适用于所有时间范围的最优投资和马丁边界

然后，可以显式地解决（10）中的最大化问题，HJBequation成为SVT-kλVx+σDyVxkVxx+trDyVσTσ+ DyVTu=0（11）众所周知，对偶理论的方法允许将上述方程线性化（参见[20]）。这些方法基于对V（t，y，·）的芬切尔-拉格朗日对偶的分析，用^V（t，y，·）表示。特别是，这是一项标准练习，用于检查替代物（t，y，z）=-^Vx（t，y，exp（z））=（Vx（t，y，·））-1（exp（z））（12）将正向HJB方程（11）转化为以下线性方程：+λTλuzz- 2DyuTzσTλ+trDyuσTσ+λTλuz+DyuTu - σTλ= 0，（13）表示所有（t，y，z）∈ (0, ∞) ×Rn+1。如果我们设法找到上述方程的解，并确保它严格为正且在z方向上递减，那么我们可以通过（12）向后进行，以构造求解（11）的函数V。这一步可能并不总是微不足道的，因为从VxV到VxV的转换需要对VxX的PDEfor进行积分。然而，如果我们成功推导出u（t，y，z）及其偏导数的充分先验估计，这种方法确实有效，如第4.1.2.4小节中所示，将HJB方程线性化：同位旋偏好。前一小节中提出的线性化依赖于市场的完整性，但适用于因子形式的任意远期表现过程。相反，在这里，我们考虑（可能的）不完全市场模型，而在财富论证中，远期投资绩效过程被假定为同质的。这类过程与流行的电力设施是天然的类比。更准确地说，我们假设，对于所有（t，y，x）∈ R+×Rn×（0，∞),V（t，y，x）=xγV（t，y），（14）带有一些函数V:R+×Rn→ R和一个非零常数γ<1。此外，我们对上面介绍的一般因素模型进行了以下说明。

我们假设n=d=2，k=1，μ和σ仅取决于y的第二个分量，σ的两列之间的瞬时相关性是常数。换句话说，我们假设市场由单个风险资产组成，其动态由以下两因素模型给出dYt=d对数St=uYtdt+σYtdWt，dYt=bYtdt+aYtρdWt+p1- ρdWt,常数ρ∈ [-1,1]和标量函数u、σ、a和b，这样上述系统对于任何初始条件（Y，Y）都有唯一的强解∈ R.如[56]所示，在符号u（t，y）：=（v（t，y））1/δ中，δ=1- γ1 - γ+ργ，HJB方程（10）减少了tout+a（y）uyy+b（y）+ργ1- γλ（y）a（y）uy+2Δγ1- γλ（y）u=0，（15）对于所有（t，y）∈ (0, ∞) 其中λ（y）=u（y）/σ（y）+σ（y）/2。因此，我们将时间反转的HJB方程（10）简化为线性抛物线方程。通过求解上述方程，我们得到函数u（t，y），并取其幂，恢复v，进而恢复v。然而，请注意，上面的等式以及（13）是时间倒转的：它必须向前求解，福特∈ (0, ∞), 而相关的微分算子对应于一个反向方程。我们想强调的是，这种偏微分方程没有标准的存在理论。下一节的主题是发展这类方程的一些基本存在性结果。3.广义Widder定理作为时空调和函数的表示在本节中，我们将展示如何在半有限时间区间上生成一类时间反转（不适定）线性抛物方程的解，包括（13）和（15）。特别是，这些结果扩展了关于热方程正解的Widder定理（见[54]）。

