渐近Glosten-Milgrom平衡

在本节中，我们将在概率空间上构造点过程Xb和Xs(Ohm, FI，（FIt）t∈[0,1]，P）使得XB，T=XS，T≡ 0，由于备注4.6，且满足y）YB=ZB+XB，B- XS，频带YS=ZS+XS，频带S-XB是一个依赖于FY的泊松过程，具有共同的强度β；ii）XB，Bt=XB，St≡ Yt时为0-≥mn，XS，St=XS，Bt≡ Yt时为0-≤ 锰；iii）[Y]∈ [an，an+1]=[v=vn]P-a.s.对于n=1，··，n.该结构是[10]的自然延伸，其中考虑了n=2。与[10]一样，Xb和Xs是使用两个独立的iid随机变量序列（ηi）i构建的≥1和（ζi）i≥1在[0,1]上均匀分布，而且它们独立于Z和v。内部人使用（ηi）i≥1随机贡献购买或出售订单，并使用（ζi）i≥1随机取消噪音指令。在本节中，假设4.1是强制性的。此外，我们设置δ=1，因此抑制超级脚本δ。否则，Xb和Xs可以按δ进行缩放，以获得所需的过程。在下面的构造中，我们将定义一个概率空间(Ohm , FI，（FIt）t∈[0,1]，P），其形式为（5.1）Y=Z+NXn=1IAn（XB- XS）。这里Z是两个强度为β的独立FI适应泊松过程的差异∈ P（An）=P（Z∈ [an，an+1]）对于每一个n=1，··，n。在构造满足所需属性的Xb和Xs之前，让我们从过滤放大理论中得出一些直觉。让我们定义（D（[0,1]，Z），F，（Ft）t∈[0,1]，P）是正则空间，其中D（[0,1]，Z）是Z值c`adl`ag函数，P是一个概率测度，在此概率测度下，zb和zs是强度为β（Ft）t的独立泊松过程∈[0,1]是ZB和Z在通常条件下产生的最小过滤，F=∨T∈[0,1]英尺。

让我们用（Gt）t表示∈[0,1]过滤（Ft）t∈[0,1]用一系列随机变量（I{Z）放大∈[an，an+1）}）n=1，··，n.为了确定ZB和ZS的G强度，我们使用了过滤参数的标准放大，如[18]中所示。为此，回想一下hn（y，t）=P[Z∈ [an，an+1）|Zt=y]。注：命题4.5 ii）暗示命题4.2 i）。20渐近GLOSTEN-MILGROM平衡注意Hn在Z×[0，1]上严格正。此外，Z的马尔可夫性质暗示Hn在时间变量和满足度上是连续可微的thn+（hn（y+1，t）- 2hn（y，t）+hn（y）- 1，t）β=0，（y，t）∈ Z×[0，1），hn（y，1）=I{y∈（5.2）引理5.1.ZBand ZSat t的G强度∈ [0，1）由nxn=1I{Z给出∈[an，an+1）}hn（Zt-+ 1，t）hn（Zt）-, t） β和nxn=1I{Z∈[an，an+1）}hn（Zt-- 1，t）hn（Zt）-, t） β，分别为。证据我们只计算ZB的强度。可以简单地获得ZSS的强度。在整个证明过程中，所有的期望都得到了证实。对于s≤ t<1，取任意的E∈ Fsand表示MBt:=ZBt- βt.MBimplyE的hnand-off鞅性质的定义（百万吨）- MBs）IEI{Z∈[an，an+1）]= E（百万吨）- MBs）IEhn（Zt，t）= EIE（hMB，hn（Z·，·）it- hMB，hn（Z·，·）is）= EIEZtsβ（hn（Zr-+ 1，r）- hn（Zr）-, r） ）博士= EIEZtsβI{Z∈[an，an+1）}hn（Zr-+ 1，r）- hn（Zr）-, r） hn（Zr）-, r） 博士.每n=1，··，n的这些计算意味着-Z·sβNXn=1I{Z∈[an，an+1）}hn（Zr-+ 1，r）- hn（Zr）-, r） hn（Zr）-, r） 定义了一个G-鞅。因此，ZBt的G-强度由ZBt=MBt+βt得出。为了更好地理解前面引理中的强度，让我们收集hn:lemma 5.2的一些性质。让假设4.1保持不变。以下性质适用于每个hn，n=1，··，n:i）hn（·，·）=hn（2mn-·, ·); 特别地，hn（mn，·）=hn（mn，·）。ii）y 7→ 当y≤ 当y≥明尼苏达州。这里，当n=1（分别为。

