l（1）it（bzit）（zit）- bzit）+TXt=1l（2）it（˙zit）（zit）- bzit），（B.16），其中l（2）it（zit）是lit（zit）的二阶导数，并且˙zit位于zit和bzit之间。

对于（B.16）右侧的第一项，TXt=1l（1）it（bzit）（zit）- bzit）=TXt=1l（1）it（bzit）x′it（β0i-bβi）+TXt=1l（1）it（bzit）γ′0if0t-TXt=1l（1）it（bzit）bγ′ibft=TXt=1l（1）it（bzit）γ′0if0t=TXt=1l（1）it（bzit）γ′0i（f0t）-bft）≤TXt=1kg（1）it（bzit）γ0ik·TXt=1kf0t-bftk！=oP（T），（B.17），其中第二和第三个等式由FOC保持；这个不平等是由柯西-施瓦辛格等式决定的，最后一个等式是由事实决定的男朋友- F= 由引理2.2和假设3所暗示的oP（T）。对于（B.16）右侧的第二项，TXt=1l（2）it（˙zit）（zit）- bzit）=TXt=1l（2）it（˙zit）（x′it（β0i）-bβi）+f′0t（γ0i）- bγi）+γ′0i（f0t-bft）+（γ0i- bγi′（f0t-bft=TXt=1l（2）it（˙zit）[x′it（bβi- βi0）+f′t0（bγi- γi0）]+oP（T）=TXt=1l（2）it（˙zit）[u0′it（bθi- θ0i）]+oP（T），（B.18），其中第二个等式h由以下事实决定：男朋友- F= oP（T）。通过（B.16），（B.17），（B.18）和假设3中一致约束二阶导数的条件，我们得到（B.15）成立。有了（B.15），我们可以遵循引理2.1和引理2.2的证明来证明kbθi- θ0ik=oP（1）对于每个i。由于参数类似但繁琐，我们在这里省略它的证明。我们现在开始证明联合国的一致性：max1≤我≤Nkbθi-θ0ik=oP（1）。回想一下，我们在引理2.2中建立了建议的估计量的一致性。从（B.11）和（B.12）的导数以及条件√NT/日志（NT）→ ∞ 在假设3中，我们实际上可以bΘ- Θ= oP日志（N T）,T男朋友- F= oP日志（NT）.因此，在不损失一般性的情况下，我们只需要讨论（θi，F）的性质，其中kf- Fk≤ C√T/log（nt），c为任意小正数。定义以下参数集：Bθ，i={θi:kθi- θ0ik≤ Δθ}，BF={F:kF- Fk≤ C√T/log（nt）}。在不丧失普遍性的情况下，我们定义了Bcθ，i={θi:Δθ<kθi- θ0ik≤ Cδ}，其中Cδ是一个正的、足够大但有限的数。

我们想证明，对于任何给定的Δθ>0，以下集合变为零的概率：maxikbθi- θ0ik>Δθ，bF∈ 男朋友=Ni、 bθi∈ Bcθ，i，bF∈ BFoi和θi∈ Bcθ，i，F∈ BF，s.t.TLi（θi，F）≥TLi（θ0i，F）.通过泰勒展开，我们得到了（θi，F）-TLi（θ0i，F）=TTXt=1lit（zit）-TTXt=1lit（zit）=TTXt=1l（1）it（zit）（zit）- zit）+2TTXt=1l（2）it（¨zit）（zit）- 青春痘），（B.19）青春痘位于青春痘和青春痘之间。对于（B.19）右侧的第一项，TTXt=1l（1）it（zit）（zit- zit=TTXt=1l（1）it（zit）（x′it（βi- β0i）+γ′ift- γ′0if0t）=TTXt=1l（1）it（zit）（u0′it（θi）- θ0i）+γ′0i（ft- f0t）+（γi- γ0i′（ft- f0t））=TTXt=1l（1）it（zit）u0′it（θi- θ0i）+TTXt=1l（1）it（zit）u0′itγ′0i（ft- f0t）+TTXt=1l（1）it（zit）（英尺）- f0t）′（γi- γ0i）：=eL1i+eL2i+eL3i。（B.20）对于（B.19）右侧的第二项，2TTXt=1l（2）it（¨zit）（zit）- zit=2TTXt=1l（2）it（¨zit）（u0′it（θi- θ0i）+γ′0i（ft- f0t）+（γi- γ0i′（ft- f0t））=2TTXt=1l（2）it（¨zit）（u0′it（θi）- θ0i））+2TTXt=1l（2）it（¨zit）（γ′0i（ft）- f0t））+2TTXt=1l（2）it（¨zit）（（γi）- γ0i′（ft- f0t））+TTXt=1l（2）it（¨zit）u0′it（θi）- θ0i）γ′0i（ft-f0t）+TTXt=1l（2）it（¨zit）u0′it（θi）- θ0i）（γi- γ0i′（ft- f0t）+TTXt=1l（2）it（¨zit）γ′0i（ft- f0t）（γi- γ0i′（ft- f0t）=eL4i+·eL9i。（B.21）对于L4i，通过假设3，我们可以为i和dθi均匀地找到一个正整数M∈ Bcθ，isuchth，Pmax1≤我≤NeL4i≤ -MΔθ→ 1，作为N，T→ ∞.例如，eL9i，s因为c可以被选择为任意小，并且通过假设3，我们总是可以找到一个值c>0，这样对于F∈ 在概率接近1时，下列不等式成立：≤我≤N | eL5i |<MΔθ，max1≤我≤N | eL6i |<MΔθ，max1≤我≤N | eL7i |<MΔθ，max1≤我≤N | eL8i |<MΔθ和max1≤我≤N | eL9i |<MΔθ。

