从一群工人中招聘

让Ak，2成为选定的工人。由SM规则产生的赋值为φSM（W，qr）=[a≤里∈{1,2}Aa，即巴西赋值规则（B规则）。该规则首先确定了一个较大的数字k（大于待填补空缺的总数，但不大于| W |）。然后确定了两个组：（i）T M，这是从26名工人中挑选出的k×M少数民族的集合：T M M和| T M |=k×m 每一个w∈ T和每个w\'∈ M\\T M，我们有sw>sw′和（ii）O，这是具有顶部k（1）的集合- m） 工人是指那些在（i）中没有被选中的人，也就是说： W\\TM以至于| O |=k（1）- m） 对于每个w∈ Oand w\'∈ W \\（O）∪ 我们有sw>sw′。每轮a内≤ r、 我们有两个步骤。第1轮：步骤1.1：设O1,1=O，T M1,1=T M和q1,1=m×q. 得分最高的min{q1,1，| T M1,1 |}少数民族工人从T M1,1中选出。让1,1成为选定工人的集合。步骤1.2：设O1,2=O1,1，T M1,2=T M\\A1,1和q1,2=q- |A1,1 |。得分最高的q1,2工人从O1,2中选出。让1,2成为这组选定的工人。轮k>1：步骤k.1：让Ok，1=Ok-1,2\\Ak-1,2，tmk，1=tmk-1,2和qk，1=m×qk. 得分最高的min{qk，1，| T Mk，1 |少数民族工人从T Mk，1中选出。让Ak成为一组被选中的工人。步骤k.2：让Ok，2=Ok，1，T Mk，2=T M\\Ak，1和qk，2=qk- |Ak，1 |。得分最高的qk，2名工人从Ok，2中选出。LetAk，2是一组经过挑选的工人。由B规则产生的赋值为φB（W，qr）=[a≤里∈{1,2}Aa，即法语赋值规则（F规则）。让m成为残疾人的目标比例，让它成为公开竞争中工人的不屑回报，让sDWbe成为残疾人竞争中工人的得分回报。第一轮：策略1：设W1,1=W，M1,1=M∩ W1,1。就母猪而言，从W1,1中选择最高等级的{q1,1，| W1,1 |}工人。

让我们对所选工人集进行排序。策略2：设W1,1=W，M1,1=M。最低得分最高{(1 -m） ×q1,1, |M1,1 |工人，关于sDW，从M1,1中选择。让A1,1成为这一步中选择的一组工人。然后是得分最高的min{m×q1,1, |W1,1\\A1,1 |工人，关于母猪，从W1,1\\A1,1中选出。设A1,2为该步骤中选定的工人集，A=A1,1∪ A1,2。第k轮>第1轮：从一群工人中招聘27步k.1：让我们工作，1=工作-1,2\\Ak-1,2，T Ak，1=Sk-1i=1Ai。设qk，1=minnmaxnm×Pki=1qi- ω（tak，1），0o，|Mk，1 | o。关于sDW，得分最高的qk，1工人从Mk，1中选出。让Ak，1这一步中选择的一组工人。步骤k.2：让Wk，2=Wk，1\\Ak，1和qk，2=qk- |Ak，1 |。就母猪而言，得分最高的qk，2工人从Wk，2中选出。让Ak，2b为所选工人的集合，Ak=Ak，1∪ Ak，2岁。由F规则产生的赋值为φF（W，qr）=[a≤拉阿。证据。主张的证明1。例1表明，少数民族保护区的顺序使用既不独立，也不公平。为了确保它尊重少数民族权利，请注意，每次雇佣q族工人时，其中至少有m×q族工人。因此，在任何地点雇佣的工人中，至少有m的比例是m，因此该规则尊重少数群体的权利。理论证明1。首先，我们表明SA规则尊重少数群体的权利和公平性。根据定义，SA规则尊重少数群体权利，在每轮k的步骤k.1 o，选择少数群体工人以满足该轮的最低要求。请注意，当少数族裔员工不足时，SA会选择所有可用的少数族裔员工。现在，我们证明了这个规则是公平的。让我们≡ §SA（W，hq，…，qri）是针对问题做出的选择。

