适用于所有时间范围的最优投资和马丁边界

是 否 +2 论坛币

k人 参与回答

经管之家送您一份

应届毕业生专属福利!

求职就业群

赵安豆老师微信：zhaoandou666

经管之家联合CDA

送您一个全额奖学金名额~ !

立即领取

感谢您参与论坛问题回答

经管之家送您两个论坛币！

+2 论坛币

英文标题：
《Optimal investment for all time horizons and Martin boundary of
  space-time diffusions》
---
作者：
Sergey Nadtochiy and Michael Tehranchi
---
最新提交年份：
2014
---
英文摘要：
  This paper is concerned with the axiomatic foundation and explicit construction of a general class of optimality criteria that can be used for investment problems with multiple time horizons, or when the time horizon is not known in advance. Both the investment criterion and the optimal strategy are characterized by the Hamilton-Jacobi-Bellman equation on a semi-infinite time interval. In the case when this equation can be linearized, the problem reduces to a time-reversed parabolic equation, which cannot be analyzed via the standard methods of partial differential equations. Under the additional uniform ellipticity condition, we make use of the available description of all minimal solutions to such equations, along with some basic facts from potential theory and convex analysis, to obtain an explicit integral representation of all positive solutions. These results allow us to construct a large family of the aforementioned optimality criteria, including some closed form examples in relevant financial models.
---
中文摘要：
本文讨论了公理化基础和一类最优性准则的显式构造，该准则可用于具有多个时间范围的投资问题，或在时间范围未知的情况下。投资准则和最优策略均由半无限时间区间上的Hamilton-Jacobi-Bellman方程描述。在这个方程可以线性化的情况下，问题会简化为一个时间反转抛物方程，无法通过偏微分方程的标准方法进行分析。在附加一致椭圆条件下，我们利用这类方程所有极小解的现有描述，以及势理论和凸分析中的一些基本事实，得到了所有正解的显式积分表示。这些结果使我们能够构建上述最优性标准的大家族，包括相关金融模型中的一些封闭形式示例。
---
分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
--
一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
--

---
PDF下载：
--> Optimal_investment_for_all_time_horizons_and_Martin_boundary_of_space-time_diffusions.pdf (491.28 KB)

2022-4-29 16:38:46 上传

扫码加我 拉你入群

请注明：姓名-公司-职位

以便审核进群资格，未注明则拒绝

分享0 收藏0 回帖

关键词：Differential Optimization Construction Presentation Applications

时空扩散的所有时间范围和马丁边界的最优投资Sergey Nadtochiy*Michael Tehranchi+——该版本：2013年12月17日初稿：2012年10月5日摘要本文关注的是公理化基础和一类广义最优标准的显式构造，可用于多时间范围的投资问题，或当时间范围事先未知时。投资标准和最优策略均由半有限时间区间上的Hamilton-Jacobi-Bellman方程描述。当这个方程可以线性化时，问题就简化为一个时间倒转抛物方程，不能用偏微分方程的标准方法来分析。在附加一致椭圆条件下，我们利用这类方程所有极小解的现有描述，以及势论和凸分析中的一些基本事实，得到所有正解的显式积分表示。这些结果使我们能够构建上述优化标准的大家族，包括相关财务模型中的一些封闭形式的例子。关键词：偏好、状态相关效用、时间一致性、正向性能过程、时间反向HJBequation、Widder定理、Martin边界。*sergeyn@umich.edu; 密歇根大学数学系。+Mtehranchi@statslab.cam.ac.uk; 剑桥大学统计实验室这篇论文的结果首次在2011年5月于英国牛津大学西奥福德曼研究所举行的投资组合理论和投资管理进展会议上发表。

两位作者都承认本次会议在交流这项工作中的作用。1简介经典投资问题（也称为默顿问题）涉及投资者资本在可用金融工具之间的最优配置。对这种说法的准确理解取决于决策者所采用的最优性概念。我们考虑基于每种策略产生的终端财富特征的最优性标准。在学术文献中，这些特征通常被总结为终端财富的效用函数。更准确地说，投资者（代理人）选择一个效用函数，以及一个投资期限，比如T，并最大化该函数在时间T（由某个概率空间上的随机变量表示）对所有可实现收益的预期。这种方法的主要优点之一是公理化的公正性。假设投资者对所有终端收益（随机变量或分布）都有偏好，这形成了一个完整的顺序：对于任何给定的pairof收益，投资者要么偏好其中一个，要么两者之间无所谓（参见[3]）。然后，经标定的冯·诺伊曼莫尔根斯坦定理（参见[52]）表明，如果这个完整的顺序满足几个推论公理，它必须由一个预期效用来表示。换句话说，存在一个效用函数，在任何两个收益之间，投资者总是偏好预期效用较大的收益。公理的选择和由此产生的效用函数的性质存在多种变化：例如，参见[1]、[7]、[48]、[19]。

