渐近Glosten-Milgrom平衡

然后从（3.1）和（3.2）得出（A.2）V（y）-1，t）+p（y）-1.t）-越南≤ V（y，t）≤ V（y）-1，t）+p（y，t）-vn，对于任何（y，t）∈ Z×[0，1）.在前面的不等式中取t的极限上确界，并利用t 7的连续性→ p（y，t），当V被V取代时，前面的不等式仍然成立*, 这意味着（vn，y，t，V*) ∈对于任何vn，dom（H）（y，t）∈ Z×[0，1）。因此，H（vn，y，t，V*) 和H（vn，y，t，V*) 将红色ucedform（3.3）中的V替换为V*和V*, 分别地因此，定义A.1意味着V是（3.4）的粘度溶液。为了证明命题3.1（iii）和iv），让我们首先得出（3.4）的比较结果。函数v:Z×[0,1]→ 如果存在C和n这样的| v（y，t）|，R的第一个变量最多有多项式增长≤ C（1+| y | n），对于任何（y，t）∈ Z×[0,1]。引理A.3。假设u（分别为v）最多有多项式增长，并且它是上半连续v粘性子解（分别为下半连续上解）到（3.4）。如果u（·，1）≤v（·，1），然后u≤ 假设这个比较结果一会儿。不等式（a.2）和假设2.5结合起来，表明v最多是多项式增长的。然后引理a.3和（a.1）结合起来，得到v*≤五、*≤ 五、*, 这意味着t7的连续性→ V（y，t），因此命题3.1 iii）已经过验证。另一方面，我们可以证明V（y，t）：=Ey，t[V（Z，1）]最多是多项式增长，是（3.4）的另一个粘性解。然后引理A.3 y ieldsV（y，t）=V（y，t）=Ey，t[V（Z，1）]，写＠V（y，t）=E[V（Z1-t+y，1）]。我们可以利用Z的马尔可夫性质来证明V是连续可微的，并且V是（3.4）的经典解。34通过Z的马尔可夫性质证明命题3.1 iv）的渐近GLOSTEN-MILGROM平衡。引理a.3的证明。对于λ>0，定义u=eλtu和v=eλtv。在e上可以检查u（分别。

v）是（A.3）的粘度亚解（分别为上解）-wt+λw- （w（y+1，t）- 2w（y，t）+w（y）- 1，t）β=0。由于（A.3）的比较结果意味着（2.8）的比较结果，因此有必要将U（分别为v）视为（A.3）的粘度亚溶液（分别为上溶液）。设C和n为常数，如| u |，v |≤ Z×[0,1]上的C（1+| y | n）。考虑ψ（y，t）=e-αt（y2n+~C）对于某些常数α和~C，它如下-ψt+λψ+（ψ（y+1，t）- 2ψ（y，t）+ψ（y）- 1，t）β>e-αt（α+λ）（y2n+~C）- 2βy2n> 0，当α+λ>2β时。选择满足上述不等式的α，然后选择v+ξψ，对于任何ξ>0，都是（A.3）的粘性上解。一旦我们向你展示≤ v+ξψ，在发送ξ之后，引理的s陈述随后出现↓ 0.因为u和v最多都有线性增长（A.4）lim | y|→∞（u）- 五、- ξψ）（y，t）=-∞.将v替换为v+ξψ，我们可以假设u（分别为v）是（a.3）的粘度亚解（分别为上解）到dsupZ×[0,1]（u）- v） =supO×[0,1]（u）- v） ，对于一些紧凑的集合O Z.然后是u≤ v源自粘度溶液中的标准参数（参见[19，定理4.4.4]），我们在下面简要回顾。假设M:=supZ×[0,1]（u）- v） =supO×[0,1]（u）-v） 大于0且在（x，t）处达到最大值∈O×[0,1]。对于任何>0，定义（x，y，t，s）：=u（x，t）- v（y，s）- φ（x，y，t，s），其中φ（x，y，t，s）：=[|x- y |+| t- s |]。上半连续函数Φ在（x，y，t，s）处达到其最大值，用M表示。我们可以用[19，定理4.4.4]中的相同论证来证明，M→ M和（x，y，t，s）→ （x，x，t，t）∈ O×[0,1]as↓ 0.这里（x，y，t，s）∈ O×[0，1]表示充分的s mall。

现在观察o（x，t）是（x，t）7的局部最大值→ u（x，t）- φ（x，y，t，s）o（y，s）是（y，t）7的局部最小值→ v（y，s）+φ（x，y，t，s）。然后u的粘度上解性质和v的上解性质分别暗示，-（t）- s）+λu（x，t）- （u（x+1，t）- 2u（x，t）+u（x，t））β≤ 0,-（t）- s）+λv（y，s）- （u（y+1，s）- 2v（y，s）+v（y，s））β≥ 0.取之前不等式的差异得到（λ+2β）（u（x，t）- v（y，s）≤ β（u（x+1，t）+u（x）- 1，t）- β（v（y+1，s）+v（y）- 1，s）。发送↓ 在两边0，我们得到（λ+2β）M=（λ+2β）u（x，t）≤ βu（x+1，t）- v（x+1，t）+ βu（x）- 1.t）- v（x）- 1.t）≤ 2βM，渐近GLOSTEN-MILGROM平衡，它与λM>0的w相矛盾。参考文献[1]K.Athreya，通过概率修正贝塞尔函数渐近性，统计概率B。莱特。，5（1987），pp。325–327.[2] K.B ack，连续时间内幕交易，修订版。财务部。螺柱。，5（1992），第387-409页。[3] K.Back和S.Baruch，《证券市场信息：凯尔会见格洛斯滕和米尔格罗姆》，计量经济学，72（2004），第433-465页。[4] K.Back和H.Pedersen，《长期信息和日内模式》，J.Financ。《市场》（1998年），第385-402页。[5] P.Billingsley，《概率测度的收敛》，约翰·威利父子公司，纽约，1968年。[6] B.Bouchard和N.Touzi，《粘性解的弱动态规划原理》，暹罗J.ControlOptim。，49（2011），第948-962页。[7] P.Br’emaud，《点过程和队列》，斯普林格·维拉格，纽约，1981年。鞅动力学，统计学中的普林格斯级数。[8] L.Campi和U.C,etin，《违约均衡模型中的内幕交易：从简化形式到结构模型的过程》，金融斯托克出版社。，11（2007），第591-602页。[9] L.Campi，U.C,etin和A.Danilova，具有违约和动态内幕信息的Equil-ibrium模型，Finance Stoch。，17（2013），pp。

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瓦尔加，《微分方程和泛函方程的最优控制》，学术出版社，纽约，1972年。（程莉和郝星）英国伦敦霍顿街10号伦敦经济与政治学院统计系，邮编：c。li25@lse.ac.ukHxing@lse.ac.uk