具有交互作用的异质面板数据的二进制响应模型

写√NT（bβbc）- β) = 3√NT（bβ- β) -√p（N/2）T（bβS）- β) -√p（N/2）T（bβS）- β)-√pN（T/2）（bβ-Sodd）- β) -√pN（T/2）（bβ7）- β).直接计算表明√NT（bβbc）- β） =n√NTNXi=1text=1wit- 3rNTBias-3rTNBias-√p（N/2）TXi∈STXt=1wit-rN/2T偏差-sTN/2Bias-√p（N/2）TXi∈STXt=1wit-rN/2T偏差-sTN/2Bias-√pN（T/2）NXi=1Xt∈索德维特-sNT/2Bias-rT/2N偏差-√pN（T/2）NXi=1Xt∈塞文威特-sNT/2Bias-rT/2NBias！o=n√NTNXi=1text=1wit-rNT3偏见-偏见-偏见- 偏见- 偏见-rTN3偏见- 偏见- 偏见-偏见-偏见o=√NTNXi=1text=1wit。因此，偏见消失了。A.4平均部分效应我们现在考虑基于二元模型（2.1）的平均部分效应（APE）估计。Letxit，kandβ0i，kbe分别是xit和β0i的K元素。Yitc的条件概率的样本版本可定义为i、 k=TTXt=1g（zit）β0i，k。利用第2节的（bB，bF，bΓ），我们可以估计我=(i、 1，i、 dβ′）如下所示。Bi=TTXt=1g（bzit）bβi。那么下面的结果立即成立。引理A.1。在假设1-3下，as（N，T）→ (∞, ∞), 马克西≥1kb我- ik=oP（1）。以类似于定理2.2的方式，可以建立B的渐近正态性i在附加条件下。由于这不是本文的主要关注点，我们不再对其进行进一步研究，并请感兴趣的读者参考Chen、Fern’an dez Val和Weidner（2021）对体育的广泛讨论。A.5定理2.1的证明定理2.1的证明：（1）我们已经建立了Bθiandbftin引理2.3的一致性，由于页面限制，其证明在联机补充附录B中提供。在假设4中，通过对误差项的弱横截面相关性和时间序列相关性的附加条件，我们可以建立√T-bθi的一致性√这个定理的N-一致性。回想一下bΘv=（bθ′，··，bθ′N′）和bfv=（bf′，··，bf′T′）。

在引理2.3的证明中，我们可以遵循类似的论点，来证明单个估计量sbθiandbft:kθi的以下收敛速度- θ0ik=OP√N∧√T, kbft- f0tk=OP√N∧√T. （A.3）对于每个i=1，N和t=1，T因此，我们需要进一步证明kθi-θ0ik=OP√T和kbft-f0tk=OP√N.首先，回想一下，我们有附录A.2中定义的对数似然函数的最新导数。我们首先推导出bβi中的主导项- β0ifrom 对数L（Θ，F）θi.对于 对数L（Θ，F）θi，扭转条件意味着0=TTXt=1[yit- Gε（bzit）]Gε（bzit）[1- Gε（bzit）]Gε（bzit）buit=TTXt=1耶- Gε（zit）gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit+TTXt=1（[yit- Gε（bzit）]Gε（bzit）[1- Gε（bzit）]Gε（bzit）buit-耶- Gε（zit）gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit）：=a1ti+a2ti，（A.4），其中A1T主要取决于zit和uit的统计行为。现在我们继续2ti，对于2ti，我们有2ti=TTXt=1a-1ita*2，it+TTXt=1（a+-1它- A.-1）a*2，it，=a3ti+a4ti，（A.5），其中ait=[1- Gε（zit）[Gε（zit）]，a+it=[1- Gε（zit）]Gε（zit）[1- Gε（bzit）]Gε（bzit），a*2.it=[yit]-Gε（bzit）]Gε（bzit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）buit-[耶- Gε（zit）]G（zit）[1- Gε（bzit）]Gε（bzit）uit。其中，ait是实值zit的函数，因此我们对a的收敛性感兴趣*2、它和一个+它。

我们通过查看*2、它和书写*2，它=-[Gε（bzit）- Gε（zit）]Gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit+[yit- Gε（zit）[Gε（bzit）- gε（zit）][1- Gε（zit）]Gε（zit）uit+[yit- Gε（zit）]Gε（zit）[Gε（bzit）- Gε（zit）]Gε（zit）uit-[耶- Gε（zit）]Gε（zit）[1- Gε（zit）[Gε（bzit）- Gε（zit）]uit+[yit- Gε（zit）]Gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）（buit- （美国）-[Gε（bzit）- Gε（zit）[Gε（bzit）- gε（zit）][1- Gε（zit）]Gε（zit）uit-[Gε（bzit）- Gε（zit）]Gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）（buit- uit）+[yit- Gε（zit）[Gε（bzit）- gε（zit）][1- Gε（zit）]Gε（zit）（buit- uit）+[yit- Gε（zit）]Gε（zit）[Gε（bzit）- Gε（zit）]uit-[Gε（bzit）- Gε（zit）[Gε（bzit）- gε（zit）][1- Gε（zit）]Gε（zit）（buit- uit）：=a（1）*2，it+··+a（10）*2.it，其中a的定义（1）*2，itto a（10）*这是显而易见的。