Copula方法下FtD合同的蒙特卡罗估值

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英文标题：
《Valuing FtD Contract under Copula Approach via Monte-Carlo Stimulation》
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作者：
Yiran Sheng
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  This article aims to discuss some basics in field of credit modeling, specifically the pricing issue of FtD contract. We demonstrate how the popular copula approach is used in pricing FtD contract, and give a stimulation example of such practice based on SAS 9.1.
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中文摘要：
本文旨在讨论信用建模领域的一些基础知识，特别是FtD合同的定价问题。我们展示了流行的copula方法在FtD合同定价中的应用，并给出了一个基于SAS 9.1的仿真实例。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Statistical Finance        统计金融
分类描述：Statistical, econometric and econophysics analyses with applications to financial markets and economic data
统计、计量经济学和经济物理学分析及其在金融市场和经济数据中的应用
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PDF下载：
--> Valuing_FtD_Contract_under_Copula_Approach_via_Monte-Carlo_Stimulation.pdf (636.1 KB)

2022-5-5 03:32:24 上传

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关键词：Copula opula 蒙特卡罗 蒙特卡 Quantitative

1/12在Copula方法下评估FtD合同的价值通过蒙特卡罗模拟法，清华大学经济与管理学院金融系，北京，中国摘要：本文旨在讨论信用建模领域的一些基础知识，特别是FtD合同的定价问题。我们展示了流行的copula方法如何用于FtD合同的定价，并给出了一个基于AS9.1的此类实践的激励示例。关键词：首次违约信用互换高斯Copula蒙特卡罗模拟*Yiran SHENG，shengyr。06@sem.tsinghua.edu.cn http://learn.tsinghua.edu.cn:8080/2006012400/index学生ID 2006012400.2/12内容。介绍3II。FtD合同说明。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。三,。建模默认值：生存时间。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。4IV。在默认时间框架下建模FtD。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。5伏。Copula函数的定义和基本性质。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。6VI。高斯Copula下的FtD合同。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。7VII。查看Copula方法的另一种方法：Creditmetrics中的默认模型。。。。。。。。。。。8VIII。FtD合同的蒙特卡罗模拟样本。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。9IX。总结10参考文献。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

10参考书目。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。10附录。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。113/12I。简介信用衍生产品是过去二十年衍生市场上最受欢迎的金融产品之一。它们是为了应对金融风险中最关键的方面——信用风险。一般来说，他们的付款是在未来不可预测的违约事件发生时进行的。在许多由违约触发的衍生品中，违约掉期（以单只债券为基础）和违约篮子（以一组风险债券为基础）的交易最为广泛。长期以来，许多违约掉期合约在场外交易市场或由提供双向报价的经纪-交易商机构进行标准化。在违约篮子掉期中，最简单、最流行的是FtD或首次违约合约。本文主要讨论与此类合同相关的定价问题；采用学术界和工业实践中最流行的方法——通过刺激的copula方法。二、FtD合同说明卖方提供一篮子风险债券的保护。与所有掉期一样，这些合约必须有“分支”，即溢价分支和价差分支。溢价部分包含买方向卖方提供的一系列付款，直到发生预先规定的事件，即FtD合同有效期内的一揽子债券违约。保护条款包括在违约时向买方支付一次总付，而不是其他任何方式。如果发生违约，买方将停止进行差价支付，并将违约债券交付给卖方。

作为回报，买方从卖方收到债券的本金和任何应计利息。如果违约债券有回收价值，那么在违约日，卖方收到的净付款将是本金加上任何应计利息减去回收价值。卖方的现金流可以描述为以下图片：4/12 FtD合同定价的关键是确定差价金额。为简单起见，我们假设不涉及交易对手风险，也就是说FtD的买方不会在篮子中的任何债券之前违约。正如（Sopranzetti，2003）所说，在这种情况下，掉期通常被视为其相应浮动利率的完美对冲。我们将通过本文来实现这一假设。三、 建模默认：传统上，默认事件是基于离散事件建模的。（Li，2000）是最早指出这种方法的许多缺陷的人之一，他提出了一个更好的框架，该框架在以下文献中被广泛接受。他为证券引入了一个随机变量，称为违约前的时间，或者简单地说是生存时间。该rv是评估违约现金流的基础。为了准确地确定违约前的时间，我们需要：明确定义的时间起点、衡量时间流逝的时间尺度，以及明确的违约定义。通常，我们选择当前时间作为时间原点；对于连续模型，时间尺度是以年为单位定义的，对于离散模型，时间尺度是以周期数为单位定义的。

