最优市场套利模型

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英文标题：
《Market models with optimal arbitrage》
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作者：
Huy N. Chau and Peter Tankov
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  We construct and study market models admitting optimal arbitrage. We say that a model admits optimal arbitrage if it is possible, in a zero-interest rate setting, starting with an initial wealth of 1 and using only positive portfolios, to superreplicate a constant c>1. The optimal arbitrage strategy is the strategy for which this constant has the highest possible value. Our definition of optimal arbitrage is similar to the one in Fernholz and Karatzas (2010), where optimal relative arbitrage with respect to the market portfolio is studied. In this work we present a systematic method to construct market models where the optimal arbitrage strategy exists and is known explicitly. We then develop several new examples of market models with arbitrage, which are based on economic agents\' views concerning the impossibility of certain events rather than ad hoc constructions. We also explore the concept of fragility of arbitrage introduced in Guasoni and Rasonyi (2012), and provide new examples of arbitrage models which are not fragile in this sense.
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中文摘要：
我们构造并研究了允许最优套利的市场模型。我们说，一个模型允许最佳套利，如果在零利率设置下，从初始财富1开始，只使用正投资组合，可以超级复制常数c>1。最优套利策略是指该常数具有最高可能值的策略。我们对最优套利的定义类似于Fernholz和Karatzas（2010）中的定义，其中研究了市场投资组合的最优相对套利。在这项工作中，我们提出了一个系统的方法来构建市场模型，其中最优套利策略是存在的，并且是明确已知的。然后，我们开发了几个新的套利市场模型示例，这些模型基于经济主体关于某些事件不可能发生的观点，而不是临时构造。我们还探讨了Guasoni和Rasonyi（2012）中引入的套利脆弱性的概念，并提供了在这种意义上不脆弱的套利模型的新例子。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Pricing of Securities        证券定价
分类描述：Valuation and hedging of financial securities, their derivatives, and structured products
金融证券及其衍生产品和结构化产品的估值和套期保值
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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PDF下载：
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2022-5-5 07:28:08 上传

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关键词：套利模型 Quantitative Construction Applications QUANTITATIV

最优市场套利模型*Huy N.Chau1,2和Peter Tankovma巴黎大学Diderotabstract我们构建并研究了允许最优套利的市场模型。我们说，一个模型允许最佳套利，如果在零利率设置下，从初始财富1开始，仅使用正投资组合，可以超级复制常数c>1。最优套利策略是指该常数具有最高可能值的策略。我们对最优套利的定义与Fernholz和Karatzas（2010）中的定义类似，后者研究了市场投资组合的最优相对收益率。在这项工作中，我们提出了一个系统的方法来构建市场模型，其中最优套利策略是存在的，并且是明确已知的。然后，我们发展了几个新的套利市场模型的例子，这些模型是基于经济主体关于某些事件不可能发生的观点，而不是临时构造。我们还探讨了Guasoni和R\'asonyi（2012）中引入的套利脆弱性概念，并提供了在这个意义上不脆弱的套利模型的新例子。关键词：最优套利、不完全市场、无无界利润、无界风险、套利的脆弱性、严格局部鞅1简介数学金融中的一个关键概念是无套利。非正式地说，套利机会就是赚钱的可能性*我们非常感谢约翰·鲁夫对该报早期版本的有益评论。不冒任何风险，从无到有。显然，为了确保市场效率，这些策略应该被排除在外。

无套利理论的数学表述有很长的历史，从Harrison a and Kreps（1979）的第一个离散时间结果，到Delbaen and Schachermayer（1994）和Delbaen and Schachermayer（1998）在一般半鞅模型中的刻画。特别是，在Delbaen和Schachermayer（1994）中，证明了具有消失风险的非免费午餐（NFLVR）条件等价于一个等价局部鞅测度（ELMM）的存在，即一个新的概率测度，在该概率测度下，贴现资产价格过程是一个局部鞅。NFLVR为解决定价、对冲或投资组合优化问题提供了可靠的理论框架。然而，对于一些申请来说，要求不提供免费午餐的限制太大了。事实上，假设金融市场存在有限的套利机会似乎是合理的，因为整个“套利者”部门都在投资银行全职工作，以利用这些机会。这就是为什么最近的文献中出现了具有套利机会的市场模型的原因之一，从Delbaen和Schachermayer（1995a）的三维贝塞尔过程模型开始。在不依赖等价鞅测度概念的情况下，Platen（2006），参见Platen和Heath（2006），开发了基准方法，这是一种新的资产定价理论，是基于物理测度的。在随机投资组合理论（Karatzas和Fernholz，2009）的背景下，NFLVR条件不是强制的，套利机会出现在相对意义上。