下面，我们逐一检查右手边的术语。a（1）*2，它由泰勒展开式写成（1）*2，它=-gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit（bzit- 青春痘）-g（1）ε（˙zit）gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit（bzit- 青春痘）：=a（1）*21，it+a（1）*22.它，其中˙zit位于BZit和zit之间，以及a（1）的定义*21、itand a（1）*22.这是显而易见的。注意，对于a（1）*21，it，我们有text=1a-1ita（1）*21，它=-TTXt=1gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit（bzit- 青春痘）=-TTXt=1gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitx′it（bβi- β0i）-TTXt=1gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit（bγ′ibft- γ′0if0t）=-TTXt=1gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitu0′it（bθi- θ0i）-TTXt=1gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitγ′0i（bft-f0t）-TTXt=1gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit（bγi- γ0i′（bft）- f0t）=-TTXt=1gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitu0′it（bθi- θ0i）-TTXt=1gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitγ′0i（bft-f0t）+OPN∧ T,最后一个平等的地方，因为TTXt=1gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit（bγi- γ0i′（bft）- f0t）≤ kbγi- γ0ik×（TTXt=1gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit)·（TTXt=1bft- f0t)= 操作N∧ T,其中我们使用了柯西-施瓦兹不等式和引理2.3。

此外，通过引理2.3和（A.3），我们得到了ttxt=1gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitu0′it（bθi- θ0i）=∑u，i（bθi- θ0i）+OPp（N）∧ T）T！。因此，我们得到TTxt=1a-1ita（1）*21，它=-∑u，i（bθi）- θ0i）-TTXt=1gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitγ′0i（bft- f0t）+OPN∧ T. （A.6）对于A（1）*22，it，TTXt=1a-1ita（1）*22，它=-TTXt=1g（1）ε（˙zit）gε（zit）2[1]- Gε（zit）]Gε（zit）uit（bzit- 青春痘）=-TTXt=1g（1）ε（˙zit）gε（zit）2[1]- Gε（zit）]Gε（zit）uit（u0′it（bθi- θ0i）+γ′0i（bft）- f0t）+（bγi- γ0i′（bft）- f0t））=-TTXt=1g（1）ε（˙zit）gε（zit）2[1]- Gε（zit）]Gε（zit）uit（u0′it（bθi- θ0i）-TTXt=1g（1）ε（˙zit）gε（zit）2[1]- Gε（zit）]Gε（zit）uit（γ′0i（bft- f0t）-TTXt=1g（1）ε（˙zit）gε（zit）2[1]- Gε（zit）]Gε（zit）uit（（bγi- γ0i′（bft）-f0t））+相互作用项。（A.7）对于（A.7）右边的相互作用项，我们可以通过柯西-施瓦兹不等式证明它们在概率上受前三项的限制。因此，省略了对它们概率顺序的证明。我们现在逐一考虑前三个术语。第一学期，TTXt=1g（1）ε（˙zit）gε（zit）2[1]- Gε（zit）]Gε（zit）uit（u0′it（bθi- θ0i）≤TTXt=1g（1）ε（˙zit）gε（zit）2[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit· 库伊特· kbθi- θ0ik=OPkbθi- θ0ik, （A.8）假设3中的等式成立。对于（A.7）右侧的第二项，TTXt=1g（1）ε（˙zit）gε（zit）2[1]- Gε（zit）]Gε（zit）uit（γ′0i（bft- f0t）≤ OP（log（nt））·TTXt=1kbft- f0tk=OP日志（NT）N∧ T, （A.9）假设3中的不等式成立，引理2.3中的等式成立。对于（A.7）右边的第三项，根据假设3和引理2.3，TTXt=1g（1）ε（˙zit）gε（zit）2[1]- Gε（zit）]Gε（zit）uit（（bγi- γ0i′（bft）- f0t）≤ OP（log（NT））·kbγi- γ0ik·TTXt=1kbft- f0tk=oP日志∧ T. （A.10）由（A.8）、（A.9）及（A.10）取代，TTXt=1a-1ita（1）*22，它=-TTXt=1g（1）ε（˙zit）gε（zit）2[1]- Gε（zit）]Gε（zit）uit（bzit- 青春痘）=OP日志（NT）N∧ T.