我们想为每个w，w′显示（i）∈ W\\M，如果W∈ A和w′/∈ A、 然后sw>sw′，（ii）foreach w，w′∈ M、 如果w∈ A和w′/∈ A、 然后sw>sw′。（iii）每个w∈ W\\M和W′∈ M、 如果sw<sw′和w∈ A、 然后是w′∈ A、 （iv）如果有∈ W\\M和W′∈ w为sw>sw′，w为/∈ A和w′∈ A、 然后ω（A）/|A |≤ m、 首先要注意的是，案例（i）、（ii）和（iii）在每一轮k的步骤k.1中都很简单，规则选择m中得分最高的工人，并在步骤k.2中选择得分最高的工人。为了矛盾，假设有w∈ W\\M和W′∈ M带sw>sw′，w/∈ A和w\'∈ A、 但是ω（A）/|A |>m。请注意，在k的任何一个步骤k.2都不能选择w′，因为w也会被选择。唯一选择候选W′的情况是在步骤中l.一轮l. 由于sw>sw′，w/∈ A和w′∈ A、 然后| topq（W）∩M |<M×q，其中q=Pa≤rqa。因此，在最后一轮r的步骤r.1，即雇佣分数较低的少数民族工人而不是分数较高的非少数民族工人的唯一方法是满足少数民族的要求。如前所述，工人w’是在第二步雇佣的l.一轮l, 只有少数民族才能进行选择。从一批工人中招聘28a选择，以便|（[A<ri∈{1,2}Aia）∪ Ak |=m×q.自| topq（W）∩M |<M×q，我们有∩ M=. 因此，我们得到| A∩ M |=M×q，这与我们的假设相矛盾。在下一部分中，我们需要介绍一些概念。首先，我们会说，给定一组工人W，少数民族工人M W，得分比例sW，q≥ 0和m≥ 0，一组W* 如果*满足当П尊重静态少数民族权利（定义5）时，П（W，hqi）必须满足的相同条件。

类似地，一组W* 如果W是少数民族*满足当ν是静态少数群体公平（定义6）时，（W，hqi）必须满足的相同条件。为了证明，如果一个规则是少数族裔f air，并且尊重少数族裔权利，那么它就是SA规则，我们证明，对于任何给定数量的雇佣工人q，只有一组这样规模的工人是少数族裔公平的，并且尊重少数族裔权利。引理1。对于一组给定的工人W，少数民族工人M W，得分比例W，q≥ 0和m≥ 0，在l y上存在一个集合W* 尊重少数群体权利，少数群体公平吗*| = q、 证据。首先，注意少数公平性的属性（i）意味着*它包含机顶盒ω（W*)（M） 也就是顶部ω（W*) 最高的轻蔑工人在M和设置topq-ω（W）*)（W\\M），q- ω（W）*) 在W\\M中得分最高的工人，都是在sW方面。假设t在这里是W，这是矛盾的 W和W W，其中Wand Wrespect少数民族权利和少数民族公平，|W |=|W |=q，W6=W。首先注意，如果| M |<M×q，尊重少数民族权利意味着 魔杖M 此外，少数群体公平意味着topq-|M |（W\\M） 旺托普-|M |（W\\M） 但是然后W=W，一个矛盾。因此| M |≥ m×q.接下来，注意少数公平性意味着ω（W）6=ω（W）。要看到这一点，请注意如果ω（W）=ω（W）=m*, 托普*（M） W、 topq-M*（W\\M） W、 托普*（M）W、 和topq-M*（W\\M） 但这意味着W=W，这是一个矛盾。现在假设ω（W）>ω（W），在不损失一般性的情况下。自负序性权ω（W）≥ m×q，因此ω（W）>ω（W）≥ 因此，有一个工人w*∈ W\\M以至于*∈ 魔杖w*6.∈ W、 还有一个工人W*∈ 那是什么*∈ 魔杖w*6.∈ 我们有两个案例需要考虑。首先，假设sw*> 西南*. 这将违反少数民族公平，因为m（W）>m×q和W*6.∈ W

