渐近Glosten-Milgrom平衡

根据[16]和[2]中的参数，平衡定价规则由（6.1）给出，平衡需求满足SDEY=Z+NXn=1I{v=vn}Z·yhn（Yr，r）hn（Yr，r）dr，当订单大小为δ时，假设4.1 iii）读取（aδn+aδn+1- δ)/2 /∈ δZ.26渐近GLOSTEN-MILGROM平衡点，其中Zis是一个P-布朗运动，用于模拟噪声交易者的需求。因此，内部人在凯尔后均衡中的策略由x=NXn=1I{v=vn}Z给出·yhn（Yr，r）hn（Yr，r）博士定理2.13的证明。正如我们在引理6.1中所看到的，假设4.1满足了每个vδ。根据命题5.5 i）和ii），Yδ在[~vδ=vn]上的分布与Zδ在Zδ上的分布相同∈ [aδn，aδn+1）。当fun-damental值为vn时，表示Y0，n=YI{v=vn}为凯尔后平衡中的累积需求。与[10，引理5.4]中的引理相同∈ [aδn，aδn+1））==> 定律（Y0，n），如δ↓ 0，每n∈ {1，··，N}。然后它遵循（6.3）定律（Yδ；FI，δ）==> 定律（Y；FI，0），如δ↓ 0，其中过滤系数FI，0最终放大了v。回想一下（5.1）中的Yδ=Zδ+XB，δ-X，δ，而且Y=Z+X。结合（6.3）和定律（Zδ）==> 定律（Z），我们从[14，命题VI.1.23]得出结论，定律（XB，δ- XS，δ）==> 定律（X）为δ↓ 0在本节的其余部分，定义2.11 iii）针对策略（XB，δ，XS，δ；FI，δ）δ>0进行了验证，包括定理2.12的证明。

我们在命题4.2中看到，第5节中构建的策略预期收益（XB，δ，XS，δ；FI，δ）满足δ（vn，0，0；XB，δ，XS，δ）=Uδ（vn，0，0）- Lδ（vn，0，0），n∈ {1，···，N}，其中lδ（vn，0，0）=ΔβδEδ，0Z（vn）- pδ（mδn，r））I{Yδr-=mδn}dr~vδ=vn- ΔβδEδ，0Z（vn）- pδ（mδn，r））I{Yδr-=mδn}dr~vδ=vn.（6.4）Lδ的表达式源自将（4.7）中的订单大小从1改为δ，并利用θB，S，δ（mδn，·）=θS，S，δ（mδn，·）=θS，B，δ（mδn，·）=θB，B，δ（mδn，·）=0（来自推论5.3 i）和iii），θB，T，δ=θS，T，δ≡ 注释4.6中的0，期望值取Pδ，0。这里mδn:=δ（安+安+1）-δ)/2δ δ小于mδ与mδn的最大整数倍：=δ（安+安+1）-δ)/2δδ的最小整数倍大于mδn。为了证明eorem 2.13，让我们首先显示（6.5）limδ↓0Lδ（vn，0，0）=0，n∈ {1，··，N}。在剩下的开发中，我们将vn乘以并表示Lδ=Lδ（vn，0，0）。在给出（6.5）的技术证明之前，让我们首先介绍一个启发性论点。首先，由于βδ=1/（2δ），（6.4）可以重写为（6.6）Lδ=Eδ，0hIδ，n~vδ=vni- Eδ，0hIδ，n~vδ=vni，其中iδ，n·=Z·（vn- pδ（Yδr）-- δ、 r）dLδ，mδnr，Iδ，n·=Z·（vn- pδ（Yδr）-+ δ、 r）dLδ，mδnr，渐近GLOSTEN-MILGROM平衡27和Lδ，y·=2δr·I{yδr-=y} dr是yδ在水平y上的标度占据时间。在自然过滤中，yδ是两个独立泊松YB、δ和YS的差异，δ具有跳跃大小δ和强度βδ，参见命题5.5 ii）。对于被积函数inIδ和Iδ，n，我们期望vn-pδ（Yδ·±δ，·）L-→越南-p（Y·，·），其中Y是一个p-布朗运动。

