半鞅模型的随机期无套利

然后，通过使用已知的等式，G(V）=（Vp，G）（见[13]第149-150页的理论76或[23]第150页的理论5.27），并将断言（a）应用于过程V（n，k），我们得到[0，τ]]p，G梅齐{|M|≥K-1，eZ≥N-1}=Z-p、 F米{|M|≥K-1，eZ≥N-1}.由于M是局部鞅，通过s-topping，我们可以用两个sid-es中的投影交换极限。然后，通过让n和k进入单位，并利用Ez>0在[0，τ]]上的事实，我们推导出thatp，G梅兹=Z-p、 FMI{eZ>0}.这证明了（3.19）中的第一个等式，而第二个等式来自EZ=m+Z-:Z-p、 G简单-1.=p、 G（eZ）- m） /eZ= 1.-p、 G男/女= 1.- （Z）-)-1 p，FmI{eZ>0}= 1.-p、 FI{eZ=0}=p、 FI{eZ>0}.在上述等式串中，第三个等式来自于（3.19）中的第一个等式，而第四个等式则来自顶部F(m） =0和mI{eZ=0}=-Z-I{eZ=0}。这就结束了断言（b）的证明。（c） 如果M是拟左连续F-局部鞅，则P，FMI{eZ>0}= 0，断言（c）的第一个属性如下。将第一个属性应用于M=M（qc），并使用该属性，在]]0，τ]]上m（qc）（Z）-+ m）-1= m（qc）Z-+ m（qc）-1.我们得到了-p、 GZ-Z-+ m（qc）=Z-1.-p、 Gm（qc）Z-+ m（qc）=Z-.这证明了断言（c），并且得到了引理的证明。下一个引理证明了这一点-1I]]0，τ]]对于任何具有F-局部可积变化的F-适应过程，L ebesgue-Stieljes是可积的。利用这一事实，引理解决了在τ处停止的F-补偿器如何可以用G-补偿器写成的问题，d构成了引理3.3–（a）的相反结果。引理3.4。设V为F适应的c`adl`ag过程。

那么以下属性就成立了。（a） 如果V属于a+loc（F）（分别为V∈ A+（F）），那么过程ssU:=eZ-1I]]0，τ]] 五、 （3.21）属于A+loc（G）（分别属于A+（G））。（b） 如果V有F-局部可积变分，那么过程U是定义良好的，它的变分是G-局部可积的，它的G-对偶可预测投影由up，G给出=eZI]]0，τ]] 五、p、 G=Z-一] ]0，τ]]I{eZ>0} 五、p、 F.（3.22）特别是，如果支持 {eZ>0}，那么，在]]0，τ]]上，一个有Vp，F=Z- 起来，G·普罗。（a） 假设V∈ A+loc（F）。首先，请注意，由于EZ在]]0，τ]]上为正，因此U的定义很明确。让（θn）n≥1b一系列F停止时间增加至+∞ 这种状态（Vθn）<+∞. 那么，如果E（Uθn）≤ E（Vθn），断言（a）如下。因此，我们计算（Uθn）=EZθnI{0<t≤τ} eZtdVt= EZθnP（τ）≥ t|Ft）eZtI{eZt>0}dVt≤ E（Vθn）。最后一个不等式由toeZt:=P（τ）得到≥ t | Ft）。这就结束了对这个困境的断言（a）的证明。（b） 假设V∈ Aloc（F），并用W表示：=V++V-它的变异。然后W∈ A+loc（F），并且第一个断言的直接应用适用于简单-1I]]0，τ]] W∈ A+loc（G）。因此，我们推断，对于V=V的情况，U由（3.21）给出+-五、-定义明确，变化等于简单-1I]]0，τ]] W是G-局部可积的。通过设置Un:=I]]0，τ]]简单-1I{eZ≥1/n} 五、,我们推导出，由于（3.18），（Un）p，G=Z-一] ]0，τ]]我{eZ≥1/n} 五、p、 F.因此，自上，G=limn-→+∞（Un）p，G，通过取上述等式中的极限，（3.22）紧随其后，证明了引理。3.2一个重要的G-局部鞅在本小节中，我们引入了一个G-局部鞅，它将对定义的构造至关重要。引理3.5。以下非减损过程vgt:=X0≤U≤tp，FI{eZ=0}uI{u≤τ} （3.23）是G-可预测的，c`adl`ag，局部有界的。证据

