半鞅模型的随机期无套利

这就结束了（5.65）的证明，这个定理的证明就完成了。附录A局部鞅的表示本节回顾了关于局部鞅表示的一个重要结果。这个结果依赖于连续局部鞅部分和给定半鞅的jum p随机测度。因此，在这一节中，我们假设给定一个d维半鞅，S=（St）0≤T≤T.对于这个半鞅，我们将其可预测的特征联系起来，我们将在下面介绍（关于这些和其他相关的iss的更多细节，请读者参阅[25]的第II.2节）。与S跳跃相关的随机测量值eu由u（dt，dx）=XI定义{Ss6=0}δ（s，Ss）（dt，dx），在点a处有δathe Dirac测度。S的连续局部鞅部分用Sc表示。这导致了以下分解，称为“正则表示”（见[25]第II.2节定理2.34），即S=S+Sc+h（x） (u - ν） +（x）- h（x）） u+B，（A.67）其中，随机测度ν是随机测度u的补偿器，函数h（x）是由h（x）=xI{x给出的运行函数|≤1} B是一个有界变化的可预测过程。对于条目Cij:=hSc，i，Sc，ji的矩阵C，三元组（B，C，ν）称为可预测特征S。此外，我们可以找到满足B=B的特征三元组的版本 A、 C=C A和ν（ω，dt，dx）=dAt（ω）Ft（ω，dx）。（A.68）这里A是一个递增的、可预测的过程，它是连续的当且仅当S是准左连续的，b和c是可预测的过程，Ft（ω，dx）是可预测的核，bt（ω）是可预测的向量，ct（ω）是对称的d×d-矩阵，对于所有（ω，t）∈ Ohm ×[0，T]。

在续集中，我们通常会去掉ω和t，然后写F（dx）作为Ft（ω，dx）的缩写。特征B，C和ν，satisfyFt（ω，{0}）=0，Z（|x）|∧ 1） Ft（ω，dx）≤ 1.Bt=bA=Zh（x）ν（{t}，dx），c=0{A 6=0}。我们将νt（dx）：=ν（{t}，dx），设为：=νt（IRd）=税务局≤ 1.对于以下表示定理，我们参考[24，定理3.75，第103页]和[25，引理4.24，第三章]。定理A.1。让N∈ M0，位置。然后，存在一个可预测的Sc可积过程β，N⊥∈ M0和Locn⊥S正交函数和泛函f∈eP和g∈行政长官（a）附言≤tfs(Ss）我{Ss6=0}1/2和附言≤tgs(Ss）我{Ss6=0}1/2至A+loc。（b） MPu（g|eP）=0，MPu- a、 e.式中MPu：=P u.（c） 过程N满意度N=β Sc+W (u - ν） +g u+N⊥, 其中W=f+bf1- aI{a<1}。（A.69）这里bft=Rft（x）ν（{t}，dx）和f的版本是{A=1} {bf=0}。此外新界=英尺(St）+gt(（圣）我{St6=0}-bft1- atI{St=0}+N⊥t、 （A.70）四胞胎β、 f，g，N⊥称为局部鞅N关于s的J acod参数。下面是关于MPu的条件期望的一个简单但有用的结果。引理A.2。考虑满足通常条件的过滤。设f和g两个非负（H）-可测泛函。那我们就有了fg | eP≤ MPuf | ePMPug | eP, MPu–a.e.（a.71）证明。p屋顶与常规柯西-施瓦兹公式的屋顶相同，即“f:=f/MPu”f | eP和¨g:=g/MPug | eP用简单的不等式xy≤ （x+y）/2。这就结束了引理的证明。下面的引理借鉴了[24]中的雅科德定理3.75（另见[8]中的命题2.2]）。引理A.3。设E（N）为正局部鞅，（β，f，g，N′）为N的Jacod参数。然后E（N）>0（或相当于1+N>0）表示f>0，MPu- a、 e.定理a.4。

