半鞅模型的随机期无套利

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英文标题：
《Non-Arbitrage up to Random Horizon for Semimartingale Models》
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作者：
Anna Aksamit, Tahir Choulli, Jun Deng, and Monique Jeanblanc
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  This paper addresses the question of how an arbitrage-free semimartingale model is affected when stopped at a random horizon. We focus on No-Unbounded-Profit-with-Bounded-Risk (called NUPBR hereafter) concept, which is also known in the literature as the first kind of non-arbitrage. For this non-arbitrage notion, we obtain two principal results. The first result lies in describing the pairs of market model and random time for which the resulting stopped model fulfills NUPBR condition. The second main result characterises the random time models that preserve the NUPBR property after stopping for any market model. These results are elaborated in a very general market model, and we also pay attention to some particular and practical models. The analysis that drives these results is based on new stochastic developments in semimartingale theory with progressive enlargement. Furthermore, we construct explicit martingale densities (deflators) for some classes of local martingales when stopped at random time.
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中文摘要：
本文讨论了一个无套利半鞅模型在随机视界上停止时如何受到影响的问题。我们关注的是有界风险的无无界利润（下文称为NUPBR）概念，这在文献中也被称为第一类无套利。对于这个无套利概念，我们得到了两个主要结果。第一个结果在于描述市场模型和随机时间对，由此产生的停止模型满足NUPBR条件。在第二次市场停止后，保留任何随机市场模型的特征。这些结果在一个非常普遍的市场模型中进行了阐述，我们也注意到了一些特殊的和实用的模型。驱动这些结果的分析是基于半鞅理论中新的随机发展和逐步扩大。此外，我们构造了一些局部鞅在随机时间停止时的显式鞅密度（平减指数）。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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PDF下载：
--> Non-Arbitrage_up_to_Random_Horizon_for_Semimartingale_Models.pdf (434.74 KB)

2022-5-5 01:21:25 上传

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关键词：无套利 Quantitative Developments Applications QUANTITATIV

半鞅模型的随机期无套利*Anna Aksamit、Tahir Choulli+1、Jun Deng和Monique Jeanblanc数学和统计科学系。，加拿大艾伯塔大学埃德蒙顿分校埃弗里-埃松大学埃弗里-法兰西埃弗里分校该版本详细阐述了前一版本的思想和结果，并解决了准左连续情况下的一个小故障。21年11月8日摘要本文讨论了无套利半鞅模型在随机视界停止时的影响问题。我们关注的是无无界利润和有界风险（下文称为“无界利润”）概念，这在文献中也被称为第一种无套利。对于这个无套利概念，我们得到了两个主要结果。第一个结果在于描述市场模型和随机时间对，由此产生的s-Top模型完全满足Nupbr条件。第二个主要结果描述了随机时间模型的特征，这些模型在任何市场模型停止后都会表现出NupBr属性。这些结果在一个非常普遍的市场模型中进行了阐述，我们也注意到了一些特殊的和实用的模型。驱动这些结果的分析是基于半鞅理论中新的随机发展和进步。此外，我们构造了一些局部鞅在随机时间停止时的显式鞅密度。1导言自从Arrow Debreu针对离散市场的开创性工作（见[4]、[11]、[15]和[18]）发表后，套利成为现代金融中的基本概念之一。在金融文献中，套利被称为资产定价基本定理（FTAP）。

通过建立套利和资产定价理论之间的联系，加强了这种重要性，如罗-德布鲁模型（见[11]第7章）、布莱克和S-乔尔斯公式（见[6]）和考克斯-安德罗斯线性定价模型（见[10]）。许多研究者，如杜菲、哈里森、黄、克雷普斯和普利斯卡（见[21]、[22]和[12]），已经在总体框架内对这些作品进行了形式化。套利理论和其他金融/经济概念之间的其他联系已经被发现、阐述并进一步探索，如随机优势、市场均衡、市场生存能力、投资组合分析、投资组合数量等。套利在证券市场分析中起着至关重要的作用，因为它的作用是将价格推高到基本价值，并保持市场效率。*Tahir Choulli和Jun Deng的研究由加拿大自然科学和工程研究委员会通过G121210818资助。法国银行业研究联合会主席安娜·布兰克特通讯作者，电子邮件：tchoulli@ualberta.caIn无论是数学金融还是金融经济学，套利（或同样不存在套利）都有许多定义，如无免费午餐（NFL）、无风险消失的免费午餐（NFLVR）、廉价刺激、免费零食、无风险无限利润（NUPBR）等（见[15]、[16]、[17]、[28]、[34]、[36]以及其中引用的参考文献）。值得一提的是，这些套利概念的大部分适用于离散市场（即，具有固定数量的交易场景和固定数量的交易时间的市场），在一定程度上适用于具有固定水平的离散时间市场。从理论上讲，套利机会是一种没有现金支出的交易，它会带来一定的收益。

