半鞅模型的随机期无套利

（5.45）通过停止，假设这两个过程中的th和[m，m]是可积的，则不会失去一般性。通过把∑：={Z-≥ δ&ψ>0}，那么我们得到f- 1 =fF-1.1+fmZ-I∑+fmZ-因此，我们导出thatehi{fF-1|≤α} u∞我≤ δ-2EfF- 1.（Z）-+ fm）I{| fF-1|≤α} I{Z-≥δ} u∞≤ δ-2EfF- 1.埃齐夫-1|≤α} I{Z-≥δ} u∞< +∞,安第斯山脉|h | I{| f-1|>α} u∞≤ δ-1E|F- 1 | | Z-+ fm | I{| f-1 |>α}I{Z-≥δ} u∞= δ-1Eh | f- 1 | eZI{124; f-1 |>α}I{Z-≥δ} u∞我+∞.结合以上两个不等式，我们得出结论：H u1/2∈ A+loc（F）。很容易看出这一点H u1/2∈ A+loc（F）跟在e后面H u∞≤ δ-2E调频 u∞≤ δE(m） u∞≤ δ-2E[m，m]∞< +∞.第3步：证明（b）=> （a） 。假设对于任意δ>0，过程I{Z-≥δ}·s- S（0）满足感（F）。然后，存在一个F-局部鞅nf和一个F-可预测过程φ，使得0<φ≤ 1和E法国试验标准φI{Z-≥δ}s- S（0）是一个F-局部鞅。再次感谢TheoremA。4.我们可以把注意力限制在βF的情况下 Sc+（fF）- 1)  (u - ν） ，（5.47），其中βF∈ L（Sc）和FFI是一个正的可测函数。多亏了It^o的公式法国试验标准φI{Z-≥δ}s- S（0）是F-局部鞅吗{Z-≥ δ} kF:=Z | xfF（x）I{ψ（x）>0}- h（x）| F（dx）<+∞ P A.- a、 e.（5.48）和P A-A.e.{Z-≥ δ} 我们有-Zh（x）I{ψ=0}F（dx）+cβF+ZhxfF（x）- h（x）iI{ψ>0}F（dx）=0。（5.49）考虑βG：=βF-βmZ-一] [0，τ]]和fG:=fF1+fm/Z-I{ψ>0}I]]0，τ]]+I{ψ=0}∪]]τ,+∞[5.50]并假设βG∈ L（cSc）和（fG）- 1) ∈ Gloc（微克）。（5.51）那么，必然是NG:=βGcSc+（前景）-1)  （微克）-νG）是一个定义良好的满足e（NG）>0的G-局部鞅。此外，由于（5.49）和{ψ=0}={Z-+ fm=0}（见（2.8）），on]]0，τ]]weactainB+cβG+βmZ-+ZxfG1+fmZ--h（x）F（dx）=0，（5.52），然后取φG：=1+kFI{Z-≥δ}-1，并应用^o的公式f或（φGI{Z-≥δ} Sτ）E（NG），由于（5.52），我们得出这个过程是一个G-lo-cal鞅。

因此，I{Z-≥δ} 只要（5.51）填满，Sτ就满足NUPBR（G）。自从Z-1I[[0，τ[[是G-局部有界的，则存在G-停止时间（τδ）δ>0的族，使得[[0，τδ]] {Z-≥ δ} （或相当于I{Z-≥δ} Sτ∧τδ=Sτ∧当δ趋于零时，τδ）和τδ增加到零。因此，利用命题2.6，我们推断Sτ满足NUPBR（G）。这实现了（b）的证明=>（a） 低于（5.51）。为了证明（5.51）是正确的，我们在第一步中指出-1.-一] [0，τ]]是G-局部有界的，且β和βf都延伸到L（Sc）。这很容易暗示βG∈ L（cSc）。现在，我们证明p（fG- 1) 微克∈ A+loc（G）。辛塞普（法国）- 1) u ∈ A+loc（F），命题C.2允许我们再次推断（fF- 1） 我{| fF-1|≤α} u ∈ A+loc（F）和d | fF- 1 | I{| fF-1|>α} u ∈ A+loc（F）。