n=n），mn=mn=-∞ （分别为mn=mn=∞).证据回想一下，an+an+1- 1=2mn。thenn（y，t）=P[Z∈ [an，an+1）|Zt=y]=P[y+Z1-T∈ [an，an+1）]=P[2mn- Y- Z1-T∈ （200万）- an+1，2mn- an]]=P[2mn- Y- Z1-T∈ [an，an+1）]=hn（2mn- y、 t），自Z和-Z具有相同的分布。这验证了我）。改写hn（y，t）=P[Z1-T∈ [an-y、 安+1-y） ]。然后陈述ii）来自于以下事实→ P（Z1-当y≤ 0，并且当y≥ 0在s之后，给定∈ P（An）=P（Z∈ an上的[an，an+1]，（XB，XS；FI）将被构造，以便YB（resp.YS）在an上的FI强度与ZB（resp.ZS）在[Z]上的G强度相匹配∈ [an，an+1）]。匹配这些强度可确保（XB，XS；FI）满足预期性能，参见下面的5.5条建议。回忆YB=ZB+XB，B-XS，频带YS=ZS+XS，频带S-从引理5.1中ZB（和ZS）的G-强度中减去β，我们可以读出XB，B的强度- XS，B（分别为XS，S- XB，S）。因为本节开头的属性ii）意味着θ带θ永远不会同时为正。因此，当XB，B的强度-XS，B为正，内幕人士以如此高的强度提交购买订单XB，B，否则内幕人士以相同的强度提交销售订单XS，B，以取消ZB发出的一些噪音购买订单。将同样的策略应用于XS，S- 利用引理5.2，我们读出了Xi，j，i，j的FI意图∈ {B，S}：推论5.3。

假设Yb和YSmatch的FI强度分别与Zb和Zs的G强度匹配，而且XB，Bt=XB，St≡ Yt时为0-≥mn和XS，St=XS，Bt≡ Yt时为0-≤ 明尼苏达州。然后是Xi，j，i，j的FI强度∈ {B，S}，在Anyt上有以下形式-= y:θB，B（y，t）=hn（y+1，t）hn（y，t）- 1.+β、 θB，S（y，t）=hn（y）- 1，t）hn（y，t）-1.-β、 θS，S（y，t）=hn（y）- 1，t）hn（y，t）-1.+β、 θS，B（y，t）=hn（y+1，t）hn（y，t）-1.-β.特别是θi，j，i，j∈ 满足以下性质：i）θB，B（y，·）=θB，S（y，·）≡ 0，θS，S（y，·）>0和θS，B（y，·）>0，当y≥锰；θS，S（y，·）=θS，B（y，·）≡ 当y时，θB，B（y，·）>0，θB，S（y，·）>0≤ 锰；ii）θB，B（·，·）=θS，S（2mn）- ·, ·), θB，S（·，·）=θS，B（2mn-·, ·);iii）θB，B（mn，·）=θS，S（mn，·）≡ 0.如推论5.3所述，当∈首先，状态空间被划分为两个域：={y∈ Z:y≥mn}和B:={y∈ Z:y≤ mn}。当Y进入这两个领域时，XS或XBY都处于活动状态。在下面的构造中，我们将关注域B，构造Xby的诱导跳跃，直到Y离开B。当Y在S中穿行时，可以类似地构造XS。当Y在B中时，XB的目标之一是在中场休息时让你的身体恢复健康[an，an+1）。为了实现这个目标，XB将在ZB的跳跃之外增加一些跳跃。然而，这本身是不够的，因为Y也会因Z而向下跳跃。因此，XB需要取消ZS的一些向下跳跃。之前的XB由两个组件XB组成，带XB，S，其中XB，B组件ZB的跳跃和XB，扫描ZS的一些跳跃。让我们用（τi）i表示≥1 Y的跳转时间顺序。这些停车时间将按如下方式进行构造。

