适用于所有时间范围的最优投资和马丁边界

给定如上所述的市场模型和一组可接受的投资组合a，一个逐步可测量的随机函数U：Ohm ×R+×（0，∞) → R是一个前瞻性投资绩效过程，如果：i）几乎可以肯定，对于所有t≥ 0，映射x→ Ut（x）呈凹形且逐渐增大；ii）对于任何x>0和任何π∈ A、 过程（Ut（Xπ，xt））t≥0是一个超级艺术家；iii）对于任何x>0，存在一个组合π*∈ A、 以至于美国犹他州Xπ*,xtT≥0是一个鞅。上述定义中的属性i）简单地表示，远期投资绩效过程是一系列依赖于国家的公用事业，定义为所有积极的时间范围。另外两个性质确保了这个效用函数族有一个唯一的时间一致性最大化子：一个可实现的财富过程，它在所有正的时间范围和初始投资时间内使给定族中的预期效用最大化。明确描述满足上述定义的随机函数Ut（x）的空间仍然是一个有待解决的问题，但这方面的一些结果可以在[16]、[2]、[25]、[24]、[43]和[58]中找到。为了在这个方向上呈现更具体的结果，我们必须对市场模型做一些额外的假设。特别是，我们假设过滤F由标准布朗运动inRd W生成。此外，我们假设S是Rk中具有正项的It^o过程，给定byd log St=utdt+σTtdWt，（1）其中对数是按项取的，u是一个局部可积随机过程，其值为Rk，且σisa d×k是局部平方可积过程的矩阵。我们用符号“AT”来表示amatrix（vector）A的转置。

我们通过λt引入d维随机过程λ，通常称为风险的市场价格：=σTt+其中（σTt）+是矩阵σTt的Moore-Penrose伪逆，~u是S的漂移：~uit=uit+kσitk/2，对于i=1，k、 σit是σt的第i列。特别是，我们有σTtλt=挈ut。这种过程λ的存在源于模型中没有套利。注意，在这种情况下，对于任何局部平方可积过程π，累积财富过程Xπ，xis由dxπ，xt=Xπ，xtπTtσTtλtdt+Xπ，xtπTtσTtdWt，Xπ，X=X给出。回想一下，经典效用最大化问题中的价值函数，至少在形式上，解决了汉密尔顿-雅可比-贝尔曼（HJB）方程。事实证明，以下随机偏微分方程（SPDE）与正向性能理论中的HJB方程类似：dUt（x）=kxUt（x）λt+σtσ+txat（x）kxUt（x）+aTt（x）dWt，（3）其中at（x）是逐步可测的随机函数的d维向量，在x中连续可微，这被称为远期绩效过程的波动性。最近，在[43]、[57]和后来的[25]、[24]中，我们发现，如果U是一个两次连续可微的随机流（定义参见[35]），满足上述SPDE，那么对于任何可容许的投资组合π，过程（Ut（Xπ，xt））t≥0是一个局部超鞅（在这个意义上，存在一个使其成为超鞅的定域序列），如果，对于任何初始条件X*> 0，存在严格的正过程X*令人满意的*t=X*t（σtπ）*t（X）*t） ）tλtdt+X*t（σtπ）*t（X）*t） ）TdWt，（4）带xσtπ*t（x）=-λtxUt（x）+σtσ+txat（x）xUt（x），x>0，（5）然后（Ut（x*t） ）t≥0是一个局部鞅。当然，根据定义，局部超鞅和鞅性质不足以使U成为一个正向性能过程。

因此，在解决了上述SPDE（3）并通过（4）构建了最优财富之后，仍然需要验证结果过程确实是一个前瞻性投资绩效过程（这类似于经典效用最大化理论中的验证过程）。例如，一种确保局部上鞅（Ut（Xπ，xt））t≥0是一个真正的超鞅，是构造U，使inft，xUt（x）由一个可积的随机变量从下面限定。此外，我们还可以通过一个标准参数证明局部鞅（Ut（X*t） ）t≥0是一个真正的鞅当且仅当它的期望值在任何时候与它在零的值一致。1.3远期表现过程的表示请注意，方程（3）可用于描述通过波动率a的远期表现过程。另一方面，不清楚什么是可接受的波动率选择——方程（3）有解决方案。事实上，甚至不清楚哪些“常数”波动率（x的递增和凹决定函数）是允许的。另一方面，下面给出的[24]的结果表明，存在一类波动过程（尽管以一种相当隐含的方式定义），对于满足某些光滑性和有界性约束的任何初始条件，（3）允许唯一解。更准确地说，在[24]中，对于任何足够规则的随机流π*t（x）和ν*t（x），如果波动率a以以下函数形式规定：at（x）=Ft、 x，xUt（·），xUt（·），λt，π*t（·），ν*t（·）, （6） 其中F是给定的确定性算子（对于a的所有选择都是相同的），那么对于任何初始条件U（x），存在（3）的解，它是严格凹的、递增的，满足某些光滑性条件，并且在x=0时取值为零。