对于积分器，我们将讨论Lδ，mδn·和Lδ，mδn·如何弱收敛到Lmn·，即mn:=（an+an+1）/2级的布朗局域时间。然后证明了被积函数和积分器的弱收敛性-→ I0，n·：=Z·（vn）- p（Yr，r））dLmnr，asδ↓ 0.最后将之前的收敛传递到条件期望，在极限中（6.6）右侧的两项相互抵消。为了使这一启发性论证更加严谨，让我们首先准备几个结果。提议6.2。关于过滤（FY，δt）t族∈[0,1],δ≥0，由（Yδ）δ生成≥0，pδ（Yδ·±δ，·）L-→ D[0,1）上的p（Y·，·）作为δ↓ 0.证明。为了简化演示，我们将证明（6.7）pδ（Yδ·，·）L-→ p（Y·，·）asδ↓ 0.带有±δ的断言可以通过用Yδ±δ替换Yδ来验证。首先，应用It^o公式，利用（4.1）yieldpδ（Yδ·，·）=pδ（0,0）+Zδpδ（Yδr）-+ δ、 r）- pδ（Yδr）-, r）dYB，δr+Z·δpδ（Yδr）-- δ、 r）- pδ（Yδr）-, r）dYS，δr，（6.8），其中YB，δ·=YB，δ·-Δβδ和YS，δ=YS，δ·-Δβδ是补偿跳变过程。对于右边的pδ（0，0），引理6.1中的相同参数产生limδ↓0pδ（0，0）=p（0，0）。至于另外两个随机积分，我们将证明它们弱收敛于√Z·yp（Yr，r）dWBrand-√Z·分别为yp（Yr，r）dWSr，其中WB和WSSR是两个独立的布朗运动。这些估计意味着（6.8）的右侧收敛于弱顶（0，0）+Z·yp（Yr，r）dWr，其中W=WB/√2.- WS/√2是另一个布朗运动。自普萨蒂斯以来总磷+y yp=0，前一个过程与p（y·，·）具有相同的规律。因此（6.7）得到证实。28渐近GLOSTEN-MILGROM平衡为了证明上述随机积分的收敛性，让我们首先推导（pδ（·+δ，·）的收敛性- R×[0,1）上的pδ（·，·））/δ。

为此，由（2.5）得出δ（pδ（y+δ，t）- pδ（y，t））=δNXn=1vnhPδ，y+δ（Zδ1-T∈ [aδn，aδn+1））- Pδ，y（Zδ1-T∈ [aδn，aδn+1]）i=δNXn=1vnhPδ，y（Zδ1-t=aδn- δ) -Pδ，y（Zδ1-t=aδn+1- δ） i=δNXn=1vn“P1,0Z1-t=aδn-δ - yδ- P1,0Z1-t=aδn+1- δ - yδ#=NXn=1vnδe-1.-tδIaδn-δ-yδ1.- tδ-δe-1.-tδIaδn+1-δ-yδ1.- tδ→NXn=1vn“p2π（1- t） 经验值-（安）- y） 2（1）- （t）-p2π（1）- t） 经验值-（安+1）- y） 2（1）- （t）#= yp（y，t），asδ↓ 0.这里是Z1-这是两个独立的泊松随机变量与公共参数（1）的差异-t） βδ=（1）-t） （2δ）-1根据P1,0。因此，上面的第四个恒等式来自Skellam分布的概率分布函数：P1,0（Z1-t=k=e-2uI | k |（2u），其中I |k |（·）是第二类修正贝塞尔函数，u=（1）- t） （2δ）-1，参考[20]。根据[1，定理2]，上述收敛性在R×[0，1]中是局部一致的。上面的最后一个恒等式是从y-d-ivative到p（y，t）=PNn=1Φ安+1-Y√1.