适用于所有时间范围的最优投资和马丁边界

我们现在应用凸分析的标准结果（参见[44]中的命题1.1），它表示局部凸空间中关于紧凸集上概率测度的积分表示该集合中的一个点（在这个意义上，应用于该点的任何连续线性泛函的值与应用于被积函数的该泛函的值的积分一致）。在目前的情况下，这意味着∈ 让我们证明这种表示的唯一性。假设存在另一对（u，ψ），使得u（t，y）=ZRe-tλψ（λ；y）u（dλ）。考虑u=（u+u）。这是一个概率度量，我们有： u和u u. 用p和前瞻性表示u和u相对于u的密度。注意，对于u-几乎每个λ，我们有ψ（λ；0）=ψ（λ；0）=1。因此，我们得到u（t，0）=ZRe-tλp（λ）u（dλ）=ZRe-tλp（λ）u（dλ）对于所有t≥ 0.回想一下，u和u的支撑必须位于[λ，∞), 对于某些λ∈ 因此，我们得到∞λe-tλp（λ）u（dλ）=Z∞λe-tλp（λ）u（dλ）根据Bernstein（或Widder-Arendt）定理（参见[55]中的TheoremII.6.3]）中积分表示的唯一性，我们得出以下结论：≡ p、 因此≡ u. 因此，我们有zλe-tλψ（λ；y）u（dλ）=Zλe-ψ（λ）d。最后，我们应用广义Widder-Arendt定理（见[4]中的定理1.2]），得出ψ和ψ作为L（R）的元素重合的结论→ C（K）；u).我们通过从定理3.12中恢复Widder表示（20）来完成本小节。回想一下，如果Ly= n=1时，（23）的任何解都是下列基本解ψ（y，λ）=ey的线性组合√λ和ψ（y，λ）=e-Y√λ、 总而言之λ≥ 如果λ<0，则（23）不存在正解。

因此，根据定理3.12，（16）的所有非负解由u（t，y）=Z给出∞E-λtc（λ）e-Y√λ+c（λ）ey√λν（dλ），其中ν是Borel测度，ci是可测的非负函数，因此上述积分处处收敛。通过改变上述变量，我们得到了Widder的表示：u（t，y）=ZReyz-zt（ν（dz）+ν（dz）），其中ν（dz）=1(-∞,0]（z）c（z）ν o M-1.（dz）和ν（dz）=1[0，∞)（z） c（z）ν o M-1.（dz），带m:λ7→ -√λ和m:λ7→√λ.备注3.14。值得讨论的是，在[40]、[6]、[8]、[15]中，表述（22）和收费公路定理之间的联系。这些论文考虑了一系列最优投资问题的解决方案，具有相同的效用函数和时间范围。假设所有优化问题的最优财富过程从下到下都有一个确定性过程的界，并且效用函数的行为类似于幂函数，对于大财富参数，收费公路定理yieldu（t，y）~ E-λtψ（λ；y），随着时间范围t增长到完整性。在这种情况下，函数u被理解为有限时间范围问题边缘值函数的逆函数。请注意，我们的结果与turnpike定理完全一致：定理3.12意味着，随着时间范围的深入，turnpike定理的渐近关系适用于一系列具有状态和时间相关效用函数的问题，这些函数对财富参数具有幂依赖性。

然而，与收费公路定理不同，在这里，我们只考虑优化问题的时间一致序列，这些序列在所有时间范围内都有一个共同的解，并且我们得到了一个精确的关系，而不是渐近的关系。3.2退化案例请注意，并非投资组合优化理论中出现的所有方程都是（16）形式。事实上，正如第2.3小节所示，在完全扩散市场中，对偶方法的应用通常会导致以下等式：ut+Lyzu=0，（t，y，z）∈ (0, ∞) ×Rn+1，（24），其中z=nXi，j=1aij（y）yiyj+nXi=1qi（y）zyi+p（y）zz+nXi=1bi（y）yi+r（y）z+c（y），具有连续函数哎呀, P气,毕, r、 c，通过随机模型的参数定义：aij（y）= σT（y）σ（y），q（y）=σT（y）λ（y），p（y）=λT（y）λ（y），b（y）=u（y）- σT（y）λ（y），r（y）=λT（y）λ（y），c（y）=0。我们可以看到x的二次型∈ Rn+1与Lyz，nXi，j=1aij（y）xixj+nXi=1qi（y）xixn+1+p（y）（xn+1）相关，在每个点y至少在一个方向上退化∈ Rn，意味着Lyzis不是一致椭圆（而是退化椭圆），作为作用于Rn+1上函数的算子。因此，上一小节中使用的许多技术（尤其是均匀哈纳克不等式）无法应用于方程（24）。为了说明这些差异，我们遵循上一小节的思路，介绍了空间定义3.15。集合E包括所有功能v：(0, ∞) ×Rn+1∪ {(0, 0, 0)} → 形式v（t，y，z）的R=e-λtψ（y，z），带任意λ∈ R和任意ψ∈ C（Rn+1），使得ψ（0，0）=1，ψ≥ 0和（Lyz- λ） ψ（y，z）=0表示所有（y，z）∈ Rn+1。我们赋予E在Mα中包含的任何紧致上一致收敛的拓扑：=（t，y，z）∈ [0, ∞) ×Rn+1T≥ αkyk+z, （25）对于任何大于0的α。

