无模型金融的路径随机积分

让（Hn）n∈N Hλ是一系列简单的策略，使得lim infn→∞监督∈[0，T]（λ+（Hn·S）T）≥ 1A，且ε>0。定义τn:=inf{t∈ [0，T]：λ+ε+（Hn·S）T≥ 1}. 那么停止的s策略gnt（ω）：=Hnt（ω）1[0，τn（ω））（t）在Hλ中Hλ+ε和lim infn→∞（λ+ε+（Gn·S）T（ω））≥林恩芬→∞{λ+ε+supt∈[0，T]（Hn·S）T≥1}(ω) ≥1A（ω）。因此（A）≤ λ+ε，因为ε>0是任意的P≤eP，因此P=eP。引理2.3（[40]，引理4.1）。P实际上是一个外部度量，即定义在Ohm 这样–P() = 0;–P（A）≤ P（B）如果A B、 －如果（An）n∈Nis是一个序列的子集Ohm, 然后（斯南）≤PnP（An）。证据单调性与p() = 0是显而易见的。让（An）是Ohm. 设ε>0，n∈ N、 然后让（Hn，m）m∈Nbe（P（An）+ε2序列-N-1） -可接受的简单策略→∞（P（An）+ε2-N-1+（Hn，m·S）T）≥ 1安。定义∈ N（PnP（An）+ε）-可容许简单策略Gm:=Pmn=0Hn，m.然后是byFatou的lemmalim infm→∞∞Xn=0P（An）+ε+（Gm·S）T！≥kXn=0P（An）+ε2-N-1+lim infm→∞（Hn，m·S）T≥ 1Skn=0ANF适用于所有k∈N.由于左侧不依赖于k，我们可以替换1Skn=0anbysnan，证明就完成了。也许P最重要的性质是，对于外测度为零的集合存在套利解释。无模型金融的路径随机积分7引理2.4。一套 Ohm 当且仅当存在一系列1容许简单策略（Hn）n时，n是一个完整集Hsuch thatlim infn→∞（1+（Hn·S）T（ω））≥ ∞·1A（ω），（2）其中我们使用约定0·∞ = 0和1·∞ := ∞.证据

如果存在这样一个序列，那么我们可以通过任意因子ε>0来缩小它，以获得一个在Hε中的策略序列，该序列超过1A，因此P（a）=0。如果逆p（A）=0，则每n∈ N存在一系列简单的策略（Hn，m）m∈N H-N-1如此2-N-1+lim infm→∞（Hn，m·ω）T≥ 1A（ω）表示所有ω∈ Ohm.定义Gm:=Pmn=0Hn，m，以便Gm∈H.每k∈ N、 我们得到了信息→∞（1+（Gm·S）T）≥kXn=0-N-1+lim infm→∞（Hn，m·S）T≥（k+1）1A。由于左侧不依赖于k，因此序列nc e（Gm）满足（2）。换句话说，如果集合a的外部度量值为0，那么我们可以通过投资a的路径来获得最终收益，而不必冒损失超过初始资本1的风险。这激发了以下定义。定义2.5。我们说，如果（P）被违背的集合是一个空集合，那么对于典型的价格路径，一个属性（P）成立。Vovk的基本思想（我们将在下文中采用）是，我们只需要专注于典型的pric e路径。事实上，“非典型价格路径”可以被排除在外，因为它们在某种意义上“太好了，不可能是真的”：它们将允许投资者在不承担任何风险的同时实现最终收益。2.2. 套利概念和与经典数学金融的联系在我们继续之前，让我们讨论不同的套利概念，并将我们的外部度量与经典数学金融联系起来。我们首先观察到p是一个外部测度，它同时支配所有的局部鞅测度Ohm.命题2.6（[40]，引理6.3）。设P为概率m(Ohm, F） ，使得坐标过程S是一个P-局部鞅，并且∈ F.然后P（A）≤P（A）。证据设λ>0，设（Hn）n∈NHλ为lim infn（λ+（Hn·S）T）≥ 1A。然后（A）≤ EPhlim infn（λ+（Hn·S）T）i≤lim infnEP[λ+（Hn·S）T]≤ λ、 8 N.Perkowski和D.J。