-T- Φ一-Y√1.-T, 参见（6.1）。结合（pδ（·+δ，·）的前一个局部一致收敛性-弱收敛的pδ（·，·））/δYδL-→ 在自然过滤中，我们从[5，第1章，定理5.5]：δpδ（Yδ·+δ，·）- pδ（Yδ·，·）L-→ D[0,1）asδ上的yp（Y·，·）↓ 对于（6.8）中的积分器，YB，δL-→ WB/√2和YS，δL-→ WS/√2.此外，（YB，δ）δ>0和（YS，δ）δ>0都是可预测的均匀tig ht（P-UT），因为对于任何δ>0，hYB，δit=hYS，δit=t/2，参见[14，第六章，定理6.13（iii）]。然后结合二者的弱收敛性和积分器，我们从[14，第六章，定理6.22]得到z·△pδ（Yδr-+ δ、 r）- pδ（Yδr）-, r） ）dYB，δrL-→√Z·yp（Yr，r）dWBron D[0，1）asδ↓ （6.8）中的另一个随机积分也有类似的弱收敛性。因此，在（6.8）的右边，证明了s-tochastic积分的弱收敛性。

在研究了被积函数inIδ，nand Iδ，n的弱收敛性之后，让我们把注意力转移到积分器Lδ，mδ和Lδ，mδn上。关于过滤（FY，δt）t族∈[0,1],δ≥0表示任何n∈ {1，··，N}，Lδ，mδnL-→ 与Lδ，mδnL-→ Lmnon D[0，1]asδ↓ 0.0.渐近GLOSTEN-MILGROM平衡证明。为了简单起见，我们将证明（6.9）Lδ，0L-→ 拉斯δ↓ 0.自limδ↓0mδn=limδ↓0mδn=mn根据（6.2），p位置的陈述根据Yδ替换Yδ-mδn（或Yδ- mδn）和Yby- 在剩下的证据中。为了证明（6.9），将其^o公式应用于|Yδ·|产生|Yδ·|=Xr≤·|Yδr|- |Yδr-|=Z·|Yδr-+ δ| - |Yδr-|d（YB，δr/δ）- βδr）+Z·|Yδr-- δ| - |Yδr-|d（YS，δr/δ）- βδr）+Z·|Yδr-+ δ|+| Yδr-- δ| - 2 | Yδr-|βδdr=Z·|Yδr-+ δ| - |Yδr-|dYB，δr/δ+Z·|Yδr-- δ| -|Yδr-|dYS，δr/δ+Z·δI{Yδr-=0}dr，（6.10），其中第三个恒等式从| y+δ|+y开始-δ|-2 | y |=2δI{y=0}对于任何y∈ R.另一方面，布朗运动的田中公式是（6.11）|Y·|=Z·sgn（Yr）dYr+2L·，其中当x>0或-x时为1≤ 0.然后通过比较（6.10）和（6.11）的两侧来确认收敛性（6.9）。为此，自从YδL-→ 绝对值是一个连续函数，那么| Yδ| L-→ |Y |来自[5，第1章，第5.1]的后续内容。然后，只要我们证明（6.10）右侧的鞅项弱收敛于（6.11）中的鞅项，就证明了（6.9），我们在下一个结果中证明了这一点。引理6.4。设Mδ：=R·|Yδr-+ δ| - |Yδr-|dYB，δr/δ+r·|Yδr-- δ| - |Yδr-|dYS，δr/δ和M:=r·sgn（Yr）dYr。那么MδL-→ mond[0,1]为δ↓ 0.证明。定义fδ（y）：=δ（|y+δ|- |y代表y∈ R和observefδ（y）=1年≥ 02y/δ+1-δ<y<0-1年≤ -δ.显然，fδ在R\\{0}上局部一致收敛于sgn（·）。另一方面，YδL-→ 我的法律还在继续。

