无模型金融的路径随机积分

我们的It^o等距的无模型版本的另一个简单结果是Kara ndikar[24]pathwis e It^o积分的强化版本，它适用于所有典型的价格路径，而不仅仅是在局部鞅测度下的准确定。推论3.6。在理论的设定中。5，让（Fm）m∈Nbe一系列带kFm（ω）的st-ep-fu序列- F（ω）k∞≤ 对所有ω∈ Ohm 而我∈ N.那么对于典型的价格路径ω，存在一个常数C（ω）>0s uch（Fm·S）（ω）-ZF-dS（ω）∞≤C（ω）cmplog m（5）对所有m∈ N.S o，如果cm=o（（对数m）-1/2），然后对于典型价格路径（Fm·S）收敛。证据当c>0时，模型自由度为0（Fm·S）-ZF dS∞≥cmp4d日志√C∩{hSiT≤c}≤m、 由于这是以m为单位求和的，因此该索赔遵循fr om Hore l Cantelli（该索赔仅要求可计算的次加性，因此可适用于外部测量）。备注3.7。收敛的速度（5）比[24]中的参数所能得到的要快，其中需要（cm）的可和性。备注3.8。我们希望扩展在定理3中得到的鲁棒It^o积分。5到一般的局部平方可积可积函数，即具有可测轨迹的过程，并且使得Rths（ω）dhSis（ω）<∞ 对于时间t之前具有连续二次变化hSi（ω）的所有t和所有ω，我们的16 N.Perkowski和D.J.Pr–omelmethods在这种设置中崩溃的原因是，我们的“It^o等距的无模型版本”需要被积函数上的统一界作为输入。

然而，即使有对C`adl`ag积分的限制，我们稳健的It^o积分也适用于所有（金融）应用，这是Karandikar的路径随机积分[24]，具有“无模型”而不仅仅是“准确定”对象的巨大优势。同样地，将定理3.5的n扩展到c`adl`ag积分器也是非常困难的。不幸的是，无论是外测度ep还是Vovk的外测度Q都没有明显合理地扩展到所有c`adl`ag函数的空间D（[0，T]，Rd）。问题是在这个空间中没有非零容许策略。正如在[41]中提出的那样，可以考虑D（[0，T]，Rd）中所有路径的子空间上的P或Q，其在时间T>0时的跳跃大小由其到时间T的上确界的函数所限定。然而，在这种情况下，有必要开发新技术来获得理论M3.5，因为例如，路径霍夫丁不等式（Lemma.1）将不再适用。4.典型价格路径的粗糙路径积分无模型随机积分的第二种方法是基于粗糙路径积分，它的优点是在banach空间之间是一个连续的线性算子。缺点是，我们必须将被积函数集限制为那些“局部看起来像S”的，模化一个更平滑的余数。我们在这一节中的两个主要结果是，每个典型的价格路径都有一个自然关联的粗糙路径，并且粗糙路径积分可以被构造为黎曼和的极限。让我们首先回顾一下粗糙路径理论的基本定义和结果。4.1. 里昂-古比内利粗糙路径积分在这里，我们大致遵循课堂讲稿[19]，我们指的是对粗糙路径的温和介绍。更高级的专著有[20,29,33]。

下面的推导[19]的主要区别在于，我们使用p-变异来描述规律性，而不是H–older连续性，因为并非所有典型的价格路径都是H–older连续的。此外，我们努力给出合理清晰的结果，而[19]的重点更多地在于材料的教学呈现。我们强调，在本小节中，我们只是收集经典结果。定义4.1。控制函数是连续映射c：T→ [0 , ∞) c（t，t）=0表示所有t∈ [0，T]以及c（s，u）+c（u，T）≤c（s，t）代表所有0≤ s≤ U≤ T≤ T注意如果f:[0，T]→ Rdsatis fies | fs，t | p≤ c（s，t）代表所有人（s，t）∈ T、 然后，f的变分由c（0，T）1/p.无模型金融定义4.2的路径随机积分从上方限定。让p∈ (2, 3). p-粗路径是一个映射S=（S，A）：T→ Rd×Rd×dsuch Chen的关系Si（s，t）=Si（s，u）+Si（u，t）和Ai，j（s，t）=Ai，j（s，u）+Ai，j（u，t）+Si（s，u）Sj（u，t）适用于所有1≤ i、 j≤ d和0≤ s≤ U≤ T≤ 并且存在一个控制函数C，其| S（S，T）| p+| a（S，T）| p/2≤c（s，t）（换句话说，s具有有限的p变化，A具有有限的p/2变化）。在这种情况下，我们称A为S.备注4.3的区域。Chen的关系式简单地表示s是函数的增量，即s（s，t）=s（0，t）- S（0，S）=Ss，t对于St:=S（0，t），对于所有i，j，存在函数fi，j:[0，t]→R使得Ai，j（s，t）=fi，j（t）-菲，j（s）-事实上，设置fi，j（t）：=Ai，j（0，t）+SiSj0，t是必要的。“区域”这个名称（严格来说是不正确的）源于以下事实：ifS:[0，T]→ Ris是一个二维光滑函数，如果i，j（s，t）=ztszrsdirdsjr=ZtsSis，rdSjr，那么a（s，t）的反对称部分对应于曲线（Sr）r所包围的代数区域∈[s，t]。