然而，最常见的公理是冯·诺依曼和摩根斯坦的公理，它由传递性、连续性和独立性组成（参见[19]）。通常会添加风险规避公理，以确保在产生的最优投资问题中鼓励投资组合的多样化，尤其是相关的效用函数是凹的。一旦选择了公理集，我们可以假设，在不丧失普遍性的情况下，投资者对最终收益集的偏好是由效用函数决定的。选择适当的效用函数后，我们解决相关的随机优化问题，以找到最优策略。这些问题在市场模型的一般假设下得到了广泛研究，并构成了现代数学金融理论中最活跃的研究领域之一（例如，参见[38]、[39]、[30]、[31]、[20]、[46]）。在一个只做一次投资决策的模型中，代理决策的结果是一个全球交易策略，一直持续到最终时间范围。然后，在初始阶段选择最优策略，使终端财富的预期效用最大化。然而，如果投资决策是多次做出的，那么对最佳战略的这种定义是不自然的。事实上，在后文[12]中，对于不需要最优性标准的均衡方法。在这种情况下，每个决策的结果都是一个局部投资策略，它只规定了下一个时间段的行动，并导致一组随机的未来投资机会，而不是最终回报本身。因此，在每个决策时刻，代理需要对集值随机变量的关联空间有一系列偏好。

由此产生的动态偏好家族也必须是跨时间的非矛盾的，或时间一致的。简而言之，时间一致性意味着投资者“不会后悔”自己过去的决定。[32]对其进行了最好的描述，其中时间一致性被假定为公理之一，并且开发了满足这些公理的所有动态偏好的表示，也被称为递归实用程序。在预期效用的背景下，通过评估每个本地策略（下一个时间段的投资计划）作为终端财富在所有未来（全球）策略（与下一个时间段所选本地策略一致）的最大预期效用，构建动态偏好是自然的。当动态规划原理成立时，可以确保生成的动态偏好族的时间一致性。事实上，它还表明，单决策效用最大化问题（全局策略从一开始就被选择）等价于一个时间一致的多决策优化问题，在该问题中，策略的最优性在每个决策时间被重新评估。这种等价性（即动态规划原理）将最优投资问题转化为随机控制问题，如[14]、[33]所述。尽管存在公理基础和动态规划原则，但基于最大预期效用的优化标准仍有很大的局限性。它最大的缺点之一是，在做出投资决策时，只考虑固定时间T的财富回报。在实践中，人们可能需要考虑财富过程的其他属性：例如，它在所有时间范围内的边际分布T>0。

例如，如果终端时间范围事先未知，则后一种选择可能是合理的。众所周知，预期效用不容易推广到无界时间范围的情况（某些特定结构除外）。为了消除困难，假设投资者选择了时间范围T和效用函数U，并解决了由此产生的优化问题，在时间间隔[0，T]上获得了最优投资策略。进一步假设“生命不会在T结束”。然后，投资者选择更长的时间范围T>T，以及新的效用函数U，并在[T，T]上构造最优策略。然而，通过这样做，投资者希望确保她目前的决定不会与未来的决定相矛盾。换言之，从初始时间来看，在时间间隔[0，T]上已经实施的策略，以及在时间间隔[0，T]和时间间隔[0，T]之间新的最优策略，将在[0，T]上形成一个整体最优投资策略。事实证明，对于任意的U选择，无法保证Uthat满足时间一致性属性的存在。经典方法的另一个缺点是，假设投资者在（可能是远程的）终端时间范围内的效用函数在初始时间已知，这是其未在从业者中流行的主要原因之一。尽管有几种方法可以从投资者的行为中推断出他们的偏好，但随着时间跨度的增加，这些方法的可靠性会降低。为了解决上述缺点，亨德森和霍布森以及Musiela和Zariphopoulou分别为投资问题引入了另一种最优性标准（参见。