给定τi-1<1和Yτi-1.≤ mn，下一跳时间τi出现在以下三个随机时间的最小值处：o下一跳ZB，o下一跳XB，B，o下一跳zs，其未被跳XB，s抵消。此处，XB，带XB，需要构造为其强度θB，B（Yt-, t） θB，S（Yt）-, t） 匹配推论5.3中的形式。这一目标是通过采用iid随机变量（ηi）i的两个独立序列来实现的≥1和（ζi）i≥1在[0,1]上具有均匀分布。它们也是独立的ofF和（An）n=1，··，n。这两个序列将用于生成一个随机变量νi22渐近GLOSTEN-MILGROM平衡点和另一个伯努利随机变量序列（ξj，i）j≥1在{0,1}中获取值。设（σ+i）i≥1和（σ）-i） 我≥1分别为ZB和ZS的跳跃时间。然后，在τi之后-1，ZBis在σ+ZBτi处的下一跳-1+1，下一跳XB，Bis在νi处，下一跳zs未被τ处的跳XB，Sis取消-i=min{σ-j> τi-1:ξj，i=1}。那么Y的下一个跳跃是在τi=σ+ZBτi处-1+1∧ νi∧ τ-i、 νi和（ξj，i）j的构造≥1使用（ηi）i≥1和（ζi）i≥1与[10，第4节]中的完全相同，仅将其中的h替换为hn。上述所有构造都是在过滤概率空间中进行的(Ohm, FI，（FIt）t∈[0,1]，P）使得存在（An）n=1，··，n∈ FIP（An）=hn（0，0）和两个独立的iidFI可测随机变量序列（ηi）i≥1和（ζi）i≥1在[0,1]上均匀分布时，这两个序列更多地独立于Z和（An）n=1，··，n。通过将F（resp.F）扩展到FI（resp.FI），可以满足这些要求。至于过滤（FIt）t∈[0,1]，我们要求t在P下是完全连续的，而且Z，作为强度为β的两个独立泊松过程的差，适用于（拟合）t∈[0,1]. 因此Z独立于（An）n=1，···，n，因为Z有独立的增量。

最后，我们还假设（FIt）t∈[0,1]足够富有以至于（νi）i≥1和（τ）-i） 我≥1以上讨论的是FI停止时间。一个类似于[10，引理4.3]的论点产生了：引理5.4。给定上面构造的点过程（XB，XS；FI），YBandYSat t的FI强度∈ [0,1]是gi ven byNXn=1英寸（Yt-+ 1，t）hn（Yt）-, t） β和NxN=1inHn（Yt--1，t）hn（Yt）-, t） β，分别为。现在我们已经准备好验证我们的施工是否符合要求。提议5.5。如上所述的过程Y满足以下性质：i）[Y∈ 安娜。s、 对于n=1，··，n；ii）相对于自然过滤（FYt）t，Yb和Y是强度为β的独立泊松过程∈[0,1]个Y；iii）（XB，XS；FI）在定义2.2的意义上是可接受的。证据为了验证Y是否满足所需特性，让我们引入一个辅助过程(lt） t∈[0,1):lt:=NXn=1IAnhn（0，0）hn（Yt，t）t∈ [0,1）.当n=2时，n-1.几乎可以肯定的是，在Any上只有一定数量的正（负）jum psof Y·≥mn（分别为Y）·≤ mn）。因此，当t<1固定时，对这些参数进行定义。当n=1（分别为n=n）时，在t之前有一定数量的正（分别为负）Yon A（分别为AN）ju mps。因此Yt<∞ 在A（分别为Yt>-∞ 在一台计算机上）。该分析表明，对于每个n=1、····、n和t<1，ANF的Hn（Yt，t）>0。所以(lt） t∈[0,1]是明确的积极过程l= 1.渐近GLOSTEN-MILGROM平衡23证明i），我们首先证明l 是[0，1]上的一个正函数鞅。对于这个en d，它的公式产生了th atdlt=NXn=1IAnlT-hn（Yt）-, （t）- hn（Yt）-+ 1，t）hn（Yt）-+ 1，t）dMBt+hn（Yt）-, （t）- hn（Yt）-- 1，t）hn（Yt）-- 1，t）dMSt, T∈ [0,1）.此处mb=YB- βZ·NXn=1英寸（年）-+ 1，r）hn（年）-, r） dr，MS=YS- βZ·NXn=1英寸（年）-- 1，r）hn（年）-, r） 都是FI-lo-cal鞅。定义ζ+m=inf{t∈ [0,1]：Yt=m}和ζ-m=inf{t∈ [0,1]：Yt=-m} 。