（A.11）通过（A.6）和（A.11），我们得到了text=1a-1ita（1）*2，它=-∑u，i（bθi）- θ0i）-TTXt=1gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitγ′0i（bft- f0t）+OP日志∧ T. （A.12）在获得A（1）中的前导项后*2，它，我们继续（2）*2.它。a（2）*通过泰勒展开，我们得到了一个（2）*2.it=[yit]- Gε（zit）]G（1）ε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit（bzit- 青春痘）+[yit- Gε（zit）]G（2）ε（¨zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit（bzit- 青春痘）：=a（2）*21，it+a（2）*22.它，其中–zit位于BZIT和zit之间，以及a（2）的定义*21，itare a（2）*22.这是显而易见的。a（2）*21，it，writetText=1a-1 TA（2）*21，it=TTXt=1[是- Gε（zit）]G（1）ε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit（bzit- zit）=TTXt=1[yit- Gε（zit）]G（1）ε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitu0′it（bθi- θ0i）+TTXt=1[yit- Gε（zit）]G（1）ε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitγ′0i（bft- f0t）+TTXt=1[yit- Gε（zit）]G（1）ε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit（bγi- γ0i′（bft）- f0t）。（A.13）回想一下eit=yit-Gε（zit）[1-Gε（zit）]Gε（zit）。对于（A.13）中的第一个术语，请注意e“TTXt=1[yit- Gε（zit）]G（1）ε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitu0′it#=0。此外，我们还有TTXt=1[yit-Gε（zit）]G（1）ε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitu0′it≤ O（1）TTXt=1TXs=1E[kuitk·kuisk·E[eiteis | wit，wis]]≤cδTTXt=1TXs=1E库伊特·库伊斯·αⅡ（|t- s |）δ/（4+δ）Eh | eit | 2+δ/2 | Wi2/（4+δ）Eh | eis | 2+δ/2 | Wi2/（4+δ）= OT, （A.14）式中，cδ=（4+δ）/δ·2（4+2δ）/（4+δ），第二个不等式由α混合过程的达维多夫不等式（见Bosq，2012年第19-20页）和W={wit，i，t≥ 1} ，EIS是α-混合，因为ε是α-混合，在假设3下依赖于W，我们首先调用εi上的α-混合条件。最后一个等式由假设3中α-混合系数的矩条件和条件成立。

通过（A.14），TTXt=1[yit- Gε（zit）]G（1）ε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitu0′it=OP√T,与（A.3）相关的结果是，ttxt=1[yit- Gε（zit）]G（1）ε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitu0′it（bθi- θ0i）=OPp（N∧ T）T！。因此，我们知道（A.13）中的第一项是oP(√T） 。对于（A.13）中的第三项，由Lemm A 2.3，（A.3）和Cauchy-Schwarz不等式得出TTXt=1[yit- Gε（zit）]G（1）ε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit（bγi- γ0i′（bft）- f0t）≤TTXt=1[耶- Gε（zit）]G（1）ε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit· kbγi- γ0ik·（TTXt=1kbft- f0tk）=OPN∧ T.