[16] [41]和[42]）。相关标准是根据一个随机场来制定的，用T∈ (0, ∞) 根据财富理论∈ (0, ∞), 它被称为远期投资绩效过程（FIPP）。新标准要求制定一个时间一致的投资策略，在每次地平线T>0时最大化财富的预期效用，提供了经典方法的自然延伸。同时，与经典框架相比，新方法只要求投资者在交易期的每一个开始阶段指定其风险偏好，而不是在（可能很遥远的）未来时间范围内。1.1前瞻性投资绩效过程：公理化公正一旦我们偏离经典框架，并同意我们的投资决策应始终取决于T>0时财富的边际分布，就自然而然地假设每个T>0时财富水平都存在一系列偏好。换句话说，我们假设，对于每一个T>0，在代表时间T的财富回报的随机变量空间上存在一个完整的顺序。此外，假设这些偏好满足冯·诺依曼和摩根斯坦的常用公理，我们得出结论，对于每个T>0，都存在一个表示这些偏好的效用函数。然而，请注意，效用函数族{UT}T>0并不代表财富过程空间上的一个完整序。事实上，对于给定的一对财富过程，第一个过程在特定时间范围内的收益可能比第二个过程的收益具有更高的预期效用，而相反的关系可能在不同的时间范围内成立。

尽管如此，这样一系列偏好可能仍然承认一个极端因素，即使所有预期效用最大化的富裕过程，可以通过在所有时间范围内保持时间一致的策略来实现。不幸的是，事实证明，没有多少经典效用函数家族可以接受上述意义上的极值元素。这就是为什么我们必须扩展效用函数的经典概念，并考虑依赖于状态的效用（也称为随机效用）。请注意，冯·诺依曼和摩根斯坦的公理是为分布空间而制定的，尤其是基于预期效用的结果偏好，只考虑了终端财富的分布。然而，在实践中，投资者的偏好往往取决于目标随机变量的联合分布，例如XT和附加

使用传统的概率表示法，我们还可以看到依赖于状态的效用是一个随机函数U（x，ω），可以相对于给定的sigma代数（由YT生成）进行测量。在[10]、[23]、[22]中可以找到对状态依赖性理论的详细描述。简单地说，前瞻性投资绩效过程是一系列依赖于国家的公用事业，以时间范围T>0为指标，并有条件接受一个最优投资策略，该策略使所有预期公用事业最大化，并且在所有时间范围内都是时间一致的。如上所述，这样一系列的效用函数通常不会对可用的投资策略集（或可实现的财富过程集）产生完整的顺序。它对应于代理人在整个策略空间内没有偏好的情况（并非每两种策略都是可比的），但是，对于任何给定的时间范围和相关市场因素YT的任何状态，投资者可以在该时间范围内比较任何两种策略的条件绩效。更准确地说，我们假设，对于任何T>0，投资者在时间T的财富过程和相关随机因素的联合分布空间上有一个完整的顺序，这个顺序满足冯·诺依曼和摩根斯坦的公理。此外，对于所有这些偏好，我们需要存在一个与时间一致的最优策略，从而得到一个向前的投资绩效过程。备注1.1。值得一提的是，在[32]和[11]中引入的递归效用概念不需要独立公理，因此产生了一个非常普遍的偏好类别。特别是，由此产生的偏好可能会考虑财富过程的广泛属性——不仅是其边际分布——同时保持时间一致性。

然而，与经典方法一样，一般的递归效用理论只针对有限的时间范围发展（尽管某些特定的有限时间范围构造是可能的）。从这个角度来看，前瞻性投资绩效理论提供了一些新的东西：它的全部目的是描述为所有正时间范围定义的一类最优性标准，尽可能接近经典理论。1.2远期投资绩效过程：正式定义我们假设市场由一个银行账户组成，该账户的价值在没有任何一般性损失的情况下保持不变，k风险资产=是的，Sk, 其价格在随机基础上采用c`adl`ag半鞅Ohm, F=（英尺）t≥0，P. 下面介绍的所有随机过程都是在此随机基础上定义的。通常，通过投资策略或投资组合，我们了解向量π=π, . . . , πkTof可预测的随机过程，相对于S可积。投资者从初始财富水平x>0开始，并在风险证券和银行账户中动态分配她的财富，因此π表示她在Siat时间t中投资的财富比例。然后，由于自我融资性质，她的累积财富过程xπ，xis由dxπ给出，xt=xπ，xtπTtdSt，xπ，x=x，前提是π是S-可积且局部平方可积的。有时有必要考虑更小的投资组合。因此，我们用一组可容许投资组合表示，它是S-可积和局部平方可积过程π的子集。此外，我们引入以下符号：R+=[0，∞).定义1.2。