设S为具有可预测特征三重态（b，c，ν=a）的se-mi鞅 F），N是一个局部鞅，使得E（N）>0，（β，F，g，N′）是它的J-acod参数。接下来的断言成立。1） E（N）是S的σ-鞅密度当且仅当以下两个性质成立：Z | x- h（x）+xf（x）| F（dx）<+∞, P A.- a、 e.（a.72）和b+cβ+Z十、- h（x）+xf（x）F（dx）=0，P A.-a、 特别是，我们有Zx（1+ft（x））ν（{t}，dx）=Zx（1+ft（x））ft（dx）At=0，P- a、 e.（a.74）证据。证据可以在Choulli等人[7，引理2.4]以及Choulli和Schweizer[8]中找到。引理A.5。（见Choulli和Schweizer[8]）：考虑满足通常条件的过滤。设f是aeP（H）-可测泛函，使得f>0和H（f）- 1) ui1/2∈ A+loc（H）。（A.75）那么，H-可预测过程1.- 啊+bfH-1是局部有界的，henceWt（x）：=ft（x）- 11- aHt+bfHt∈ Gloc（u，H）。（A.76）这里，aHt:=νH（{t}，Rd），bfHt:=Rft（x）νH（{t}，dx）和νHis是K的H-可预测随机测度compensator∈oLloc（bm，G）我们从[0，τ]]开始计算，利用引理3.3。我们记得κ：=Z-+ 嗯。K bm-p、 G（K） bm）=I]]0，τ]]Z- bmκeZ-p、 GI]]0，τ]]Z-κeZ bm=（Z）-M-Z-hmiF）κeZ+p，F（I{eZ>0}hmiF）κ-p、 F(mI{eZ>0}）Z-κ=meZI]]0，τ]]-p、 FI{eZ=0}一] [0，τ]]=：五、- VG。（B.77）这里，在（3.23）中定义的VG是非减损的，c`adl`ag和G-局部有界的（见命题3.5）。因此，我们立即推断出atP(VG）=VG VGis是局部有界的，在本部分的其余部分中，我们将重点介绍provingpP(V）∈ A+loc（G）。为此，我们考虑δ∈ （0,1）和定义：{m<-δZ-} 而Ccits在Ohm  [0, +∞然后我们得到了qx(V）≤X(m） eZICI]]0，τ]]1/2+X(m） eZICcI]]0，τ]]1/2≤X|m | eZICI]]0，τ]]+1- δ一] ]0，τ]]Z- [m]1/2=：V+V。上面最后一个不等式是topP(十）≤P|X|andeZ≥ Z-(1 - δ） 在Cc上。

使用（Z）的事实-)-1I]]0，τ]]是G-局部有界的，而m是F-局部有界鞅，这与G-局部有界有关。因此，我们着重于证明V的G-局部可积性。考虑一系列G-停止时间（θn）n，其增加+∞ 和（Z）-)-1I]]0，τ]]θn≤ n、 对于过程V:=P，还考虑停止时间的F-局部化序列（τn）n(m） 一,+|m |。那么，很容易证明：=X|m|I{m<-δ/n}≤n+ΔδV，并得出（Un）τn∈ A+（F）。因此，杜伊托克∩ ]]0, τ ]] ∩ [0，n]={m<-δZ-} ∩ ]]0，θn]]∩ ]]0, τ]] ]]0, τ]] ∩ ]]0，θn]]∩{m<-δn}，我们导出（V）θn∧τn≤简单-1I]]0，τ]] （Un）τn.由于（Un）τ是F-适应的、非减量的和可积的，然后due到引理3.4，我们推断过程Vθn∧τnis非减量、G-适应且可积。自从θn∧ τ9增加到+∞, 我们得出结论，该过程是G-局部可积的。这就完成了K的证明∈oLloc（bm，G），过程L（通过（3.27）和定义3.6给出）是一个G-lo局部鞅。C G-定位与F-定位引理C.1。设HGbe aeP（G）-可测函数。下面的例子适用。（a） 存在aneP（F）-可测量的功能性HFA和B（R+）eP（F）-可测泛函KF:R+×R+×Ohm X路→ R使得hg（ω，t，x）=HF（ω，t，x）I]]0，τ]]+KF（τ（ω），t，ω，x）I]]τ+∞]]. （C.78）（b）如果HG>0（分别为HG≤ 1） ，然后我们可以选择HF>0（分别为HF≤ 1） 这样hg（ω，t，x）I]]0，τ]]=HF（ω，t，x）I]]0，τ]]。证据断言证明（a）完全模仿了Jeulin[26]的方法，将被省略。为了证明HG>0时HF的正性，我们考虑HF:=（HF）++I{HF=0}>0，并且我们注意到due到（C.78），我们有]]0，τ]] {HG=HF} {HF>0}。因此，我们得到hgi]]0，τ]]=HFI]]0，τ]]。同样，我们认为∧ 1，我们推导出，如果hg的上界为1，则过程hf也可以选择不超过1。

