无模型金融的路径随机积分

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英文标题：
《Pathwise stochastic integrals for model free finance》
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作者：
Nicolas Perkowski, David J. Pr\\\"omel
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最新提交年份：
2016
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英文摘要：
  We present two different approaches to stochastic integration in frictionless model free financial mathematics. The first one is in the spirit of It\\^o\'s integral and based on a certain topology which is induced by the outer measure corresponding to the minimal superhedging price. The second one is based on the controlled rough path integral. We prove that every \"typical price path\" has a naturally associated It\\^o rough path, and justify the application of the controlled rough path integral in finance by showing that it is the limit of non-anticipating Riemann sums, a new result in itself. Compared to the first approach, rough paths have the disadvantage of severely restricting the space of integrands, but the advantage of being a Banach space theory. Both approaches are based entirely on financial arguments and do not require any probabilistic structure.
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中文摘要：
在无摩擦模型的金融数学中，我们提出了两种不同的随机积分方法。第一种是基于它的积分精神，基于一种特定的拓扑结构，这种拓扑结构由对应于最小超边缘价格的外部测度所诱导。第二种是基于受控粗糙路径积分的。我们证明了每一条“典型价格路径”都有一条自然关联的粗糙路径，并证明了受控粗糙路径积分是非预期黎曼和的极限，这本身就是一个新的结果，从而证明了它在金融学中的应用。与第一种方法相比，粗糙路径的缺点是严重限制了被积函数的空间，但其优点是作为一种Banach空间理论。这两种方法都完全基于财务论证，不需要任何概率结构。
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分类信息：

一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Probability        概率
分类描述：Theory and applications of probability and stochastic processes: e.g. central limit theorems, large deviations, stochastic differential equations, models from statistical mechanics, queuing theory
概率论与随机过程的理论与应用：例如中心极限定理，大偏差，随机微分方程，统计力学模型，排队论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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PDF下载：
--> Pathwise_stochastic_integrals_for_model_free_finance.pdf (432.44 KB)

2022-5-5 05:44:21 上传

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关键词：随机积分 Quantitative Applications Anticipating disadvantage

Bernoulli 22（4），2016，2486–25 20DOI:10.3150/15-BEJ735法国巴黎多芬大学现代自由金融机构PERKOWSKI和DAVID J.P R–OMELCEREMADE&CNR UMR 7534的路径随机积分。电子邮件：perkowski@ceremade.dauphine.frHumboldt-柏林大学，德国数学研究所。电子邮件：proemel@math.hu-柏林。deWe在无摩擦模型的金融数学中提出了两种不同的随机积分方法。第一种是基于It^o积分的精神，基于一种特定的拓扑结构，该拓扑结构由对应于最小超边缘价格的外部度量所诱导。第二种方法是基于受控粗糙路径积分。我们证明了每一条“典型价格路径”都有一条自然关联的粗糙路径，并证明了受控粗糙路径积分在金融中的应用，证明它是非预期黎曼和的极限，这本身就是一个新结果。与第一种方法相比，粗糙路径的缺点是严重限制了被积函数的空间，但它是一种Banach空间理论。这两种方法都完全基于财务论证，不需要任何概率结构。关键词：F¨ollmer积分；模型不确定性；崎岖的道路；随机积分；Vovk\'souter测量1。引言在本文中，我们使用Vovk[40]的博弈论方法，在无摩擦模型的金融数学中发展了两种不同的随机积分技术。首先，在无模型的环境中，积分问题非常重要，因为我们不分别假设任何概率的半马尔廷格尔结构。因此，我们无法使用It^o集成，大多数已知技术完全崩溃。对于非概率连续时间环境中的积分问题，我们只知道两种通用的解决方案。