此外，如果得到的解U是一个真正的正向性能过程（即，如果局部鞅和超鞅性质实际上是全局的），那么相应的最优投资组合由π给出*. [24]的作者建议，上述结果可用于解决推断投资者偏好的问题。原则上，我们可以观察投资者的最优投资组合π*在某个“测试”市场上，构造复制该最优投资组合的远期表现过程U。然后，自然地，应该使用构建的远期绩效过程来确定目标市场中的最优投资组合（具有不同的资产和/或一组不同的可接受投资组合）。然而，在不同的市场中，具有不同的可获得财富过程集，随机领域U可能（并且通常是D）无法满足定义1.2中的最后两个属性（请注意，定义取决于可获得财富过程集）。因此，它无法在新市场中产生时间一致的最优标准。尽管在现阶段，尚不清楚如何使用远期绩效理论推断投资者的偏好，[24]的结果提供了一类远期绩效过程的分析表示。也就是说，对于一组给定的可获得财富过程a，通过π来描述正向绩效过程*,ν*, 这种描述，确切地说，构成了前向绩效过程理论的一个重要结果。特别是，它表明，对于任何足够规则的投资组合过程（表示为一个随机场），存在一个使给定投资组合最优的前瞻性绩效过程。然而，从实践的角度来看，假设最优投资组合π*在构造最优性标准之前就已经知道，这可能并不总是自然的。

例如，在标准的最优投资问题中，人们使用最优准则来构造最优投资组合。此外，随机场ν*缺乏明确的经济解释（尽管可以通过对偶问题从数学上描述），这使得在特定应用中很难具体说明其价值。因此，在本文中，我们使用一种不同的方法来描述远期绩效过程，这是基于第1.1小节中给出的公理判断，而不是基于波动率a。回想一下，远期绩效过程是为给定的一组可实现的策略a定义的。因此，我们自然会将其视为满足第1.2节定义的一对（U，a）。然而，为了给远期表现过程带来经济意义，需要将其与投资者对一组允许交易策略的偏好联系起来。我们通过识别一系列依赖于状态的实用程序来实现这一点。反过来，对给定的随机因素定义了依赖于状态的效用，这会导致效用的状态依赖性（或随机性）。更准确地说，依赖于状态的效用表示对条件分布的偏好，条件分布是通过附加

也就是说，我们假设随机场U和一组可达到的权利要求满足定义1.2，此外，UTI是（t，x，Yt）的确定函数。因此，为了给远期绩效过程分配经济意义，我们建议对给定的可实现索赔集和给定的随机因素Y进行定义。请注意，上述方法的唯一新颖之处在于识别前瞻性绩效流程所需的附加信息。也就是说，原始方法（定义1.2）要求给出一组可实现的权利要求A，作为识别正向绩效过程所需的附加信息（即，该过程是针对给定A定义的）。在目前的设置中，我们要求生成Ut的西格玛代数的

在这种情况下，事实证明，确切的函数关系是由初始偏好唯一确定的，特别是，不需要猜测正向性能过程的挥发性结构。我们通过相关正时空调和函数的显式积分表示，以因子形式描述了正向性能过程，并用具体例子说明了该理论。论文的结构如下。在第2.1小节中，我们定义了一般随机因素模型，这是本节所述模型的具体说明，它仍然是本文其余部分的框架。在第2.2节中，我们介绍了因子形式的正向性能过程，以及相应的时间反转HJB方程，并讨论了与之相关的困难。第2.3节和第2.4节演示了在某些情况下，如何将HJB方程简化为具有初始条件的向后线性抛物方程。本文的主要结果是关于向后线性抛物型方程的正解在时间区间（0，∞) – i、 e.积极的时空和谐功能。这些结果在第3节的定理3.11、3.12和3.16中给出。最后，我们在第4.2节“因子形式的远期绩效过程”中考虑因子形式的远期绩效过程的封闭形式示例。1随机因素模型我们假设风险资产的价格过程=sSk由n维（n≥ k）