这就结束了这个命题的证明。在下文中，我们陈述并证明本小节的主要结果。提案C.2。对于任何α>0，以下断言成立：（a）设h为aeP（h）-可测泛函。然后，p（h）- 1) u ∈ A+loc（H）i ff（H）-1） I{|h-1|≤α} u和| h- 1 | I{| h-1|>α} u属于A+loc（H）。（b） 设（σGn）nbe为一系列G-停止时间，增加至完整性。然后，存在F-停止时间的递增序列（σFn）n≥1，满足以下性质σGn∧ τ=σFn∧ τ, σ∞:= su pnσFn≥bR P- a、 s.，（C.79）和Zσ∞-= 0便士- a、 s.on∑∩ (σ∞< +∞), 其中：∑≥1（σFn<σ∞).（c） 设V为F-可预测且不递减的过程。那么，Vτ∈ A+loc（G）当且仅当I{Z-≥δ}五、∈ A+loc（F）表示任何δ>0。（d） 设h为非负的andeP（F）-可测泛函。然后，hI]]0，τ]] u ∈ A+loc（G）i f，仅当δ>0时，hI{Z-≥δ} u∈ A+loc（F），其中u：=eZcenterdotu。（e） 设f为正，p（f）-可测，且u：=eZ u. 然后q（f）- 1） I]]0，τ]] u ∈ A+loc（G）i fff q（f）- 1） I{Z-≥δ} u∈ A+loc（F），对于所有δ>0。证据（a） 放置W:=（h）- 1) u=W+W，其中W:=（h）- 1） I{|h-1|≤α} u，W:=（h）-1） I{|h-1|>α} u和W′：等于| h- 1 | I{| h-1|>α} u. 注意√W≤pW+pW≤pW+W′。因此√W、 W′∈ A+Locine√W是局部可积的。相反，如果√W∈ A+loc，√魔杖√都是局部可积的。由于Wis局部有界且具有有限的变化，Wis局部可积。下面，我们重点讨论W′的局部可积性的证明。表示τn:=inf{t≥ 0:Vt>n}，V:=W。很容易看出τ增加到单位，V-≤ n在集合上]]0，τn]]。在片场{V>0}，我们有五、≥ α.

利用初等不等式1+nα-pnα≤√1+x-√十、≤ 1、何时≤ 十、≤nα，我们有pv-+ 五、-pV-≥ βn√V on]]0，τn]]，其中βn:=r1+nα-rnα，和W′τn=十、√五、τn≤βn十、√五、τn=βn嗯τn∈ A+loc（H）因此W′∈ （A+loc（H））loc=A+loc（H）。（b） 由于Jeulin[26]，存在一系列F-停止时间（σFn），因此σGn∧ τ=σFn∧ τ. （C.81）将σn:=su pk≤nσFk，我们将证明σGn∧ τ=σn∧τ、 （C.82）或相当于{σFn∧ τ<σn∧ τ} 可以忽略不计。由于（C.81）和σGnis不变，我们推导出{σFn<τ}={σGn<τ}n\\i=1{σGi=σFi} {σFn=σn}。这就是，{σFn∧ τ<σn∧ τ} ={σFn<τ，&σFn<σn}=,（C.82）的证明已经完成。在不丧失普遍性的情况下，我们假设序列σfn是非减量的。通过取（C.81）中的极限，我们得到τ=σ∞∧ τ、 P-a、 等于σ∞≥ τ、 P-a、 s.Sin cebR是最小的F-停止时间，几乎可以肯定地大于或等于τ，we，σ∞≥bR≥ τP- a、 s。。这就得到了（C.79）的证明。在∑集上，很容易显示i[[0，σFn]]-→ I[[0，σF]∞[[，当n变成+∞.然后，再次感谢（C.81）（通过采用F-可预测投影，然后让n进入细节），我们得到了Z-= Z-I[[0，σF]∞因此，（C.80）紧跟其后，断言（b）的证明就完成了。（C）假设hI[[0，τ]] u ∈ A+loc（G）。然后，存在一系列G-停止时间（σGn）增加到完整性，使得hI[[0，τ]] 这是可积的。考虑（σn）满足（C.79）-（C.80）的一系列F-stoppingtimes（其存在由断言（b）保证）。因此，对于任何固定δ>0Wn:=MPueZ | ePI{Z-≥δ} h νσn∈ A+（F），（C.84）或等效值，该过程是C`adl`ag可预测的，具有有限的值。因此，很明显，如果我们证明F-可预测且不减损的过程w:=MPu，断言（iii）的证明将立即进行eZ | ePI{Z-≥δ} h ν是具有有限值的c`adl`ag。