因此，我们有TTxt=1a-1 TA（2）*21，it=TTXt=1[是- Gε（zit）]G（1）ε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitγ′0i（bft- f0t）+OPN∧ T. （A.15）对于A（2）*22，it，TTXt=1a-1 TA（2）*22，it=2TTXt=1[yit- Gε（zit）]G（2）ε（¨zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit（bzit- zit）=2TTXt=1[yit- Gε（zit）]G（2）ε（¨zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit（u0′it（bθi- θ0i））+2TTXt=1[yit- Gε（zit）]G（2）ε（¨zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit（γ′0i（bft- f0t））+2TTXt=1[yit- Gε（zit）]G（2）ε（¨zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit（（bγi- γ0i′（bft）- f0t））+相互作用项。（A.16）使用Cauchy-Schwarz不等式，我们可以证明相互作用项在概率上受（A.16）右侧前三项的限制。因此，我们只考虑前三项。回想一下，eit=-[耶-Gε（zit）][1-Gε（zit）]Gε（zit）。第一学期，2TTXt=1[yit- Gε（zit）]G（2）ε（¨zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit（u0′it（bθi- θ0i）≤2TTXt=1keitk·kg（2）ε（¨zit）k·kuitk·kbθi- θ0ik≤2TXT=1ETT！TXt=1g（2）ε（¨zit）·库伊特！·kbθi- θ0ik=OP（kbθi- θ0ik）。（A.17）第二个不等式由假设3和柯西-施瓦兹不等式成立。与（A.17）类似，我们可以计算（A.16）右边第二项和第三项的概率阶，它们是OP日志（NT）N∧T和oP日志（NT）N∧T, 分别地因此，我们可以得到a（2）的以下结果*22.它。TTXt=1a-1 TA（2）*22，it=OP（kbθi- θ0ik）+OP日志（NT）N∧ T.

（A.18）由（A.15）及（A.18）取代，TTXt=1a-1 TA（2）*2，it=TTXt=1[yit- Gε（zit）]G（1）ε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitγ′0i（bft- f0t）+OP（kbθi- θ0ik）+OP日志（NT）N∧ T.（A.19）在现阶段，我们获得了A（1）中的领先条件*2、itand a（2）*2.它。按照与这两个项类似的论证，我们可以导出a（3）的前导项*2、itand a（4）*2.它。因此，我们省略了证明，直接提供结果：TTXt=1a-1 TA（3）*2，it=TTXt=1[yit- Gε（zit）][Gε（zit）][1- Gε（zit）]Gε（zit）uitγ′0i（bft-f0t）+OP（kbθi- θ0ik）+OP日志（NT）N∧ T,TTXt=1a-1 TA（4）*2，它=-TTXt=1[yit- Gε（zit）][Gε（zit）][1- Gε（zit）[Gε（zit）]uitγ′0i（bft- f0t）+OP（kbθi- θ0ik）+OP日志∧ T.（A.20）对于A（5）*2，它，回想一下，我们有uit=（x′it，f′0t′）和buit=（x′it，bf′t′，我们得到了ttxt=1a-1 TA（5）*2，it=TTXt=1[yit- Gε（zit）]Gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）（buit- uit）=TTXt=1[yit- Gε（zit）]Gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）（0′dβ，（bft- f0t）′）。（A.21）对于A（6）*2，它由泰勒展开式写成（6）*2，它=-[Gε（bzit）- Gε（zit）[Gε（bzit）- gε（zit）][1- Gε（zit）]Gε（zit）uit=-gε（z+it）g（1）ε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit（bzit- zit），其中z+Itan和z位于BZit和zit之间。