这种哲学的数学表述因模型而异。最近，人们对研究FLVR概念以及效用最大化问题的附加信息的影响产生了极大的兴趣。关于这些主题，我们请读者参考[5]、[35]、[39]等。在这里，我们只关注NUPBR概念，主要有两个原因。首先，NUPBR属性是一个无套利概念，与市场生存能力的最弱形式密切相关（关于这个问题的详细信息，请参见[9]和[32]，以及[2]关于违反NFLVR和完全填充NUPBR的市场模型的许多例子）。最近很明显，对于违反NUPBR的模型，最优投资组合甚至在本地都不存在，定价规则也会失败。其次，由于[41]和[9]的原因，NUPBR属性在数学上非常有吸引力，并且具有NFLVR和其他套利概念缺乏拓扑的“动态/本地化”特征。所谓本地化特征，我们的意思是，如果属性在本地保持不变（即，对于停止的模型，属性保持不变，停止时间序列增加到完整性），那么它在全球保持不变。在本文中，我们考虑了在“公共信息”和任意随机时间τ下满足NUPBR性质的一般半鞅模型S，并回答了以下问题：对于哪些对（S，τ），NUPBR性质适用于Sτ？（P1）在定理2.19中，我们刻画了初始市场S和随机时间τ对，因为ich（P1）有一个肯定的答案。

我们的第二个主要问题是关于哪个τ，在τ处停止后，NUPBR是否为任何S保留？（P2）为了加深我们对初始市场模型和随机时间模型之间精确相互作用的理解，我们分别在准左连续模型和具有可预测跳跃的薄过程的情况下解决这两个主要问题。然后，我们结合这两个案例，陈述最一般框架的结果。拟左连续模型的结果是定理2.8和命题2.12，其中问题（P1）和（P2）分别得到了完全解答。对于具有可预测跳跃的薄过程，我们的主要结果是定理2.16。然后，在一般情况下，将过程分为准连续过程和具有可预测跳变的细过程。在文献中对这个问题进行了研究，在连续过滤的特殊情况下，假设τ在[20]中避免了F-停止时间，并且市场是完整的。[2]中有许多明确的例子。也可以使用[3]中建立的新的光学分解公式得出一些主要结果。几个月前，我们的结果的第一个版本已经发布，之后，Acciaio等人[1]使用不同的方法证明了我们的一些结果和想法。本文的结构如下。下一节（第2节）以不同的上下文介绍了我们的主要结果，并讨论了它们的含义和/或它们的经济解释及其后果。第3节发展了新的随机结果，这是（P1）-（P2）答案背后的关键数学思想。第4节给出了在S是准连续的情况下，挠度的明确形式。第5节包含第2节公布的主要条款的证据，没有证据。