（5.53）在不丧失一般性的情况下，我们假设这两个过程和[m，m]是可积的。PutfG- 1=I{ψ>0}I]]0，τ]]Z-（fF）- 1） fm+Z-- I{ψ>0}I]]0，τ]]fmfm+Z-:= 然后，我们计算fI{fm+Z->δ/2}∩{| fF-1|≤α} 微克∞≤δE[（fF）- 1） 我{| fF-1|≤α} u∞] < +∞.andEqfI{fm+Z-≤δ/2}∩{| fF-1|≤α} 微克∞≤ αE（I{fm+Z）-≤δ/2}（Z）-+ （调频）-1. 微克(∞))≤ E（I{|fm）|≥δ/2} u(∞)) ≤4αδE[m，m]∞< +∞.这证明了qfi{| fF-1|≤α} 微克∈ A+loc（G）。同样地，我们计算Eeqfi{| fF-1|>α} 微克∞≤ E（|f | I{| fF）-1|>α} 微克∞) ≤ E（| fF）- 1 | 1+fm/Z-我{| fF-1|>α} 微克∞)≤ E（| fF）- 1 | I{| fF-1|>α} u∞) < +∞.因此，通过综合上述所有评论，我们得出以下结论： uG-局部可积。对于函数f，我们进行如下操作。我们计算（fI{fm+Z）->δ/2} 微克∞) ≤ （2/δ）E（fm） u∞) ≤ （2/δ）E[m，m]∞< +∞,andEqfI{fm+Z-≤δ/2} 微克∞≤ E（|fm | I{124; fm|≥δ/2} u(∞))≤ （2/δ）E（fm） u(∞)) ≤ （2/δ）E【m，m】∞< +∞.这证明了 uG-局部可积。因此，我们得出结论，（5.51）是有效的，（b）的证明=>（a） 完成了。第3步：证明（b）<==> （c） 。

对于任意δ>0和任意n∈ N、 我们没有σ∞:= inf{t≥ 0:Zt=0}，τδ：=sup{t:Zt-≥ δ}.那么，由于]]σ∞, +∞[[ {Z-= 0}  {Z-< δ} 我们推导了σ1/δ≤ τδ≤ σ∞Zτδ-≥ δ>0p- a、 关于{τδ<∞}.此外，设置∑：=Tn≥1（σn<σ∞), 我们有∑∩ {σ∞< ∞} Zσ∞-= 0，τδ<σ∞P- a、 我们引入了半鞅X:=s- S（0）。对于任意δ>0，且任意H可预测，使得Hδ：=HI{Z-≥δ}∈ L（X）和Hδ·X≥ -1，根据[13]的定理23（法语版第346页），（Hδ·X）T=（Hδ·X）T∧τδ和{θ≥ τδ}（Hδ·X）T=（Hδ·X）T∧θ.那么，无论如何∈ (0, + ∞ ), 我们计算以下P（（Hδ·X）T>c）=P（（Hδ·X）T>c&σn≥ τδ）+P（（Hδ·X）T>c&σn<τδ）≤ 2 supφ∈L（Xσn）：φXσn≥-1P（（φ·X）σn∧T> c）+P（σn<τδ）∧T）。（5.55）很容易证明P（σn<τδ∧ （T）-→ 0表示n进入单位。这可以从∑上看出，一方面，我们有τδ∧ T<σ∞（通过区分这两种情况∞是否确定）。另一方面，事件（σn<σ∞) 随着n增加到∑。因此，通过组合这些，我们得到以下p（σn<τδ∧ T）=P（（σn<τδ）∧ （T）∩ ∑）+P（（σn<τδ）∧ （T）∩∑c）≤ P（σn<τδ）∧ T<σ∞) + P（（σn<σ∞) ∩ ∑c）-→ 0.（5.56）现在假设每n≥ 1.过程- S（0））σnsatis fies NUPBR（F）。（5.55）和（5.56）的组合意味着对于任何δ>0，过程I{Z-≥δ} X:=I{Z-≥δ} （S）-S（0））满足（F）和（c）的p屋顶=> （b） 完成了。反向暗示的证明显然是因为[[0，σn]] {Z-≥ 1/n} {Z-≥ δ} ，代表n≤ δ-1，这意味着（I{Z-≥δ} ·X）σn=Xσn。这结束了（b）的证明<==>（c） 并得到了理论证明。5.2中间结果定理2.13和2.16的证明依赖于以下关于单跳F-鞅的中间结果，这本身就很有趣。提议5.1。