然后从[5，第1章，定理5.5]得出fδ（Yδ）L-→sgn（Y）。至于积分器（YB，δ）δ>0，正如我们在命题6.2的证明中所看到的，它们弱地收敛于WB/√2和是P-UT。然后[14，第六章，定理6.22]将·|Yδr-+ δ| - |Yδr-|dYB，δr/δL-→√Z·sgn（年）dWBr。类似的论点yieldsZ·|Yδr-- δ| - |Yδr-|dYS，δr/δL-→ -√Z·sgn（年）dWSr。30渐近GLOSTEN-MILGROM平衡点和wse是独立的布朗运动。定义W=WB/√2.-WS/√2.我们从前面的两个收敛性中得到了mδL-→Z·sgn（Yr）DWR具有与M相同的定律。命题6.2和命题6.3的结合产生了（Iδ，n）δ>0和（Iδ，n）δ>0的弱收敛性。此外，命题6.3中的局部时间序列也在预期中收敛。推论6.5。关于过滤家族（FY，δt）t∈[0,1],δ≥0表示任何n∈ {1，···，N}，Iδ，与Iδ，nL-→ I0，非D[0，1）asδ↓ 0.证明。该陈述源自于将命题6.2和6.3结合起来，并引用[14，第六章，定理6.22]。为了应用前面的结果，我们需要证明（Lδ，mδn）δ>0和（Lδ，mδn）δ>0都是P-UT。当（Lδ，mδn）δ>0时，将验证该特性。对于（Lδ，mδn）δ>0，同样的参数也适用。为此，由于Lδ，mδ是一个非减量过程，（Lδ，mδn）δ>0是P-UTas，只要（V ar（Lδ，mδn））δ>0是紧的，其中V ar（X）是过程X的变化，参见[14，第六章，6.6]。注V ar（Lδ，mδn）=Lδ，mδn，因为Lδ，mδn不是递减的。命题6.3暗示了（var（Lδ，mδn））δ>0的紧密性。推论6.6。对任何人来说∈ {1，··，N}和t∈ [0,1]，limδ↓0Eδ，0hLδ，mδnti=limδ↓0Eδ，0hLδ，mδnti=E0,0[Lmnt]。证据为了表示简单，我们将证明limδ↓0Eδ，0[Lδ，0t]=E0,0[Lt]。用Yδt代替Yδt得出推论-mδ或Yδt- 其余的证据都在这里。

因为（6.10）中的随机积分是Pδ，0-鞅，2Eδ，0[Lδ，0t]=Eδ，0[|Yδt |]。由于E[（Yδt）]=t对于任何δ>0，（|Yδt | Pδ，0）δ>0是一致可积的。然后根据[12，Ap pendix，命题2.3]和定律（|Yδt |）==> limδ↓0Eδ，0[| Yδt |]=E0,0[| Yt |]。因此，由于E0,0[|Yt |]=2E0,0[Lt]cf.（6.11），因此该权利要求如下。收集之前的结果，以下结果证实（6.5）。提案6.7。对于策略（XB，δ，XS，δ；FI，δ），δ>0，如第5节limδ所述↓0Lδ（vn，0，0）=0，n∈ {1，··，N}。证据解决任何问题∈ (0, 1). 推论6.5意味着定律（Iδ，n1-; FY，δ）==> 定律（I0，n1）-; F） 。RecallLaw（~vδ）==> 引理6.1中的定律（~v）。然后它遵循法律Iδ，n1-I{vδ=vn}；FY，δ==> 法律I0，n1-I{v=vn}；F.另一方面，由于N是有限的，pδ被均匀地束缚在δ中。然后存在常数| Iδ，n1-I{vδ=vn}≤ CLδ，mδn1-，当上界的期望收敛时，参见渐进GLOSTEN-MILGROM平衡31推论6.6。