无模型金融的路径随机积分

N-1} ，其中c（τnk+l-nk，τ+l+1) ≤N-1c（s，t）。删除τnk+l从（Sn·S）S，t中减去得到的积分，我们得到| Sτnk+l-1Sτnk+l-1，τnk+l+ Sτnk+lSτnk+l,τnk+l+1.-Sτnk+l-1Sτnk+l-1，τnk+l+1 |=| Sτnk+l-1，τnk+lSτnk+l,τnk+l+1|≤ c（τnk）+l-1，τnk+l+1） 2/q≤N-1c（s，t）2/q.从分区中依次删除除τnk=s和τnk+N=t之外的所有点，得到s |（Sn·s）s，t-SsSs，t|≤NXk=2K-1c（s，t）2/q.N1-2/qc（s，t）2/q，因此e（8）。现在很容易看出#{k:τnk∈[s，t]}≤ 2nqc（s，t）（也比较引理3.3的其他证明），因此| As，t |。εC2-n（1）-ε） +max{2-nc（s，t）1/q，（2nqc（s，t））1-2/qc（s，t）2/q+c（s，t）2/q}（9）=C2-n（1）-ε） +max{2-nc（s，t）1/q，2-n（2）-q） c（s，t）+c（s，t）2/q}。无模型金融的路径随机积分23这适用于所有n∈N、 ε>0，q>2。现在我们假设c（s，t）≤1，然后确定α>0。然后就有了n∈N哪个2-N-1<c（s，t）1/α（1）-ε)≤-n、 利用（9）中的n，我们得到| As，t |α。ε、 ω，αc（s，t）+max{c（s，t）1/（1）-ε） c（s，t）α/q，c（s，t）（2）-q） /（1）-ε） +a+c（s，t）2α/q}=c（s，t）+max{c（s，t）q+α（1-ε） 问题（1）-ε） ，c（s，t）2-q+α（1）-ε)1-ε+c（s，t）2α/q}。我们希望右侧最大值的所有表达式都大于或等于1。对于第一项，只要ε<1，这一点就可以满足。对于第三学期，我们需要α≥ q/2。对于第二学期，我们需要α≥ （q）-1.-ε)/(1 -ε). 由于ε>0可以任意选择接近于0，因此如果α>q，则有效-1.现在，由于q>2可以任意选择，我们可以看到α可以任意选择。特别地，对于任何p>2，我们可以取α=p/2，得到| As，t | p/2。ω、 δc（s，t）。对于c（s，t）>1的情况，我们只需简单地估计| As，t | p/2即可。PZ·SrdSrp/2∞+ kSkp∞≤Z·SrdSrp/2∞+ kSkp∞c（s，t）。所以对于每个区间[s，t]，我们可以估计| As，t | p/2。ω、 pc（s，t），并且证明是完整的。备注4.13。

据我们所知，这是第一次在非n-概率环境中构造非几何粗糙路径，当然我们不知道任何使用财务参数构造粗糙路径的作品。我们还指出，这与命题2有关。6.我们给出了一个简单的、无模型的、按路径的证明，证明了局部鞅及其It^o积分定义了一条粗糙路径。虽然从直觉上看这似乎很清楚，但我们所知道的唯一其他证据在某种程度上涉及到了这一点：它依赖于伯克霍尔德-戴维斯-甘迪不平等的强大版本、时间变化和科尔莫戈罗夫的连续性标准；参见[6]或[20]的第14章。下面的辅助结果将使我们能够获得作为黎曼极限的粗糙路径积分，而不是通常用于确定它的补偿黎曼和。引理4.14。让（cn）n∈一个正数序列，使得cn=o（（对数n）-c） 对于所有的c>0。为了n∈ N定义τN:=0和τnk+1:=inf{t≥ τnk:|St-Sτnk |=cn}，k∈N、 然后，对于典型的价格路径，（（Sn·S））收敛于理论3.5中定义的相同的dS。此外，对于p>2和典型的价格路径，存在一个控制函数c=c（p，ω），使得<l|（Sn·S）τnk，τnl(ω) - Sτnk（ω）Sτnk，τnl（ω） | p/2c（τnk，τnl)≤1.24 N.Perkowski和D.J.Pr–omelProof。（（Sn·S））的一致收敛性来自推论3。6.对于第二项索赔，fix n∈N和k<l 使得τnl≤T然后|（Sn·S）τnk，τnl-SτnkSτnk，τnl| .（Sn·S）-Z·SsdSs∞+ |Aτnk，τnl|(10).ωcnplog n+vp/2（τnk，τnl)2/p.εc1-εn+vp/2（τnk，τnl)2/p，其中ε>0，最后一次估计通过我们对序列（cn）的假设成立，其中vp/2（s，t）：=kAkp/2p/2-var，[s，t]表示（s，t）∈ T