设M是由M:=ξI[[T]给出的F-鞅+∞[[，其中T是一个F-可预测的停止时间，ξ是一个FT-可测的随机变量。那么下面的断言是等价的。（a）M是由dqtdp给出的qt下的F-鞅：=I{eZT>0}∩Γ（T）P（eZT>0 | FT-)+ IΓc（T），Γ（T）：={P（eZT>0|FT-) > 0}. （5.57）（b）在片场{T<+∞}, 我们有MTI{eZT=0<ZT-}| 英尺-= 0，P- a、 s.（5.58）（c）Mτ是QGT下的G-鞅：=UG（T）/E（UG（T）|GT-)P其中ug（T）：=I{T>τ}+I{T≤τ}ZT-eZT>0。（5.59）证据。证明将分两步完成。第一步。这里，我们证明了断言（a）和（b）之间的等价性。为了简单起见，我们用Q:=QT表示，其中QT在（5.57）中定义，并在{ZT]上注释-= 0}，Q与p重合，且（5.58）成立。因此，证明集合{T<+∞ & ZT-> 0}. 在这个场景中，由于E（X | FT-) = 0，我们导出q（ξ| FT-) = E（ξI{eZT>0}|FT-)P（eZT>0 |英尺-)-1= -E（ξI{eZT=0}|FT-)P（eZT>0 |英尺-)-1.因此，我们得出结论，断言（a）（或同等等式（ξ| FT-) = 0）相当于（5.58）。（a）的证明到此结束<==> （b） 。第二步。证明（a）<==>（c） ，我们首先注意到由于（T≤ τ )  （eZT>0） （ZT）-> 0），在{T≤ τ} 我们有eZT>0 |英尺-EQGT（ξ| GT）-) = EZT-eZTξI{T≤τ}GT-= EξI{eZT>0}|FT-= 等式（ξ| FT）-) PeZT>0 |英尺-.这个等式证明了Mτ∈ M（QG，G）当且仅当M∈ M（Q，F），以及（a）的证明<==>（c） 我完成了。这就结束了定理的证明。5.3定理2.13的证明为了方便读者，为了证明定理2.13，我们陈述了定理的更精确版本，其中明确描述了概率测度QT的选择。定理5.2。假设定理2.13的假设成立。

然后，定理2.13的断言（a）和（b）等价于以下断言。（d） S satifies NUP B R（F，eQT），其中eqtiseqt:=eZTZT-I{ZT->0}+I{ZT-=0}!· P、 （5.60）（e）满足NUPBR（F，QT），其中QT在（5.57）中定义。证据这个定理的证明将通过证明（d）来实现<==> （e）<==> （b） 及(二)=> （a）=> （d） 。这些工作将分四步进行。第一步：在这一步中，我们证明（d）<==> （e） 。由于S是一个具有可预测跳变时间T的单跳过程，因此很容易看出，在某些概率R下S满足NUPBR相当于IAS和IAcS满足任何FT的NUPBR（R）的事实--可测量的事件A。因此，足够证明事件{ZT）上的断言（d）和（e）之间的等价性-= 0}和{ZT-> 0}. 自{ZT-= 0}  {eZT=0}和E（eZT|FT-) = ZT-关于{T<+∞}, 按pu-tingΓ：=nP（eZT>0 |英尺）-) = 哦，我们是德里维ZT-IΓ∩{T<+∞}= E埃兹蒂Γ∩{T<+∞}= 0，和0=P{ZT-= 0} ∩ {eZT>0}∩ {T<+∞}= EI{ZT-=0}∩{T<+∞}PeZT>0 |英尺-.