在一般情况下，我们可以找到c>0和0<M<∞ 对于θi∈ Bcθ，i和F∈ BFPmax1≤我≤N（eL4i+·eL9i）<-MΔθ→ 1，（B.22）作为N，T→ ∞.因此，通过（B.20），（B.21）和（B.22），我们可以i和θi∈ Bcθ，i，F∈ BF，s.t.TLi（θi，F）≥TLi（θi0，F）≤ Pi和θi∈ Bcθ，i，F∈ BF，s.t.eL1i+·eL9i≥ 0≤ Pi和θi∈ Bcθ，i，F∈ BF，s.t.eL1i+eL2i+eL3i≥MΔθ+Pmax1≤我≤N、 θi/∈Bθ，i，F∈BF（eL4i+·eL9i）≥ -MΔθ≤NXi=1PeL1i+eL2i+eL3i≥MΔθ|θi∈ Bcθ，i，F∈ 男朋友+ o（1）≤NXi=1P|eL1i|≥MΔθ|θi∈ Bcθ，i，F∈ 男朋友+NXi=1P|eL2i|≥MΔθ|θi∈ Bcθ，i，F∈ 男朋友+NXi=1P|eL3i|≥MΔθ|θi∈ Bcθ，i，F∈ 男朋友+ o（1）。（B.23）首先，回想一下，l（1）it（zit）=[yit-Gε（zit）]Gε（zit）[1-Gε（zit）]Gε（zit）=-gε（zit）eit，其中eit=-[耶-Gε（zit）][1-Gε（zit）]Gε（zit）。我们可以观察到E[eL1i | W]=0，对于θi∈ Bcθ，i和F∈ BF，NXi=1P|eL1i|≥MΔθ=NXi=1PTTXt=1gε（zit）eituit≥Mδθ18Cδ！≤NXi=1E[kT-1PTt=1gε（zit）eituitk2+δ*]M2+δ**= ONT1+δ*/4.,我在哪里*=Mδθ18Cδ，切比雪夫等式中的不等式和Lemm a B.1中的第二等式。在假设1+δ的情况下*/4.→ 0，我们有nxi=1P|eL1i|≥MΔθ|θi∈ Bcθ，i，F∈ 男朋友= o（1）。（B.24）根据（B.24）证明中的类似论点，我们可以证明nxi=1P|eL2i|≥MΔθ|θi∈ Bcθ，i，F∈ 男朋友= o（1），（B.25）和nxi=1P|eL3i|≥MΔθ|θi∈ Bcθ，i，F∈ 男朋友= o（1）。（B.26）由（B.23）、（B.25）及（B.26）删去，Pi和θi∈ Bcθ，i，F∈ BF，s.t.TLi（θi，F）≥TLi（θi0，F）= o（1），因此它立即产生max1≤我≤Nkbθi-θ0ik=oP（1），如本节开头所述。(2). 对于一致一致性max1≤T≤Tkbft-f0tk=oP（1），我们可以按照类似的argum ents来显示这个结果。因此，引理2.3的证明。（2） 省略了。(3)-(4).

在下面的证明中，我们找到了BΘv的表达式-Θ0bfv-来自FOCs的F0V。在推导出它们的前导项之后，我们可以计算npni=1kbθi的收敛速度-θ0ikandTPTt=1kbft- f0tk。根据附录A.2中定义的“驱动”符号，我们准备继续对BΘv进行推导- Θ0bfv- F0v。从bΘ的FOCs出发，我们在（Θ，F），0=T处取L（Θ，F）的泰勒展开式 日志L（bΘ，bF）Θv=T 对数L（Θ，F）Θv+T对数L（Θ，F）ΘvΘ′v（bΘv- Θ0v）+T对数L（Θ，F）ΘvF′v（bFv）- F0v）+QNT，（B.27），其中QNT包含泰勒展开残差：QNT=（Q′T，1，··，Q′T，N），qt i:=Tdβ+dfXl=1对数L（˙Θ，˙F）θiθ′iθil（bθi）- θ0i）（bθil- θ0il）+TTXt=1dfXr=1对数L（˙Θ，˙F）θiθ′iftr（bθi）- θ0i）（bftr- f0tr）+TTXt=1dfXr=1对数L（˙Θ，˙F）θif\'tftr（bft- f0t）（bftr- f0tr），（B.28）和（˙Θ，F）介于（BΘ，bF）和（Θ，F）之间。然后我们继续查找前导项inT对数L（Θ，F）ΘvΘ′v.回想一下对数L（Θ，F）ΘvΘ′vis ablock对角矩阵的第i对角块为对数L（Θ，F）θiθ′i=-∑u，i-TTXt=1[gε（zit）][1- Gε（zit）]Gε（zit）uitu0\'it- ∑u，i+TTXt=1[yit-Gε（zit）]G（1）ε（zit）[1- Gε（zit）[Gε（zit）]uitu0′it+TTXt=1[yit- Gε（zit）][Gε（zit）][1- 2Gε（zit）[1- Gε（zit）[Gε（zit）]uitu0′it=-∑u，i+c1ti+c2ti+c3ti.表示Ohmu、 CNT，1，CNT，2和CNT，3 to be N（dβ+df）×N（dβ+df）块对角矩阵，每个矩阵中有N个对角块，以及Ohmu、 CNT，1，CNT，2和CNT，3分别为∑u，i，c1ti，c2ti和c3ti。有了这个符号，我们就没有了对数L（Θ，F）ΘvΘ′v=-Ohmu+CNT，1+CNT，2+CNT，3。（B.29）对于对数L（Θ，F）ΘvF′v，我们表示Ohmuγ是具有N×T块结构的N（dβ+df）×T df矩阵，其（i，T）-th块是Ohmuγ，it=Eh[gε（zit）][1-Gε（zit）]Gε（zit）uitγ′0ii。