VGB的G-可预测性显而易见，但仍需证明该过程是G-局部有界的。自从Z-1.-一] [0，τ]]是G-局部有界的，则存在G-停止时间序列（τGn）n≥1增加到完整性，以便Z-一] ]0，τ]]τGn≤ n+1。考虑一系列F-停止时间（σn）n≥1增加到完整性，使得hm，miσn≤ n+1。然后，对于任何非负F-可预测过程H，其有界于C>0，我们计算（H VG）σn∧τGn=X0≤U≤σn∧τGnHup，FI{eZ=0}uI{u≤τ} 伊祖-≥n+1}≤X0≤U≤σnHup，F我{M≤-n+1}U≤ （n+1）H 嗯，米恩≤ C（n+1）。这就结束了这个命题的证明。重要的G-局部鞅将由可选积分产生。关于补偿随机积分（或可选随机积分）的概念，我们请读者参考[24]（第III.4.b章第106109页）和[13]（第VIII.2章第32-35节第356-361页）。下面，为了完整起见，我们给出了这种集成的定义。定义3.6。（参见[24]，定义（3.80））设N是一个H-局部鞅，其中连续鞅部分为Nc，设H是一个H-可选过程。i） 过程H被认为是关于ifp可积的，而过程H是不可积的Xs≤THsNs-p、 H（H）N）s1/2是本地可获取的。关于N的可积过程集用olloc（N，H）表示。ii）对于H∈oLloc（N，H），H相对于N的补偿随机积分，用H表示⊙N、 是唯一的局部鞅M，满足C=p，HH NcandM=HN-p、 H（H）N）。（3.24）涉及该积分的文献中最有用的结果是以下命题3.7。（见[13]）（a）补偿随机积分M=H⊙N是唯一的H-局部鞅，对于任何H-局部鞅Y，E（[M，Y]∞) = EZ∞Hsd[N，Y]s.（b） 程序ss[M，Y]-H [N，Y]是H-局部鞅。

因此[M，Y]∈ Aloc（H）当且仅当H [N，Y]∈ Aloc（H），在这种情况下，我们有，yih=（H） [N，Y]）p，H.现在，我们正处于定义G-局部鞅的阶段，它将对一系列过程起到定义作用。提案3.8。考虑以下G-局部鞅：=I]]0，τ]] M-Z-一] ]0，τ]] hmiF（3.25）和过程k:=Z-Z-+ hmiFeZI]]0，τ]]。（3.26）那么，K属于3.6中定义的SpaceOloc（bm，G）。此外，G-局部鞅：=-K⊙ bm，（3.27）满足以下条件（a）E（L）>0（或相当于1+L>0）。（b） 对任何人来说∈ M0，位置（F），设置Cm:=Mτ- Z-1.-I[[0，τ]] 嗯，米夫，我们有[L，cM]∈ Aloc（G）i、 e.hL，cMiGexists. （3.28）证据。我们将证明K∈oLloc（bm，G）在附录B中。为了简化注释，在整个证明过程中，我们将使用κ：=Z-+ 嗯。我们现在证明（a）和（b）断言。由于（B.77），我们有，]]0，τ]]，-L=K bm-p、 G（K） bm）=1- Z-简单-1.-p、 FI{eZ=0}.因此，我们推断1+L>0，证明了断言（a）。在剩下的证明中，我们将证明（3.28）。为此，让我∈ M0，位置（F）。由于提案3.7，（3.28）相当于toK [bm，cM]∈ Aloc（G）（或相当于V:=eZI]]0，τ]] [bm，cM]∈ Aloc（G）），对于任何M∈ M0，位置（F）。然后，很容易检查v=Z-eZI]]0，τ]] [bm，cM]=eZI]]0，τ]] [m，cM]-Z-eZI]]0，τ]] [hmiF，cM]=eZI]]0，τ]] [m，m]-Z-eZI]]0，τ]] [m，hM，miF]-Z-eZI]]0，τ]] [hmiF，M]+Z-eZI]]0，τ]] [hmiF，hM，miF]。由于m是一个F-局部有界局部鞅，所有的p过程[m，m]、[m，hM，miF]、[hmiF，m]和[hmiF，hM，miF]都属于Aloc（F）。因此，通过将这一事实与引理3.4和Z的G-局部有界性结合起来-P-一] [0，τ]]对于任何p>0的情况，V∈ Aloc（G）。