本文在附录中总结了关于半鞅可预测性的一些经典结果和其他相关结果。为了便于读者阅读，一些技术证明也被推迟到附录中。2主要结果及其解释本节旨在介绍我们的主要结果及其直接后果。为此，我们开始指定我们的数学设置和我们将要解决的经济概念。2.1在NUPBRWe上的符号和初步结果应视为可靠的依据(Ohm, G、 F=（英尺）t≥0，P），其中F是满足通常假设（即，正确的连续性和完整性）的过滤，F∞ G.从财务角度来说，过滤代表了公众信息随时间的流动。在此基础上，我们考虑一个任意但固定的d维c`adl`ag semimartin gale S。这代表了d股票的贴现价格过程，而无风险资产的价格假定为常数。除了初始模型之外(Ohm, G、 F，P，S），我们考虑一个随机时间τ，即一个非负的G-可测随机变量。对于这个随机时间，我们将过程D和过滤G关联起来，比亚迪给出：=I[[τ+∞[G=（Gt）t≥0，Gt=\\s>t财政司司长∨ σ（Du，u）≤ （s）.过滤G是最小的右连续过滤，其中包含F，使τ成为停止时间。在概率论文献中，G被称为F随τ的逐步扩大。除了G和D之外，我们还将τ与zt:=P（τ>t | Ft）和zt:=P给出的两个重要的F-超鞅联系起来τ ≥ T英尺. （2.1）超人gale Z与左极限右连续，并与I]]0，τ[[，w Hilez仅限右极限和左极限的F-可选投影重合，是I]]0，τ]]的F-可选投影。

Z的分解导致了一个重要的F-鞅m，给定bym:=Z+Do，F，（2.2）其中Do，Fis是D的F-对偶可选投影（更多细节参见[26]）。在下文中，H是一个满足通常假设的过滤，Q是过滤概率空间上的概率度量(Ohm, H） 。Q下过滤H的鞅集用m（H，Q）表示。当Q=P时，我们只表示M（H）。通常，A+（H）表示一组递增的、右连续的、H适应的和可积的过程。如果C（H）是一类H适应过程，我们用C（H）表示过程集X∈ C（H）的X=0，并通过完成一组过程X，从而存在一个序列（Tn）n≥1小时停车时间增加到+∞ 停止的过程从XTnbelong到C（H）。我们计算c0，loc（H）=C（H）∩ Cloc（H）。对于具有H-局部可积变分的过程K，我们用Ko表示，Hits对偶可选投影。K的对偶可预测投影（也称为H-可预测对偶投影）表示为Kp，H。对于过程X，我们表示o，HX（对应p，HX）其相对于H的可选（对应可预测）投影。对于H-半鞅Y，集合L（Y，H）是H可积w.r.t.Yand的H可预测过程的集合∈ L（Y，H），我们表示H Yt:=RtHsdYs。通常，对于进程X和运行dom时间θ，我们用Xθ表示停止的进程。为了区分过滤的效果，我们将h表示为。如果，或h。如果可能出现混淆，则使用过滤F或G中计算的尖括号（可预测的协变量过程）。我们记得，对于一般半鞅X和Y，尖括号是（如果存在）协变量p过程[X，Y]的对偶可预测投影。我们引入了本文将要讨论的无套利概念。定义2.1。

H-半鞅X满足（H，Q）（以下称为NUPBR（H，Q））下的无无界profit和有界风险条件，如果对于任何t∈ (0, +∞) setKT（X，H）：=n（H S） T|H∈ L（X，H）和H 十、≥ -1在Q下概率有界。当Q~ P，我们简单地写下，滥用语言，Xsatis fies NUPBR（H）。备注2.2。（i） 值得注意的是，这种对NUPBR条件的定义最早出现在[31]（据我们所知），它与Delbaen和Schachermayer[19]、Kabanov[28]以及Karatzas和Kardaras[30]中给出的文献的时间范围不同。显然，当视界是确定的和有限的时，当前的NUPBR条件与文献中的一致。我们可以将当前的NUP B R命名为NUP B Rloc，但为了简化符号，我们选择了常用的术语。（ii）一般来说，当地平线不确定时，文献中的NUPBR条件意味着上述NUPBR条件。然而，相反的含义可能并不普遍适用。事实上，如果我们考虑St=exp（Wt+t），t≥ 0，那么很明显，S满足了我们的NU PBR（H），而文献的NUP B R（H）被违反了。为了看到这最后一个说法，只需说一句话就够了-→+∞（圣- 1) = +∞ P- a、 圣- H=1 s≥ -1h:=I]]0，t]]。以下命题将Takaoka在有限视界（见[41]中的定理2.6]）中获得的结果略微推广到我们的NUPBR环境中。提议2.3。设X是H-半鞅。那么下面的断言是等价的。（a） X满足NUPBR（H）。（b） 存在正H-局部鞅Y和满足0<θ的H-可预测过程θ≤ 1和Y（θ） 十） 是一个局部鞅。证据暗示的证明（b）=> （a） 基于[41]并被省略。因此，我们专注于证明相反的含义，并假设断言（a）成立。