考虑停车时间（ηm）m的顺序≥1：ηm：=我∪N-1n=2Anζ+m∧ ζ-m+IAζ+m+IANζ-M∧ (1 - 1/m）。从hn的定义可以看出，Anis上的每个hn（Yt，t）都远离零统一整数∈ [0，ηm]。这意味着lη有界，因此lηmis是FI鞅。Yyields limm的构建→∞ηm=1。因此l 是一个正定域鞅，同时也是一个超鞅，在[0,1]上。定义l:= 极限→1.lt、 由于Doob的超鞅收敛定理，它是存在的且是有限的。这个小鬼躺在hn（Y1）上-, 1） 在一次测试中>0。另一方面，Y yieldsYS（分别为YB）的构造不会在时间1 P-a.s.时跳跃，而Y1-≤ mn（分别为Y1）-≥mn）。因此，n（Y，1）>0。然而，定义的hn（·，1）只能是0或1。因此，我很高兴∈ [an，an+1）在an上，对于每个n=1，··，n，陈述i）是确定的。对于陈述ii），我们将证明Yb是一个FY适应的泊松过程。类似的参数也可以应用于Yas。鉴于在Lemma5.4中计算的Yb的强度，对于每个i，一个h≥ 1，YB·∧τi∧1.- βZ·∧τi∧1NXn=1inhn（Yu-+ 1，u）hn（Yu）-, u） 杜！是一个FI鞅，其中τ是Y的跳跃时间。我们将在下一段中展示，当在τi处停止时∧ 1，Fy中的YBis泊松过程，通过显示（YBτi∧T-β（τi）∧ t） ）t∈[0,1]是anFY鞅。（这里注意τiis是FY停止时间。）这反过来又意味着YBisa泊松过程的强度β在[0，τ]上∧ 1） 式中τ=limi→∞τ是爆炸时间。SincePoisson过程不会爆发，这将进一步暗示YBτ∧1< ∞ 因此，τ≥ 1，P-a.s。。我们继续把上面的鞅投射到FYB中去看- βZ·NXn=1P（An | FYr）hn（Yr）-+ 1，r）hn（年）-, r） 当停在τi时是FY鞅∧ 1.

因此，它仍然表明，几乎所有∈ [0,1]，在[t]上≤ τi]，（5.3）NXn=1P（An | FYt）hn（Yt-+ 1，t）hn（Yt）-, t） =1，P-a.s。。对于这个END，我们将在[t]上显示≤ τi]，（5.4）P（An | FYt）=hn（Yt，t），对于t∈ [0,1.24渐近GLOSTEN-MILGROM平衡，然后（5.3）从Yt6=Yt开始-只有无数次。我们已经看到了这一点(lU∧τi）u∈[0，t]是每个i的严格正FI鞅。定义一个概率测度Qi~ FItvia dQi/dP上的P | FIt=lτi∧t、 根据Girsanov定理，YBisa Poisson过程在τi处停止∧ t和强度β在气下。因此，它们独立于自然之气。然后，对于t<1，我们从Bayes公式中得到f，即i{r≤τi∧t} P（An | FYr）=I{r≤τi∧t} EQi[IAnl-1r | FYr]EQi[l-1r | FYr]=I{r≤τi∧t} EQi[IAnhn（Yr，r）hn（0,0）| FYr]EQi[PNn=1IAnhn（Yr，r）hn（0,0）|FYr]=I{r≤τi∧t} hn（Yr，r），（5.5），其中，第ird恒等式源自上述Y和Anunder Qialong的独立性，且QI不会改变五个可测量事件的概率，因此QI（An）=P（An）=hn（0，0）。因此，在发送i之后，（5.4）遵循（5.5）→ ∞.由于YBand是FY Poisson过程，并且它们的结构不会同时跳跃，因此它们是独立的。为了证明构造的策略（XB，XS；FI）是可接受的，仍然需要证明E[XBIAn]和E[XSIAn]对于每个n=1，····，n都是有限的。为此，对于每个n，E[XBIAn]=E[XB，BIAn]+E[XB，SIAn]，其中E[XB，SIAn]≤ E[ZS]<∞ 安第斯[XB，卞]≤ E[YBIAn]+E[XS，BIAn]≤ E[ZB | Z∈ [an，an+1]+E[ZS]<∞. 类似的论证也意味着E[XSIAn]<∞. 最后，因为∞, p是有界的，定义2.2 iv）用[XBIAn]，E[XSIAn]验证∞ 每n∈ {1，…，N}。6.