这就结束了这一立场的证明。4显式定义本节描述了几类F-拟左连续局部鞅，其中NUPBRis在以τ停止后保持不变。对于这些停止的过程，我们在定理4.1-4.4中明确地描述了它们的局部鞅密度，具有越来越大的通用性。我们记得，m（qc）在（2.13）中定义，L在提案3.8中定义。定理4.1。假设S是一个quasi左连续F-局部鞅。如果S和τ满足{s6=0}∩ {Z-> 0} ∩ {eZ=0}=, （4.29）那么下面的等价断言认为（a）E（L）Sτ是G-局部鞅。（b） EI{eZ=0<Z-}⊙ m（qc）S是F-局部鞅。证据我们首先给出一些有用的观察结果。由于S是F-准左连续的，一方面我们推断（在（2.13）中定义错误）hS，miF=hS，m（qc）iF=hS，IΓcm 米夫。（4.30）另一方面，我们注意到断言（a）等价于e（L（qc））Sτ是G-局部鞅，其中L（qc）是L的拟左连续局部鞅部分，由L（qc）：=IΓcm给出 L=-K⊙ bm（qc）。这里K在命题3.8和bm（qc）中给出：=I]]0，τ]] m（qc）- （Z）-)一] ]0，τ]] hm（qc）如果有。很容易检查（4.29）是否等于toI{Z->0&eZ=0} [S，m]=0。（4.31）我们现在计算-hL（qc），bSiG，其中bs是由bs:=Sτ给出的G-局部鞅-（Z）-)-1I]]0，τ]] 嗯，米夫。由于S和th在m（qc）处的准左连续性，这两个过程hS、mif和hm（qc）是连续的，[S，m（qc）]=[S，m]。因此，我们获得了 [bS，bm（qc）]=K [S，bm（qc）]- K bm（qc）（Z）-)-1. hS，miF=（eZ）-1I]]0，τ]] [S，m（qc）]=（eZ）-1I]]0，τ]] [S，m]。因此-hL（qc），bSiG=K [bS、bm（qc）]p、 G=（eZ）-1I]]0，τ]] [S，m]p、 G=（Z）-)-1I]]0，τ]]I{eZ>0} [S，m]p、 F=（Z）-)-1I]]0，τ]] hS，miF-（Z）-)-1I]]0，τ]]I{eZ=0<Z-} [S，m]p、 F=（Z）-)-1I]]0，τ]] hS，miF+（Z-)-1I]]0，τ]] 嗯，-I{eZ=0<Z-}⊙ m（qc）如果。

（4.32）第一个和最后一个等式源自适用于L（qc）和-I{eZ=0<Z-}⊙ 分别为m（qc）。第二个和第三个等式分别为（4.30）和（3.22）。现在，我们证明这个定理。由于（4.32），断言（a）显然等同于hs，-I{eZ=0<Z-}⊙ m（qc）如果≡ 0，这又相当于断言（b）。这就结束了（a）和（b）之间等价性的证明。同样清楚的是，条件（4.29）或等价条件（4.31）意味着断言（b），由于toI{eZ=0<Z-}⊙ m（qc）≡ 0.备注4.2。假设S是拟左连续F-局部鞅，leteRbe定义在Emma 3.1–（b）中。那么，E（L）Sτ是G-局部鞅，其中：=SeR-+SeRI[[呃+∞[[p、 F.（4.33）的确，文字：=SeR- SeRI[[呃+∞[[+SeRI[[呃+∞[[p、 Fit很容易看出满足条件（4.29）。推论4.3。如果S是准左连续且满足NUPBR（F）和{s6=0}∩{Z-> 0}∩{eZ=0}=, 然后是满意的NUPBR（G）证明。这源于命题2.6，定理4.1，以及这样一个事实：如果Q等价于P，那么我们就有{Z-> 0} ∩ {eZ=0}={ZQ-> 0} ∩ {eZQ=0}。这里ZQt=Q（τ>t | Ft）和ZQt=Q（τ≥ t | Ft）。最后一项主张是对可选和可预测选择可测定理的直接应用，参见[13]中的定理84和85（或直接应用定理86）。为了推广之前的结果，我们需要引入更多的符号和回忆其他的符号，附录中给出了一些结果。对于随机度量ud e fi nedin（2.5），我们将其可预测补偿器随机度量ν关联起来（详情见（A.68））。