这是Lyons[32]的一个深刻见解，证明了F¨ollmer的一个猜想，即面积正是以路径连续方式求解S驱动的微分方程所需的额外信息，并将随机积分构造为连续矩阵。实际上，[32]解决了一个更为普遍的问题，并证明了如果驱动信号对于某些p>1是有限的p-变化，那么就必须使用高阶的迭代积分进行计算 P-1以获得连续积分映射。为我们提供了相关案例p∈ （2,3）已在[30]中接受治疗。例4.5。如果S是一个连续的半鞅，如果我们设置S（S，t）：=Ss，tas wellasAi，j（S，t）：=ZtsZrsdSirdSjr=ZTSSSIS，rdSjr，其中积分在It^o或Stratonovich意义下都可以小于d，那么几乎可以肯定S=（S，a）是所有p的p-粗路径∈ (2, 3). 如[6]所示，我们将在下面给出一个简化的无模型证明（事实上，我们将证明e非常典型的价格路径及其无模型It^o积分是所有p∈ （2，3），关于连续半鞅的陈述很容易从这里开始）。18 N.Perkowski和D.J.Pr–Omelf从现在开始，我们∈ （2,3）我们假设S是一条p-粗路径。Gubinelli[21]观察到，对于每一条粗糙路径，都有一个自然关联的被积函数B anach空间，即受控路径空间。试探性地，路径F由S控制，如果它局部“看起来像S”，则模化光滑余数。具体定义如下。定义4.6。让p∈ （2,3）和q>0，使得2/p+1/q>1。设S=（S，A）为p-粗路径，设F:[0，T]→ r与F′[0，T]→ Rn×d。如果受精F′具有有限的q-变异，我们说配对（F，F′）由S控制，剩余的Rf：T→ Rn，定义byRF（s，t）：=Fs，t-F′sSs，t在1/r=1/p+1/q时有明确的r变化。

在这种情况下，我们写（F，F′）∈ CqS=CqS（Rn）和definek（F，F′）kCqS:=kF′kq-var+kRFkr-var。配备了范数| F |+| F′|+k（F，F′）kCqS，空间CqS是一个Banach空间。当然，函数F′应该被解释为F相对于S的导数。考虑环偶（F，F′）而不仅仅是函数F的原因是，余数rf的规则性要求通常不会决定对给定路径F唯一地挖掘F′。例如，如果F和S都有有限的r-变化，而不仅仅是有限的p-变化，那么对于有限的q-变化中的每一个F′，我们都有（F，F′）∈ CqS。注意，我们不要求F或F′是连续的。我们将在备注4中指出。下面是为什么这不会造成任何问题。为了对q上的条件有一个更“定量”的感觉，让我们假设我们可以选择任意接近2的p>2（在连续半鞅粗路径的例子中就是这种情况）。然后2/p+1/q>1，只要q>0，那么导数F′本质上可以是我们想要的不规则的。对于1/r=1/p+1/q，剩余的r变量必须是有限的r变量，因此换句话说，对于某些r<2，它应该是有限的r变量，因此比连续lo c almartingale的样本路径稍微规则。例4.7。让ε∈ （0，1）使（2+ε）/p>1。让我们∈ C1+ε带定义Fs:=а（Ss）和F′s:=а′（Ss）。然后（F，F′）∈ Cp/εS：显然F′具有有限的p/ε变化。因此，我们有| RF（s，t）| p/（1+ε）=|~n（St）-~n（Ss）-ν′（Ss）Ss，t|p/（1+ε）≤k~nkC1+εbc（s，t），其中c是s的一个控制函数。由于连续路径s的图像是紧凑的，因此实际上没有必要假定φ是有界的。

