渐近Glosten-Milgrom平衡

上述类似论点表明，这种销售策略也会带来积极的预期收益。因此，在这两种情况下，V>0是正确的。定理2.6的证明。在不丧失一般性的情况下，我们将δ设为1，并通过证明省略上标δ。第一步：对于任何n∈ {1，···，N}，下列任一情况成立：·（3.1）作为一个等式成立，（3.2）是一个严格的不等式（y，t）∈ Z×[0，1）；o（3.2）作为一个等式成立，（3.1）是一个严格的不等式（y，t）∈ Z×[0，1）。要证明该断言，请从（3.1）和（3.2）中观察p（y，t）- 越南≤ V（y+1，t）- V（y，t）≤ p（y+1，t）-vn，（y，t）∈ Z×[0,1）.自y7以来→ 对于任何t，p（y，t）都严格增加∈ [0，1），存在η（y，t）∈ [0，1]使得v（y+1，t）- V（y，t）=p（y，t）+η（y，t）（p（y+1，t）- p（y，t））- vn，（y，t）∈ Z×[0，1）。假设（3.1）或（3.2）在某一点上等于一个等式。如果这样的假设失败，那么（3.1）和（3.2）中的不等式在Z×[0，1]的所有点上都是严格的。那么（2.9）中的所有运算限制器都是相同的零，相关的预期p为零。由于V>0，参考引理3.2，这些平凡的优化器不是（2.7）的最优策略因此，在这种琐碎的情况下，定理的陈述已经得到证实。现在我们假设（3.2）在（y+1，t）处作为等式成立，我们将证明（3.2）是恒等式。另一方面，结合（3.2）中的恒等式和y7的严格单调性→ p（y，t），我们得到v（y+1，t）- V（y，t）=p（y，t）- vn<p（y+1，t）- vn，（y，t）∈ Z×[0，1），因此不等式（3.1）总是严格的。

（3.1）是恒等式，d（3.2）是严格恒等式的另一种情况可以类似地证明。既然（3.2）在（y+1，t）处作为等式成立，那么，对于任何s∈ （t，1），Ey[p（Zs-t、 （s）]-vn=p（y，t）-vn=V（y+1，t）-V（y，t）=Ey[V（Zs-t+1，s）- V（Zs）-t、 s）]，其中第一个恒等式来自（2.5）和Z的马尔可夫性质，第三个恒等式在应用位置3.1（iv）两次后得到。另一方面，η（y，t）yieldsEy[V（Zs）的定义-t+1，s）- V（Zs）-t、 s）]=Ey[p（Zs-t、 s）+η（Zs）-t、 s）（p（Zs）-t+1，s）- p（Zs）-t、 [s]]-越南。最后两个恒等式组合表示（3.5）Ey[η（Zs-t、 s）（p（Zs）-t+1，s）- p（Zs）-t、 [s]）]=0。还记得η吗≥ 0，p（·+1，s）- p（·，s）>0表示任何s<1，以及Zs的分布-在Z的每一点上都有正质量。然后我们从（3.5）中得出结论，对于任何y，η（y，s）=0∈ Z.因为s是任意选择的，（3.6）η（y，s）=0，对于任何y∈ Z、 t<s<1。现在，对于任何t<s和y，前一个恒等式产生fix s∈ Z、 V（y+1，t）-V（y，t）=Ey[V（Zs-t+1，s）- V（Zs）-t、 s）]=Ey[p（Zs-t、 （s）]- vn=p（y，t）- vn，渐近GLOSTEN-MILGROM平衡13，其中命题3.1 iv）再次应用两次，以获得第一个恒等式。因此η（y，t）=0对于任何y∈ Z和t≤ s、 与（3.6）相结合，意味着（3.2）是一个身份。第2步：修正1<n<n。当（3.2）是一个恒等式时，（2.9）中的任何优化器都不是（2.7）的最优策略。当（3.1）是一个id实体时，类似的参数会导致相同的结论。结合第一步的结果，证实了定理的陈述。当（3.2）是一个身份时，发送t→ 1，V（y，1），定义为极限→1V（y，t），满意度（y- 1, 1) -V（y，1）=vn-P（y）- 1).前面的恒等式和（2.6）的组合意味着，当y<an+1时，V（y，1）严格递减，当y<an+1时，V（y，1）不变∈ [an+1，an+1+1），并且当y≥ A+1+1。