当然，这种不平等只适用于典型的价格路径，而不适用于所有ω∈Ohm.另一方面，与定理证明中的论点相同。12（使用杨氏最大线质量并成功地从分区中删除点）表明|（Sn·S）τnk，τnl-SτnkSτnk，τnl|. c2-qnvq（τnk，τnl), （11） 其中vq（s，t）：=kSkqq var，[s，t]表示（s，t）∈ T.让我们定义控制函数c:=vq+vp/2。取α>0，如下所示。如果cn>c（s，t）1/α（1-ε） 然后我们用（11）和2-q<0，获得|（Sn·S）τnk，τnl-SτnkSτnk，τnl|α. （~c（τnk，τn）l))2.-问题（1）-ε） vq（τnk，τn）l)α≤ ~c（τnk，τn）l)2.-q+α（1）-ε)(1-ε).指数nt比α大或等于1≥（q）-1.-ε)/(1 -ε). 由于q和ε可以分别选择任意接近2和0，我们可以取α=p/2，得到|（Sn·S）τnk，τnl-SτnkSτnk，τnl|p/2。~c（τnk，τn）l)（1+~c（0，T）δ）表示合适的δ>0。另一方面，如果cn≤ ~c（s，t）1/α（1）-ε） 然后我们用（10）得到|（Sn·S）τnk，τnl-SτnkSτnk，τnl|α. ~c（τnk，τn）l) + ~c（τnk，τn）l)2α/p，在这种情况下，我们也可以取α=p/2，因此在这两种情况下都有s |（Sn·s）τnk，τnl-SτnkSτnk，τnl|p/2≤c（τnk，τn）l),式中，c是c的合适（ω依赖）倍数。4.3. 粗糙路径积分作为Riemann-sumsTheorem4的极限。12表明，我们可以在无模型金融数学中应用受控粗糙路径积分，因为每个典型的价格路径都是一条粗糙路径。但是，对于无模型金融问题，仍然存在一个不完全的随机积分：正如我们在理论4中看到的那样。9，路径积分Rf DsR作为补偿Riemann-sumsZtFsdSs=limm的极限给出→∞X[r，r]∈πm[FrSr，r+F′rA（r，r）]，其中（πm）是[0，t]的任意划分序列，网格大小为0。FrSr一词是一种明显的财务解释，指通过在时间r出售交易资产的FRUnit而在时间r购买交易资产的FRUnit。

然而，对于“补偿器”F′rA（r，r），似乎没有财务解释，因此不清楚粗糙路径积分是否可以理解为通过投资S获得的收益。然而，我们在第3节中观察到，沿着合适的停止时间（τnk）n，k，我们有ztssdss=limn→∞XkSτnkSτnk∧t、 τnk+1∧t、 根据受控路径的原理，我们期望对于小尺度上看起来像S的F，我们也能得到ZTFSDSS=limn→∞XkFτnkSτnk∧t、 τnk+1∧t、 无需引入补偿器F′τnkA（τnk∧ t、 τnk+1∧ t） 在里曼苏姆。根据我们手头的结果，这一说法实际上相对容易证实。尽管如此，这是以前从未被观察到过的。在本节剩余部分中，我们将∈ C（[0，T]，Rd），我们在以下假设下工作：假设（Rie）。设πn={0=tn<tn<·tn=T}，n∈N、 是一个给定的分区序列，使得sup{Stnk，tnk+1 |：k=0，…，Nn-1} 收敛到0，让p∈(2, 3).SetSnt:=Nn-1Xk=0Stnk[tnk，tnk+1）（t）。我们假设黎曼和（Sn·S）一致收敛到我们表示的极限，并且存在一个控制函数c，其上（S，t）∈T | Ss，T | pc（s，T）+supnsup0≤k<l≤Nn |（Sn·S）tnk，tnl-田纳西州StnkStnkl|p/2c（tnk，tnl)≤1.（12）备注4.15。我们预计（12）中的“粗粒度”规则性条件已经使用了很长时间，但只能找到最近的参考文献：条件（12）26 N.Perkowski和D.J.Pr–omelwas先前在[35]中使用，另见[22]，并且在[27]中独立出现。在我们的环境中，这是自say fors，t∈ [tnk，tnk+1]带| t-s|<<|秋明+1-tnk |离散积分（Sn·S）S的增量不是TSSRDSR的良好逼近，因此我们不能期望它接近SsSs，t.备注4.16。