我们可能总是考虑紧支撑的C1+ε函数ψ，使得ψ在S的图像上与ψ一致。无模型金融19的路径随机积分这个例子表明，通常RF（S，t）不是形式RF（S，t）=G（t）的路径增量-对于[0，T]上定义的某些函数，但实际上是两个变量的函数。例4.8。设G为某些r的有限r变化路径，其中1/p+1/r>1。设置（F，F′）=（G，0），我们得到CqS中的受控路径，其中1/q=1/r- 1/p.与Theore m4相结合。9下面，这个例子特别显示了受控路径积分扩展了Young积分和Riemann–Stieltje s积分。粗路径集成的基本思想是，如果我们已经知道如何定义dS，并且如果F在小规模上看起来像S，那么我们也应该能够定义dS。下面的定理给出了精确的结果。定理4.9（见[19]中的定理4.9，另见[21]，定理1）。让p∈ （2,3）和q>0都是2/p+1/q>1。设S=（S，A）为p-粗路径，设（F，F′）∈ CqS。然后存在一个独特的函数rf dS∈ C（[0，T]，Rn）满足以下条件：ZtsFudSu-FsSs，t-F′sA（s，t）. kSkp var、[s，t]kRFkr var、[s，t]+kAkp/2-var、[s，t]kF′kq-var、[s，t]适用于所有（s，t）∈ T、 积分作为补偿Riemann-sumsZtFudSu=limm的极限给出→∞X[s，s]∈πm[FsSs，s+F′sA（s，s）]，（6）其中（πm）是[0，t]的任何划分序列，网格大小为0。图（F，F′）7→ （G，G′）=（RFudSu，F）从CqSto和（G，G′）KCP连续。kF kp var+（kF′k∞+ kF′kq-var）kAkp/2-var+kSkp-varkRFkr-var。备注4.10。据我们所知，还没有任何出版物使用p-变化规律来描述粗糙路径的控制路径逼近。关于这一主题的参考文献都是连续的。

但在p-变分环境中，所有的证明都与H¨older环境中的证明完全相同，并且翻译[19]中定理4.9的证明（这是基于我们将在下面遇到的杨的最大不等式）以获得定理4.9是一个简单的练习。只有一个小陷阱：我们不要求F或F′是连续的。不连续函数的路径积分有些棘手，参见[18,42]。但是这里我们没有遇到任何问题，因为被积函数S=（S，A）是连续的。只要被积函数和积分器没有共同的不连续性，基于杨氏最大不等式的构造就有效，见[43]第264页的定理。如果现在∈ C1+εb对于某些ε>0，则使用泰勒展开可以证明存在p>2和q>0，且2/p+1/q>0，从而（F，F′）7→ （~n（F），~n′（F）F′）是一张从CPS到CqS的局部20 N.Perkowski和D.J.Pr–Omelbunded地图。结合粗糙路径积分是CqSto CpS中的有界映射这一事实，不难证明粗糙微分方程XT=x+Zt~n（Xs）dSs，（7）t的解的存在性∈[0，T]，其中X∈ CpS，R~n（Xs）dss表示粗路径积分，S是典型的价格路径。同样，如果∈ C2+εb，然后映射（F，F′）7→ 从CpS到CqS（φ（F），φ′（F）F′）是局部Lipschitz连续的，这将解的唯一性证明为（7）——至少是Banach空间CpS中的函数。详见[21]第5.3节。有一条关于严格的规则性要求的评论。在SDEs的经典理论中，函数^只要求是Lipschitz连续的。但要解决Stratonovich SDE，我们需要更好的规则性。

这是很自然的，因为Stratonovich SDE可以重写为It^o SDE，并带有一个Strato novich校正项：e quationsdXt=ˋ（Xt）o dwtandxt=а（Xt）dWt+а′（Xt）а（Xt）dt是等价的（其中W是标准布朗运动，dWt表示它的^o积分，以及odWtdenotes Stratonovich集成）。为了求解第二个方程，我们需要а′а是Lipschitz连续的，如果а∈ Cb。但粗糙路径理论无法区分It^o积分和Stratonovich积分：如果我们定义使用It^o（分别为Stratonovich）积分的区域，那么方程的粗糙路径解将与It^o（分别为Stratonovich）解相一致。因此，在粗糙路径设置中，函数φs至少应满足与Stratonovich设置中相同的条件。对φ的规则性要求基本上是严格的，见[8]，但有界性假设可以放宽，见[28]。参见[20]第10.5节，了解布朗情况下规则性要求的轻微放宽。当然，粗糙路径理论最有趣的结果是，对任意微分方程的解在驱动信号上不断衰减。这是以下观察的结果。提案4.11（第[19]号提案9.1]）。让p∈（2,3）和q>0，其中2/p+1/q>0。