违约的含义是由一些评级机构定义的，比如穆迪，遵循（默顿，1976）的定义。假设存在一个安全性a，让连续的rv TA表示该安全性的time-Toll-default，它测量从今天到故障发生的时间长度。为了简单起见，如果只有一种安全性，我们将用T交换TA。T的分布函数是F（T）：（）Pr（）ftt（1） Set5/12（）1（）Pr（）S t t t t   （2） S（t）称为生存函数。T的pdf格式是：（）\'（）\'（）f T S T  （3） 此外，我们还介绍了另一个重要的函数hazard rate，定义为：（）\'（）（）（）1（）（）f x S xhxF x S x  （4） 风险率描述了一种证券的瞬时违约概率，该证券已达到x年：（）（）（）（）Pr[|]1（）F x F x F x x x x x x x x F x x F x         （5） 然后生存函数可以用h（x）：0（）th s dsS t e表示（6） 建立风险率函数具有许多优点，具有很好的现实意义。首先，它向我们提供了每个已知在确切年龄t生活的实体的即时违约风险信息。第二，通过危险率函数对群体中的个体进行了最深入的比较。第三，基于风险率函数的模型可以很容易地适应更复杂的情况，例如存在审查或存在几种类型的违约，或者我们希望考虑随机违约波动的情况。T的分布可以从评级机构的历史数据中得出，或者在某些假设下建模。例如，对于给定的安全性，我们可以假设危险率是恒定的，因此.四、

根据时间直到默认框架建模FtD一些基本假设和符号：假设j=1…n是FtD篮子中的基础证券，每个都有一个生存时间Tj，如上一节所定义。在默认事件发生时，每个安全性的recoveryrate为Rj。此外，我们假设给定的默认分布Fj（t）。用（Li，2000）6/12的默认时间表示篮子的状态为T:=min（t1，t2，…tn）。对于t>0，让Bt表示今天到期日为t的无违约零债券价格，换句话说，Bt是无风险贴现因子。让我们来看看合同的分期付款。我们还将分期付款日期指定为tk（k=1…k），通常是每季度的时间步长。所有证券的面值都是1美元。对于风险中性实体，FtD合同的NPV应为零，所有金融合同也是如此。也就是说，卖方的预期现金流应该为零。预期现金流入（溢价段）的PV为：注意，这与计算无风险债券价格的方程式非常相似，只是贴现因子不是Btk，而是BtkP（T>tk）。（Sopranzetti，2003）是第一个表达这一想法的人，以及它在掉期定价中的应用。预期现金流出（保护期）的PV为，其中M为掉期到期日：01（1）（，）nMj u jjR B P T du T T  将两个支腿相等，以导出s:011（）（1）（，）kKnMt k j u jkjsB P T R B P T du T    （7） 显然，我们需要T的概率分布来确定s的值。为此，需要（T1，…Tn）的联合分布。由于我们已经知道（T1，…Tn）的边缘分布，我们需要一个工具将它们连接到联合分布。统计学中有很多方法可以实现这一任务，而copula函数是最简单、应用最广泛的一种。

在这种情况下，我们采用了最简单的函数形式，高斯Copula。V.Copula函数的定义和基本性质Copula函数是一个将单变量边缘与其完整的多变量分布联系起来的函数。例如，给定m个均匀随机变量，U1…Um联合分布函数C，定义为：1（，…）Pr[，…]m m mC u u u  是一个copula函数。对于任何给定的多元分布，F（x1，…xm）和Fj（xj）j=1…m，函数1（）kKtkksB P T7 / 121 1 1( ( ),... ( )) ( ,... )m m mC F x F x F x使用copula函数定义。（Sklar，1973）证明了这一点。他证明了任何多元分布函数都可以写成copula函数的形式。他证明了：如果F（x1，…xm）是一个具有一元边际分布函数F1（x1），F2（x2），…，Fm（xm）的联合多元分布函数，那么存在一个copula函数C（u1，u2，…，um），使得F（x1，…xm）=C（F1（x1），F2（x2），…，Fm（xm））。如果每个Fi是连续的，那么C是唯一的。这被称为Sklar thermo。因此，连接函数为研究多元分布提供了一种统一而灵活的方法。有关copula函数的更多信息，请参阅(张世英, 2008).在研究n个证券时，我们可以简单地选择一个合适的copula函数来描述它们之间的相关结构，而不是对联合保守时间分布的形式进行假设。六、 高斯copula下的FtD契约我们假设默认时间T1…Tn的联合分布由正态copula（高斯copula）驱动。高斯copula是连接多元正态分布的边缘与其联合分布的copula函数。定义为：11（.）( (.)... （.）北卡罗来纳州  使用C获得T1的联合分布。。。Tn:12（，。。。