因此，很自然地认为（24）的所有非负解，在零处归一化，对于所有（t，y，z）都是给定的∈(0, ∞) ×Rn+1∪ {（0，0，0）}，式中，ν是E上的一个Borel概率测度。然而，结果表明，上述表示是不完整的！让我们构造一个（24）型方程的例子，它有一个不能用（26）形式表示的解。考虑最简单的情况，当我们的模型简化为一维BlackScholes-Merton模型时，n=1；σ（y）=σ∈ (0, ∞); u（y）=- σ/2，带√u∈ Rλ（y）=∈ 那么，方程式（24）减少了tout+σ乌伊- 2λσuzy+λσuzz+λuz-σuy=0，（t，y，z）∈ (0, ∞) ×R（27）假设u6=σ和u6=0，我们选择一个光滑函数：R→ [0, ∞), 具有紧凑的支撑，在0处取值1，并且考虑到u（t，y，z）=~nλ(λ - σ） t-λσy- Z,所有人（t，y，z）∈ [0, ∞) ×R.很容易检查上述功能是否满足（27）。让我们证明它不能通过（26）来表示。假设相反。自λ（λ）- σ） 6=0，存在（y，z）∈ Rand t>0，使得u（t，y，z）=0且u（0，y，z）>0。考虑到0=u（t，y，z）=zEv（t，y，z）ν（dv）。由于∧E的所有元素都是非负的，因此我们得出结论，v（t，y，z）=0表示ν-几乎每一个v∈~E.接下来，从~E的定义出发，我们得出结论，v（0，y，z）=0表示ν-几乎每一个v∈因此，u（0，y，z）=0。因此，我们得到了期望的矛盾。与方程（24）相关的困难源于算子Lyzis退化的事实。上面的例子表明，这个算子甚至可能不是次椭圆的。因此，（24）解的先验估计及其导数（如Schauder估计和Harnack不等式）并不容易获得。这些估计对于定理3.6、3.11和3.12的证明至关重要。

当然，可以通过对模型系数施加附加条件来限制设置，虽然从财务角度来看，这不是自然的，但可以确保操作员分析H？或基本条件，即向量场从一阶和二阶微分生成的李代数具有满秩。H？ormander条件产生Lyz的亚椭圆度。参见[28]、[53]、[18]和[17]，了解H–ormander型方程的定义、存在性结果和基本解的构造。然而，下面的例子表明，H¨former条件，以及Lyz的亚椭圆度，不足以使表示（26）完整。考虑（24）的以下版本：ut+uyy+yuz=0这是满足H¨ormander条件的抛物方程的标准示例。事实上，它的亚椭圆度如[28]所示。注意函数u（t，y，z）=exp3z- 3ty- 3t满足上述等式。假设它可以通过（26）表示。然后，利用分解，u（dλ，dθ）=ν（dλ，θ）ρ（dθ），我们得到了e3z=u（0，0，z）=ZReθzν（R，θ）ρ（dθ），由此我们可以得出ρ（dθ）=δ（dθ）和ν（dλ，θ）=ν（dλ）是R上的概率测度-3t=ZReλtν（dλ）是概率分布的矩母函数。然而，[37]的定理7.3.5暗示这是不可能的。事实上，霍曼条件不能解决我们的问题也就不足为奇了：对于（24）的解，这个条件不足以建立所需的先验估计，比如哈纳克不等式。例如，文献中已有的哈纳克不等式的形式，要求H¨ormader条件有一个更强的版本，它对形式（24）的方程永远不成立（参见。