这些等式意味着{T<+∞}, P- a、 在美国，我们有{ZT-= 0} = Γ {eZT=0}。（5.61）因此，在集合{T<+∞ }∩Γ，三个概率P，qt和qt重合，断言（d）和（e）之间的等价性是显而易见的。关于s et{T<+∞ & P[eZT>0 |英尺-] > 0}，在e haseQT上~ QT，并且（d）和（e）之间的等价性也是显而易见的。这就实现了第一步。第2步：这一步证明（e）<==> （b） 。再次感谢s到（5.61），我们在{ZT-= 0}，eS≡ s≡ 0和qt也与P一致。因此，在这种情况下，断言（e）和（b）之间的等价性是显而易见的。因此，证明{T<+∞ & P（eZT>0 |英尺-) > 0}.假设（e）成立。然后，存在一个正的、可测量的ran dom变量Y，比如P- a、 美国。

关于{T<+∞}, 我们有（Y |英尺）-) = 1，EQT（Y |ξ| FT-) < +∞, & EQT（YξI{eZT>0}|FT-) = 0.由于Y>0在{eZT>0}上，通过puttingY:=yi{eZT>0}+I{eZT=0}和Y:=YE[Y|FT-],很容易检查Y>0，eY>0，EheY | FT-i=1和EheYξi{eZT>0}|FT-i=EhYξi{eZT>0}|FT-iE[Y|FT-]= 因此，eS是R:=eY·P下的鞅~ P和henceeS satis NUPBR（F）。这证明了第（b）节。为了证明相反的意义，我们假设断言（d）成立。因此，存在0<Y∈ L（FT），使得E[Y|ξ|I{eZT>0}|FT-] < +∞, E[Y |英尺-] = 1和E[YξI{eZT>0}|FT-] = 然后，考虑：=yi{eZT>0}P（eZT>0|FT-)E[yi{eZT>0}|FT-]> 0，QT- a、 s。。然后很容易验证Y>0 QT- a、 美国，EQT（Y |英尺-) = 1和EQT（YX | FT-) =EhY XI{eZT>0}|英尺-iE[yi{eZT>0}|FT-]= 这证明了断言（e）和（e）的证明<==>（b） 实现了。第三步：在此，我们证明（a）=> （d） 。假设Sτ满足NUPBR（G）。然后存在一个正的GT可测随机变量YgE[ξYGI{T≤τ}GT-] = {T<0+∞}.根据L emma C.1–（a），我们推导出正FT可测变量ygi{T的存在性≤τ}=YFI{T≤τ }. 然后，在{T<+∞} 我们得到了0=E[ξYFI{T≤τ}GT-] = E[XYFeZT | FT-]I{T≤τ}ZT-.因此，通过在上述等式中取条件期望，我们得到0=E[ξYFeZTZT-I{ZT->0}|英尺-] = EeQT[ξYF | FT-]I{ZT->0}=EeQT[STYF|FT-].这证明了断言（d）成立，并证明了（a）=>（d） 实现了。第四步：最后一步证明（b）=>（a） 。S提供满足NUPBR（F）要求的产品。然后，就存在了∈ L（FT）使得{T<+∞ } 我们有[Y |英尺-] = 1，Y>0，E[Y|ξ|I{eZT>0}|FT-] < +∞, P- a、 s.andE[YξI{eZT>0}|FT-] = 0.然后考虑R:=Y·P~ P，我们到达[eST | FT-] = ER[ξI{eZT>0}|FT-] = 因此，断言（a）直接遵循适用于R下M=eS的P位置5.1~ P（很容易看出（5.58）适用于（eS，R），即，ER（eSTI{eZT=0}|FT）-) = 0).