那一定是那样*> 西南*. 但是，由于Wis少数族裔公平，条件（ii）意味着w*∈ W、 A传统。因此，我们得出结论，W6=Wis为假，证明了唯一性。从一群工人中雇佣29因为SA规则尊重少数群体的权利并且是少数群体公平的，lemma1暗示这是唯一这样的规则。Theo rem2的证据。让~n成为一个静态少数群体公平、满足静态少数群体权利、独立于集团的规则。让λ*无论雇佣顺序如何。接下来我们将对λ中的轮进行归纳*. 首先，基础hqi：从引理1开始，这里是一个独特的集合W 这是少数民族的公平和尊重少数民族的权利。和SAare均为静态少数群体，公平且尊重静态少数群体权利。因此，φ（W，hqi）=φSA（W，hqi）=W。对于诱导步骤，假设φ（W，hq，q，…，q）li） =~nSA（W，hq，q，…，qli） 。由于~n是独立于聚合的，因此以下情况是正确的：~n（W，hq，q，…，qli） =ψ（W，h qi），其中q=Pli=1qi。设H=~n（W，hqi）。此外，φ的聚合独立性意味着：φ（W，hqi）∪ ~n（西、西、总部）l+1i）=~n（W，hq+ql+1i）(*)由于~n和~nSAare均为静态少数民族，且公平且尊重静态少数民族权利，因此我们的上述主张意味着~n（W，hqi）=~nSA（W，hqi）和~n（W，hq+q）l+1i）=~nSA（W，hq+q）l+1i）。由于工人不能被雇佣超过一次，所以（W，hqi）∩ ~n（西、西、总部）l+1i）=.因此，有一个唯一的值，即φ（W，H，hql+1）这满足了平等(*)上面，这意味着ψ（W，H，hql+1i）=~nSA（西、西、总部）l+1i），因此：ψ（W，hq，q，…，ql, Ql+1i）=~nSA（W，hq，q，…，q）l, Ql+1）完成我们的证明。命题的证明2。让我们*= {w，w，w，w，w}得分sW=（50,40,30,20,10）。为了简单起见，我们将使用m=0.5。首先考虑案例M*= {w，w}。如果q=2，则φF（{W*, M*} , q） ={w，w}，这无法满足少数群体的权利。现在考虑一下M的情况*= {w，w}。

考虑两种可能性：q=q=2和q=4。然后是φF（{W*, M*} , hq，qi）={w，w，w}但аF（{w*, M*} , q） ={w，w，w，w}，违反聚合独立性。很容易看出，在给定的假设下，政策2产生的规则相当于顺序调整少数民族储备规则。因此，法国转让规则的政策2尊重少数人的权利，是聚合独立的，并且是最小公平的。从一群员工中招聘30%的员工，以证明他们的提议。我们将表明，巴西的规则尊重少数群体的权利，是独立的，但不公平。根据假设，总共雇佣的工人不超过k人。因此，对于任何一轮雇佣的q员工来说，至少应该有q×m T M和q的少数民族工人- q×m 因此，巴西人规则充当两个平行的顺序优先级规则：一个在TM中，一个在O中。因此，两者的组合显然是聚合独立的。接下来，请注意，由于对k的值的假设，| M |≥ m×Pti=1qi。而且，对于任何q∈ {q，…，qt}至少有q×m T M中的少数民族工人，ω（ω（W，hq，…，qti））≥ m×Pqiand通过对k的假设，|~n（W，hq，…，qti）|=Pqithereforeω（ω（W，hq，…，qti））/||||（W，hq，…，qti）|≥ m、 这意味着巴西人尊重少数民族的权利。最后，示例4表明该规则不是minorityfair。命题的证明。例5显示新南威尔士州的规则既不公平也不少数。

