半鞅模型的随机期无套利

第二个结果集中于确定随机时间τ的模型，使得对于任何半鞅S享受NUPBR（F），停止的过程Sτ享受NUPBR（G）。我们首先回顾一些一般的符号。对于任何过滤H，我们表示EO（H）：=O（H） B（Rd），eP（H）：=P（H） B（Rd），（2.4），其中B（Rd）是Rd上的Borelσ场。S的跳跃度量由u表示，由u（dt，dx）=Xu>0I给出{Su6=0}δ（u，Su）（dt，dx），用于产品可测量的功能W≥ 0开Ohm ×[0, +∞[×Rd，我们表示W u（或有时滥用符号W（x） u）过程（W） u）t:=ZtZW（u，x）u（du，dx）=X0<u≤tW（美国），（苏）我{Su6=0}。（2.5）也在Ohm × [0, +∞[×Rd，我们定义了测量值MPu：=P ubyRW dMPu：=E[W u(∞)] （当积分定义良好时）。产品可测泛函W的条件“期望”给定nep（H），即满足[wi∑的u niqueeP（H）-可测泛函fw u(∞)] = EhfW I∑ u(∞)i、 总之∑∈eP（H）。以下定理给出了满足NUPBR（G）的F-拟左连续过程在以τ停止后的一个特征。这个定理的证明将在5.1小节给出，而它的陈述是基于以下F-半鞅（0）：=xI{ψ=0<Z-} u，其中ψ：=MPuI{eZ>0}eP（F）. （2.6）定理2.8。假设S是F-拟左连续的。那么，以下断言是等价的。（a） Sτ满足NUPBR（G）。（b） 对于任何δ>0，过程i{Z-≥δ}s- S（0）满足NUPBR（F）。（2.7）（c）对于任何n≥ 1.程序-S（0））σnsatis fies NUPBR（F），其中σn:=inf{t≥ 0:Zt<1/n}。备注2.9。1） 从断言（c）可以理解，Sτ的NU-PBR（G）性质可以通过检查S来验证- S（0）满足NUPBR（F）至σ∞:= supnσn。这也等价于可预测集{Z）上相同过程的toNUPBR（F）-≥ δ} ，δ>0.2）泛函ψ和Z-+ fm:=MPu（eZ | eP（F））满足{ψ=0}={Z-+ fm=0} {eZ=0}，MPu- a、 e。

（2.8）事实上，由于托兹≤ 我{eZ>0}，我们有0≤ Z-+ fm=MPueZ | eP（F）≤ ψ.因此，我们把t{ψ=0} {Z-+ fm=0} {eZ=0}MPu- a、 一方面。另一方面，反向夹杂遵循0=MPuI{Z-+fm=0}I{eZ=0}= MPuI{Z-+fm=0}ψ.3） A是上述备注2）的结果，且{eZ=0<Z-}  [[σ∞]], 我们推断S（0）是一个c`adl`ag F-适应过程，与var（S（0））存在有限的变化∞≤ |Sσ∞|I{σ∞<+∞}. 此外，它可以写成asS（0）：=Sσ∞I{eZσ∞=0=ψ(σ∞,Sσ∞) & Zσ∞->0}I[[σ∞,+∞[[.这证明了定理2.8之前关于过程S（0）的说法。下面的推论对研究问题（P2）很有用，它描述了F-拟左-连续模型S的例子，该模型也有完整的（2.6）。推论2.10.假设S是F-拟左-连续且满足NUPBR（F）。那么，下面的断言成立。（a）如果S、 S（0满足NUPBR（F），然后Sτ满足NUPBR（G）。（b） 如果S（0）≡ 0，则过程Sτ满足NUPBR（G）。（c） 如果{s6=0}∩ {eZ=0<Z-} = , 然后Sτ满足NUPBR（G）。（d） 如果EZ>0（相当于Z>0或Z-> 0），然后Sτ满足NUPBR（G）。证据（a） 假设S、 S（0满足NUPBR（F）。那么，很明显- S（0）满足NupBr（F），断言（a）来自定理2.8。（b） 自S满足NUPBR（F）和S（0）以来≡ 0，那么S、 S（0≡ （S，0）满足NUPBR（F），断言（b）来自断言（a）。（c） 很容易看出这一点{s6=0}∩ {eZ=0<Z-} =  意味着S（0）≡ 0（由于（2.8））。因此，断言（c）和（d）从断言（b）开始，推论的证明就完成了。备注2.11。值得一提的是，X- Y可能满足nupbr（H），而（X，Y）可能不满足N UPBR（H）。