然后通过L emma 2.3和（A.3），我们得到了ttxt=1a-1 TA（6）*2，它=-TTXt=1gε（z+it）g（1）ε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uit（bzit- zit）=OP（kbθi- θ0ik）+OPTkbF- Fk= 操作日志（NT）N∧ T. （A.22）带有A（7）的术语的推导*2，it，a（8）*2，it，a（9）*2、itand a（10）*它是类似的，我们可以通过泰勒展开式，艾玛2.3和（A.3）很容易地表示出来。因此，这些术语的详细证明被省略，我们在这里直接列出结果d：TTXt=1a-1ita（j）*2，it=OP（kbθi）-θ0ik）+OP日志（NT）N∧ T, （A.23）对于j=7,8,9,10。我们已经完成了这十个术语的所有推导*2.它和我们已经准备好将它们中的主要术语结合起来。

通过（A.12），（A.19），（A.20），（A.21），（A.22）和（A.23），我们得到了a3ti=TTXt=1a-1ita*2，它=-∑u，i（bθi）- θ0i）-TTXt=1gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitγ′0i（bft- f0t）+TTXt=1[yit- Gε（zit）]G（1）ε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitγ′0i（bft- f0t）+TTXt=1[yit- Gε（zit）][Gε（zit）][1- Gε（zit）]Gε（zit）uitγ′0i（bft- f0t）-TTXt=1[yit- Gε（zit）][Gε（zit）][1- Gε（zit）[Gε（zit）]uitγ′0i（bft- f0t）+TTXt=1[yit- Gε（zit）]Gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）（0′dβ，（bft- f0t）′）+OP日志（NT）N∧ T.然后我们用一个4T i.注意A+它- 美国在台协会=[1]- Gε（zit）]Gε（zit）[1 - Gε（bzit）]Gε（bzit）- [1 - Gε（zit）[Gε（zit）]= -[1 - Gε（zit）【Gε（zit）】【G（bzit）- G（青春痘）+[1- Gε（zit）]Gε（zit）[G（bzit）- G（青春痘）]-[1 - Gε（zit）]Gε（zit）[G（bzit）- G（青春痘）]。然后通过泰勒展开和引理2.3，TTXt=1（a+-1它- A.-1）a（1）*2，它=-TTXt=1a+-1ita-1它（a+它- 美国在台协会a（1）*2，它=-TTXt=1a+-1it[Gε（bzit）- Gε（zit）]Gε（zit）Gε（zit）uit+TTXt=1a+-1it[Gε（bzit）- Gε（zit）][1- Gε（zit）]Gε（zit）uit-TTXt=1a+-1it[Gε（bzit）- Gε（zit）]Gε（zit）uit+OPN∧ T= -TTXt=1a+-1itGε（zit）[gε（z+it）]gε（zit）uit（bzit- zit）+TTXt=1a+-1它[1- Gε（zit）[Gε（z+it）]Gε（zit）uit（bzit- 青春痘）-TTXt=1a+-1it[gε（z+it）]gε（zit）uit（bzit- 青春痘N∧ T= 操作N∧ T.根据类似的论证，我们可以用T表示静止项-1PTt=1（a+-1它-A.-1）a*2、订单OP的可执行性反弹N∧T. 因此，A4T i=OPN∧ T. （A.24）在完成关于A3T和A4T i的讨论后，我们导出了A2T i中的主导项，所有这些都依赖于BFT的收敛性- f0t。由于A1T只包含有助于CLT的实际值，我们将其留作进一步讨论。

通过（A.4），（A.5），（A.12）和（A.24），我们得到了bθi- θ0i=∑-1u，iA1T i-T∑-1u，iTXt=1gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitγ′0i（bft- f0t）+T∑-1u，iTXt=1[yit- Gε（zit）]G（1）ε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）uitγ′0i（bft- f0t）+T∑-1u，iTXt=1[yit- Gε（zit）][Gε（zit）][1- Gε（zit）]Gε（zit）uitγ′0i（bft- f0t）-T∑-1u，iTXt=1[yit- Gε（zit）][Gε（zit）][1- Gε（zit）[Gε（zit）]uitγ′0i（bft- f0t）+T∑-1u，iTXt=1[yit- Gε（zit）]Gε（zit）[1- Gε（zit）]Gε（zit）（0′dβ，（bft- f0t）′）+OP日志（NT）N∧ T:= A5T i+···+A10T i+OP日志∧ T.