如果我们选择（tnk）作为停止时间的一部分，如引理4.14中的（τnk），则每个典型的价格路径都满足（Rie）。不难看出，如果S满意度（Rie）和我们定义A（S，t）：=RtsSrdSr-SsSs，t，那么（S，A）是p-粗路径。这意味着只要（F，F′）由S控制，我们就可以计算粗糙路径积分Rf dS，本节剩余部分的目的是证明该积分是作为（无补偿）黎曼和的极限给出的。我们的证据有些间接。我们把从It^o型积分到相关的Stratonovich型积分的一切都转化为，对于这些积分，收敛性来自于命题4.11中的路径积分的连续性。然后我们把所有的东西都转换回我们的It^o类型积分。从It^o到Stratonovich，我们需要二次变量。引理4.17。在假设（Rie）下，让1≤i、 j≤d、 和德菲尼西，Sjit:=SitSjt-西丝-ZtSirdSjr-ZtSjrdSir。那么hSi，Sji是一个连续函数，而hSi，Sjit=limn→∞hSi，Sjint=limn→∞Nn-1Xk=0（Sitnk+1∧T-辛克∧t） （Sjtnk+1）∧T-Sjtnk∧t） 。（13） 序列（hSi，Sjin）是一致有界全变差序列，特别是Rhsi，Sji是有界变差序列。我们写hSi=hS，Si=（hSi，Sji）1≤i、 j≤d、 并称之为S.证明的二次变化。hSi、Sji的功能在定义上是连续的。HI、Sji的具体形式（13）来自两个简单的观察：SitSjt-SiSj=Nn-1Xk=0（Sitnk+1∧tSjtnk+1∧T-辛克∧tSjtnk∧t） 每n∈ N、 andSitnk+1∧tSjtnk+1∧T-辛克∧tSjtnk∧t=Sitnk∧tSjtnk∧t、 秋明+1∧t+Sjtnk∧tSitnk∧t、 秋明+1∧t+Sitnk∧t、 秋明+1∧tSjtnk∧t、 秋明+1∧t、 因此，（13）中的收敛是（Sn·S）或dS收敛的结果。无模型金融的路径随机积分27要知道hSi，Sji是有界变化的，请注意SITNK∧t、 秋明+1∧tSjtnk∧t、 秋明+1∧t=（（Si+Sj）tnk∧t、 秋明+1∧（t）-（（Si）-Sj）tnk∧t、 秋明+1∧t） ）（阅读hSi，Sji=1/4（hSi+Sji）- 恒生指数- Sji）。

换句话说，Hsi，Sji的第n个近似值是两个递增函数的差分，其总变化量由byNn上界-1Xk=0（（Si+Sj）tnk，tnk+1）+（Si）-Sj）秋明，秋明+1）。supmNm-1Xk=0（Sitmk，tmk+1）+（Sjtmk，tmk+1））。由于右侧是有限的，也就是极限hSi，Sji是有界变量。考虑到二次变化，Stratonovich积分的存在是简单的：引理4.18。在假设（Rie）下，将Sn |[tnk，tnk+1]定义为k=0。，Nn-1.然后（RSndSn）一致收敛到ztssro dSr:=ZTSRDSR+hSis，t.（14）此外，设置＠An（s，t）：=Rts＠Sns，rd＠Snrfor（s，t）∈ T、 我们有supnkAnkp/2-var<∞ .证据让n∈N和k∈{0，…，Nn-1} . 那么对于t∈ [tnk，tnk+1]我们有Snt=Stnk+t-tnktnk+1-tnkStnk，tnk+1，所以tZtnk+1tnk＠Snrd＠Snr=StnkStnk，tnk+1+Stnk，tnk+1Stnk，tnk+1，tnk+1，（15）其中一致收敛和表示（14）后面是引理4.17。为了证明∧Anhas是一致有界的p变化，考虑（s，t）∈ T.如果存在tnk，则tnk≤s<t≤ 然后我们估计|An（s，t）| p/2=ZtsSns，rdSnrp/2≤Zts（r）- s） | Stnk，tnk+1 | | tnk+1-tnk |博士p/2（16）=p/2 | t-s | p | Stnk，tnk+1 | p | tnk+1-tnk | p≤|T-s | | tnk+1-tnk | kSkpp var[tnk，tnk+1].28 N.Perkowski和D.J.Pr–omelOtherwise，让kbe为最小的k，使tnk∈（s，t），并让kbe为最大的k。我们分解An（s，t）=An（s，tnk）+An（tnk，tnk）+An（tnk，t）+Sns，tnkSntnk，tnkSns，tnkSntnk，t。我们从（15）中得到|An（tnk，tnk）| p/2|（Sn·S）tnk，tnk-StnkStnk，tnk | p/2+（hSintnk，tnk）p/2，其中hsindente表示二次变量的第n个近似值。根据假设（Rie）和引理4.17，存在一个控制函数c，因此钻机ht手侧从上方以c（tnk，tnk）为界。