对于一个非平凡的例子，考虑Xt=Bt+λt和Yt=ntb，其中B是标准布朗运动，N是强度为λ的泊松过程。现在我们给出了拟左连续半鞅的第二个问题（P2）的答案。稍后（定理2.22）我们将推广这个结果。提案2.12。以下断言是等价的：（a）thin setneZ=0&Z-> 0ois可访问。（b） 对于F-拟左-连续且满足NUPBR（F）的任何（有界）S，过程Sτ满足NUPBR（G）。证据申请书（a）=>（b） 根据推论2.10–（c），因为{s6=0}∩ {eZ=0<Z-} = .我们现在集中精力证明相反的含义。为此，我们假设断言（b）成立，并且我们考虑F-停止时间σ，使得[[σ]] {eZ=0<Z-}. 众所周知，σ可以分解为完全不可接近的部分σI和可接近的部分σa，σ=σI∧ σa.考虑拟左连续F-鞅=V-电动汽车∈ M0，loc（F），其中V:=I[[σI+∞[andeV:=（V）p，F.从[14，第14段，第二十章]可知{eZ=0}和{Z]-= 0}与]]0，τ]]不相交。（2.9）这意味着τ<σ≤ σiP- a、 s。。因此，我们得到mτ=-eVτ是G-可预测的。（2.10）由于Mτ满足NUPBR（G），因此我们得出结论，由于引理2，该过程为空（即eVτ=0）。因此，我们得到0=EeVτ= EZ+∞Zs-开发人员= EZσi-I{σI<+∞},或等价于Zσi-I{σI<+∞}= 0便士- a、 s.只有当σi=+∞ P- a、 关于{σi<+∞}  {σ=σi<+∞} 我们有Zσi-= Zσ-> 0.这证明σ是一个可访问的停止时间。因为{eZ=0<Z-} 是可选的精简集，断言（a）紧跟其后。这就结束了这个命题的终结。2.3具有可预测跳时的瘦过程在这一小节中，我们概述了关于带随机时间的F-半鞅的停止可及部分的NUPBR条件的主要结果。

这归结为只考虑具有可预测jum p次的薄半鞅。我们首先解决单跳过程中的qu估计（P1），该过程具有可预测的跳变时间。定理2.13。考虑一个F-可预测的停止时间T和一个FT-可测量的随机变量ξ，使得E（|ξ| FT）-) < +∞ P- a、 s。。如果S:=ξI{ZT->0}I[[T+∞[[，那么以下断言是等价的：（a）Sτ满足NUPBR（G），（b）过程：=ξI{eZT>0}I[[T+∞[=I{eZ>0} S satis Fies NUPBR（F）。（c） 存在一个概率测度(Ohm , FT），用QT表示，因此QT相对于P是绝对连续的，S满足NUPBR（F，QT）。这个定理的证明很长，并且需要中间结果，这些结果本身就很有趣。因此，这一点将在后面的第5节中给出。备注2.14。1） 定理2.13 g的重要性超出了它的重要作用，它是更一般结果的基础。在f act中，定理2.13为Sτ的NUPBR（G）提供了两个不同的刻画。第一个特征表示为测量值绝对连续变化下S的N UPBR（F），而第二个特征使用S的变换而不改变测量值。此外，定理2.13可以很容易地推广到可数多阶可预测跳跃时间T=0的情况≤ T≤ T≤ ... 带supnTn=+∞ P- a、 s..2）在定理2.13中，选择形式为s:=ξI{ZT的s->0}I[[T+∞[[没有限制性。这可以从以下事实中理解：任何单个跳跃过程都可以分解为：=ξI[[T+∞[[=ξI{ZT->0}I[[T+∞[[+ξI{ZT-=0}I[[T+∞感谢{T≤ τ}  {ZT-> 0}，我们有bτ=ξI{ZT-=0}I{T≤τ}I[[T+∞[[≡ 0（显然）是aG鞅。