将定理A.1（附录）直接应用于鞅m，得到了局部鞅m的存在性⊥以及aeP（F）-可测F函数fm，a过程βm∈ L（Sc，F）和aneO（F）-可测量的功能性GMFm∈ Gloc（u，F），转基因∈ Hloc（u，F）和βm∈ L（Sc）使得m=βm Sc+fm (u - ν） +gm u+m⊥. （4.34）由于S的左连续性，Gloc（u，F）（分别为Hloc（u，F））是alleP（F）-可测函数（特别是alleO（F）-可测函数）的集合 u ∈ A+loc（H）。我们引入uG:=I[[0，τ]] u及其G补偿测量值νG（dt，dx）：=（1+fm（x）/Zt-)I[[0，τ]]（t）ν（dt，dx）。（4.35）下面，我们陈述了我们的一般结果，扩展了前面的定理。定理4.4。假设S是F-拟左连续局部鞅。分别考虑（2.6）和（3.27）中定义的S（0）、ψ和Lde。如果S、 S（0）是F-局部鞅，然后是EL+L（1）Sτ是G-局部鞅，其中l（1）：=G （微克）- 和G:=1- ψ1+fm/Z-I{ψ>0}。（4.36）证据。我们首先回顾（2.8）中的{ψ=0}={Z-+fm=0}MPu-a、 e。。因此，函数是一个定义良好的非负EEP（F）-可测量的功能。定理的证明将分两步完成。在第一步中，我们证明了过程L（1）是一个定义良好的局部鞅，而在第二步中，我们证明了定理的主要陈述。1） 在此，我们证明了积分g微克-νG定义明确。为此，这足以证明g 微克∈ A+（G）。因此，请注意（1）-ψ） I{0<Z-}= MPuI{eZ=0<Z-}|eP（F）= MPuI[[eR]| eP（F）I{0<Z-},算计G 微克(∞)= E盖兹 u(∞)≤ EI[[eR]] u(∞)= PSeR6=0&eR<+∞≤ 1.因此，过程L（1）是一个定义良好的G-鞅。2） 在这一部分中，我们证明了EL+L（1）Sτ是G-局部鞅。为此，只需证明hSτ、L+L（1）ige和τ+DSτ、L+g就足够了微克- νGegi是一个G-lo-cal鞅。

（4.37）回想一下L=-Z-Z-+ hmiFeZI]]0，τ]]⊙ 由于命题3.8–（b），bm和hSτ都存在。通过停止，没有失去一般性，因为S是一个真正的鞅。然后，使用与第一部分1）类似的计算，我们可以很容易地证明eh | x | g 微克(∞)我≤ E|SeR | I{eR<+∞}< +∞.这证明Sτ，L+L（1）马克思主义者。现在，我们计算并简化（4.37）中的表达式，如下所示。Sτ+DSτ，L+g微克- νGEG=bS+Z-一] ]0，τ]] hS，miF+hSτ，LiG+xg νG=bS+Z-一] ]0，τ]] 你好，小姐-Z-一] ]0，τ]]·I{eZ>0}·[S，m]p、 xf+g νG=bS+Z-一] ]0，τ]]I{eZ=0} [S，m]p、 F+xMPuI{eZ=0<Z-}|eP（F）I{Z-+fm>0}I]]0，τ]] ν=bS- xMPuI{eZ=0<Z-}|eP（F）I{ψ=0}I]]0，τ]] ν=bS∈ Mloc（G）。第二个等式来自（4.32），而最后一个等式直接来自于S（0）是F-局部马丁盖尔（相当于xI{ψ=0<Z）的事实-} ν ≡ 0）和MPuI{eZ=0<Z-}|eP（F）=I{0<Z-}(1 -ψ). 这就结束了定理的证明。备注4.5。1） 定理4.1-4.4都提供了明确建立Xτ的σ-鞅密度的方法，只要X是一个分别满足定理假设的F-拟左连续过程。2） 将定理4.1推广到S是F-局部鞅（不一定是拟左连续）的一般情况，归结为找到一个可预测过程Φ，使得Y（1）：=E（Φ 五十） 将是Sτ的摩尔密度。当我们讨论辛半鞅的情况时，找到Φ的过程将很容易猜测。然而，证明Y（1）是Sτ的局部鞅密度是非常技术性的。将定理4.4推广到任意F-局部鞅的情况需要对函数gso进行额外的仔细修改，即1+L+L（1）保持阳性。

