适用于所有时间范围的最优投资和马丁边界

最优财富过程的方程变成了X*t=X*t1- γ(κ - uYt）κ - uYt+σρuy（t，Yt）u（t，Yt）dt+X*t1- γκ - uYt+σρuy（t，Yt）u（t，Yt）dWt（35）很容易看出这一点uy（t，y）u（t，y）≤ c（1+| y |）（36）因此，我们得出结论，对于任何初始条件X*> 方程（35）有唯一的强解X*这绝对是积极的。为了证明V（t，Yt，x）是一个正向性能过程，只需应用以下命题，其证明见附录B命题4.3。过程（V（t，Yt，X*t） ）t≥0是一个鞅。备注4.4。值得一提的是，（35）定义的最优财富过程在初始财富中是单调的。这一观察结果表明，本例中构造的正向性能过程属于[24]中描述的过程类别。事实上，很容易看出，第2.4小节中定义的任何同质化绩效过程也是如此。正如导言中所讨论的，本文不打算推广前向性能过程的空间，特别是，我们不考虑比[24]中研究的更一般的过程。相反，这项工作提供了一个新的，方便的，代表了这些随机领域的一大类。

也就是说，本文提供的表述允许人们从经济上有意义的输入元素（

为了做到这一点，我们将所有正解空间的最小元素的现有特征与势理论和凸分析中的一些基本事实结合起来。从概率的角度来看，我们的结果通过扩散过程本身的马丁边界提供了时空扩散的马丁边界的表示。进一步的研究应该解决解决时间反转HJB方程本身的问题。除了与标准HJB方程相关的所有困难外，这个问题是不适定的，因为它“时间运行方向错误”。这一特性使得很难确定溶液存在的初始条件，也很难找到结果溶液的易于处理的描述。另一个相关的问题是根据投资者的初始偏好校准远期绩效流程。我们的研究表明，在许多情况下，正向性能过程是由其在时间零点的值唯一决定的。我们已经看到，后者应该被解释为一个依赖于状态的效用函数，它描述了投资者在短时间内的偏好。为了完成分析，重要的是开发一种可靠的算法，从投资者的选择中确定该函数。6附录在本附录中，我们回顾了一些标准技术结果。6.1抛物型Pd首先，我们对抛物型PDE（16）解的定量性质感兴趣，微分算子在（17）和后续段落中定义。我们利用了以下版本的哈纳克不等式。定理6.1。（哈纳克不等式）假设u是（0）中（16）的非负解，∞) ×Rn。

然后，对于任何R>0，存在一个常数C（R）>0，仅取决于R，取决于系数的绝对值的上界，以及相关二次型的下界和上界，如Supkyk≤1u（R，y）≤ C（R）u（0,0）。证据在[34]中所考虑的偏微分方程中，在时间反转和空间变量移位之后，这一陈述紧跟在[34]的定理1.1之后。第二个结果是反复需要的内部Schauder估计。定义域D上的H¨older范数 R1+nbykvkD，α=sup（t，y）∈D | v（t，y）|+sup（s，x），（t，y）∈Dkv（t，y）- v（s，x）kky- xkα+| t- s |α/2。对于ε>0和T>0，letDTε={（T，y）：εkyk≤ T≤ T}。定理6.2（内部Schauder估计）。假设Lyare H？older系数与H？older指数0<α<1连续。然后，对于任何正ε、T和δ，都存在一个常数C>0，这取决于ε、T、δ和Ly的系数，例如kukdtε、α+δ（1+α）/2kyukDTε，α+δ1+α/2kyukDTε，α+δ1+α/2kutkDTε，α≤ C主管（t，y）∈DT+Δε| u（t，y）|。证据参见Knerr[26]的文章。6.2椭圆方程我们现在考虑椭圆方程（23）的正解问题，微分算子定义在（17）中。定理6.3。如果接线员不小心- λ有一个格林函数，那么方程（23）有一个正解。a格林函数存在的充分条件是Z∞ExheRtc（Xs）ds-λtidt<∞,为了所有的x∈ Rn，其中（Xt）t≥0是generatorLy=Ly的扩散- c（y）。证据参见Pinsky的书[45]第4.3节中的定理3.1和3.6。6.3向量积分现在我们回顾第3节中需要的Bochner积分的构造。设（F，F，u）为可测空间（具有有限测度u），B为范数为k·k的Banach空间。

对于格式为g=NXi=1bifi的简单函数∈ F和bi∈ B对于每个i，我们假设du=NXi=1biu（Fi）。定义一般函数g:F的Bochner积分→ B、 我们考虑一系列简单函数NSUCH thatZkg- gnkdu→ 0，作为n→ ∞. 然后，积分fGdu被定义为积分序列fGndu的极限，其在B的强拓扑中收敛。很容易（参见[50]）表明，当∞, 这样的简单函数序列GN确实存在，GNDu的极限仅取决于函数g，而不取决于序列的特定选择。与勒贝格积分一样，波希纳积分也相当稳健。这种稳健性的一个特殊例子是，我们可以交换积分和线性泛函。定理6.4。（Hille）设g为Bochner可积函数，T:B→ R是一个连续的线性泛函。然后tzfgdu=ZFT（g）duProof。这个结果也可以在[50]中找到。7附录B7。1命题4.1的证明首先，利用V的定义和方程（31），我们得到了V的以下偏微分方程：- by）~Vy+~Vxx ~VxσVxy+a+σ/2- 通过∑Vx(37)-■VxσVxy+a+σ/2- 通过∑VxσVy+a+σ/2- 由∑V= 0检查上述公式的左侧是否为HJB方程（11）左侧的x导数，V由（33）给出，这是一个标准练习。因此，为了证明V解（11），只剩下（11）的左边的值（V由（33）给出）收敛到零，即x↓ 0.为此，我们需要对V的偏导数，以及反过来对V的偏导数进行适当的估计。假设测量值为ν+和ν-对于某些η，在[1+η，1/η]中有支撑∈ （0，1/2），并且这些度量中至少有一个不是相同的零（如果它们都是零，那么说明是显而易见的）。