因此，将[41]中的定理2.6直接应用于每个（St∧n） t≥0，我们得到了正H-局部鞅Y（n）和H-可预测过程θnsuch的存在性≤ 1和Y（n）（θn） Sn）是当地的马丁·盖尔。很明显，过程n：=+∞Xn=1I]]n-1，n]]（Y（n）-)-1. Y（n）是局部鞅，dy:=E（n）>0。另一方面，H-可预测过程θ：=Pn≥1I]]n-1，n]]θnsatis fies 0<θ≤ 1和Y（θ） S） 是一个局部鞅。这就结束了这一主张的证明。对于任何H-半鞅X，满足命题2.3断言（b）的局部鞅称为X的σ-鞅密度。这些σ-鞅密度的集合将通过论文byL（H，X）：={Y来表示∈ Mloc（H）| Y>0，θ ∈ P（H），0<θ≤ 1，Y（θ） 十）∈ Mloc（H）}（2.3），其中，与通常一样，P（H）s代表可预测的过程。在没有证据的情况下，我们陈述了一个明显的引理。引理2.4。对于任意H-半鞅X和任意Y∈ L（H，X），一个搭扣，H（Y）|X |）<∞ andp，H（Y）十） =0备注2.5。命题2.3意味着，对于任何过程X和任何有限停止时间σ，NUPBR（H）的两个概念（当前概念和文献中的一个）与Xσ一致。下面，我们证明，在有限视界的情况下，当前的NUPBR条件是稳定的欠定域，而文献中定义的NUPBR条件则不是这样。提议2.6。设X为H适应过程。那么，以下断言是等价的。（a） 存在一个序列（Tn）n≥1小时停车时间增加到+∞ , 这样对每个人来说≥ 1，有一个概率Qnon(Ohm, HTn）使Qn~ Qn下的P和XTnsatis fies NUPBR（H）。（b） X满足NUPBR（H）。（c） 存在一个H-可预测过程φ，使得0<φ≤ 1和（φ 十） 满足NUPBR（H）。证据

（a）的证据<==>（b） 由于[41]的原因（关于这个问题的进一步讨论，另见[8]），NUPBR条件在任何等效概率变化下都是稳定的。（b）的证明=>（c） 是琐碎的，省略了。为了证明相反，我们假设（c）成立。命题2.3意味着H-可预测过程ψ的存在，使得0<ψ≤ 1和一个正局部鞅Z=E（N），使得Z（ψφ 十） 是一个局部鞅。因为ψφ是可预测的且0<ψφ≤ 1，我们推导出S满足NUPBR（H）。这就结束了这个命题的证明。在本节结束时，我们给出了一个简单但有用的结果，用于预测具有有限变化的过程。引理2.7。设X是一个具有有限变化的H-可预测过程。那么X满足NUPBR（H）当且仅当X≡ X（即过程X是常数）。证据很明显，如果X≡ 十、 然后是X satis fies NUPBR（H）。假设X满足numbr（H）。考虑一个正H-局部鞅Y和一个H-可预测过程θ，使得0<θ≤ 1 andY（θ） 十） 是一个局部鞅。让（Tn）n≥1b一系列H停止时间增加至+∞使得yt和YTn（θ 十） 它们是真鞅。然后，每n≥ 1，定义Qn:=（YTn/Y）·P。因为X是可预测的，那么（θ） 十） Tn也是可预测的，具有有限的变化，是一个Qn鞅。因此，我们推导出（θ） 十） Tn≡ 每n 0≥ 1.因此，我们推导出X是常数（sinceXTn）- X=θ-1. (θ  十） Tn≡ 0). 这就结束了引理的证明。2.2拟左连续过程在本小节中，我们给出了关于拟左连续过程在τ处停止的NUPBR条件的两个主要结果。第一个结果包括对市场和随机时间模型的配对（S，τ）进行表征，其中Sτful满足NUPBR条件。