虽然这两种扩展仍然非常可行，但我们选择了不让这篇论文的技术细节负担过重。5主要定理的证明本节专门讨论定理2.8、2.13和2.16的p屋顶。它们很长，因为一些可积性结果需要证明。为了方便读者，我们回顾了附录A中给出的s的标准分解，byS=s+Sc+h (u - ν） +b·A+（x）- h） u，其中h定义为h（x）：=xI{x|≤1} 是截断函数。G下Sτ的正则分解由Sτ=S+cSc+h给出 （微克）- νG）+cβmZ-一] ]0，τ]]·A+hfmZ-一] ]0，τ]] ν+b Aτ+（x）- h） ug其中uGandνGand（βm，fm）分别在（4.35）和（4.34）中给出，Csc:=I]]0，τ]] Sc-Z-一] ]0，τ]] 嗯，Sci。5.1定理的证明2.8定理2.8的证明将分几个步骤完成。第一步提供了与使用过滤F的断言（a）等效的公式。在第二步中，我们证明（a）=>（b） 第三步证明了反向蕴涵。（b）的证明<==> （c） 在最后一步中给出。第1步：断言（a）的公式化：由于命题2.3，Sτ满足NUPBR（G）i，且仅当存在G-局部鞅且为1+NG>0和G-可预测过程φG使得0<φG≤ 1和ENGφG Sτ是本地的马丁·盖尔。我们可以将注意力集中在过程Ng上，这样（见附录中的定理A.4）Ng的形式为Ng=βGcSc+（前景）- 1)  （微克）- νG）其中βG∈ L（cSc，G）和fg是一个正的eep（G）可测函数。然后，我们注意到ENGφG Sτ是G-局部鞅当且仅当φG Sτ+[φG Sτ，NG]isa G-局部鞅，它又等价于φG | xfG（x）- h（x）|1+fm（x）Z-I[[0，τ]] ν ∈ A+loc（G）、（5.38）和P A.- a、 e.在[[0，τ]]上，引入附录Ab+c（βmZ）中定义的核F-+ βG）+Z（xfG（x）- h（x））1+fm（x）Z-- h（x）fm（x）Z-F（dx）=0。

（5.39）从引理C.1来看，存在φF和βF两个F-可预测过程和一个正的p（F）-可测泛函fF，如0<φF≤ 1，βF=βG，φF=φF，fF=fGon[[0，τ]]。（5.40）根据这些并考虑命题C.2中给出的可积条件，我们推导出（5.38）-（5.39）重要的是，在{Z-≥ δ} ，我们有wf:=Z |（xfF（x）- h（x））|1+fm（x）Z-F（dx）<+∞ P A.-a、 e，（5.41）和P A-A.e.{Z-≥ δ} ，我们有B+cβF+βmZ--Zh（x）I{ψ=0}F（dx）+ZxfF（x）（1+fm（x）Z-) - h（x）I{ψ>0}F（dx）=0。（5.42）由于（5.41），后一个等式通过在插入（5.40）后取（5.39）的F-可预测预测投影而紧随其后。第2步：证明（a）=> （b） 。假设Sτ满足NUPNR（G），因此（5.41）-（5.42）成立。证明我{Z≥δ} （S）- S（0））满足NUPBR（F），我们考虑β：=βmZ-+ βFI{Z-≥δ} f=fF1+fmZ-I{Z-≥δ&ψ>0}+I{0≤Z-<δ或ψ=0}。（5.43）如果β∈ L（Sc，F）和（F）- 1) ∈ Gloc（u，F），我们得出结论：n:=β Sc+（f）- 1)  (u - ν). （5.44）是一个定义良好的F-局部鞅。因此，通过选择φ=1+WFI{Z-≥δ}-1，使用（5.42），并应用E（N）的It^o公式φI{Z-≥δ} ·（S）- S（0））, 我们推断这个过程是一个局部鞅。因此，I{Z-≥δ} ·（S）- S（0））满足NUPBR（F）和（a）的证明=>（b） 完成了。现在我们关注于证明β∈ L（Sc）和（f）-1) ∈ Gloc（u，F）（或等效的YP（F- 1) u ∈ A+loc（F））。自βm以来∈ L（Sc），那么很明显βmZ-I{Z-≥δ}∈ L（Sc）一方面。另一方面，（βF）TcβFI{0≤Z-<δ} A.∈ A+loc（F）由于（βF）TcβF Aτ=（βG）TcβG Aτ∈ A+loc（G）和命题。2–（c）。这就完成了β的证明∈ L（理学士）。现在，我们关注于证明（f- 1) ∈ Gloc（u，F）。由于S是准左连续的，这相当于P（f）- 1) u ∈ A+loc（F）。感谢提案C.2和P（fF- 1) uG=p（fG）- 1) 微克∈A+loc（G），我们推断（fF- 1） 我{| fF-1|≤α} eZI{Z-≥δ} u和| fF- 1 | I{| fF-{124i}-≥δ} u ∈ A+loc（F）。