无模型金融的路径随机积分

假设（1）并注意∧t、 秋明+1∧tSjtnk∧t、 秋明+1∧t=（（Si+Sj）tnk∧t、 秋明+1∧（t）-（Sitnk）∧t、 秋明+1∧（t）-（Sjtnk）∧t、 秋明+1∧t） ）。因此，hSi，sjin的一致收敛性以及hSi，Sji=[Si，Sj]遵循的事实一旦我们证明了测度（19）的F¨ollmer弱收敛性意味着其分布函数的一致收敛性。但由于假设的极限分布是连续的，这是一个标准结果。接下来，假设（2）。黎曼和（Sn，i·Sj）+（Sn，j·Si）的一致收敛性如引理4所示。17.为了证明Sym（An）具有一致有界的p/2-variationalong（πn），请注意≤ K≤l ≤ n和1≤ i、 j≤我们有|（Sn，i·Sj）tnk，tnl+ （Sn，j·Si）tnk，tnl-田纳西州西斯奇特克l-田纳西州Sjsitnkl|p/2=|Sitnk，田纳西州l田纳西州Sjtnkl-田纳西州西西岛l|p/2≤kSkp var，[tnk，tnl]+ khSi，Sjink1 var，[tnk，tnl].khSi，Sjink1变量在n中一致有界，如引理4所示。17.引理4也显示了（3）暗示（1）。17备注4.23。用理论4。19我们只能推导F的It^o公式∈ C2+ε，因为我们只能积分F（S）如果F∈ C1+ε。但这似乎只是因为我们的分析不够犀利。我们预计，典型的价格路径与有限2-变量的粗糙路径相关，直至对数修正。对于这样的32 N.Perkowski和D.J.Pr–omelpath，积分扩展到被积函数F∈ C、 见[20]第10.5章。对于典型的价格路径（但不适用于该区域），如[40]第4.3节所示，它们在对数修正之前具有微小的变化。附录A：路径效应不平等在构建典型价格过程的路径It^o积分时，我们需要以下结果，即VOVK导致的路径效应不平等的公式。在这里，我们提出了一个稍加修改的版本。引理A.1（[40]，定理A.1）。

设（τn）n∈Nbe：τ=0的一个严格递增的稳定时间序列，每ω∈ Ohm 我们有τn（ω）=∞ 对于所有人，但绝大多数n∈ 让我们一起来∈ N函数hn：Ohm → Rdbe是Fτn-可测的，假设存在一个Fτn-可测的有界函数bn：Ohm → R、 这样的支持∈[0，T]|hn（ω）Sτn∧t、 τn+1∧t（ω）|≤bn（ω）（20）表示所有ω∈Ohm. 那么对于每个λ∈R存在一个简单的策略Hλ∈Hsuch that1+（Hλ·S）t≥expλ∞Xn=0hnSτn∧t、 τn+1∧T-λNtXn=0bn！尽管如此，t∈ [0，T]，其中Nt:=max{n∈ N：τN≤t} 。证据让λ∈ R.证明基于以下确定性不等式：如果（20）满足，则对于所有ω∈Ohm 所有这些都不是∈[0，T]我们有这个经验λhn（ω）Sτn∧t、 τn+1∧t（ω）-λbn（ω）-1.≤经验-λbn（ω）eλbn（ω）-E-λbn（ω）2bn（ω）hn（ω）Sτn∧t、 τn+1∧t（ω）（21）=:fn（ω）Sτn∧t、 τn+1∧t（ω）。[40]中的（A.1）显示了这种不平等。我们定义Hλt:=PnFn（τn，τn+1）（t），其中fn必须指定。我们选择F:=F，它是有界的，且Fτ-可测的，在[0，τ]上我们得到1+（Hλ·S）t≥经验λhSτn∧t、 τn+1∧T-λb.同时观察1+（Hλ·S）τ=1+fSτ，τ是有界的，因为通过假设hSτ，τ是有界的随机变量b。无模型金融33的路径随机积分假设Fk已定义为k=0。，M-1，即1+（Hλ·S）t≥expλ∞Xn=0hnSτn∧t、 τn+1∧T-λNtXn=0bn！尽管如此，t∈ [0，τm]，以及1+（Hλ·S）τ错界。我们定义Fm:=（1+（Hλ·S）τm）Fm，它是Fτm-可测且有界的。从（21）中，我们得到了t∈[τm，τm+1]1+（Hλ·S）t=1+（Hλ·S）τm+（1+（Hλ·S）τm）fmSτm∧t、 τm+1∧T≥（1+（Hλ·S）τm）expλhmSτm∧t、 τm+1∧T-λbm≥expλ∞Xn=0hnSτn∧t、 τn+1∧T-λNtXn=0bn！，在最后一步中，我们使用了归纳假设。从前面方程的第一行，我们还得到1+（Hλ·S）τm+1有界，因为fmSτm，τm+1有界，原因与fSτ，τ有界相同。