（C.85）为了证明这最后一个事实，我们考虑由τδ定义的r an dom时间τδ：=su p{t≥ 0:Zt-≥ δ}.那么，很明显，I]]τδ+∞[[ W≡ 0和τδ≤bR≤ σ∞Zτδ-≥ ΔP–关于{τδ<+∞}.（C.85）的证明将通过考虑三个集合来实现，即{σ∞= ∞}, Σ ∩{σ∞< +∞},和∑c∩ {σ∞< +∞}. （C.85）显然适用于{σ∞= ∞}. 根据（C.80），我们推断τδ<σ∞, P-a、 s.on∑∩ {σ∞< +∞}. 由于W在[[0，τδ]]上受支持，因此th en（C.85）紧跟在集合∑上∩ {σ∞< +∞}. 最后，关于s et∑c∩ {σ∞< +∞} =[n]≥1{σn=σ∞}∩ {σ∞< +∞},序列σ9平稳地增加到σ∞, 因此（C.85）保留了这一套。这就完成了（C.85）的阻止，因此hI{Z-≥δ} （eZ） u）是局部可积的，对于任何δ>0。相反，如果hI{Z-≥δ} 埃兹 u ∈ A+loc（F），存在一系列F-停止时间（τn）n≥1增加到完整性和嗨{Z}-≥δ} 埃兹 uτn∈ A+（F）。那么，我们有嗨{Z}-≥δ} I[[0，τ]] u（τn）= Ehi{Z-≥δ} 埃兹 u（τn）i<+∞. （C.86）这证明了hI{Z-≥δ} I[[0，τ]] 对于任何δ>0的情况，μ都是G-局部可积的。自（Z）-)-1I[[0，τ]]是全局有界的，则存在一系列G-停止时间（τδ）δ>0，当δ减小到零时，它增加到完整性，[[0，τ]]∧ τδ]]  {Z-≥ δ}.这意味着这个过程hI[[0，τ]] uτδ是G-局部可积的，因此断言（c）紧随其后。（d） 断言（d）的p屋顶由断言（a）和断言（b）组合而成。这就结束了这个命题的证明。致谢：Tahir Choulli和Jun Deng的研究得到了加拿大自然科学和工程研究委员会（Natural Sciences and Engineering research Council of Canada）通过G121210818拨款的资助。

Anna Aksamit和Monique Jeanblanc的研究得到了法国银行业联合会Chaire Markets in transition的支持。参考文献[1]Acciaio B.，Fontana C.，Kardaras C.（2014）半鞅金融模型中的第一类Ar比特率和过滤放大，http://arxiv.org/pdf/1401.7198。pdf[2]Aksamit，A.，Choulli，T.，Deng，J.，and Jeanblanc，M.：渐进放大环境中的Arb itrages，套利，信用和信息风险，北京大学数学系列第6卷，55-88，世界科学（2014）[3]Aksamit，A.，Choulli，T.，和Jeanblanc，M.：随机时间的分解及其分类，艾伯塔大学和埃弗里·瓦尔·德松大学预印本，2013年。[4] 阿罗，K.J.，德布鲁，G.：竞争经济中均衡的存在。《计量经济学》，265-290（1954）。[5] Amendin ger，J.，Im keller，P.，Schweizer，M.：内部人的额外对数效用。随机过程及其应用，75（2），263-286（1998）。[6] 布莱克，F.，斯科尔斯，M.（1973）。期权和公司负债的定价。《政治经济杂志》，637-654。[7] Choulli，T.，Stricker，C.，和Li J.：q阶的最小Hellinger鞅测度。金融与随机11.3（2007）：399-427。[8] Choulli T.和Schweizer M.，《等价测度变化下等价σ-鞅密度的LlogL稳定性》，发表于《随机学》，2013年。[9] Choulli T.，Deng，J.和Ma，J.无套利、生存能力和投资组合之间的关系。2014年《金融与随机学》接受。[10] Cox，J.C.，Ross S.A.：替代随机过程的期权估值。《金融经济学杂志》，第145-166页（1976年）。[11] 杜菲，D.：动态资产定价理论。普林斯顿大学出版社（2010年）。[12] 杜菲，D.，黄，C。F：具有不同信息的多周期证券市场：鞅和解析时间。

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