将其与（16）项和对Sns，tnkSntnk，tnkandSns，tnkSntnk，t项的简单估计相结合，我们推导出kAnkp/2-var.~c（0，t）+kSkp-var，证明是完整的。我们现在准备证明本节的主要结果。定理4.19。在假设（Rie）下，设q>0，使得2/p+1/q>1。Let（F，F′）∈ CqSbe一条受控路径，使得F是连续的。然后是理论4中定义的粗糙路径积分。9由ZTFSDSS=limn给出→∞Nn-1Xk=0FtnkStnk∧t、 秋明+1∧t、 在t证明中，收敛是一致的。为了n∈ N定义Fn为πN中各点之间F的线性插值。然后（~Fn，F′）由~Sn控制：显然，k ~Fnkq-var≤kF kq-变量。关于RnFn（s，t）=Fns，t给出的sni的再维护者RnFnofFn- F’sSns，tfor（s，t）∈ T.我们需要说明Rnfn在1/r=1/p+1/q时有明确的r变化≤s≤ T≤ tnk+1，我们有|Rn | Fn（s，t）|r=T-stnk+1-tnkFtnk，tnk+1-F\'st-stnk+1-tnkStnk，tnk+1R≤T-stnk+1-秋明r（kRFkr var，[tnk，tnk+1]+kF′kr/qq-var，[tnk，s]kSkr/pp var，[tnk，tnk+1]）（17）≤|T-s | | tnk+1-tnk |（kRFkr var，[tnk，tnk+1]+kF′kq-var，[tnk，tnk+1]+kSkp var，[tnk，tnk+1]），在最后一步中，我们使用了1/r=1/p+1/q，因此r/q+r/p=1。无模型金融的路径随机积分29否则，存在k∈{1，…，Nn-1} 与秋明∈（s，t）。让我们把这样的小k和大k分开。（s，tnk，tnk，tnk，tnk，tnk，tnk，tnk，现在（现在）是（tnk，tnk，现在）现在（现在）是（tnk，tnk，tnk，tnk，tnk，现在（现在）是（tnk，tnk，tnk，tnk，tnk，tnk，tnk）是（tnk，tnk，tnk）是（tnk，tnk，tnk）是（tnk，tnk，tnk）是（tnk，tnk，tnk）是（tnk，tnk）是（tnk，tnk，tnk，tnk）是（tnk，tnk，tnk）是（tnk，tnk，tnk，tnk）是（tnk，tnk）是（tnk）是（tnk，tnk）是（tnk，tnk，tnk）是（tnk，tnk），tnk）是（17）是（tnk）是（tnk）是（tnk）是（在右侧处理最后两个术语），另一方面，由于F和RF是连续的，（)Fn，)Rn)Fn)Fn一致收敛于（F，RF）。

现在，对于连续函数，具有统一或最大有界变分的一致收敛意味着每个p′>p的p′-变分的收敛性。有关H¨older连续函数的情况，请参见[19]中的练习2.8。因此，使用引理4。18，我们看到，如果p′>p和q′>qa使得2/p′+1/q′>0，那么（~Sn，~An）n收敛于（p′，p′/2）-变分为（S，a）o), 哪里o（s，t）=A（s，t）+1/2hSis，t。类似地，（Fn，F′，~Rn′Fn））收敛于（q′，p′，r′）——变化为（F，F′，RF），其中1/r′=1/p′+1/q′。命题4.1 1现在给出了RFndSntoRF的统一m收敛性o dS，表示受控路径（F，F′）对粗路径（S，A）的粗路径积分o). 但对于每一个t∈ [0，T]，我们有Limn→∞Zt)Fnsd)Sns=limn→∞Xk:tnk+1≤t（Ftnk+Ftnk+1）Stnk，tnk+1=limn→∞Xk:tnk+1≤tFtnkStnk，tnk+1+Xk:tnk+1≤tFtnk，tnk+1 tnk，tnk+1.利用F由S控制，很容易看出右边的第二项一致收敛于1/2RtF′sdhSis，t∈ [0，T]。T hus，Riemann sumsPkFtnkStnk∧·,秋明+1∧·一致凸环面o dS- 1/2RF′dhSi，从粗糙路径积分作为补偿黎曼和极限的表示（6），很容易看出o dS=RF-dS+1/2RF′dhSi，这就完成了证明。备注4.20。给出定理4.19，我们很自然地推测if（S，A）是我们在定理4中构造的粗糙路径。12和引理4.14，然后对于典型的价格路径和适应的、受控的和连续的被积函数，粗路径积分与第3节的无模型积分一致。这似乎不太容易显示，但可以验证的是，如果∈ C1+ε，则对于被积函数F（S），两个积分重合——只需沿着（3）中定义的并矢停止时间取黎曼和。30 N.Perkowski和D.J.Pr–omelTheorem4。19让人想起了福尔默的路径It^o积分[17]。