附录B：Davie[8]已经观察到Davie的标准，即在某些情况下，粗糙路径积分可以构造为黎曼和的极限，而不仅仅是补偿黎曼和。Daviesh证明，在适当的条件下，通常的Euler格式（无“面积补偿”）收敛到给定的粗糙微分方程的解。但由此可以很容易地推断出，粗路径积分也作为黎曼和的极限给出。在这里，我们表明戴维斯的c准则暗示了我们的假设（Rie）。让p∈ （2，3）设S=（S，A）是一条1/p-H–older连续粗糙路径，即| Ss，t ||T-s | 1/pand | A（s，t）||T-s | 2/p.写α：=1/p，让β∈ (1 -α, 2α). Davie假设存在C>0，因此rea过程满足要求l-1Xj=kA（jh，（j+1）h）≤C(l -k） βh2α，（B.1）每当0<k<l 整数和h>0是这样的吗lH≤ T在这些条件下，[8]的定理7.1意味着对于F∈ Cγ，γ>p，对于tnk=kT/n，n，k∈ N、 塞里曼·萨姆纳-1Xk=0F（Stnk）Stnk∧t、 秋明+1∧t、 t∈ [0，T]，34 N.Perkowski和D.J.Pr–omelconverg e一致地转化为roug h路积分。但是可以很容易地从（B.1）中推断出，面积过程A是沿着（tn）n的非预期黎曼和的极限，ZtSsdSs-N-1Xk=0StnkStnk∧t、 秋明+1∧T=N-1Xk=0Ztnk+1∧ttnk∧tSsdSs-Stnk∧tStnk∧t、 秋明+1∧T=N-1Xk=0A（tnk∧t、 秋明+1∧（t）≤t/h-1Xk=0Akh，（k+1）h+ |A(t/h, t） |。Ct/hβh2α+h2αkAk2α。

Cth2α-β+h2αkAk2α。由于β<2α，因此随着n的增加，右侧收敛到0∞ （因此h为0）。此外，（B.1）暗示了“一致有界p/2-变化”条件（12）：|（Sn·S）tnk，tnl-田纳西州StnkStnkl| ≤ZtnlTNKSSDS-田纳西州StnkStnkl+l-1Xj=kZtnj+1TNJSDSS-StnjStnj，tnj+1≤ kAk2α| tnl-tnk | 2α+l-1Xj=kAtnk，tnk+1≤ kAk2α| tnl-tnk | 2α+C(l -k） βh2α≤ kAk2α| tnl-tnk | 2α+C | tnl-tnk | 2α。致谢。Perkowski得到了巴黎数学基金会（FSMP）和法国国家研究机构（ANR）监督的公共拨款的支持，作为“Avenir投资”项目的一部分（参考：ANR-10-LABX-0098）。这项研究的主要部分是在N.珀科夫斯基受雇于柏林大学洪堡大学的时候进行的。D.J.Pr–omel获得了DFGResearch培训组1845“生物、金融和物理应用随机分析”的博士奖学金。参考文献[1]Acciaio，B.，Beiglb–ock，M.，Penkner，F.和Schachermayer，W.（2015）。资产定价和超级复制定理的无模型版本。数学资金出现。内政部：10.1111/ma fi.12060。无模型金融的路径随机积分35[2]Ankirchner，S.（2005）。信息和半鞅。洪堡大学柏林分校博士论文。[3] Avellaneda，M.、Levy，A.和Par\'as，A.（1995年）。在波动不确定的市场中对衍生证券进行定价和对冲。阿普尔。数学财务2 73-88。[4] 贝格尔博克，M.，亨利·劳德埃，P.和彭克纳，F.（2013）。期权价格的模型独立边界——大众运输应用程序roach。金融斯托奇。17 477–501.MR3066985[5]Bichteler，K.（1981）。随机积分与半鞅的Lp理论。安。Probab。9 49–89.MR0606798[6]Coutin，L.和Lejay，A.（2005）。半鞅和粗糙路径理论。电子J.Probab。

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