因此，S中唯一需要仔细注意的部分是：=ξI{ZT->0}I[[T+∞以下结果是（P2）在可预测单跳过程中的一个完整答案。命题2.15。设T为F-可预测停止时间。那么，以下断言是等价的：（a）关于{T<+∞}, 我们有一个zt=0onZT-= 0o。（2.11）（b）对于任何M:=ξI[[T+∞[[ξ在哪里∈ L∞（FT）使得E（ξ|FT-) = 0，Mτ满足NUPBR（G）。证据我们从证明（a）开始=> （b） 。假设（2.11）成立；由于上述r标记2.142），我们可以将注意力限制在情况M:=ξI{ZT上->0}I[[T+∞[[ξ在哪里∈ L∞（FT）使得e（ξ|FT-) = 0.因为断言（a）等同于[[T]]∩ {eZ=0&Z-> 0} = , 我们推导出fm:=ξI{eZT>0}I{ZT->0}I[[T+∞[[=M是F-鞅。因此，直接应用定理2.13（对M）可以得出结论，Mτ满足上鞅（G）。这是（a）的证明=> （b） 。为了证明相反的含义，我们假设断言（b）成立并考虑：=ξI[[T+∞[[，其中ξ：=I{eZT=0}- P（eZT=0 |英尺-).从（2.9）中，我们得到{T≤ τ }  {eZT>0} {ZT-> 0}表示th atMτ=-P（eZT=0 |英尺-)I{T≤τ}I[[T+∞[[是G-可预测的。因此，当且仅当Mτ是等于M=0的常数过程时，Mτ满足NUPBR（G）。这相当于0=EhP（eZT=0 | FT）-)I{T≤τ}I[[T+∞[i=E]ZT-I{eZT=0&T<+∞}.很明显，这个等式等价于（2.11），断言（a）如下。这就结束了定理的证明。我们现在陈述定理2.13的以下版本，如前所述，它提供了（P1）的一个答案，在有可数的任意可预测跳跃的情况下。第5.3小节将给出该定理的证明。定理2.16。

让我们成为一个只有可预测的跳转时间且满足NUPBR（F）的瘦过程。那么，以下断言是等价的。（a） 过程Sτ满足NUPBR（G）。（b） 对于任何δ>0，都存在一个正的F-局部鞅Y，如p，F（Y）|S|）+∞ andp，FYSI{eZ>0&Z-≥δ}= 0.（2.12）备注2.17。1） 假设S是一个只有可预测跳跃的瘦过程，满足NUPBR（F），并且{eZ=0&Z-> 0} ∩ {s6=0}= 持有。然后，Sτ满足NUPBR（G）。这是从定理2.16出发，使用Y∈ L（S，F）和引理2.4.2）类似于命题2.12，我们可以很容易地证明，薄集{eZ=0&Z-> 当且仅当Xτ满足任何薄过程X的NUPBR（G）且可预测跳跃仅满足NUPBR（F）。2.4本文的总体框架，与任何H-半鞅X，我们关联（H）-可预测停止时间（TXn）n序列≥1这耗尽了X的可访问跳跃时间。此外，我们可以将X分解为以下内容。X=X（qc）+X（a），X（a）：=IΓX 十、 X（质量控制）：=X-X（a），ΓX：=∞[n=1[[TXn]]。（2.13）过程X（a）（X的可接近部分）是一个只有可预测跳跃的薄过程，而X（qc）是一个H-准左连续过程（X的准左连续部分）。引理2.18。设X是H-半鞅。那么X满足NUPBR（H）当且仅当ifx（a）和X（qc）满足NUPBR（H）。证据由于命题2.3，X满足NUPBR（H）当且仅当存在H-可预测实值过程φ>0和正H-局部鞅Y，使得Y（φ 十） 是一个H-局部鞅。很明显，Y（φIΓX 十） 和Y（φIΓXc） 十） 都是H-局部鞅。