这就结束了第四步，定理的证明就完成了。5.4定理2.16的证明为了强调定理2.16的精确性，我们在{T<+∞},UG（T）E（UG（T）|GT-)=1 + 书信电报- VGT1- VGT6=1+LT=E（L）TE（L）T-.其中（5.59）中定义了UG（T）。这突出了我们将要面对的一个主要困难，我们将为可能的许多可预测的跳跃制定结果，而这些跳跃可能是不可预测的。简单地说，可能不可能将upUG（Tn）=1分段-mTneZTnI{Tn≤τ} ，n≥ 1形成过程（I）的正G-局部鞅密度∪[Tn]] S） τ。因此，根据上述内容，定理2.16的证明背后的关键思想在于将UPBR条件与正的超曼大风（相反）的存在联系起来，这是所考虑的市场模型的一个定义。定义5.3。考虑一个H-半鞅X，如果存在一个正的H-上鞅Y，那么X被称为允许一个H-导数，Y（θ 十） 对于任何θ，都是上鞅∈ L（X，H）使得θ 十、≥ -1.对于supermartingale Defors，我们将读者阅读至Rokhlin[40]。同样，上述定义不同于地平线固定时的文学定义，而与地平线固定时的文学定义（甚至是dom）相同。下面，我们稍微概括一下[40]的上下文。引理5.4。设X是H-半鞅。那么，以下断言是等价的。（a） X允许一名H型流感患者。（b） X满足NUPBR（H）。证据这个引理的证明很简单，省略了。现在，我们开始给出定理2.16的证明。证据定理2.16的定理的证明将分两步给出，其中我们证明（b）=>（a） 以及相反的含义。

为了简化定理的整体证明，我们指出{eZQT=0}={eZT=0}，对于任何Q~ P和任何F-停止时间T，（5.62），其中ezqt:=Q[τ≥ t |英尺]。这个等式来自Ehezti{eZQT=0}i=EhI{τ≥ T}I{eZQT=0}I=0（这表示{eZQ=0} {eZ=0}）以及Q和P的对称作用。第一步：在这里，我们证明（b）=> （a） 。假设断言（b）成立，并考虑一系列F-停止时间（τn）n，其增加到完整性，使得Yτ为F-鞅。然后，设置Qn：=Yτn/Y·P，并使用（5.62）和命题2.6，我们推断假设Y≡ 1.定理5.1中的条件（5.58）适用于STnI{eZTn>0}和STnI{eZTn>0}I[[Tn+∞[[，。因此，使用（3.23）和d（3.27）中定义的符号VGand L，表示每个（1+LTn- VGTn）STnI{Tn≤τ} 我+∞[[是G-鞅。然后，直接应用约尔的六次方公式，我们得到，对于任何θ∈ L（Sτ，G）EIΓ L- IΓ VGE（θIΓ Sτ）=E（X），其中X:=IΓ L- IΓ VG+Xn≥1θTn1 + LTn- VGTnSTnI{Tn≤τ} 我+∞现在考虑G-可预测过程φ=Xn≥[Tn][1]∩[0，τ]]+IΓc∪]]τ +∞[]，式中ξn：=-n（1+E（X）Tn-)-1.1+Eh|LTn|GTn-i+VGTn-+ Eh |θTnZTn-埃兹特尼{Tn≤τ}STn|GTn-我.然后，很容易验证0<φ≤ 1和E（|φ E（X）| var(+∞)) ≤Pn≥1.-n=1。因此，φ E（X）∈ A（G）。因为，LTnI[[Tn+∞和（1）+LTn- VGTn）STnI{Tn≤τ} 我+∞[[是G-鞅，我们推导（φ E（X））p，G=XnφTnETn-（十） E(XTn | GTn-)我+∞[[= -φE-（十） VG≤ 这证明了E（X）是一个正的σ-上鞅。因此，多亏了Kallsen[29]，我们得出结论，这是一个超级艺术角色，而且I{Z-≥δ} sτ允许G-def。然后，多亏了引理5.4，我们推断出I{Z-≥δ} sτsatis fies NUPBR（G）。