收敛收集前几节的结果，我们将在本节中证明定理2.12和2.13。首先，让我们构造一个随机变量序列（~vδ）δ>0，每个变量都将是阶数δ为的Glosten-Milgrom模型中的基本值。添加到正则空间序列中(Ohmδ、 FZ，δ，（FZ，δt）t∈[0,1]，Pδ），在第2.2节开头定义，我们介绍(Ohm, F、 （Ft）t∈[0,1]，P），其中Ohm= D（[0,1]，R）是[0,1]上具有坐标过程Z的R-valuedc`adl`ag函数的空间，Pis是维纳测度。用P0表示Z=y a.s.下的维纳测度。。现在让我们定义一个R∪ {-∞, ∞}-值序列（an）n=1，·n+1viaa=-∞, 安=Φ-1（p+··+pn）-1） ，n=2，··，n+1，其中Φ（·）=Z·-∞√2πe-x/2dx。使用这个序列，可以按照（2.5）中的相同配方定义定价规则：p（y，t）：=NXn=1vnhn（y，t），y∈ R、 t∈ [0,1]，n∈ {1，··，N}，（6.1）其中hn（y，t）：=P0，yZ1-T∈ [an，an+1）= Φ（an+1）- y）- Φ（安）- y） 。正如我们稍后将看到的，这正是凯尔反向均衡中的定价规则。此外，序列（aδn）n=1，··，n+1，与下文构造的（~vδ）δ>0相关，收敛到（an）n=1，··，n+1asδ↓ 0，有助于验证定义2.11 i）。渐近GLOSTEN-MILGROM平衡25引理6.1。对于任何分布为（1.1）且N可能不确定的)v，存在一系列随机变量（)vδ）δ>0，每个变量取{v，···，vN}中的值，因此i）当其中的)v替换为每个)vδ时，假设4.1是满足的；ii）定律（vδ）==> 定律（~v），如δ↓ 0.这里==> 表示概率测度s证明的弱收敛性。对于每一个δ>0，将通过调整tin g pnin（1.1）来构造vδ到一些pδn，n=1，··，n。从[~v=v]开始，选择一个δ=-∞, aδ=inf{y∈ δZ:Pδ（Zδ≤ y）≥ p} ，并设置pδ（~vδ=v）=pδ（Zδ∈ [aδ，aδ]）。

继续移动到[~vδ=v]，选择δ=inf{y∈ δZ:Pδ（Zδ≤ y）≥p+pand（aδ+y）- δ)/2 /∈ δZ}并设置Pδ（~vδ=v）=Pδ（Zδ∈ [aδ，aδ]。在这一步之后，我们可以直观地定义aδ。当N<∞, 我们设置δN+1=∞. 这个结构给出了一个随机变量序列（~vδ）δ>0，在{v，···，vN}中取值，使得Pδ（~vδ=vN）=Pδn:=Pδ（Zδ∈[aδn，aδn+1]），其中pnn=1pδn=1，此外，每个序列（aδn）n=1，··，n+1满足假设4.1。仍需显示规律（~vδ）==> 定律（v）为δ↓ 0.为此，注意aδ为（Pn-1i=1pi）Zδ或δ在该分位数以上的分布的分位数。当βδ被选为1/（2δ）时，从[12，第6章，定理5.4]可以得出Pδ==> P、 特别是定律（Zδ）==> 法律（Z）。因此，（6.2）limδ↓0aδn=an，n=1，··，n+1。对于任何>0和n∈ {1，····，N}，先前的收敛产生了一个有效的对称函数Δ，N，such[an+，an+1]- )  [aδn，aδn+1） [an- ，an+1+）表示任何δ≤ Δ，n.亨塞普δZδ∈ [aδn，aδn+1）≤ PδZδ∈ [an-，an+1+）→ PZ∈ [an- an+1- ),PδZδ∈ [aδn，aδn+1）≥ PδZδ∈ [an+，an+1]- ）→ PZ∈ [an+，an+1]- ), asδ↓ 0，其中两个收敛都遵循定律（Zδ）==> 定律（Z）和Zi的分布是连续的这一事实。由于是任意选择的，利用Zagain分布的连续性，我们从前两个不等式Limδ中得到↓0PδZδ∈ [aδn，aδn+1）= PZ∈ [an，an+1）.因此limδ↓0pδn=pn每n∈ {1，···N}与定律（~vδ）=> 法律（v）。构造（~vδ）δ>0后，从第4节和第5节可以看出，存在一系列策略（XB，δ，XS，δ；FI，δ）δ>0，每个策略都满足第4.5节的条件。因此，（2.5）中的pδ对于每个δ>0是合理的。然后，仍需验证定义2.11 iii）以建立一个渐进的glosten-Milgrom平衡。在此之前，我们首先证明定理2.13。让我们回忆一下凯尔的回归平衡。