因此y 7→ V（y，1）在y时达到其最小值∈ [安+1，安+1]。设（^XB，^XS）为点过程，其目标是优化器^θi，j，i∈ {B，S}和j∈ {B，T，S}，in（2.9），和集合^Y=Z+^XB-^XS。假设（^XB，^XS）是附录A中（2.7），DPP i）的最佳策略≥Y，thV（^Y，1）+Zt（vn- p（^Yr）-+ 1，r）d^XB，Br+Zt（vn- p（^Yr）-+ 2，r）d^XB，Tr+Zt（vn- p（^Yr）-, r） ）d^XB，Sr-Zt（vn）- p（^Yr）--1，r）d^XS，Sr-Zt（vn）- p（^Yr）-- 2，r）d^XS，Tr-Zt（vn）- p（^Yr）-, r） ）d^XS，Br,其中，期望值取Py，twith Py，t（^Yt=y）=1。然而，当内幕人士采用最优策略（^XB，^XS）时，价值函数V（y，t）正是预期收益。因此，先前的恒等式yieldsEy，t[V（^Y，1）]=0。回想一下，V（·，1），作为正函数的极限，是非负的，它在[an+1，an+1]达到最小值。前一个恒等式意味着当y时V（y，1）=0∈ [an+1，an+1]和（3.7）^Y∈ [an+1，an+1]，Py，t- a、 s。。然而，当（3.2）是恒等式且（3.1）是严格不等式时，（2.9）的任何优化器都满足^θB，B=^θB，S≡ 0，即^XB≡ 因此，^Y=ZB-ZS-^xs仅带负控跳线，从^xs来的^xs无法补偿zs以满足（3.7），其中[an+1，an+1]是当n1<n<n时Z的有限间隔。4.次优策略我们从这一节开始准备定理2.12。在本文的其余部分，N<∞, 除非另有说明，否则假设定理2.12是强制执行的。在本节中，我们将在订单大小为δ的GlostenMilgrom模型中描述反馈形式的次优策略，这样定价规则（2.5）是合理的。为了简化表示，我们将在本节中取δ=1，而省略所有上标δ。

当ord er大小为δ时，按δ缩放所有进程可以得到所需的进程。本节将强制执行以下关于v分布的长期假设：假设4.1。存在一个严格递增序列（an）n=1，··，n+1，使得14个渐近GLOSTEN-MILGROM平衡点∈ Z∪ {-∞, ∞}, a=-∞, aN+1=∞, 和∪Nn=1[an，an+1）=Z∪ {-∞};ii）P（Z）∈ [an，an+1]）=P（~v=vn），n=1，·n；iii）中间层mn=（an+an+1）- 1） 区间[an，an+1]的/2不是整数。假设2.4中已经假设了第i）项和第ii）项。第iii）项是一个技术假设，有助于构建次优策略。在下一节中，当考虑分布（1.1）的任意v且订单大小δ收敛到零时，序列（aδn）n=1，··，n+1，δ>0以及一系列随机变量（~vδ）δ>0将被构造，这样每个δ满足假设4.1，~vδ收敛到定律中的~v。为了简化符号，我们用mn表示：（安+安+1）- 1)/2 小于mn和bymn的最大整数：=（安+安+1）- 1)/2 大于mn的最小整数。假设4.1 iii）意味着≤ mn<mn<mn<an+1和mn- 当A和+1均为有限值时，mn=1。现在让我们定义一个函数U，它与次优策略的预期收益有关，并且主导着价值函数V。首先，马尔可夫性质Z意味着p在时间变量上是连续可微的，并且满足espt+（p（y+1，t）- 2p（y，t）+p（y）- 1，t）β=0，（y，t）∈ Z×[0,1），p（y，1）=p（y）。（4.1）定义（4.2）U（vn，y，1）：=an-1Xj=y（vn- A（j））I{y≤mn}+yXj=an+1（B（j）- vn）I{y≥mn}，y∈ Z、 一,≤ N≤ N、 其中A（y）：=P（y+1）和B（y）：=P（y）- 1） 可被视为在时间1之前的询问和出价定价功能。