此外，由于在我们的研究结果中，我们假设男性和女性的数量始终足够大，新南威尔士州由两个平行的顺序优先雇佣（一个是正规的，另一个是女性工人）组成，因此满足了群体的独立性。最后，它尊重少数群体的权利，因为雇佣的男女工人数量始终相同。理论证明3。满足公共顶、聚合独立性和排列独立性的单优先级规则显而易见。用单个雇佣的顺序表示形式∧=h（i，1）、（i，1）、（i，1）、（i，1）的雇佣的复数顺序。i、 也就是说，任何机构在任何一轮中的每一次雇佣都只包括一名工人。权利要求1。设W是一组工人，Φ是一个满足公共顶部和排列独立性的规则。存在一个排名*在W上，使得对于任意序列的单h i环∧，Φ（W，λ）=Φ*（W，λ），其中Φ*是使用的单一优先级规则*.证据我们将通过归纳法证明雇佣人数的复数顺序。也就是说，我们将证明存在排名*, 不受其顺序的影响，即后面跟Φ作为单个优先级。在证明的剩余步骤中，给出了集合W和规则Φ，对于任意复数的hires∧序列，我们将使用符号{∧}来表示集合i∈IΦI（W，λ）。也就是说，{∧}是在雇佣顺序∧之后，由Φ下的某个机构雇佣的W中的工人的集合。由于我们将只考虑单个雇佣，我们将把雇佣的多个序列表示为机构序列，并使用hi，i。我呈现h（i，1），（i，1）。

.i.从工人池中雇佣31我们将使用（PI）表示我们使用Φ的置换独立性，（AI）表示我们使用聚合独立性，以及（CT）表示commontop。此外，我们将使用（P*）表示我们正在使用以下事实：If∧，和i∈ I是这样的：{∧}={∧}和ΦI（W，λ）=ΦI（W，λ），然后ΦI（W，h∧，ii）=ΦI（W，h∧，ii）。也就是说，如果∧和∧是这样的机构，我雇佣了同一组工人，并且在雇佣的两个复数序列中，所有雇佣之后剩余的一组工人是相同的，那么我会在∧和∧之后雇佣相同的工人。这直接来自于雇佣规则Φi的定义。入职基数入职基数是指在至少有两家机构雇佣的情况下，雇佣人数最少的情况。因此∧等于2。假设这个说法是不真实的。也就是说，可能有多个雇佣者和两个雇佣者的序列，这不能用排名来解释*超过W。这意味着有∧6=∧，其中∧=hi，ii，和{∧}6={∧}。由于雇佣顺序至少涉及两个机构，i6=i和i6=i。由于∧6=i，有两种情况需要考虑：（i）i6=i，和（ii）i6=i。考虑（i）。通过（π），{hi，ii}={hi，ii}。通过（P*），（CT）和f作用，i6=i，{hi，ii}={hi，ii}。通过（π），{hi，ii}={hi，ii}。通过（P*），（CT）和i6=i，{hi，ii}={hi，ii}的事实。但是{hi，ii}={hi，ii}，一个矛盾。对于情况（ii），（PI）意味着{hi，ii}={hi，ii}和{hi，ii}={hi，ii}，这使得这个情况等价于（i）。归纳步骤我们现在假设，对于每一个雇佣序列∧，使得∧|≤ k、 这条规定是根据排名而定的*. 我们将使用（IA）来表示我们正在使用这个假设。现在假设这个说法不成立。