一个是由[15]提出的，他简单地将自己局限于有界变化的交易策略（被积函数）。虽然这已经解决了许多相互关联的问题，但在一个无摩擦的市场模型中做出这样的假设并不是很自然的。事实上，在[15]中，我们开发了一种通用的对偶方法，用于定价在时间上Lipschitz连续的路径依赖型衍生产品。这是ISI/BS在伯努利发表的原始文章的电子版，2016年，第22卷，第4期，2486–2520。这本再版在页码和排版细节上与原版不同。1350-7265摄氏度 2016年ISI/BS2 N.Perkowski和D.J.Pr–omelsupremum规范，但到目前为止，他们的方法不允许根据波动性处理衍生品。[9]提出了另一个有趣的解决方案（使用了一个可以追溯到[31]的想法）。他们将“可能的价格路径”的集合限制在那些承认二次变量的人身上。这使得他们可以应用F¨ollmer的路径It^o演算[17]来定义公式的路径随机积分F（S）dS。在[31]中，该方法被用于推导波动性不确定性下美国和欧洲期权的价格。在[9]中，Givenada是欧洲看跌期权价格的固定数量，以及将要定价的衍生工具isa加权方差掉期。

Vovk[40]证明了“典型价格路径”（定义见下文）允许二次变化，从而证明了对二次变化路径集的限制。我们在第一条道路上工作，而不是在第一条道路上工作Ohmd维连续路径（代表所有可能的资产价格轨迹）。我们跟随Vovk引入了一个关于Ohm 它被定义为可怜的最低超边际价格（在适当的意义上），因此具有纯粹的财务解释，不来自艺术强加的亲婴儿结构。我们的第一个观察结果是，Vovk的外部度量使我们能够定义一个流程的拓扑结构Ohm, 阶跃函数的“自然积分”在该拓扑中是某种感官连续的。这使我们能够将积分扩展到c`adl`ag自适应积分，我们将得到的积分称为“无模型It^o积分”。我们强调，整个建设仅基于财务论证。我们还要强调，积分的连续性是最重要的方面。如果不参考任何拓扑结构，构造肯定不会非常有用，因为在类概率设置中，几乎所有应用都是It^o积分（SDEs、随机优化、对偶理论等）基于它是一个连续运算符这一事实。这也激发了我们的第二种方法，更符合[9,15,31]的精神。虽然在第一种方法中，我们确实有一个连续算子，但它仅对伪度量序列是连续的，而且似乎不可能找到与其兼容的Banach空间结构。这是一个遗憾，因为Banach空间理论是经典金融数学理论中的关键工具之一，如[13]所强调的。

然而，使用无模型的It^o积分，我们能够证明每个“典型价格路径”都有一条与之相关的自然It^o粗路径。由于在金融应用中，我们总是可以将自己局限于典型的价格路径，这一观察结果为在无模型金融中应用受控粗路径积分[21,32]打开了大门。受控粗糙路径积分的优点是，它是一种完全线性的Banach空间理论，同时扩展了：oS对[15]使用的有界变差函数的Riemann–Stieltjes积分Young积分[43]：对于每一个p>2，典型的价格路径都有有限的p-变化，因此对于每一个F-变化，都有有限的q-变化≤ q<2（因此1/p+1/q>1），积分Rf dS被定义为非预期黎曼和的极限F¨ollmer[17]的路径It^o积分，被[9,31]使用。据我们所知，这是本文首次对无模型融资的路径随机积分进行了严格的验证，尽管[19]中也包含了一些这方面的观察结果，但这是受控路径积分的一种特殊形式。换句话说，我们的第二种方法涵盖了之前所有已知的无模型金融数学中的集成技术，而第一种方法更为一般，但代价是离开Banach空间。只有一个陷阱：粗糙路径积分通常被定义为补偿黎曼和的极限，没有明显的财务解释。这破坏了只使用财务论证的整个哲学。这就是为什么我们证明，在某些弱条件下，每个粗糙路径积分Rf dS都被视为不需要补偿的非预期黎曼和的极限——这是首次对广义粗糙路径积分给出这样的陈述。