我们回顾这一理论，并在本节中进一步提供补充意见。3.1一致抛物型在这种情况下，我们考虑线性抛物型方程的形式为ut+Lyu=0，（t，y）∈ (0, ∞) x Rn，（16）用y=nXi，j=1aij（y）给出的运算符Lyyiyj+nXi=1bi（y）yi+c（y），（17），其中函数aij，bian和c是一致连续且绝对有界的，因此矩阵A=（aij）是对称的，并且满足一致椭圆度条件：0<infkvk=1，y∈RnnXi，j=1vivjaij（y）（18）算符Ly称为一致椭圆，方程（16）为一致抛物线。请注意，（16）可以重写为演化方程ut=-吕，你在哪里-Ly\'是一个“反椭圆”（正）算子。根据线性抛物方程的经典理论（例如，参见[13]），为了及时（在给定初始条件下）求解上述方程，需要右边的算子为椭圆（负），因此不能应用于这种情况。事实上，正如我们将在后面展示的，即使对于满足通常增长约束（或具有紧支撑）的光滑初始条件，也不总是可能构造上述方程的解。尽管如此，我们仍将明确描述（16）的非负解确实存在的所有初始条件的空间。首先，考虑方程（16）的最简单形式：ut+uyy=0，（t，y）∈ (0, ∞) ×R（19）如前所述，上述方程的非负解完全由以下给出的标定Widder定理表征（见[54]中的定理8.1）。定理3.1。

（维德1963）函数u:（0，∞) ×R→ R是（19）的正经典解，当且仅当它可以表示为asu（t，y）=ZRezy-ztν（dz）（20），其中ν是Borel度量，因此上述积分对所有（t，y）都是有限的∈ (0, ∞) ×R.如上述定理所示，只要上述积分对任意y收敛，则可用作（19）初始条件的唯一函数由基础测度ν的双边拉普拉斯变换给出，即u（0，y）=ZReyzν（dz）∈ 我们现在可以看到，方程（19）存在一个非空的正（非负）解空间，当然，它是一个凸锥。这个空间不同于我们在构造标准椭圆或抛物线方程的解时通常考虑的空间。特别是，从上面的表示中，我们不能期望（19）的解在y处消失→ ∞ 还有y→ -∞ 同时通过在非负整数{n}处选择原子的度量ν，以及相应的权重{1/n！}，也很容易看出，存在一个初始条件为u（0，y）=ZReyzν（dz）=exp（ey）的（19）解。回想一下，上述函数不满足必要的生长限制，因此，标准热方程- uyy=0，（t，y）∈ (0, ∞) 带有这个初始条件的×R没有解。因此，不能说（19）的解空间比标准热方程的解空间“小”。相反，这是一个不同的函数空间，它不具备我们通常认为是自然的一些性质。[16]、[2]和[43]中使用了Widder定理来描述一类具有零波动性的远期绩效过程，这些过程不一定是本文提出的因子形式。

回想一下，在这里，我们重点描述因子形式的远期表现过程，它可能具有非平凡（即非零）波动性。特别是，本小节的目标是描述一般时间反转一致抛物方程（16）的解空间。Widder用于证明表示（20）的技术是基于在空间变量中应用特定函数变换，不能轻易扩展到一般情况。因此，我们必须开发一种新的方法来全面研究方程（16）。实际上，（16）的解叫做与算符有关的时空调和函数t+Ly”。从概率的角度来看，这些函数刻画了时空扩散过程（t，yt）的马丁边界，其中（yt）是与发生器Ly相关的扩散。关于马丁边界的精确定义及其与调和函数的关系，我们参考[9]、[45]、[47]。结果表明，利用势理论的方法，可以得到所有时空调和函数的显式积分表示。这些方法允许通过空间过程本身的Martin边界来描述时空扩散的Martin边界，从分析的角度来看，它将不适定方程（16）简化为适定一致椭圆方程。特别是，下面给出的结果基于Koranyi和Taylor在[29]中获得的非负时空调和函数锥的最小元素。然后，Choquet理论的应用允许我们通过极小解导出（16）的所有解的表示，而极小解又可以通过求解相关的（适定的）椭圆方程来计算。这个结果，特别是，提供了上述Widder理论的一个推广。