在最后一步中，我们使用了λ+（Hn·S）是非负P-局部鞅，而它是P-超鞅。这表明p-空集是完全退化的，在这个意义上，它们在所有局部鞅测度下都是空集。然而，如果这是我们定义典型价格路径的唯一原因，那么基于无模型套利机会的定义同样有效。地图X：Ohm → [0, ∞) 如果X不等同于0，且存在c>0和序列（Hn），则为无模型任意概率 HCN，使lim infn→∞（Hn·S）T（ω）=X（ω）表示所有ω∈ Ohm. 参见[1,10]，其中（类似的）定义用于离散时间设置。因此，如果一处房产的互补指标功能是一个无模型的打点机会，那么说它适用于典型的价格路径似乎比使用定义2更自然。5.这种“套利定义”还意味着，在每一个局部鞅测度下，任何适用于典型价格路径的房地产几乎肯定是满足的。尽管如此，我们坚决主张我们的定义是“正确的”。首先，套利的定义将使我们的生活更加困难，因为它似乎不太适合工作。当然，这只是一种方便，不能作为我们方法的证明。相反，我们将这两个概念与经典数学金融联系起来进行论证。为此，回想一下资产定价的基本定理[11]：如果P是(Ohm, F） 其中S是半鞅，则存在一个等价测度Q，使得S是一个Q-局部鞅当且仅当S不允许有消失风险的免费午餐（NFLVR）。

但是（NFLVR）相当于无套利（NA）（直觉上：无风险无收益）和第一类无套利机会（NA1）（直觉上：无风险无非常大的收益）。（NA）属性为每个c>0和每个序列（Hn）保存IFF 哪一个limn→∞（Hn·S）T（ω）存在于所有ω，我们有P（limn）→∞（Hn·S）T<0）>0或P（limn）→∞（Hn·S）T=0=1。当{1+（H·S）T:H时，（NA1）性质成立∈H} 在P概率中有界，即iflimc→∞嘘∈HP（1+（H·S）T≥c） =0。严格地说，这是简单策略的（NA1），但正如[26]所观察到的，（NA1）和简单策略的（NA1）是等价的；另见[2,23]。事实证明，典型价格路径的套利定义对应于（NA），而我们的定义对应于（NA1）。提议2.7。让我们∈ F是一个空集，P是一个概率测度(Ohm, F） 使协调过程满足（NA1）。那么P（A）=0。证据让（Hn）n∈N 使1+lim infn（Hn·S）T≥ ∞·1A。然后对于每一个>0P（A）=PA.∩nlim infn→∞（Hn·S）T>co≤ 嘘∈HP（{（H·S）T>c}）。无模型金融的路径随机积分9通过假设，右侧收敛为0，即c→∞ 因此P（A）=0。备注2.8。命题2.7实际上是命题2.6的结果，因为如果Ssatis fies（NA1）在P下，则存在一个支配度量Q>> P、 这样S就是Q-局部鞅。连续S的情况见[36]，一般情况见[23]。关键的一点是，（NA1）是每个合理模型必须满足的基本性质，而（NA）是很好的，但不是严格必要的。事实上，（NA1）相当于无界效用函数的存在，使得最大预期效用是有限的[23,25]。（NA）是除了（NA1）之外，为了获得等价的局部鞅测度[11]所需要的。