，BkT、 viadYt=u（Yt）dt+σT（Yt）dWt，（7）其中，我们引入了u∈ C（Rn）→ Rn）和σ∈ C注册护士→ Rd×n,用d×n实矩阵的Rd×n空间表示。我们还假设函数u和σ对于任何初始条件y都具有唯一的强解∈ 注册护士。Y的前k个分量被解释为可交易证券S的对数：Sit=exp耶, i=1，k、 其余的都是n- k分量是观察到的但不可交易的随机因素。特别是，我们得到了dSit=Situi（Yt）dt+Sitσi（Yt）TdWt，i=1，k、 式中，σi（y）是σ（y）的第i列，且|ui（y）=ui（y）+kσi（y）k/2，i=1，n在这种情况下，风险的市场价格由λt=λ（Yt）给出，其中λ∈ C注册护士→ 研发部满足感σi（Yt）Tλ（Yt）=μi（Yt），i=1，k（8）给定一个组合π=π, . . . , πkT、 每个πi都是一个逐步可测的随机过程，其值在R中，我们将用扩展的n维向量来识别它π, . . . , π0，0希望这不会引起任何混乱。考虑一种任意的动态自我融资交易策略，该策略从初始水平x>0开始，在每个时间t，规定保持投资于Si的总财富的分数πi（对于每个i=1，…，k）。然后，该策略的累积财富过程由dxπ，xt=Xπ，xtπTtu（Yt）dt+Xπ，xtπTtσT（Yt）dWt=Xπ，xt（σ（Yt）πT）Tλ（Yt）dt+Xπ，xt（σ（Yt）πT）TdWt2给出。2时间倒转的HJB方程正如之前所宣布的，我们现在假设存在一个函数V:R+×Rn×（0，∞) → R、 因此，远期绩效过程U在以下系数formUt（x）=V（t，Yt，x），（9）中给出，其中Y在（7）中定义。

我们的目标是明确地（以一种非常适合实现的方式）描述一大类函数V，使得（9）定义的U实际上是一个正向性能过程。假设有足够的光滑性，我们将伊藤公式应用于V（t，Yt，x），并将漂移项和局部鞅项等同于（3）中的项。因此，我们得到了一个因子形式的远期表现过程的波动率，at（x）=σ（Yt）DyV（t，Yt，x），并推导出以下偏微分方程：Vt+maxπ∈Rk×{0}n-K（Vxλ+σDyVx）Tσπ+Vxx（σπ）Tσπ+trDyVσTσ+ （DyV）Tu=0，（10）表示（T，y，x）∈ (0, ∞) ×Rn×（0，∞). 这里，我们用DyV表示V（偏导数向量）的梯度，用DyV表示V（二阶偏导数矩阵）相对于y的海森梯度。不难看出，如果V解上述方程，Ut（x）=V（t，Yt，x）局部满足定义1.2的最后两个性质（即“鞅”和“超鞅”性质分别被替换为“局部鞅”和“局部超鞅”性质）。后一种说法的证明，以及上述偏微分方程（PDE）的推导，是相当标准的，因此，我们省略了细节，相反，请感兴趣的读者参考[25]、[24]、[57]和[43]。在我们开始构造（10）的解之前，值得一提的是上述方程的几个重要特征。首先，等式（10）提供了另一种观察性能过程和经典效用最大化理论中的价值函数之间相似性的方法。事实上，因子形式的正向性能过程满足与值函数相同的方程，只是它在有限时间范围T内没有预先规定的终端条件：相反，解决方案应该存在于整个半线T>0上。

通过变量的简单变化，上述方程似乎可以简化为标准的HJB方程：t7→ τ=T- t、 有些固定t>0。然而，得到的（标准HJB）方程只能在τ>0时求解，因此，它只能对t产生（10）的解∈ （0，T）。这是不够的，因为首先引入正向性能过程的主要原因是为了确保在整个半线t上产生的优化标准的时间一致性∈ (0, ∞). 因此，与经典的HJB方程不同，（10）只能满足初始条件，而不是终端条件，必须及时向前求解。因此，我们称之为时间反转的HJB方程。从理论上看，许多问题的解都是错误的。尽管存在上述所有困难，我们还是在市场模型的一些附加假设下，成功构建了上述等式的解决方案。特别是，当市场是完全的或财富变量中的偏好是同质的时，我们明确描述了上述方程的所有严格递增和凹解的空间，以及相关的初始条件V（0，·，·）。2.3 HJB方程线性化：完全市场情况。首先，我们考虑一个完整市场的情况：即，我们假设在每个时间t，σ（Yt）的前k列跨越整个Rd。