我们可以用引理2.3的证明来证明这些项的收敛性。由于这些证明与Lemm a 2.3的证明类似，我们省略了一些重复的细节，以保留主要上下文的页面。我们继续推导A5T i。回想一下，我们有以下符号：Ohmu=diag（Δu，1，···，Δu，N），Ohmuγ，it=Ehgε（zit）[1-Gε（zit）]Gε（zit）uitγ′0ii，以及Ohmuγ是矩阵，其（i，t）-th块为Ohm是的。进一步设ζit=gε（zit）[1-Gε（zit）]Gε（zit）uitγ′0i- Ohmuγ和C4NTbe是矩阵，其（i，t）-th块为ζit。设Ii=（0dβ+df，··，I′dβ+df，··，0dβ+df）为N×1块矩阵，其第I块为（dβ+df）×（dβ+df）单位矩阵，其他块为（dβ+df）×（dβ+df）零矩阵。用这个符号，我们有一个i=-提伊Ohm-1uOhmuγ（bFv- F0v）-提伊Ohm-1uC4NT（bFv- F0v）=A11T i+A12T i。对于A11T i，由在线补充附录B，TI′i中的（B.64）决定Ohm-1uOhmuγ（bFv- F0v）=TI′iOhm-1uOhmuγ（PNT，1+··+PNT，6），（A.25），其中PNT，1。，PNT，6在（B.64）中定义。对于（A.25）右侧产品中的第一个术语，TI\'iOhm-1uOhmuγPNT，1=NTI′iOhm-1uOhmuγOhm-1γ· 对数L（Θ，F）Fv=NT∑-1u，iNXj=1TXt=1[yjt- Gε（zjt）]Gε（zjt）[1- Gε（zjt）]Gε（zjt）Ohmuγ，它Ohm-1γ0j=-NT∑-1u，iNXj=1TXt=1gε（zjt）Ohmuγ，它∑-1γ，tγ0jejt。首先，我们可以很容易地证明提伊Ohm-1uOhmuγPNT，1= 0

第二个时刻，E提伊Ohm-1uOhmuγPNT，1= O新界ENXj=1TXt=1gε（zjt）Ohmuγ，它∑-1γ，tγ0jejt= O新界NXj=1NXj=1TXt=1TXs=1E[kγ0jk·kγ0jk·| E[ejtejs | W]|]≤ OcδNTNXj=1NXj=1TXt=1TXs=1αjj（| t- s |）δ/（4+δ）Ekγ0jk·kγ0jk·Eh | eit | 2+δ/2 | Wi2/（4+δ）·Eh | eis | 2+δ/2 | Wi2/（4+δ）= O新界,式中cδ=（4+δ）/δ·2（4+2δ）/（4+δ）；第二个不等式由Davyd-ov关于α-混合过程的不等式成立，最后一个等式由假设3中的α-混合和矩条件成立。它立刻就产生了这种效果提伊Ohm-1uOhmuγPNT，1= 操作√新界. （A.26）类似地，我们可以这么说提伊Ohm-1uOhmuγPNT，2= 操作√新界,提伊Ohm-1uOhmuγPNT，3= 操作√新界. （A.27）我们可以在在线补充附录B的（B.60）、（B.62）和（B.72）证明中使用类似论点，以获得以下结果：提伊Ohm-1uOhmuγPNT，4= 操作√NTkbΘv- 920vk+ 操作TkbF- F0vk+ 操作NkbΘv- 920vk= 操作N∧ T, （A.28）提伊Ohm-1uOhmuγPNT，5= 操作TkbFv-F0vk+ 操作TkbF- F0vk+ 操作NkbΘv- 920vk+操作√NkbΘv- 920vk·√TkbFv- F0vk= 操作N∧ T, （A.29）和提伊Ohm-1uOhmuγPNT，6= 操作√新界+ 操作NkbΘv- 920vk+ 操作TkbFv-F0vk+操作√NkbΘv- 920vk·√TkbFv- F0vk= 操作N∧ T. （A.30）藉（A.25）、（A.26）、（A.27）、（A.28）、（A.29）及（A.30），A11T i=OPN∧ T. （A.31）对于A12T i，因为我们已经讨论了Ohm-1uC4NT（bFv- F0v）在Lemma 2.3的证明中，我们可以遵循在线补充附录B中（B.71）的证明中的类似论证，以表明A12T i=OP√新界+ 操作NkbΘv- 920vk+ 操作TkbFv- F0vk+操作√NkbΘv- 920vk·√TkbFv- F0vk= 操作N∧ T. （A.32）由（A.31）及（A.32）取代，A6T i=OPN∧ T. （A.33）对于A7T i。，A10T i，我们观察到它们与ti′i具有相同的概率顺序Ohm-1uC5NT（bFv-F0v）和ti′iOhm-1uC6NT（bFv-F0v）。与在线补充附录B中引理2.3的证明中的（B.71）类似，我们可以证明它们在概率上也是有界的N∧T.