但也有完全违反（NA）的瓶模型，例如，三维贝塞尔过程[12,25]。通过研究典型价格路径的套利定义，我们一定会忽略这些模型。2.3. 与Vovk外部测量的关系外部测量的定义与Vovk的定义不完全相同[40]。我们的定义更加直观，也使ems更易于使用。然而，由于我们依赖于Vovk建立的一些结果，让我们比较这两个概念。对于λ>0，Vovk定义了一组过程λ：=(∞Xk=0Hk:Hk∈Hλk，λk>0，∞Xk=0λk=λ）。每G=Pk≥0Hk∈Sλ，每ω∈ Ohm 每一个t∈ [0，T]，积分（G·S）T（ω）：=Xk≥0（Hk·S）t（ω）=Xk≥0（λk+（Hk·S）t（ω））- λ定义得很好，并且取值[-λ, ∞]. 然后Vovk定义了 Ohm 廉价的电子零售价格asQ（A）：=inf{λ>0：G∈ SλS.t.λ+（G·S）t≥1A}。该定义对应于从外部内容（即，仅为完全次可加且不可数次可加的外部度量）构造外部度量的常用结构；参见[16]第1.4章或[38]第1.7章。在这里，只使用简单的策略，以最便宜的超高价格提供外部内容。人们很容易看出，比亚克是一个以Pis为主导的公司。引理2.9。让我们Ohm. 然后P（A）≤ 问题（A）.10 N.珀科夫斯基和D.J.公关部。设G=PkHk，带Hk∈HλkandPkλk=λ，假设λ+（G·S）T≥A.然后（Pnk=0Hk）n∈在Hλ中定义一系列简单策略，例如→∞λ+nXk=0Hk·sT！=λ+（G·S）T≥1A。如果Q（A）<λ，那么P（A）≤ λ、 因此P（A）≤ 问题（A）。推论2.10。对于每一个p>2，集合Ap:={ω∈ Ohm : kS（ω）kp var=∞} 如果外部测量值为零，则isP（Ap）=0。证据Vovk[39]的定理1指出，Q（Ap）=0，因此P（Ap）=0由引理2.9得出。

[40]的一个显著结果是Ohm = C（[0，∞), R） （即，如果资产定价过程是一维的），如果 Ohm 是“在时间变化下不变的”，并且对于所有ω，S（ω）=0∈A、 然后∈ F和q（A）=P（A），其中P表示维纳测度。这可以解释为一个路径达比-杜宾斯-施瓦兹定理。2.4. 路径依赖函数上的拓扑这对于在路径依赖函数上引入拓扑非常有用Ohm. 为此，让我们确定X，Y：Ohm → 对于典型价格路径，如果X=Y，则为R。很明显，这定义了一个等价类，我们写了等价类的空间。然后，我们在本文中介绍了概率收敛的分析：（Xn）在外测度toX iflimn中收敛→∞P（|Xn）-X |>ε=0表示所有ε>0。我们遵循[40]定义期望运算符。如果X：Ohm → [0, ∞], thenE[X]：=infnλ>0:（Hn）n∈NHλs.t.lim infn→∞（λ+（Hn·S）T（ω））≥ X（ω）ω ∈ Ohmo、 特别地，P（A）=E[1A]。期望E是可数次加的、单调的、正齐次的。这是一个很容易的解释：d（X，Y）：=E[|X-Y|∧1] 仅定义公制。引理2.11。距离d度量外部度量的收敛。更精确地说，序列（Xn）在外测度中收敛于X的当且仅当limnd（Xn，X）=0。此外，（L，d）是一个完备的度量空间。无模型金融的路径随机积分。这些参数在经典设置中是相同的。利用期望算子的次可加性和单调性，我们得到了εP（|Xn）-X|≥ε) ≤E[|Xn-X|∧ 1] ≤ P（|Xn）-所有ε的X |>ε）+ε∈ （0，1），表明外测度的收敛等价于关于d的收敛。至于完备性，设（Xn）是关于d的柯西序列。

然后存在一个子序列（Xnk），使得d（Xnk，Xnk+1）≤ 2.-k代表所有k，所以Xk（|Xnk-Xnk+1|∧1)≤XkE | Xnk-Xnk+1|∧1]=Xkd（Xnk，Xnk+1）<∞,这意味着（Xnk）对于典型的价格路径收敛。定义X:=lim infkXnk。然后我们得到了所有n和kd（Xn，X）≤ d（Xn，Xnk）+d（Xnk，X）≤ d（Xn，Xnk）+Xl≥kd（Xnl, Xnl+1) ≤ d（Xn，Xnk）+2-k、 选择n和kla rge，我们看到d（Xn，X）趋于0。3.无模型It^o积分本节致力于构造无模型It^o积分。主要成分是一种（弱）无模型的It^o等距，它允许我们根据阶跃函数的振幅和价格路径的二次变化来估计阶跃函数的积分。使用第2节中介绍的拓扑。4.通过连续性参数，很容易将积分推广到c`adl`ag被积函数。由于我们处在一个不寻常的环境中，让我们详细说明以下标准定义。定义3.1。过程F：Ohm ×[0，T]→ 如果随机变量ω7→ Ft（ω）是所有t的可测Ft∈ [0，T]。如果采样路径t7→ Ft（ω）是所有ω的c`adl`ag∈ Ohm.为了证明我们的弱It^o等距，我们需要一个适当的停止时间序列：让n∈ N.对于每个i=1，定义归纳式σn，i:=0，σn，ik+1:=inf{t≥ σn，ik:|坐下-Siσn，ik|≥ 2.-n} ，k∈ N.由于我们使用的是连续路径，并且我们考虑了进入闭集的时间，所以这些映射（σN，i）实际上是停止时间，尽管（Ft）既不完全也不完全连续。表示πn，i:={σn，ik:k∈ N} 。为了得到一个递增的划分序列，我们取（πn，i）的并集，即定义σn:=0，然后定义σnk+1（ω）：=min（t>σnk（ω）：t∈d[i=1πn，i（ω）），k∈ N、 （3）12 N.Perkowski和D.J。