证明了X（a）和X（qc）都满足NUPNR（H）。相反，如果X（a）和X（qc）满足NUPNR（H），则存在两个H-可预测实值过程φ，φ>0和两个正H-局部鞅D=E（N），D=E（N），使得D（φ（IΓX S） ）和D（φ （IΓXc） 十） ）都是H-局部鞅。注意，在假设N=IΓX时，并没有失去一般性 Nand N=IΓXc N.PutN:=IΓX N+IΓXc Nandψ：=φIΓX+φIΓXc。显然，E（N）>0，E（N）和E（N）（ψ） S） 是H-局部鞅，ψ是H-可预测的，0<ψ≤ 1.引理的证明到此结束。下面，我们在这个总体框架中陈述问题（P1）的答案，使用引理2.18将是定理2.8和2.13的结果。定理2.19。假设S满足NUPBR（F）。那么，以下断言是等价的。（a） 过程Sτ满足NUPBR（G）。（b） 对于任何δ>0，过程i{Z-≥δ} （S（qc）- S（qc，0））：=I{Z-≥δ} （S（qc）- IΓc S（0））满足NU-PBR（F），并且存在一个正的F-局部鞅Y，例如p，F（Y）|S|）+∞andp，FYSI{eZ>0&Z-≥δ}= 0.证明。由于引理2.18，很明显Sτ满足NUPBR（G）当且仅当（S（qc））τ和（S（a））τ都满足NUPBR（G）时。因此，利用定理2.8和定理2.16，我们推断最后一个事实成立当且仅当对于任何δ>0，过程I{Z-≥δ} （S（qc）-IΓc S（0））满足NUPBR（F）并且存在一个正的F-局部鞅Y，例如p，F（Y）|S |）=p，FY|S（a）|< +∞ andp，FYSI{eZ>0，Z-≥δ}=p、 FYS（a）I{eZ>0，Z-≥δ}= 这就结束了定理的证明。推论2.20。以下断言成立。（a） 如果m是连续的或Z是正的（等效YEZ>0或Z-> 当S满足NUPBR（F）时，Sτ满足NUPBR（G）。（b） 如果满足NUPBR（F）和{s6=0}∩ {eZ=0<Z-} = , 然后Sτ满足NUPBR（G）。（c） 如果S是连续的且满足NUPBR（F），那么对于任意随机时间τ，Sτ满足NUPBR（G）。证据

1） 推论断言（a）的证明很容易遵循定理2.19。事实上，在这两种情况下，其中一种是{eZ=0<Z-} =  这意味着{eZ=0，δ≤ Z-} =  和S（qc，0）≡ 0（由于（2.8））。然后，由于引理2.4，必须取Y∈ L（S，F）-由于这个集合是非空的，并且应用定理2.19.2），很明显，断言（c）来自断言（b）。为了证明后一种说法，我们只需记住这一点{s6=0}∩{eZ=0，δ≤ Z-} =  意味着i{Z-≥δ} S（qc，0）≡ 0和SI{eZ=0，δ≤Z-}= SI{Z-≥δ}.因此，再一次，这就足够了∈ L（S，F）并应用定理2.19。这就结束了冠状动脉的证明。备注2.21。上述推论的两个断言中的任何一个都推广了Fontanet al.[20]的主要结果，该结果是在对随机时间τ和市场模型的一些限制性假设下得出的。下面，我们给出问题（P2）的一般答案，作为定理2.8、2.12和2的推论。16.定理2.22。以下断言是等价的：（a）thin setneZ=0&Z-> 0ois瞬间消失。（b） 对于任何（有界）X满足NUPBR（F），Xτ满足NUPBR（G）。证据假设断言（a）成立，并考虑满足NUPBR（F）的进程X。那么，X（qc，0）：=IΓcX X（0）≡ 0，其中X（0）的定义如（2.6）所示。因此I{Z-≥δ}X（qc）- IΓcX X（0）一方面，满足任何δ>0的NUPBR（F），并且（X（qc））τ的NUPBR（G）性质紧随定理2.8。另一方面，很容易看到X（a）处的th完全用Y填充条件（2.12）≡ 1.因此，由于定理2.16（适用于薄过程X（a）满足NUPBR（F）），我们得出结论（X（a））τ满足NUPBR（G）。因此，由于引理2.18，（a）=>（b） 我完成了。我们现在反驳（b）的断言。一方面，从命题2.12，我们推断{eZ=0<Z-} 是可访问的，可以用F-可预测停车时间（Tn）n的图表覆盖≥1.