假设qA和qB都遵循标准正态分布。Pr[]A Aq Z Z（11） Pr[]B B Bq Z ZA和B的联合违约概率为：2Pr[，]（，）AB A A B B Bq Z   （12） 这相当于：112（，）（（），（），）ABC u q v q u v        （13） 此外，我们注意到：Pr[1]（1）i iq T F  （14） （1,1）Pr（1,1）（（1），（1））abababftcf   （15） 因此，我们可以得出结论，Creditmetrics使用二元正态copula函数，资产相关性作为相关性。因此，在我们接下来的刺激中，使用Creditmetrics的数据是安全合理的。八、FtD合同的Monte Carlo模拟示例我们遵循第六节中的定义和符号，并对输入参数进行进一步假设。此外，我们假设Tj具有恒定的危险率。或Sj（T）具有等式（6）中所述的分布。参数VALUE DURITYM=5年分期付款频率Tk=0.5,1，…5四分之一贴现系数Bt=e-0.05t标的证券数量N=5回收率Rj=0.2对于任何两项资产之间的所有j’s关系ρ=10%风险率Hj=0.2对于刺激产生的所有j’s，公平价差为0.272.10/12IX。总结参考J。摩根大通Creditmetrics集团。(1997). Creditmetrics技术文档。利克达维德。(2000).  关于默认相关性：Copula函数方法。RiskMetricsGroup。默顿。(1976). 关于公司债务的定价：利率的风险结构。金融杂志。斯卡拉。(1973).  随机变量、联合分布函数和连接函数。基伯内蒂卡。SopranzettiChen和Ben J.Ren-Raw。(2003).  违约的估值引发了争议。金融与定量分析杂志。张世英韦艳华. (2008). 连接词理论及其在金融分析上的应用.参考文献朱世武  中国。

14金融计算与建模Hall，John Ch.22-23期权、期货和其他衍生工具7 Theditionchen，Xi（2005）依赖性和Copula方法学位论文，西蒙·弗雷泽大学信用违约互换（CDS）跳跃扩散定价方法，2004年冬季模拟会议论文集Black，F.和J.Cox（1976）评估公司证券：债券契约条款的一些影响，金融学杂志Cherubini，U.，E.Luciano and W.Vecchiato（2004）金融学中的Copula方法，John Wiley&Sons，Ltd.Duffie，D.and K.Singleton（1999）可违约债券的期限结构建模，金融研究回顾12:687–720。Finkelstein，V.，J.-P.Lardy，G.Pan，T.Ta和J.Tierney（2002）CreditGradesTM 技术文件。Hull，J.和A.White（2001）《信用违约互换的估值II：违约相关性建模》，衍生杂志，P.，A-R.Niu和T.Joro（2004）基于首次违约（FtD）的模拟Nelsen，R.B.（1999）。copulas简介，纽约斯普林格。Jarrow，R.和S.Turnbull（1995年），《金融学杂志》，Luciano，E.和M.Marena（2002年），《Copulae作为金融建模的新工具》，工作文件。默顿，R.（1974）。

关于公司债务的定价：利率的风险结构，《金融杂志》11/12附录编程代码%let NN=10000；proc-iml；cov={1.1.1.1.1、.11.1.1、.1.1.1.1、.1.1.1.1、.1.1.1.1}；M=5；h={[5].2}；Rcvr={[5].2}；T={[&NN]0}；VL={[&NN]0}；VR={[&NN]0}；s={[&NN]0}；r=0.05；rv=rannor（重复（1200和NN，5）；Y=rv*（根（冠））；传播=0；i=1；j=1；请稍等（i<=&NN）；做while（j<=5）；x=cdf（‘正常’，Y[i，j]）；Y[i，j]=-（log（1-x））/h[j]；j=j+1；终止12/12T[i]=min（Y[i，]）；j=1；k=0.5；做while（k<T[i]&k<=M）；VL[i]=VL[i]+EXP（-r*k）；k=k+0.5；终止做while（j<=5）；如果（T[i]=Y[i，j]&T[i]<M），那么VR[i]=VR[i]+（1-Rcvr[j]）*（EXP（-r*T[i]）；j=j+1；终止j=1；如果VL[i]^=0，那么s[i]=VR[i]/VL[i]；扩散=扩散+s[i]；i=i+1；终止spread=spread/&NN；印刷传播；跑退出