由于（vn）n=1，···，Nis增加，U（·，·，1）是非负的，（4.3）U（vn，y，1）=0<==> Y∈ [an- 1，an+1+1）。假设U（·，·，1）如上所述，U被扩展到t∈ [0,1]如下：U（vn，y，t）：=U（vn，y，1）+βZt（p（y，r）- p（y）- 1，r）dr，y≥mn，（4.4）U（vn，y，t）：=U（vn，y，1）+βZt（p（y+1，r）- p（y，r））dr，y≤ mn（4.5）表示t∈ [0,1）和n=1，··，n。由于n是有限的，p是有界的，因此U取有限值。命题4.2。假设假设4.1成立。假设做市商选择（2.5）中的p作为定价规则。然后对于任何内部人的可接受策略（XB，XS；FI），FI强度θi，j，i∈ {B，S}和j∈ {B，T，S}，相关预期收益函数J（vn，y，T；XB，XS）满足（4.6）J（vn，y，T；XB，XS）≤ U（vn，y，t）- L（vn，y，t），n∈ {1，··，N}，（y，t）∈ Z×[0,1]。这与[10，脚注4]中的论点相同。渐近GLOSTEN-MILGROM平衡15l（vn，y，t）：=EyZt（vn）- p（mn，r））β - θB，Sr+θS，Sr我{Yr}-=mn}+θS，TrI{Yr-=mn+1}博士~v=vn- 嗯Zt（vn）- p（mn，r））β - θS，Br+θB，Br我{Yr}-=mn}+θB，TrI{Yr-=锰-1}博士~v=vn.（4.7）此外，当满足以下条件时，（4.6）是一个恒等式：i）Y∈ [an- 1、~v=vn时的+1+1）a.s；ii）XS，St=XS，Bt≡ Yt时为0-≤ mn，XB，Bt=XB，St≡ Yt时为0-≥mn，θB，T≡ y时为0≥ mn和θS，T≡ y时为0≤明尼苏达州。在证明这个结果之前，让我们先推导出满足要求的方程式。下面的结果显示，除了y=mn和y=mn之外，U满足（3.4），并且U满足（3.1）或（3.2）中的身份，这取决于y≤ mnor y≥明尼苏达州。引理4.3。

函数U满足以下方程：（Hv=v是固定的，U中省略了对v的依赖。）Ut+（U（y+1，t）- 2U（y，t）+U（y）- 1，t）β=0，y>mn或y<mn，（4.8）Ut+（U（y+1，t）- 2U（y，t）+U（y）- 1，t）β=（p（mn，t）- vn）β，y=mn，（4.9）Ut+（U（y+1，t）- 2U（y，t）+U（y）- 1，t）β=（vn- p（mn，t））β，y=mn，（4.10）U（y，t）- U（y+1，t）- （越南）- p（y，t））=0，y≥mn，（4.11）U（y，t）- U（y）- 1，t）+（vn- p（y，t））=0，y≤ mn，（4.12）证明。我们将只在y时验证这些方程≥明尼苏达州。剩下的方程可以用类似的方法证明。第一（4.2）意味着u（y+1，1）- U（y，1）=B（y+1）- vn=P（y）- vn，y≥明尼苏达州。将之前的身份与（4.4）、U（y+1，t）结合起来- U（y，t）=U（y+1，1）- U（y，1）+βZt（p（y+1，r）- 2p（y，r）+p（y）- 1，r）dr=p（y，t）- vn，其中（4.1）用于获取第二个id实体。该验证（4.11）。当y>mn时，在y和y+1处取（4.11），在（4.4）处取时间导数，yieldUt+（U（y+1，t）- 2U（y，t）+U（y）- 1，t）β=-β（p（y，t）- p（y）- 1，t）＋β（p（y，t）- p（y）- 1，t））=0,16渐近GLOSTEN-MILGROM平衡，当y>mn时，其符合（4.8）。当y=mn时，从（4.2）、（4.4）和（4.5）观察U（mn，·）=U（mn，·）。ThenUt+（U（y+1，t）- 2U（y，t）+U（y）- 1，t）β=-β（p（mn，t）- p（mn，t））+β（U（mn+1，t）- U（mn，t））=-β（p（mn，t）- p（mn，t））- β（vn）- p（mn，t））=β（p（mn，t）- vn），其中第二个标识来自（4.11）。命题4.2的证明。在整个证明过程中，v=vnis fix和对v的依赖性在U中给出。让YB=ZB+XB，B+XB，T-XS，频带YS=ZS+XS，S+XS，T-分别是Y的XB、Sbe阳性部分和阴性部分。然后YB-R·（β）- θS，Br- θB，Tr）dr-R·θB，Brdr- 2R·θB，trdRandys-R·（β）-θB，Sr-θS，Tr）dr-R·θS，Srdr-2R·θS，Trdr是FI鞅。