另一方面，将命题2.15直接应用于所有单可预测jumpF鞅，我们得到{eZ=0<Z-} ∩ [T]= 对于任何F-预定的停止时间T。因此，我们得到{eZ=0<Z-} =∞[n=1{eZ=0<Z-}∩ [Tn]]= .这证明了断言（a），定理的证明就完成了。3.随机性-和-对于信息性无套利在本节中，我们开发了新的随机结果，这些结果将在前一节概述的主要结果的证明和/或陈述中发挥关键作用。第一小节比较了G-补偿器和F-补偿器，而第二小节研究了G-鞅，它在显式构造补偿器中至关重要。我们记得Z-+ m=eZ（见[27]）。引理3.1。设Z和Z是（2.1）给出的两个超鞅。（a） 三个集合{eZ=0}，{Z=0}和{Z-= 0}具有相同的d′ebut，这是我们用br:=inf{t表示的F-停止时间≥ 0 | Zt-= 0}. （3.14）（b）以下F-停止时间br：={ZbR上的bR-= 0}+∞ 其他WiseAnder：={eZbR=0}上的bR+∞ 另一种情况是，bris是F-可预测的停止时间，τ≤bR，τ<eR，P- a、 s.（3.15）（c）G-Ht:=（Zt）-)-1I[[0，τ]]（t），（3.16）是G-局部有界的。证据根据[14，第14段，第XX章]，对于任意随机时间τ，集合{eZ=0}和{Z-= 0}与[0，τ]]不相交，且具有相同的下界br，最小的F-停止时间大于τ。因此，我们还得出结论，{Z=0}与]]0，τ[[]不相交。这导致断言（a）。过程x:=Z-1I]]0，τ[[作为c`adl`ag G-超鞅[42]，其左极限是局部有界的。那么由于(Z)-)-1I]]0，τ]]=X-,H的局部有界性如下。

这就结束了引理的存在。3.1 G和F下的双重可预测预测预测之间的确切关系本小节的主要结果总结在引理3.3和3.4中，其中我们讨论了如何根据F-双重可预测预测预测计算G-双重可预测预测预测预测的问题，反之亦然。这些结果基本上基于以下关于过滤的渐进放大的标准结果（我们请读者参考[14,26]以获取证据）。提议3.2。设M是F-局部鞅。然后，对于任意随机时间τ，过程cmt:=Mτt-Zt∧τdhM，mifsz-（3.17）是G-局部鞅，其中m在（2.2）中定义。在下面的引理中，我们用F-对偶可预测投影表示F-局部可积变分过程的G-对偶可预测投影，用非可预测投影表示G-可预测投影。引理3.3。以下断言成立。（a） 对于任何具有局部可积变分的F-适应过程V，我们有（Vτ）p，G=（Z-)-1I]]0，τ]] （eZ） V）p，F.（3.18）（b）对于任何F-局部鞅M，我们有，[[0，τ]]p，G梅兹=p、 FMI{eZ>0}Z-, andp，G简单=p、 FI{eZ>0}Z-. （3.19）（c）对于任何拟左连续F-局部鞅M，我们有，[[0，τ]]p，G梅兹= 0，和p，GZ-+ m（qc）=Z-, （3.20）其中m（qc）是（2.13）中定义的准左连续F-鞅。证据（a） 使用符号（3.16），等式（3.17）的形式为mτ=cM+HI]]0，τ]] 嗯，米夫。取M=V-我们得到vτ=I]]0，τ]] Vp，F+cM+HI]]0，τ]] hV，miF=cM+I]]0，τ]] 副总裁，F+Z-一] ]0，τ]] (M V）p，F，证明断言（a）。（b） 设M是F-局部鞅，则对于任何正整数（n，k），过程V（n，k）：=P梅齐{|M|≥K-1，eZ≥N-1} 具有局部可积的变化。