[36]、[5]和[27]）。我们已经看到，在模型系数的标准假设下，（26）未能描述（24）的所有非负解。因此，我们只能期望定理（3.11）中的“如果”部分成立。这样的陈述将允许我们描述（24）的一大类（尽管不完整）非负解。然而，为了使用这个结果，人们需要知道如何构造E的元素。后者可能会导致一个复杂的问题，如关联方程（Lyz）- λ） ψ（y，z）=0（28）是退化的，目前尚不清楚它是否有解以及如何计算。在某些特殊情况下，上述偏微分方程中变量的变化可能会消除涉及z的二阶导数，并使方程类似于（16），其中z扮演着t的角色。然而，通常情况下，这种减少是不可能的，而且，即使在可能的情况下，UZ前面的系数也可能退化，因此我们无法应用理论3。11和3.12来描述（28）的非负解。鉴于上述讨论，这里我们只描述了（24）的一类非负解，它可以通过求解一系列统一的偏微分方程（与应用定理3.12所需的复杂度相同）来构造。定理3.16。考虑一个函数u，由u（t，y，z）=ZRe给出-tλ-zθψ（λ，θ；y）u（dλ，dθ），（29）表示所有（t，y，z）∈(0, ∞) ×Rn+1∪{（0，0，0）}，在非负函数ψ：R上有一个Borel概率测度u→ C（Rn），使得ψ∈ LR→ C（K）；u, 对于任何紧凑的K Rnand，对于u-almostery（λ，θ），如下所示：ψ（λ，θ；0）=1和ψ（λ，θ；·）- θnXi=1qi（y）yi+θp（y）- θr（y）- λ!ψ（λ，θ；y）=0，（30）对于所有y∈ 注册护士。然后，函数u是（24）满足u（0，0，0）=1的非负经典解。证据证明是Hille（参见。

附录A或[50]）和富比尼定理。4例。1均值回复对数价格考虑一个金融市场模型，该模型仅由一个风险资产S（即n=k=1）组成，由一维布朗运动W（即d=1）驱动，viadSt=a+σ- b罗格街Stdt+σStdWt，其中a>0和b>0是常数，通常我们假设利率为零。很容易看出，实际上，S是Ornstein-Uhlenbeck过程的指数。特别是，我们得到Yt=log Stsatis fiesdyt=（a- bYt）dt+σdwt上述模型是在[49]中提出的，用于对商品价格进行建模。请注意，该市场模型是完整的，因此，我们处于第2.3小节的设置中。让我们描述一系列函数V:R+×R×（0，∞) → R、 因此V（t，Yt，x）是一个向前的性能过程。引入u（t，y，z），todenote（Vx（t，y，））-1（exp（z）），我们记得函数u应该满足方程（13），在当前的设置中，它变成了+σa+σ- 通过乌兹- 2.a+σ- 通过uyz+σuyy#+a+σ- 通过2σuz-σuy=0（31）应用定理3.16，我们将问题简化为求解方程（30），在本例中，方程（30）变成σψyy+2θa+σ- 通过- σψy+θ（θ）- 1)a+σ- 通过σ- 2λ!ψ=0对于每个θ，很容易检查以下函数是否解决了上述ODE≥ 0，ψ（λ±，θ；y）=expC±（θ）y+C±（θ）y,相应的λ=λ±（θ）=θ（θ- 1)a+σ2σ+bθ±pθ（3θ+1）-2aθa+σ+ aσ1±p3+1/θ+2aσ1±p3+1/θandC±=1-2θσa+σ-2aσ1±p3+1/θ,C±=b2σ2θ±pθ（3θ+1）根据定理3.16，我们可以构造u viau（t，y，z）=ZRexp(-zθ）exp（C+（θ）y+C+（θ）y- tλ+（θ））ν+（dθ）（32）+exp（C）-（θ） y+C-（θ） y- tλ-(θ))ν-（dθ）,对于任意Borel测度ν+和ν-在R上，这样积分-zθν±（dθ）收敛于所有z∈ R.回想一下，函数V在x中必须是凸的，这意味着函数不需要在z中递减。

因此，我们必须限制措施ν+和ν-在R+中获得支持。注意，上述族并不包含方程（31）的所有非负解：事实上，它甚至不包括定理3.16所描述的所有解。尽管如此，它代表了（31）的一大系列解决方案，可以用封闭形式编写。接下来，我们定义函数V，V：（0，∞) ×R×（0，∞) → R通孔：~V（t，y，x）=（u（t，y，log（））-1（x）和V（t，y，x）=ZxV（t，y，s）ds（33）使用方程（31），很容易推导出V的非线性偏微分方程，注意，相同的方程是由HJB方程（11）关于x的形式微分产生的。然而，正如第2小节所述。3、积分V的偏微分方程，以恢复V的HJB方程（11），并不总是一项简单的任务，可能需要额外的参数。下面的建议涉及这些技术细节。其证明是基于确定u和V的适当估计，并在附录B提案4.1中给出。对于任何a，b，σ>0和任何Borel测度ν+，ν-, 在（0，∞),由（32）-（33）给出的函数V定义良好，满足HJB方程（11），其中n=k=1，u（y）=a- 由，和σ（y）=σ。让我们证明V（t，Yt，x）是一个向前的性能过程。由于V满足HJB方程，因此很容易推断，对于任何投资组合π，存在一个局部化序列{τn}，使得过程（V（t，Yt，Xπ，xt））t≥0，在τn处停止，是一个超鞅。通过构造，函数V是严格正的，因此，Fatou引理的标准应用表明，上述过程本身就是一个超鞅。现在，让我们构建一个最佳财富过程。