然而，为了将Koranyi和Taylor的结果应用于手头的问题，我们需要做一些额外的构造。定义3.2。空间V由所有函数V组成：（（0，∞) ×Rn）∪ {（0，0）}→ R、 任意集Mα上的连续：=（t，y）∈ [0, ∞) ×Rn | t≥ αkyk, 对于任何大于0的α。集V在某些Mα中包含的任何紧集上具有一致收敛的拓扑。定义3.3。空间H由所有函数u组成∈ 五、 例如：u∈ C1,2（（0，∞) x Rn），u≥ 0，u（0，0）=1，u满意度（16）。定义3.4。函数u∈ H是H的极小元素，如果对于任何v∈ H、 五≤ 对于某些λ，u意味着v=λu∈ [0, 1].[29]的主要结果提供了H的最小元素（即（16）的最小正解）的明确表征。定义3.5。集合E包含所有函数v:（（0，∞) ×Rn）∪ {(0, 0)} → 形式v（t，y）的R=e-λtψ（y），带任意λ∈ R和任意ψ∈ C（Rn），使得ψ（0）=1，ψ≥ 0和（y）- λ） ψ（y）=0表示盟友∈ 注册护士。定理3.6。（Koranyi Taylor，1985）H的所有极小元素集与E证明一致。[29]给出了证明，它基于（16）解的一致哈纳克不等式。哈纳克不等式的相关版本见附录A。事实上，Koranyi和Taylor证明了E是更大解空间中所有极小元素的集合。注意，在V的定义中，我们将函数空间限制为以零为中心的抛物线形状上的连续函数。然而，很明显，E的所有元素都属于H，结合[29]的结果，得出了上述定理的陈述。我们将分析限制在空间H上的原因是，为了提供H的所有元素的显式表示，我们需要在拓扑结构中使该空间紧凑，从而使δ函数成为连续函数。

Koranyiand Taylor提出的空间不满足该属性，这可能是[29]中未确立上述代表性的原因。注意，H包括（16）的所有解，这些解在t=0时是连续的，因此，从应用的角度来看，我们的限制是不损失一般性的。引理3.7。布景 V是紧凑的。证据这一结果源自哈纳克的不平等性和Schauder估计（见附录A）。很明显，V（和H）的拓扑等价于setsMRα：=Mα上一致收敛的拓扑∩ BR（0，0），对于所有α，R>0，其中BR（0，0）是R1+n中半径R的球，以零为中心。哈纳克不等式（见附录A）意味着，对于任何R>0的情况，存在一个常数C（R），仅取决于R、系数的绝对值的上界以及相关二次型的下界和上界，因此方程（16）的任何非负解u都满足：u（R，y）≤ C（R）u（0，0）=C（R），kyk≤ 1对于任何λ∈ 当r>0时，我们引入函数vλ（t，y）：=u（λt，yλ）√r） 注意，它满足严格的抛物型偏微分方程，其系数和相关的二次型可以由r的函数一致地限定在λ上∈ (0, 1). 因此，存在一个常数C（α，R）>0，使得u（Rλ，y）=vλR、 yλ√R≤ C（r，r），kyk≤ rλ，λ ∈ （0，1）这意味着H的所有元素在每个MRα上一致有界，α=R/R。该结论与内部Schauder估计（见[26]中的定理1或附录A）一起，得出了{u | u的相对紧性∈ H} ，{Lyu |u∈ H} 和{ut|u}∈ H} 作为V的子集，我们得出结论，H中的任意序列都有一个收敛子序列，其极限属于H。

由于V中的拓扑是可度量的，这就完成了引理的证明。在阐述主要定理之前，我们需要回顾一些辅助结果。定义3.8。函数u∈ H是H的一个极端元素，如果对于任何v，v∈ H、 v+v=u意味着v=v=u引理3.9。H的极值点集与其极小元集E一致。这是势理论的标准结果（参见[9]第33页）。引理3.10。布景 V是波雷尔。证据这是凸分析的标准结果（见[44]中的命题1.3]）。下面的定理是上述结果的直接推论。定理3.11。函数u属于H（是（16）的非负经典解，归一化为零），当且仅当E上存在Borel概率测度ν，这样，对于任何（t，y）∈ ((0, ∞) ×Rn）∪ {（0，0）}，我们有u（t，y）=ZEv（t，y）ν（dv）（21）这样的度量是由u唯一确定的∈ H.证据。从引理3.7来看，这一陈述的必要性直接来自Choquet定理（参见[44]第14页），其效率是凸分析的一个众所周知的结果（参见[44]中的命题1.1）。上述定理只是抽象马丁表示定理的一个版本（参见[9]中的第十二章9），唯一的例外是，在这里，我们能够显式地描述E的拓扑结构。然而，关于E的Borel度量的结构仍然不是很清楚，这使得在实践中很难应用上述表示。因此，在下面，我们给出了另一个结果，它等价于定理3.11，但更适合于计算（如第4节所示）。定理3.12。