我们写πn:={σnk:k∈ N} 对于相应的分区。引理3.2（【41】，定理4.1）。对于典型的价格路径ω∈Ohm, 沿（πn，i（ω））n的二次变化∈Nexists。也就是Vn，它（ω）：=∞Xk=0（Siσn，ik+1∧t（ω）- Siσn，ik∧t（ω），t∈ [0，T]，n∈N、 一致收敛于函数hSii（ω）∈C（[0，T]，R）表示所有i∈ {1，…，d}。为了以后的参考，让我们估计Nnt:=max{k∈ N:σnk≤t和σnk6=0}，πn中的停止时间σnk6=0的数目，其值在[0，t]中：引理3.3。总而言之ω∈Ohm, N∈ N、 和t∈ [0，T]，我们有-2nnt（ω）≤dXi=1Vn，it（ω）=:Vnt（ω）。证据因为我∈ {1，…，d}定义Nn，it:=max{k∈ N：σN，ik≤ t和σn，ik6=0}。由于Si是连续的，我们有| Siσn，ik+1-Siσn，ik |=2-只要σn，ik+1≤T因此，我们得到nnt（ω）≤dXi=1Nn，it（ω）=dXi=1Nn，it（ω）-1Xk=0-2n（Sσn，ik+1（ω）- Sσn，ik（ω））≤22ndXi=1Vn，它（ω）。我们将从构造阶跃函数的积分开始，阶跃函数定义类似于简单策略，除了可能的无界：过程F：Ohm ×[0，T]→如果存在停止时间0=τ<τ<·和Fτn-可测函数Fn，则Rdiscaled为阶跃函数：Ohm → Rd，这样每ω∈ Ohm 我们有τn（ω）=∞ 对于所有人来说，除了一个普通人，这是ft（ω）=∞Xn=0Fn（ω）1[τn（ω），τn+1（ω））（t）。为了便于说明，我们现在考虑在左侧闭合的区间[τn（ω），τn+1（ω）。这允许我们定义积分（F·S）t：=∞Xn=0FnSτn∧t、 τn+1∧t=∞Xn=0FτnSτn∧t、 τn+1∧t、 t∈[0，T]。下面的引理将是构造积分的主要组成部分。无模型金融的路径随机积分13引理3.4（It^o等距的无模型版本）。设F为阶跃函数。那么对于所有的a，b，c>0，我们有p（{k（F·S）k）∞≥ab√c}∩{kF k∞≤a}∩{hSiT≤c} )≤2经验(-b/（2d）），其中集合{hSiT≤ c} 应理解为{hSiT=limnVnTexists and saties hSiT≤c} 。证据