由（32）可知，存在c=c（t，y）∈ （0，1），它是（t，y）的连续函数∈ R+×R，这样c（t，y）十、-1.-η∧ 十、-1/η≤ u（t，y，log（x））≤c（t，y）十、-1.-η∨ 十、-1/η, x>0这会产生V（t，y，x）≤ C-1/（1+η）（t，y）x-1/（1+η）+c-x（y）η-η, （t，y，x）∈ R+×R×（0，∞) （38）使用（32）也很容易看出存在c>0，仅取决于a、b、σ和η，因此η≤ -u（t，y，z）uz（t，y，z）≤1+η和uy（t，y，z）u（t，y，z）≤ c（1+| y |）保持所有（t，y，z）∈ R+×R，由此得出（1+η）x≤ -~V（t，y，x）~Vx（t，y，x）≤ηx，和~Vy（t，y，x）~Vx（t，y，x）≤ c（1+| y |）x（39）同样地，我们推断uzz（t，y，z）uz（t，y，z）≤η和uyy（t，y，z）u（t，y，z）≤ C1+y,其中c>0仅取决于a、b、σ和η。接下来，我们回顾一下（33）-z~Vyy（t，y，u（t，y，z））=-乌尤兹- uzuz+2uyuzuz-uyyuz，去获取~Vyy（t，y，x）≤ c（1+y）x，（t，y，x）∈ R+×R×（0，∞), （40）其中c>0仅取决于a、b、σ和η。估计值（38）、（39）和（40）以及富比尼的理论，意味着V（t，y，x）定义得很好，其y导数由以下公式给出：Vy（t，y，x）=ZxVy（t，y，s）ds，Vyy（t，y，x）=ZxVyy（t，y，s）ds。再次应用相同的估计和富比尼定理，我们得出结论，（11）的右边，v由（33）给出，收敛到零，如x↓ 这就完成了命题的证明。7.2命题4.2的证明根据第1.2小节中讨论的结果，要求过程（V（t，Yt，X*t） ）t≥0是一个局部鞅。让我们证明它实际上是一个真正的鞅。

应用It^o引理，我们得到了logv（t，Yt，X）*t） =-Ztdt+ZtdWt，其中zt=σVy（t，Yt，X*t） V（t，Yt，X）*（t）-V（t，Yt，X）*t） V（t，Yt，X）*t） σa+σ- 比亚特V（t，Yt，X）*t） +σ~Vy（t，Yt，X*t） ■Vx（t，Yt，X*t） 应用（39），我们得到：V（t，y，x）≤ -ηZxsVx（t，y，s）ds=-ηx~V（t，y，x）+ηV（t，y，x）=>V（t，y，x）V（t，y，x）≤1.- ηx，| Vy（t，y，x）|≤ -c（1+| y |）ZxsVx（t，y，s）ds=-c（1+| y |）xV（t，y，x）+c（1+| y |）V（t，y，x）=>Vy（t，Yt，X*t） V（t，Yt，X）*（t）≤ c（1+| y |）上述不等式和（39）暗示| Zt |≤ c（1+| Yt |）（41）接下来，我们使用诺维科夫条件（更准确地说，是“萨拉米”方法，例如，在[21]中的推论5.14中给出的）来得出V（t，Yt，X）的结论*t） 是真正的鞅。根据这种方法，我们只需要验证，对于任何T>0，存在 > 0，因此E expZt+tZsds！<∞,尽管如此，t∈ [0，T]。利用（41）和Ornstein-Uhlenbeck过程作为时变布朗运动的表示，我们得到了表达式+TZSD！≤ cexpZt+泰斯！≤ cexpcZt+tWexp（2bs）-1e-bsds！≤ cexpc 小吃∈[0，exp（2bT）]Ws！很容易看出我们可以选择 > 0足够小，因此上面的右边是可积的。这就完成了施工。7.3命题4.3的证明应用It^o公式，我们得到了对数V（t，Yt，X*t） =-Zt+Ntdt+ZtdWt+NtdWt，其中zt:=σρuy（t，Yt）u（t，Yt）+γ1- γκ - uYt+σρuy（t，Yt）u（t，Yt）, Nt=σp1- ρδuy（t，Yt）u（t，Yt）估计值（36）产生| Zt |+Nt |≤ c（1+| Yt |）。重复命题证明中的最后一个论点。2，如上所述，我们得出结论：V（t，Yt，X*t） 确实是一个真正的鞅。参考文献[1]D.伯努利。阐述了一种新的风险度量理论。《计量经济学》，22:23–361738/1954。[2] F.Berrier、L.C.Rogers和M.Tehranchi。前向效用函数的特征。预印本，2009年。[3] G.坎托。

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