将它的公式应用于U（Y·，·），我们得到U（Y，1）=U（Y，t）+ZtUt（Yr-, r） dr+Zt[U（年，右）- U（年）-, r） 年[Zt]- U（年）-, r） [dYSr=U（y，t）+Zt[Ut（Yr-, r） +（年）-+ 1，r）- 2U（年）-, r） +U（年）-- 1，r）β]dr+Zt[U（年）-+ 1，r）- U（年）-, r） ]θB，Br- θS，Brdr+Zt[U（年）-+ 2，r）- U（年）-+ 1，r）]θB，Trdr+Zt[U（年）-- 1，r）- U（年）-, r） ]θS，Sr- θB，Srdr+Zt[U（年）-- 2，r）- U（年）-- 1，r）]θS，Trdr+M- Mt，（4.13），其中m=Z·[U（Yr，r）- U（年）-, r） ]dYBr-锆β - θS，Bu+θB，Bu+θB，Tu杜+Z·[U（年，右）- U（年）-, r） ]dYSr-锆β - θB，Su+θS，Su+θS，Tu杜.因为（4.11）和（4.12）意味着U（y+1，t）-U（y，t）是p（y，t）-vnor p（y+1，t）-vn，两者都由v从下方限定-vN从上往下看-vn，因此M是FI鞅（参见[7，第一章，T6]）。

在（4.13）的右边，在{Yr上拆分第二个积分-≥mn}，{Yr-= mn}和{Yr-< mn}，在{Yr上分裂第四个积分->mn}，{Yr-= mn}和{Yr-≤ mn}，利用U（mn，·）=U（mn，·），以及引理4.3中的不同方程，在不同的症状性GLOSTEN-MILGROM平衡区，我们得到U（Y，1）=U（Y，t）+Zt（p（mn，r）- vn）βI{Yr-=mn}dr+Zt（vn- p（mn，r））βI{Yr-=mn}dr-Zt（vn）- p（年）-, r） 我{Yr}-≥mn}（θB，Br）- θS，Br）dr-Zt（vn）- p（年）-+ 1，r）I{Yr-<mn}（θB，Br）- θS，Br）dr-Zt（vn）- p（年）-+ 1，r）I{Yr-≥mn}θB，Trdr-Zt（vn）- p（年）-+ 2，r）I{Yr-<锰-1} θB，Trdr+Zt（vn- p（年）-- 1，r）I{Yr->mn}（θS，Sr）- θB，Sr）dr+Zt（vn）- p（年）-, r） 我{Yr}-≤mn}（θS，Sr）- θB，Sr）dr+Zt（vn）- p（年）-- 2，r）I{Yr->mn+1}θS，Trdr+Zt（vn- p（年）-- 1，r）I{Yr-≤mn}θS，Trdr+M- Mt.通过将（XB，XS）的属性放在左手边，重新排列之前的身份，我们得到了ZT（vn）- p（年）-+ 1，r）θB，Brdr+Zt（vn- p（年）-+ 2，r）θB，Trdr+Zt（vn-p（年）-, r） ）θB，Srdr-Zt（vn）- p（年）-- 1，r）θS，Srdr-Zt（vn）- p（年）-- 2，r）θS，Trdr-Zt（vn）- p（年）-, r） ）θS，Brdr=U（y，t）- U（Y，1）- K- L+M- Mt，（4.14），其中k=Zt（p（年）-+ 1，r）- p（年）-, r） 我{Yr}-≥mn}θB，Brdr+Zt（p（Yr）-, r）- p（年）-- 1，r）I{Yr-≥mn}θB，SrdrZt（p（Yr-+ 2，r）- p（年）-+ 1，r）I{Yr-≥mn}θB，Trdr+Zt（p（Yr-, r）- p（年）-- 1，r）I{Yr-≤mn}θS，Srdr+Zt（p（Yr）-+ 1，u）- p（年）-, r） 我{Yr}-≤mn}θS，Brdr+Zt（p（Yr）-- 1，r）- p（年）-- 2，r）I{Yr-≤mn}θS，Trdr，L=Zt[vn-p（mn，r）](β - θB，Sr+θS，Sr）I{Yr-=mn}+θS，TrI{Yr-=mn+1}博士-Zt[vn- p（mn，r）](β - θS，Br+θB，Br）I{Yr-=mn}+θB，TrI{Yr-=锰-1}dr.在（4.14）的两侧取条件期望E[·|拟合，Yt=y]，左手侧为预期的概率J（XB，XS），而在右手侧，U（·，1）和K均为非负（参见定义2.1 i））。因此（4.6）得到了验证。为了获得（4.6）中的身份，我们需要∈ [an- 1，an+1+1）a.s.，因此U（Y，1）=0 a.s。