这些工作表明，NFLVR条件可以被另一个较弱的概念替代，同时保持上述经济问题的可解性，并且确实提出了几个新概念，参见Fontana（2013）的综述。如果有人对效用最大化感兴趣，已经证明（Karatzas a and Kardara s，2007），这个问题的最小无免费午餐类型条件是有界风险的无无界利润（NUPBR）条件。这种情况在Kabanov（1997）中也被称为BK，它也相当于Kabanov和Kramkov（1994）的第一类无渐近套利（NAA1）。众所周知，NFLVR相当于NUPBR加上经典的无ar比特率假设（见Delbaen和Schachermayer（1994）的推论3.4和推论3.8，或Karatzas和Kardaras（2007）的命题4.2）。这意味着满足onlyNUPBR的市场可能会接受套利机会。为了从潜在的套利中获益，我们需要明确描述套利策略，并设计一种方法来比较不同的策略，以便以最有效的方式利用套利机会。Fernholz和Ka r atzas（2010）在这方面迈出了重要的一步。本文引入了关于市场投资组合的最优相对套利的概念，并用抛物偏微分不等式的最小正解刻画了连续马尔可夫市场模型中的最优相对套利。这项工作在Fernholz和Karatzas（2011）中扩展到了资产相对风险和协方差结构不确定的市场模型。Ruf（2011）给出了存在相对套利和强相对套利机会的精确条件。

结果表明，最优相对收益率与以几乎确定的方式扩大市场投资组合所需的最小成本有关。Ruf（2013）详细研究了有套利机会的市场中的套期保值问题。该文特别指出，三角洲套期保值仍然是不连续的马尔可夫市场中的最优套期保值策略，该市场不承认等价的局部风险度量，只承认风险的平方可积市场价格。除了Fernholz和Karatzas的随机波动理论以及Platen和Heath的基准方法外，关于没有套利机会的市场的现有文献仍然是理论性的，其发现被实践广泛用于基于套利机会制定实际交易策略。这与以下事实有关：文献中发现的套利市场的例子通常是临时性的，不够灵活，无法校准实际的市场数据。此外，Guasoni和R\'asonyi（2012）的研究表明，分散市场中存在的大部分ar比特率示例都是脆弱的，这意味着当交易成本被引入模型时，无论其价值有多小，或者当价格记录有一个小的观察误差时，它们就会消失。本研究的目的是提出一种新的方法来建立允许最优仲裁年龄的模型，并明确描述最优套利策略。为了做到这一点，我们从一个概率度量Qunder开始，它是NFLVR条件必须满足的。然后，我们构造了一个新的概率测度P，它不等同于Q，在该测度下NFLVR不再成立，但NUBPR仍然满足。

这个过程并不新鲜，可以追溯到Delbaen和Schachermayer（1995a）对贝塞尔过程的构造。然而，我们将其扩展到两个方向。首先，从理论角度出发，我们给出了P下索赔的超边际价格与Q下相关索赔的超边际价格的一个刻画。这使得我们能够根据Q下的超边际价格刻画P下的最优套利价格，这更容易使用等价的局部鞅测度进行计算。其次，从经济学的角度，我们为新的套利模型提供了一种经济直觉，该模型实现了经济主体关于某些市场事件不可能性的观点。换句话说，如果一个经济主体认为某个事件（例如外部违约）是不可能的，但它实际上是在市场中定价的，那么我们的方法可以用来构建一个新的模型，将这种可能性结合起来，并计算相关的最佳套利策略。然后，我们结合这两种思想，开发了几类新的具有最优套利的模型示例，从而可以对不完全市场进行明确的经济解释。我们还讨论了这些套利对小交易成本/小观察误差的稳健性问题，并表明我们的一些例子在Guasoni和R\'asonyi（2012）的观点中并不脆弱。本文的组织结构如下。在第2节中，我们描述了市场环境并陈述了主要假设。第3节介绍了最优套利，并将其与一个超边际问题联系起来。在第4节中，我们使用了一个绝对连续的度量变化来构建具有最优套利的市场。