假设Ft=P∞n=0Fn[τn，τn+1）（t）并设置τa:=inf{t>0:| Ft |≥ a} 。让n∈ Nand定义ρn:=0，然后是k∈ Nρnk+1:=min{t>ρnk:t∈ πn∪{τm:m∈N} }，我们回忆起πN={σnk:k∈ N} 是S为t生成的并矢分划的第N代∈ [0，T]，我们有（F·S）τa∧t=PkFρnkSτa∧ρnk∧t、 τa∧ρnk+1∧t、 通过定义πn（ω）和τawe getsupt∈[0，T]| FρnkSτa∧ρnk∧t、 τa∧ρnk+1∧t|≤ A.√d2-n、 因此，路径Hoe-ff-ding不等式，即附录A中的引理A.1，产生了每个λ∈ R 1-容许简单策略Hλ，n的存在性∈Hsuch that1+（Hλ，n·S）t≥经验λ（F·S）τa∧T-λ（N（ρN）t+1）2-第2条=: Eλ，nτa∧t所有t∈ [0，T]，其中n（ρn）T:=max{k:ρnk≤t}≤ Nnt+N（τ）t:=Nnt+max{k:τk≤t} 。通过外稃3。3.我们有Nnt≤22nVnt，所以eλ，nτa∧T≥经验λ（F·S）t-λVnTad-λ（N（τ）T+1）2-第2条.如果现在k（F·S）k∞≥ab√c、 kF（ω）k∞≤a和hSiT≤c、 thenlim infn→∞监督∈[0，T]Eλ，nt+E-λ、 新界≥经验λab√C-λcad.对于λ=b/（a），指数内的参数最大化√在这种情况下，我们得到1/2 exp（b/（2d））。下面的声明来自备注2.2。当然，我们实际上并没有建立等距，只是建立了积分的上界。但这个估计是关键因素，它使我们能够将自由模型14 N.Perkowski和D.J.Pr¨omelIt^o积分扩展到更多的一般被积函数，而术语“it^o等距的无模型版本”所指的正是这种与经典设置的类比。让我们扩展第2节的拓扑结构。4到流程：我们确定X，Y：Ohm×[0，T]→ Rmif对于典型的价格路径，我们对所有的t都有Xt=YT∈ [0，T]，我们编写（[0，T]，Rm）来获得等价类的结果空间，我们用距离∞（X，Y）：=E[kX-Y k∞∧1].理想情况下，我们希望阶跃函数的随机积分相对于d是连续的∞. 然而，使用命题2。6很容易看出P（k（（1/n）·S）k∞>ε） =1全部n∈ N和ε>0。

这就是为什么我们还为c>0引入伪度量Cdc（X，Y）：=E[（kX- Y k∞∧1） 1hSiT≤c]≤ D∞（X，Y），然后是DLOC（X，Y）：=∞Xn=1-ndn（X，Y）≤ D∞（X，Y）。距离dlocis在某种程度上类似于用于度量紧集上一致收敛拓扑的距离，除了我们不在时间上局部化，而是控制二次变化的大小。对于阶跃函数F和G，我们从引理3得到。4dc（（F·S），（G·S））≤ P（{k（（F）-G） ·S）k∞≥ab√c}∩{kF- Gk∞≤a}∩{hSiT≤c} ）+dc（F，G）a+ab√C≤ 2经验-b2d+dc（F，G）a+ab√cWhena，b>0。设置a:=pdc（F，G）和b:=pd | log a |，我们推导出dc（（F·S），（G·S））。(1 +√c） dc（F，G）1/2-ε（4）对于所有ε>0的情况，尤其是对于rdloc（（F·S），（G·S））。∞Xn=1-n/2dn（F，G）1/2-ε. D∞（F，G）1/2-ε.定理3.5。设F是一个适应的c`adl`ag过程，其值在Rd中，则存在srf-dS∈L（[0，T]，R）使得对于满足limnd的每个阶跃函数序列（Fn）∞（Fn，F）=0我们有limndoc（（Fn·S），RF dS）=0。对于典型的价格路径，积分过程Rf dS是连续的，并且存在一个与之相适应的代表，尽管它可能取±∞. 我们通常写RF-Dss:=RF-dS（t），我们称RF-dS为F相对于S的无模型It^o积分。无模型金融的路径随机积分15映射F 7→RF dS是线性的，令人满意ZF dS，ZG dS. D∞（F，G）1/2-ε表示所有ε>0，无模型版本的It^o等距延伸到该设置：PZF dS∞≥ab√C∩{kF k∞≤a}∩{hSiT≤c}≤2经验(-b/（2d））对于所有的a，b，c>0。证据从（4）到Lemma2，一切都以一种简单的方式进行。11.我们必须使用F被调整和c`a dl`ag的事实，以便通过逐步函数统一地逼近它。