因此，参考[12，附录定理1.2]并利用limδ↓从引理6.1中，我们得到（6.12）Eδ，0hIδ，n1-| vδ=vni=Eδ，0hIδ，n1-I{vδ=vn}iPδ（~vδ=vn）→E0,0hI0，n1-I{v=vn}iP（~v=vn）=E0,0hI0，n1-| v=vni，作为δ↓ 0.另一方面，s ince limδ↓0Pδ（~vδ）=P（~v=vn）>0，存在一个常数，如δ，0h | Iδ，n- Iδ，n1-|~vδ=vni≤ ceδ，0hLδ，mδn- Lδ，mδn1-i→ cE0,0Lmn- Lmn1-, asδ↓ 0，其中两次应用g推论6.6的收敛性如下。由于当地时间的不同，列维的结果（参见[15，第3章，定理6.17]）yieldsE0,0Lmn- Lmn1-= E0，-锰L- L1-=E0，-锰苏普≤1年- 苏普≤1.-年=rπ（1）-√1.- ），其中yi是P-布朗运动，E0，y[supr≤tYr]=p2t/π+y用于获得第三实体。

现在，前两次估计的综合收益率（6.13）lim supδ↓0Eδ，0h | Iδ，n-Iδ，n1-|~vδ=vni≤ C（1）-√1.- （6.12）和（6.13）中的估计也成立，当Iδ，nis替换为Iδ，n时。这些估计然后是yieldEδ，0hIδ，n- Iδ，n | vδ=vni≤ Eδ，0hIδ，n1-- Iδ，n1-| vδ=vni+Eδ，0h | Iδ，n- Iδ，n1-|~vδ=vni+Eδ，0h | Iδ，n- Iδ，n1-|~vδ=vni。发送δ↓ 0在上一个不等式中，右边的第一项在极限中消失，因为两个条件期望收敛到同一极限，第二项和第三项的极限都小于C（1）-√1.- ). 现在既然是任意选择的，发送→ 1产量超薄↓0Eδ，0hIδ，n- Iδ，n | vδ=vni≤ 0.类似的参数导致lim infδ↓0Eδ，0hIδ，n- Iδ，n | vδ=vni≥0，这就是证明。最后给出了定理2.12的证明。定理2.12的证明。仍需验证定义2.11 iii）。通过证明修正vnand（y，t）=（0，0）。我们已经从第4.4命题Vδ中看到≤ 我们，δ。另一方面，P位置4.2产生J（XB，δ，XS，δ）=Uδ- Lδ。因此（XB，XS）可容许jδ（XB，XS）- Jδ（XB，δ，XS，δ）≤ 我们，δ-Uδ+Lδ。自limδ↓命题6.7证明了0Lδ=0，它必须表示limδ↓0US，δ- Uδ=0。为此，从我们的定义，δ，（6.14）US，δ（0,0）- Uδ（0，0）=（Uδ(-δ, 0) - Uδ（0，0））I{0≤mδn}=δ（vn- pδ（0，0））I{0≤mδn}。上面的第二个恒等式来自（4.12），读作Uδ（y，t）-Uδ（y）-1，t）+δ（vn）-对于y，pδ（y，t））=0≤ 当订单大小为δ时，mδn。因此limδ↓0US，δ-发送δ后确认Uδ=0↓ 0英寸（6.14英寸）。32渐近GLOSTEN-MILGROM平衡A.粘度解命题3.1将在本节中得到证明。为了简化表示法，δ=1和v=vn贯穿本节。首先让我们回顾一下（不连续）粘度溶液对（2.8）的定义。