根据（4），它应该满足YDX*t=-σa+σ- 比亚特σa+σ- 比亚特Vx（t，Yt，X*t） +σVxy（t，Yt，X*t） Vxx（t，Yt，X*t） dt-σa+σ- 比亚特Vx（t，Yt，X*t） +σVxy（t，Yt，X*t） Vxx（t，Yt，X*t） dwt由于≈V的光滑性，解X*对于任何初始条件X，上述等式的唯一定义*> 0，直到爆炸时间。这些估计（39）反过来意味着X的对数*（再次定义，直到爆炸时间）满意度：d log X*t=ξtdt+ζtdWt，|ξt|≤ c（1+Yt），|ζt |≤ c（1+| Yt |），常数c>0，仅取决于a、b、σ和η。因为t是任意阶的有限矩，所以对于任意t，X是平方可积的。因此，log（X）是一个非爆炸的连续过程，因此X*是非常积极的，不会爆炸。下面的命题意味着V（t，Yt，x）是一个正向性能过程，因此完成了构建。其证明见附录B提案4.2。过程（V（t，Yt，X*t） ）t≥0是一个鞅。4.2均值回复对数波动率在这里，我们考虑了第2.4小节中讨论的双因素随机波动率模型中的同质正演过程的一个例子，对于该模型，验证程序（尤其是验证可压缩性）变得非常简单。考虑单个风险集合（即n=2和k=1）的双因素随机波动率模型，由二维布朗运动W=（W，W）（即d=2）驱动，通过：dSt=St（κ）- uYt）exp（Yt）dt+Stexp（Yt）dWt，dYt=（a- bYt）dt+σρdWt+p1- ρdWt,哪里∈ R、 b>0，κ∈ R、 u≥ 0和σ>0是常数。和往常一样，利率假定为贝塞罗。本节进一步对b/σ进行了额外假设。请注意，在上述模型中，随机因子Y控制着即期波动率exp（Yt）和瞬时漂移。

特别是，当波动率非常大时，漂移变为负值，反之亦然。随机因素本身表现出一种均值回复行为。和前面一样，我们想描述一系列函数V:R+×R×（0，∞) → R、 因此V（t，Yt，x）是一个向前的性能过程。对于一些非零常数γ<1和函数V:R+×R，我们额外假设同感偏好：V（t，y，x）=xγV（t，y）→ R这一点尚未确定。因此，我们处于第2.4小节的设置中。引言gu（t，y）=（v（t，y））1/δ，δ=1- γ1 - γ+ργ，我们注意到，在这种情况下，等式（15）变成了+σuyy+A.- 通过+ρ∑γ1- γ(κ - uy）uy+2Δγ1- γ(κ - uy）u=0应用定理3.12，我们将问题简化为方程（23），在本例中，方程变成σψyy+A.- 通过+ρ∑γ1- γ(κ - uy）ψy+2δγ1 - γ(κ - uy）- λψ=0那么，很容易检查以下函数ψ（λ±；y）=expC±y+C±y,用相应的λ±=σ求解上述常微分方程C±+ C±+ C±a+ρσκγ1- γ+2δγ1 - γκ和C±=±κ∑γ1-γ1 +ργ1-γ- 2C±aσ+κργ1-γRbσ+μργ1-γ-uδγ1-γ、 C±=bσ+μργ1- γ±sbσ+μργ1- γ-uδγ1 - γ、 假设bσ≥ usργ（1）- γ)+γ1 - γ- ργ1 - γ!（34）特别地，函数u（t，y）=ν+e-tλ+expC+y+C+y+ ν-E-tλ-经验C-y+C-Y解（15），因此，以下函数是正向HJB方程（10）的解：V（t，y，x）=xγν+e-tλ+expC+y+C+y+ ν-E-tλ-经验C-y+C-Yδ、 对于任意的ν+，ν-≥ 0.如前一个例子所示，可以直接检查，对于任何投资组合π，过程（V（t，Yt，Xπ，xt））t≥0是一个超级艺术家。