当然，这不会改变具体应用中的任何东西，但从哲学角度来看，这是至关重要的。事实上，在经典金融数学中使用It^o积分的合理性主要基于这样一个事实，即它是非预期黎曼和的极限，即使在“每天的应用”中，没有人提到这一点；例如，参见[31]中的讨论。这篇论文的计划。下面我们给出了在模型不确定性和离散时间无模型环境下（两者都是先验的，比连续时间无模型情况简单得多）的随机集成问题的一个非常不完整的解决方案列表，并介绍了本文中将使用的一些符号和约定。在第二部分中，我们简要回顾了Vovk对数学金融的博弈论方法，并介绍了我们的外部度量。我们还构造了由外部测度导出的过程的拓扑。第3节专门讨论freeIt^o积分模型的构造。第四部分回顾了粗糙路径理论的一些基本结果，并继续构建与典型价格路径相关的粗糙路径。这里我们还证明了路径积分是作为非预期黎曼和的极限给出的。此外，我们还比较了F¨ollmer的路径It^o积分和粗糙路径积分，并证明后者是前者的推广。附录A让人想起了沃夫克的路径选择。在附录B中，我们证明了Davie的一个结果，它也允许计算作为黎曼和极限的路径积分，这是我们在第4节中的结果的一个特例。模型不确定性下的随机积分。研究模型不确定性下期权定价问题的第一批工作是[3]和[31]，这两项工作都考虑了波动性不确定性的情况。如上所述，[31]正在使用F¨ollmer的pa来阻止它。

在[3]中，通过推导波动率的“最坏情况”模型，将问题简化为经典情况。模型不确定性下金融数学中的一个强大工具是Karandikar的It^o积分的横向构造[5,24]，它允许在所有半鞅测度下同时构造c`adl`ag被积函数的It^o积分。使构造有用的关键点是，在每个半鞅测度下，It^o积分是一个连续算子。虽然它的路径定义允许我们在无模型的环境中使用相同的结构，但在这种情况下，输出的含义甚至不清楚（例如，结构取决于分区的特定序列，改变序列将改变输出）。当然，一旦我们处理了4 N.Perkowski和D.J.Pr–omelof半鞅测度，Karandikar积分在任何拓扑中是否是连续的是出了名的。[34]中给出了It^o积分的更一般的路径构造，但它克服了无模型金融应用中的一些缺点。[14]提出了模型不确定性下随机分析的一般方法，该方法基于准确定性分析。在模型不确定性下工作时，这种方法非常有用，但它也不允许我们在无模型的环境中定义随机综合图。在一个相关但略有不同的方向上，在[7]中研究了非半鞅模型（如果限制了可接受的策略集，则不违反套利假设）。

虽然作者在一个固定的概率测度下工作，但他们的价格过程不是半鞅这一事实阻止了他们使用它，这一困难通过使用Russo–Vallois积分来克服[37]。当然，如果我们把自己限制在离散时间内，所有这些技术问题都会消失。事实上，在这种情况下[4]为模型不确定性下的衍生品定价发展了一个本质上完全满意的对偶理论。符号和约定。在整篇论文中，我们∈ (0, ∞) 我们写Ohm := C（[0，T]，Rd）表示d维连续路径空间。坐标过程Ohm 表示为St（ω）=ω（t），t∈ [0，T]。因为我∈ {1，…，d}，我们也将其写入（ω）：=ωi（t），其中ω=（ω，…，ωd）。过滤（Ft）t∈[0，T]定义为Ft:=σ（Ss:s≤ t） ，weset F:=FT。停止时间τ和相关的σ-a代数Fτ通常被定义。除非另有明确说明，Ft型不等式≥ Gt，其中F和Gare处理Ohm, 都应该保持ω∈ Ohm, 而不是像随机分析中通常假设的那样，模零集。集合a的指示器功能由1A表示。[0，T]的划分π是一组有限的时间点，π={0=T<T<·T<·tm=T}。偶尔，我们会用整数{[t，t]，[t，t]，…，[tm]的集合来识别π-1，tm]}，并写出像ep[s，t]这样的表达式∈π.对于f:[0，T]→ n和t，t∈ [0，T]，表示ft，T:=f（T）- f（t）并定义f的变量，限定为[s，t] [0，T]askfkp var[s，T]：=sup（m）-1Xk=0 | ftk，tk+1 | p！1/p:s=t<··<tm=t，m∈ N） ，p>0，（1）（可能取+∞). 我们设置kfkp-var:=kf-kp-var[0，T]。