给定一个局部有界函数v:Z×[0,1]→ R、 它的上半连续包络v*和下半连续包络v*定义为（A.1）v*（y，t）：=lim su pt\'→电视（y，t′），v*（y，t）：=lim inft\'→电视（y，t′，（y，t）∈ Z×[0,1]。定义A.1。设v:Z×[0,1]→ R是局部有界的。i） v是（2.8）的（不连续）粘度亚溶液，如果-~nt（y，t）- H（y，t，v）*) ≤ 0，尽管如此∈ Z、 t∈ [0,1）和任何函数：Z×[0,1]→ R在第二个变量中连续可微，因此（y，t）是v的m最大点*- φ.ii）v是（2.8）的（不连续）粘度上解，如果-~nt（y，t）- H（y，t，v）*) ≥ 0，尽管如此∈ Z、 t∈ [0,1）和任何函数：Z×[0,1]→ R在第二个变量中连续可微，因此（y，t）是v的最小点*- φ.iii）如果v是（2.8）的（不连续）粘性解，那么它既是次解又是超解。对于内部人员的优化问题，让我们回顾一下动态规划原理（参见[19，备注3.3.3]）。给定一个可容许策略（XB，XS），任意[t，1]-取值的停止时间τ和基本值vn表示相关的函数byInt，τ：=Zτt（vn- p（年）-+ 1，r）dXB，Br+Zτt（vn- p（年）-+ 2，r）dXB，Tr+Zτt（vn- p（年）-, r） ）dXB，Sr-Zτt（vn）- p（年）-- 1，r）dXS，Sr-Zτt（vn）- p（年）-- 2，r）dXS，Tr-Zτt（vn）- p（年）-, r） ）dXS，Br，其中Y=Z+XB- XS。然后，动态规划原理是：对于任何容许的策略（XB，XS）和任何[t，1]值的停止时间τ，V（y，t），DPP i）≥ Ey，t[V（τ，Yτ）+Int，τ]。DPP ii）对于任何>0，存在一个容许策略（XB，XS），使得对于所有[t，1]-值停止时间τ，V（y，t）-  ≤ Ey，t[V（τ，Yτ）+Int，τ]。值函数V的粘度解性质遵循动态规划原理和粘度解中的标准参数（参见。

[19，提案4.3.1和4.3.2]。）因此，命题3.1 i）得到验证。由于状态空间Z是离散的，如果v（y，·）在任意有界邻域和任意固定y上有界，则v是局部有界的∈ Z.其中，停止时间τmca可以选择为Y的第一跳变时间，其中对于序列（tm）m，Ytm=Y→Tasympotic GLOSTEN MILGROM A.2。DPP ii的证明利用了可测选择定理。为了避免这种技术结果，可以使用[6]中的弱动态规划原理。对于内部人的优化问题，弱动态规划原理是：对于任何[t，1]值的停止时间τ，V（y，t），WDPP i）≤ 高级（XB，XS）Ey，t五、*（τ，Yτ）+Int，τ.WDPP ii）对于任何[t，1]值的停止时间τ和Z×[0，1]上的任何上半连续函数φ，使得V≥ ν，然后v（y，t）≥ 高级（XB，XS）Ey，tν（τ，Yτ）+Int，τ.[6]中假设A的条件A1、A2和A3在当前情况下明显满足。假设A中的条件A4可以按照[6，命题5.4]中的相同论点进行验证。因此上述弱动态规划原理成立。因此，值函数是（2.8）的粘度解，其参数类似于[6，第5.2节]。现在给出了位置3.1（ii）的证明。证明（vn，y，t，V）∈ dom（H），从V的粘度上解性质观察H（vn，y，t，V*) < ∞, 因此（vn，y，t，V*) ∈ dom（H）。另一方面，对于任何可积强度θi，j，i∈ {B，S}和j∈ {B，T，S}，由于定义2.2 iv），可以证明Ey，T[Int，1]是T中的连续函数。作为连续函数族（参见（2.7））的上确界，V在T中是下半连续的。因此V*≡ V，whichipmlies（vn，y，t，V）∈ 对于任何vn，dom（H）（y，t）∈ Z×[0,1）。