注意，由于（Z）的G-局部界-)-1I[[0，τ]]，存在一系列G-停止时间τδ，δ>0，使得当δ变为零时，τδ几乎肯定收敛到整数，[[0，τ]]∧ τδ]]  {Z-≥ δ}.这意味着Sτ∧τδ满足NUPBR（G），断言（a）来自命题2.6（取Qn=P表示所有n）≥ 1). 这就结束了（b）的证明=>（a） 。第2步：在这一步中，我们关注（a）=>（b） 。假设Sτ满足NUPBR（G）。然后，对于I{Z，G下存在σ鞅密度-≥δ} Sτ（δ>0），我们用DG表示。然后，从定理a.1和定理a.4的直接应用出发，我们推导出DG:=E（NG）>0，其中NG:=WG的正可测泛函fG的存在性 （微克）- νG），WG:=fG- 1+bfG- aG1- aGI{aG<1}，其中在（4.35）中定义了νGwas，并在（4.34）中定义了Fmgi{Z-≥δ} νG=xfG1+fmZ-一] [0，τ]]I{Z-≥δ} ν ≡ 0.（5.63）回想一下，如果一个过程X是半鞅，并且存在一个可预测过程φ，使得0<φ，那么它被称为σ-上鞅≤ 1和φ 根据引理C.1，我们得出结论，存在一个正的深（F）-可测泛函F，例如fGI]]0，τ]]=FI]]0，τ]]。因此（5.63）变成了1+fmZ-一] [0，τ]]I{Z->0} ν ≡ 0.引入以下符号u：=I{eZ>0&Z-≥δ} ·u，ν：=hI{Z-≥δ} ·ν，h:=MPuI{eZ>0}|eP,g:=f（1+fmZ）-)hI{h>0}+I{h=0}，a（t）：=v（{t}，Rd），（5.64）并假设p（g- 1) u∈ A+loc（F）。

（5.65）然后，由于引理A.5，我们推导出W:=（g- 1)/(1 - a+bg）∈ Gloc（u，F）和局部鞅n:=g- 11- a+bg (u- ν） ，Y:=E（N），（5.66）定义为满足1+N> 0[N，S]∈ A（F）和{Z-> 0}我们有p，FYSI{eZ>0}Y-=p、 F(1 + N）SI{eZ>0}=p、 Fg1- a+bgSI{eZ>0}= gxh1- a+bg ν = xf（1+fm/Z）-)1.- a+bg ν=Z-1.-p、 F(U） 一,- a+bg≡ 这证明了断言（b）在假设（5.65）下成立。证据的剩余部分将表明这个假设始终成立。为此，我们注意到在集合{h>0}上，g- 1=f（1+fmZ）-)H- 1=（f）- 1） （1+fmZ）-)h+fmZ-h+MPuI{eZ=0}|ePh:=g+g+g.自（f）- 1） I]]0，τ]] u1/2∈ A+loc（G），然后根据命题C.2–（e）q（f）- 1） I{Z-≥δ} （eZ·u）∈ A+loc（F），对于任何δ>0。然后，直接应用位置C.2–（a），对于任何δ>0，我们有（f）- 1） I{|f-1|≤α&Z-≥δ} （eZ·u），|f- 1 | I{| f-1 |>α&Z-≥δ} （eZ·u）∈ A+loc（F）。通过停止，在不丧失一般性的情况下，我们假设这两个过程和[m，m]属于A+（F）。注意-+fm=MPueZ | eP≤ MPuI{eZ>0}|eP= 这是弗罗梅兹的故事≤ I{eZ>0}。因此，我们嘲笑gI{|f-1|≤α} u(∞)= E“（f- 1） （1+fmZ）-)你好{f-1|≤α} u(∞)#= E“（f- 1） （1+fmZ）-)你好{f-1|≤α} ν(∞)#≤ δ-2E（f）- 1） （Z）-+ fm）I{|f-1|≤α&Z-≥δ} ν(∞)= δ-2Eh（f）- 1） I{|f-1|≤α} （eZI{Z）-≥δ}· u)(∞)我+∞,安第斯山脉gI{|f-1|>α} u(∞)= E“| f- 1 |（1+fmZ）-)你好{f-1|>α} u(∞)#= E|F- 1 |（1+fmZ）-)I{|f-1 |>α}I{Z-≥δ} ν(∞)≤ δ-1Eh | f- 1 | I{| f-1|>α} （eZI{Z）-≥δ}· u)(∞)我+∞.（5.64）中定义了u和ν。因此，再次通过命题C.2（a），我们得出结论： u∈ A+loc（F）。请注意，g+g=MPumI{eZ>0}|ePZ-h、 由于引理A.2，我们（g+g） u(∞)= EMPumI{eZ>0}|ePZ-H u(∞)≤ EMPu(m） | ePMPuI{eZ>0}|ePZ-H u(∞)= EMPu(m） | ePZ-I{Z-≥δ} u(∞)≤ δ-2E[[m，m]∞] < +∞.因此，我们得出结论P（g- 1) u∈ A+loc（F）。