从（4.3）开始；ii）θB，B=θB，S≡ 0 wheny≥ mn，θS，S=θS，B≡ y时为0≤ mn，θB，T≡ y时为0≥ mn和θS，T≡ y时为0≤明尼苏达州。回到命题4.2的陈述。如果内部人选择了一种策略，使得i）和ii）中的两个条件都得到满足，那么（4.6）中的id实体就得到了，因此该策略的预期收益是U- L.另一方面，定义我们：{v，···，vN}×Z×[0，1]→ R通过（4.15）US（vn，y，t）=（U（vn，y，t）y≥mnU（vn，y）- 1，t）y≤ 明尼苏达州。下一个结果显示s th at USD代表值函数V，因此US-U+L是预期利润潜在损失的上限。在第6节中，我们将证明该潜在损失收敛为零，即δ↓ 0.因此，当订单规模为sm all时，通过采用满足命题4.2 i）和ii）的策略，内部人员损失几乎不符合预期。提案4.4。让假设4.1保持不变。然后V≤ 美国，因此V<∞ , 关于{v，··，vN}×Z×[0，1]。证据修正VN，并在整个过程中将其作为我们和U的第一个参数省略。我们首先验证（y，t）- 美国（y+1，t）- （越南）- p（y，t））=0，（4.16）+美国（y+1，t）- 2US（y，t）+US（y- 1.t）β=0，（4.17）对于任何（y，t）∈ Z×[0，1）。实际上，当y≥mn（4.16）正好是（4.11）。当y=mn时，US（mn，t）- US（mn，t）=U（mn- 1.t）- U（mn，t）=U（mn- 1.t）- U（mn，t）=vn- p（mn，t），其中第二个恒等式来自U（mn，t）=U（mn，t），第三个恒等式因（4.12）而成立。当y<mn时，US（y，t）- US（y+1，t）=U（y- 1.t）- U（y，t）=vn- p（y，t），其中（4.12）再次用于获得第二身份。因此（4.16）适用于所有情况。

至于（4.17），（4.16）产量（y+1，t）-2US（y，t）+US（y- 1，t）=p（y，t）- p（y）- 1，t）。另一方面，我们从（4.4）和（4.5）中得到了（y，t）=（Ut（y，t）=-β（p（y，t）- p（y）- 1，t）y≥mnUt（y）- 1，t=-β（p（y，t）- p（y）- 1，t）y≤ 明尼苏达州。因此（4.17）是在结合前两个身份后确定的。现在请注意我们（·，1）≥ 此外，美国统计局（4.16）和（4.17）。断言V≤ Us的论点与[10，命题3.2]的高级类型相同。在研究了内部人的优化问题之后，让我们转向做市商。鉴于（XB，XS；FI），定义2.11 ii）要求定价规则合理。这导致了（XB，XS；FI）上的另一个约束。提案4.5。如果存在一个容许策略（XB，XS；FI），使得i）YB=ZB+XB，B+XB，T- XS，频带YS=ZS+XS，S+XS，T- XB是独立的-具有共同强度β的适应泊松过程；ii）[Y]∈ [an，an+1]=[v=vn]，n=1，·n.那么定价规则（2.5）是合理的。渐近GLOSTEN-MILGROM平衡证明。无论如何∈ [0,1]，p（Yt，t）=EYt[p（Z1-t） ]=E[P（Z）| Zt=Yt]=EP（Y）|FYt= E[~v | FYt]，其中第三个恒等式成立，因为Y和dz具有相同的分布，第四个恒等式紧随着sfrom ii）和d（2.6）。备注4.6。如果内幕人士在噪声b uy（resp.sell）指令到达时发出买入（resp.sell）指令，则命题4.5 i）无法满足。因此，在渐近均衡中，内幕人士不会与噪声交易者以相同的方向进行交易，即XB，T=XS，T≡ 0，以便市场庄家可以采用合理的定价规则。在本节结束时，我们需要构造同时满足命题4.2 ii）、命题4.5 i）和命题2）条件的点过程（XB，XS；FI）。该结构为[10，第4节]，其中考虑了N=2，将在下一节中介绍。5.