我们写作T:={（s，T）：0≤s≤T≤ T}对于单纯形，定义函数g的p-变量：T→ RN以同样的方式，将ftk，tk+1in（1）替换为g（tk，tk+1）。对于α>0和α := max{z∈ Z:Z≤ α} ，空间Cα由以下函数组成：α 时间连续可微，具有（α-α)-连续梵蒂冈阶α （在α的情况下，具有α阶的连续偏导数。）=α). 空间Cαb包含Cα中有界的函数及其偏导数，我们通过设置kfkcαb来定义范数k·kCαbb：=αXk=0kDkfk∞+ 1α>α杜兰特αfkα-α,无模型金融5的路径随机积分，其中k·kβ表示β的β-H¨older范数∈（0,1）和k·k∞表示最高标准。对于x，y∈ 对于通常的内积，我们写xy:=Pdi=1xiyi。然而，我们经常会遇到形式dS或SSS、TF或s、t的术语∈ [0，T]，我们在这里重新调用S de notes，the coordination process onOhm. 这些表达式应理解为矩阵（RSidSj）1≤i、 j≤d、 同样地，对于SSS，t，解释通常会根据上下文进行，否则我们会做一个r e标记来澄清事情。我们使用符号a。b如果存在一个常数c>0，与考虑的变量无关，例如≤c·b，我们写一个b如果a。b和b。a、 如果我们想强调c对变量x的依赖性，那么我们写a（x）。xb（x）。我们约定0/0:=0·∞:= 0, 1 ·∞ := ∞ 和inf := ∞.2.超级边缘和典型价格路径2。1.外部度量及其基本属性在最近的一系列论文中，Vovk[39–41]引入了一种无模型、基于套期保值的数学模型方法，该方法利用套利考虑来检查哪些属性符合“典型价格路径”。

这是通过最便宜的超高价格给出的另一个度量来实现的。还记得吗∈ (0, ∞) 和Ohm = C（[0，T]，Rd）是连续路径的空间，带有坐标过程S，自然过滤（Ft）T∈[0，T]，F=FT.A过程H：Ohm×[0，T]→如果存在停止时间0=τ<τ<····，且Fτn可测量有界函数Fn，则RDI称为简单策略：Ohm → Rd，这样每ω∈ Ohm 我们有τn（ω）=∞对于所有的n，但绝大多数n，以及Ht（ω）=∞Xn=0Fn（ω）1（τn（ω），τn+1（ω）]（t）。在这种情况下，积分（H·S）t（ω）：=∞Xn=0Fn（ω）（Sτn+1）∧t（ω）-Sτn∧t（ω））=∞Xn=0Fn（ω）Sτn∧t、 τn+1∧t（ω）对所有ω都有很好的定义∈ Ohm, T∈ [0，T]。这里是Fn（ω）Sτn∧t、 τn+1∧t（ω）表示Rd上通常的内积。对于λ>0，如果（H·S）t（ω），一个简单的策略H是可容许的≥ -λ表示所有ω∈Ohm, T∈ [0，T]。λ-容许简单策略集用Hλ表示。定义2.1。一个物体的外部尺寸 Ohm 定义为1A最便宜的超高价格，即isP（A）：=infnλ>0：（Hn）n∈NHλs.t.lim infn→∞（λ+（Hn·S）T（ω））≥ 1A（ω）ω ∈Ohmo、 一组路径 Ohm 如果外部度量值为零，则称为空集。6 N.Perkowski和D.J.Pr–omelth术语外部度量将由引理2进行调整。下文第3段。我们对P的定义与Vovk[40]使用的定义非常相似，但并不完全相同。有关讨论，请参见第2节。下文第3段。根据定义，每个It^o随机积分都是随机积分相对于简单策略的极限。因此，我们对最便宜的超级磨边价格的定义基本上与经典设置相同，但有一个重要的区别：我们要求所有ω的超级磨边∈Ohm, 而且不只是几乎肯定。备注2.2（[40]，第564页）。P的等效定义将发出哔哔声（A）：=infnλ>0：（Hn）n∈NHλs.t.lim infn→∞监督∈[0，T]（λ+（Hn·S）T（ω））≥ 1A（ω）ω ∈Ohmo、 很明显，eP≤P要查看相反的不等式，le-teP（A）<λ。