F¨ollmer假设S的二次变化hSi沿给定的划分序列存在且是连续的，并用此证明S的It^o公式：如果F∈ C、 thenF（St）=F（S）+ZtF（Ss）dSs+ZtDF（Ss）dhSis，（18）其中·F（Ss）dss是作为黎曼和沿同一划分序列的极限给出的。19.注意，如果发∈ （2,3）函数Sis是有限p-变量，hSi是有限p/2-变量的任意连续函数，然后设置Sym（A）（s，t）：=（Sis，tSjs，t+hSis，t）一个获得“简化粗糙路径”（s，Sym（A））。他们继续证明，如果F由具有对称导数F′的S控制，则有可能定义粗糙路径积分。这并不奇怪，因为在定义粗路径积分时，我们有F′sAs，t=F′sSym（A）s，t作为补偿项。他们还推导出了简化粗糙路径的It^o公式，其形式与（18）相同，只是现在没有F（S）dS是一个粗糙路径积分（因此定义为compensa tedRiemann和的极限）。因此[19]的假设和结果与[17]中的假设和结果略有不同，虽然直觉上似乎很清楚，但仍然没有严格证明F¨ollmer的路径it^o积分是粗糙路径积分的特例。现在，我们将展示F¨ollmer的结果是orem4的一个特例。19.为了这个目的，我们只需要证明F–ollmer关于二次变分收敛的条件是定理4中假设的一个特例。至少只要我们只需要区域的对称部分。定义4.21。让f∈ C（[0，T]，R）并设πn={0=tn<tn<·tn=T}，n∈ 使sup{ftnk，tnk+1 |：k=0，…，Nn-1} 收敛到0。

如果（[0，T]，B[0，T]）上的离散测度序列（un）定义为un:=Nn，我们说f在f¨ollmer意义上沿（πn）有二次变化-1Xk=0 | ftnk，tnk+1 |δtnk，（19）弱收敛到非原子度量u。我们用[f]t表示u的“分布函数”（通常u不是概率度量）。函数f=（f，…，fd）∈在F¨ollmer意义下，C（[0，T]，Rd）沿（πn）有二次变化，如果这适用于所有Fian和fi+fj，1≤i、 j≤ d、 在这种情况下，我们设置[fi，fj]t:=（[fi+fj]t）-[fi]t-[fj]t），t∈ [0，T]。引理4.22（另见[41]，命题6.1）。让p∈ （2，3），设S=（S，…，Sd）∈C（[0，T]，Rd）具有有限的p-变异。设πn={0=tn<tn<·tn=T}，n∈ N、 对于无模型的划分序列，是一个随机积分，使得sup{Stnk，tnk+1 |：k=0，…，Nn- 1} 收敛到0。然后，下列条件是等价的：（1）函数S在F¨ollmer意义下沿（πn）有二次变化。（2） 所有人1≤i、 j≤d、 离散二次变量hsi，Sjint:=Nn-1Xk=0Sitnk∧t、 秋明+1∧tSjtnk∧t、 秋明+1∧T在C（[0，T]，R）中均匀收敛到极限hSi，Sji。（3） 对于Sn，i:=PNn-1k=0Sitnk[tnk，tnk+1），i∈ {1，…，d}，n∈ N、 黎曼和（Sn，i·Sj）+（Sn，j·Si）一致收敛于limitRSidSj+RSjdSi。此外，近似面积的对称部分Sym（An）i，j（s，t）=（Sn，i·Sj）s，t+（Sn，j·Si）s，t-SisSjs，t-SjsSis，t），1≤ i、 j≤d、 （s，t）∈ T、 在（12）的意义上，具有沿（πn）的一致有界p/2变化。如果这些条件成立，那么[Si，Sj]=hSi，Sji代表所有1≤ i、 j≤ d、 证据。