也就是说，存在单个雇佣∧，的序列，使得∧| |=|∧|=k，以及机构i，i∈ 一、 其中{h∧，ii}6={h∧，ii}。有两种情况需要考虑。案例（i）：i6=i.让∧成为一个单方雇佣的序列，这样：o|∧a |=ko我在∧中雇佣的轮数与我在∧中雇佣的轮数完全相同，如果有的话。o对于我不雇佣的轮：–让我在我不雇佣的第一轮中雇佣机构（注意，这必须存在，因为∧至少有两个机构雇佣了人）。-让ibe在∧a（如果有）的每一轮中招聘机构。因此，从32In∧A的工人池中雇佣，如果有，由i雇佣，与∧相同，只有一个由i雇佣，其余的雇佣，如果有，由i雇佣。由（IA）和（P*），{h∧，ii}={h∧A，ii}。接下来，让∧bbe与∧a完全相同，除了iis被i.替换为（PI），{h∧a，ii}=h∧b，ii.请注意，∧b包含iin∧的所有雇佣，除了i的一个额外雇佣。i∧的所有其他雇佣。也就是说，iin∧b没有雇佣。接下来，让∧中的∧ca雇佣顺序与∧中的雇佣顺序完全相同，除了：o我在∧中雇佣的每一轮，雇佣由iinstead进行，o用t表示*我在∧中没有雇佣的第一轮。请注意，这一点必须存在，因为∧至少有两个机构雇佣了员工。让我在t轮中发火*在∧辛斯特德。因此，请注意，（IA）和（P*）没有从iin∧c.雇佣，h∧b，ii= {h∧c，ii}。接下来，让∧dbe正好是a s∧c，除了iin圆t*被i替换为（PI），{h∧c，ii}=h∧d，ii. 请注意，我在∧中所雇佣的轮数与∧中所雇佣的轮数完全相同，因此，（P*）和（IA）意味着iin h∧d，ii的最后雇佣与h∧，ii相同。

不仅如此，（IA）还意味着前k名员工中雇佣的员工是相同的，因此h∧d，ii= {h∧，ii}，意味着{h∧，ii}={h∧，ii}，这是一个矛盾。案例（ii）：i=i。我们将在以下步骤中使用三个机构：i，ia，ib，其中i=i=i，and i 6=ia6=ib。让∧abe一系列的单次雇佣，这样∧a |=k，我在∧雇佣的轮数与我在∧a雇佣的轮数完全相同，如果有的话。此外，让IB成为我在∧中没有雇佣的第一轮机构雇佣（请注意，这必须存在，因为∧至少有两个机构雇佣），并在每轮机构雇佣中（如果有）。通过（IA）和（P*），{h∧，ii}={h∧a，ii}。接下来，让∧bbe与∧a完全相同，用i.by（PI），{h∧a，ii}替换ibis所在的单个位置=h∧b，ibi.接下来，让∧cbe与∧完全相同，除了ib的每一次雇佣，如果有的话，都是由i来代替的。此外，让我成为ib在∧中不雇佣的第一轮机构雇佣（注意，这必须存在，因为∧至少有两个机构雇佣）。用t表示这一轮*. 因此，请注意，（IA）和（P*）没有从ibin∧c.雇佣员工，h∧b，ibi= {h∧c，ibi}。接下来，让∧dbe与∧c完全相同，除了t轮中的i*被（PI），{h∧c，ibi}=h∧d，ii.请注意，我在∧中雇佣的轮数与∧中雇佣的轮数完全相同，因此，（P*）和（IA）意味着i在h∧d，ii中的最后一次雇佣与inh∧，ii相同。不仅如此，（IA）还意味着，从33名员工中雇佣的前k名员工的集合是相同的，因此th∧d，ii= {h∧，ii}，意味着{h∧，ii}={h∧，ii}，这是一个矛盾。最后，设∧=h（i，q），（i，q），（ik，qk）我可以是雇佣和雇佣的任意复数序列*成为一条满足共同顶部、排列独立性和聚合依赖性的规则。