设S=（S，A）和＠S=（＠S，＠A）是两条p-粗路径，设（F，F′）∈ CqSand（~F，~F′）∈ CqS。那么每M>0，就存在CM>0，这样Z·FsdSs-Z·)Fsd)Ssp-var≤厘米（|英尺）-~F |+|F′-~F′|+kF′-~F′kq-var+kRF-RFkr var+kS-~Skp var+kA-~Akp/2-var），无模型金融21的路径随机积分，只要是最大{F′|+k（F，F′）kCqS，|F′|+k（~F，~F′）kCqS，kSkp var，kKP/2-var，k | Skp var，k |Akp/2-var}≤M.换句话说，粗糙路径积分依赖于被积函数和积分器，以局部Lipschitz连续的方式，因此，由粗糙路径驱动的微分方程的解连续依赖于信号也就不足为奇了。4.2. 粗糙路径的典型价格路径无模型金融数学中随机积分的第二种方法基于粗糙路径积分。在这里，我们证明了对于非常典型的价格路径，对于所有的p，p（S，A）是一条p-粗路径∈（2，3），其中A corr对应于我们在第3节中构造的无模型It^ointegrals dS。我们还证明了许多黎曼和逼近都一致地满足某种粗粒度正则性条件，我们将在下一节中使用这些条件来证明，在我们的设置中，粗路径积分可以被计算为黎曼和的极限（而不是OREM 4.9中的补偿黎曼和）。证明的主要内容是我们的收敛速度。定理4.12。对于（s，t）∈ T、 ω∈ Ohm, 而我，j∈{1，…，d}defineai，js，t（ω）：=ZtsSirdSjr（ω）- Sis（ω）Sjs，t（ω）：=ZtSirdSjr（ω）-ZsSirdSjr（ω）-Sis（ω）Sjs，t（ω），其中dsjis是定理3.5中构造的积分。如果p>2，则对于典型价格路径A=（Ai，j）1≤i、 j≤dhas fin ite p/2-变异，尤其是S=（S，A）是一个p-粗路径。证据确定并矢停止时间（τnk）n，k∈Nbyτn：=0和τnk+1：=inf{t≥ τnk:|St-Sτnk |=2-n} ，并设置Snt:=PkSτnk[τnk，τnk+1）（t），使kSn-Sk∞≤2.-N

根据（5），对于典型的价格路径ω，存在C（ω）>0，使得（Sn·S）（ω）-ZS-dS（ω）∞≤C（ω）2-nplog n.修正这样一个典型的价格路径ω，它也是所有q>2的有限q变化（从推论2.10中可以回忆到，这是由典型的价格路径所满足的）。让我们证明，对于这样的ω，过程A是有限的p/2变化，对于所有p>2.22 N.Perkowski和D.J.Pr–omelWe对于（s，t）∈T、 省略所考虑过程的参数ω，|As，T |≤ZTSRDSR-（Sn·S）S，t+ |（Sn·S）S，t-SsSs，t|≤ C2-n+|（Sn·S）S，t-SsSs，t |。εC2-n（1）-ε） +|（Sn·S）S，t-SsSs，t |每n∈ N、 ε>0。右边的第二项可以通过|（Sn·s）s，t，使用基于杨氏最大不等式（见[33]，定理1.16）的论证来估计-SsSs，t |。最大值{2-nc（s，t）1/q，（#{k:τnk）∈[s，t]}）1-2/qc（s，t）2/q+c（s，t）2/q}，（8）其中c（s，t）是具有| Ss，t | q的控制函数≤c（s，t）代表所有人（s，t）∈ T.的确，如果不存在带τnk的k w∈ |s，t-SsSs，t|≤ 2.-nc（s，t）1/q，使用| Ss，t |≤c（s，t）1/q。该c对应于（8）中最大值的第一项。否则，请注意，在右边加上c（s，t）2/qt的代价下，我们可以假设对于某些k，s=τnk。现在让τnk，τnk+N-对于[s，t]中的（τnk）k，如果没有一般性的服务水平，我们可以假设N≥ 因为（Sn·S）S，t=SsSs，t.滥用符号，我们写τnk+N=t.现在的想法是成功地删除点（τnk+l) 从配分来看，为了通过c的超加性从（Sn·S）传递到SsSs，t，必须存在l ∈{1, . .