函数u属于H（是（16）的非负经典解，标准化为零），且仅当它可以表示为所有（t，y）∈ ((0, ∞) ×Rn）∪ {（0，0）}，asu（t，y）=ZRe-tλψ（λ；y）u（dλ），（22）在R上有一个Borel概率测度u和一个非负函数ψ：R→ C（Rn），使得ψ∈L（R）→ C（K）；u）对于任何紧凑型K Rnand，对于u-几乎每个λ，以下公式成立：ψ（λ，0）=1，ψ（λ；·）解（Ly）- λ） ψ（λ；y）=0，（23）对于所有y∈ 注册护士。这样的一对（u，ψ）由u唯一确定∈ H.备注3.13。定理3.12的主要贡献在于，它将标准理论无法分析的（不适定）正抛物方程（16）简化为正则椭圆方程（23），可以使用现有方法求解。特别是，如果n=1，则（23）的一维版本的所有正解都可以通过两个（递增和递减）基本解来描述，这两个基本解可以有效地近似，例如通过级数展开（参见[51]）。关于任意维数n的一些存在性结果也在附录A中给出。让我们先证明一下必要性。我们需要从（21）中导出表示（22）。将E视为arandom空间，其上有Borel-sigma代数（拓扑由V诱导）和一个概率测度ν。回想一下，每个v∈ E有一个唯一的分解：v（t，y）=E-λtψ（y）。然后，我们定义一个任意ε∈ （0,1）和一个紧K Rn，并引入以下随机元素：ξ：E→ C（[ε，1/ε]），v7→ v（·，0），η：E→ C（K），v7→ v（0，·），ζ：E→ R、 V7→ log（ξ（v）（1）），其中“C”空间被赋予统一范数，使它们成为Banach空间。上述映射是连续的，因此是可测量的。

此外，哈纳克不等式的一个简单应用（例如，参见引理3.7的证明）表明，ξ（v）、η（v）和ζ（v）的各自范数是有界的∈ E.接下来，注意，对于任何（t，y）∈ [ε，1/ε]×K，我们有zev（t，y）ν（dv）=ZEξ（v）η（v）ν（dv）（t，y）=[E（ξη）]（t，y）=[E（ξE[η|ζ]）]（t，y），其中第二个积分是博希纳意义上的（详见附录A），为了获得最后的等式，我们注意到ξ（v）的值由ζ（v）的值唯一地确定。由于delta函数是一个关于均匀拓扑的连续泛函，并且由于Bochner积分的性质（见附录a或[50]中的Hille定理），参数（t，y）可以放在上面的第二个积分中。接下来，回顾条件期望的基本性质，即存在ψ∈ L（R）→ C（K）；u），其中u是ζ：E的分布→ R、 使得E[η|ζ]=ψ（ζ）。因此，我们有zev（t，y）ν（dv）=[E（ξψ（ζ））]（t，y）=ZEξ（v）ψ（ζ（v））ν（dv）（t，y）=ZEe-tζ（v）ψ（ζ（v）；y） ν（dv）=ZRe-tλψ（λ；y）u（dλ）上面ia右边的积分绝对收敛，因此是左边的积分。因此，我们获得了所需的表示（22）。为了证明（22）定义的函数u属于H，我们首先回顾一个众所周知的事实（例如，参见[45]中的定理4.3.2]），即存在λ∈ R、 对于任何λ<λ的情况，（23）的唯一非负解为零。因此，u的支持度从下方有界，因此（22）中的积分定义良好。接下来，我们注意到mappingR 3λ7→（t，y）7→ E-tλψ（λ；y）∈ Eis是可测量的，因此，我们可以使用变量的变化来推断U（t，y）=ZRe-tλψ（λ；y）u（dλ）=ZEv（t，y）ν（dv），对于E和任意（t，y）上的某些概率测度ν∈ (0, ∞) ×Rn。