我们在2002年建立了几个随机积分和随机积分的例子。让(Ohm, F、 F，P）是给定的过滤概率空间，其中过滤F=（Ft）t≥假设0满足右连续和P-空集增广的一般条件。对于任何经过调整的RCLL工艺，使用S进行wedenote-其可预测的左连续版本和S:=S- s-它的跳跃过程。对于d维半鞅S和可预测过程H，我们用H·S表示H相对于S的向量随机积分∞ （一个停止时间），并假设在T之后，所有的价格过程都是常数，等于它们在T的值。关于随机基（Ohm, F、 F，P），我们考虑一个具有Rd值非负半鞅过程S=（S，…，Sd）的金融市场，其组成部分对d风险资产的价格进行建模。无风险资产用沙子表示，我们假设≡ 1，也就是说，所有的价格过程都已计算在内。我们假设金融市场是无摩擦的，这意味着没有交易限制、交易成本或其他市场影响。设L（S）是所有Rd值S-可积可预测过程的集合。这是投资者可以选择的最合理的策略类别，但需要其他约束条件，如下文所述，以排除加倍策略。定义2.1。让x∈ R+。元素H∈ 如果H=0且（H·S）t，则称L（S）为X容许策略≥ -x代表所有t∈ [0，T]P-a.s.元素H∈ 如果L（S）i是某个x的x-可容许策略，则称其为可容许策略∈ R+。为了x∈ R+，我们用ax表示所有x-容许策略集，用a表示所有容许策略集。

通常情况下，假设HTC代表我们在时间t时持有的风险资产单位数。对于（x，H）∈R+×A，我们定义了portfo lio价值过程Vx，Ht=x+（H·S）t。这相当于要求投资组合仅由自我融资允许的战略生成。给定半鞅S，我们用Kx表示一个人可以通过x-容许策略从零初始成本开始实现的所有结果集：Kx={（H·S）t | H是x-容许的}，用Xx表示初始成本为x:Xx={x+（H·S）t | H是x-容许的}的策略结果集。注意xxx中的所有元素都是非负的。所有Kxandall xxx的并集分别用K和X表示。所有可容许策略超复制的有界索赔都包含在内=K-L+∩ L∞.现在，我们回顾了Delbaen和Schachermayer（1994年）、Karatzas和Kardaras（2007年）和Kardaras（2012年）研究过的一些非免费午餐条件。定义2.2.o我们说，市场满足关于一般可容许被积函数的无套利（NA）条件∩ L∞+= {0}.o 我们说，市场满足了与Van i s hing Risk（NFLVR）房地产公司就一般行政可能的被积体ifC提供的非免费午餐∩ L∞+= {0}，其中条形表示L的超范数拓扑中的闭包∞.o 如果setKis以L为界，即iflimc，则不存在具有有界风险的无界利润（NUPBR）→∞嘘∈美联社V0，H>c= 0holds.o如果存在一个停止时间τ，使得P[τ<T]>0，且策略H=H1]τ，T]实现（H·S）T>0 P-a.S，则市场允许立即套利（IA）∈ （τ，T）。我们说，如果市场上不存在即时套利，则无即时套利（NIA）条件成立。上述无套利类型条件的经济解释可描述如下。经典套利意味着一个人可以在没有风险的情况下从无到有。

如果存在一个FLVR，从零资本开始，人们可以找到一系列财富过程，使得终端财富收敛到一个与零不相同的非负随机变量，交易策略的风险变得任意小。如果一个乐观主义者，可以发现一系列具有有限（或指数小）风险的财富过程，其最终财富具有无限的可能性。在本文中，我们对满足以下假设的金融市场感兴趣。假设2.3。在局部有界的情况下，市场状态为NUPBR，但条件NFLVR在物理测度p下失败。在局部有界假设下，根据资产定价的基本理论，NF LVR条件等同于aELMM的存在（见Delbaen和Schachermayer（1994）中的Coro llary 1.2），但对于一般半鞅，必须用等价的西格玛鞅测度来代替ELMM。因此，对局部Bounded过程的限制允许我们使用局部鞅，而不是sigma鞅。当NFLVR条件失败，但NUBPR条件保持不变时，ELMM将被一个较弱的“缺陷”概念所取代。定义2.4。等价局部鞅定义（ELMD）是一个非负过程Z，Z=1，ZT>0，因此ZV是所有V的局部鞅∈ 特别地，ELMD是一个非负局部鞅。法图的莱姆马伊暗示，它也是一只超级艺术的莺，它的期望值比这要低或相等。因此，局部鞅密度是一个期望为1的ELMD。一般来说，我们不能使用ELMD来定义新的可能性度量，因为新度量失去了质量。值得注意的是，当ELMD是一个严格的局部鞅时，情况与带气泡的市场非常不同。

事实上，如果资产价格在风险中性度量下是严格的局部鞅，则称其为泡沫，参见Heston等人（2006）、Cox and Hobson（2005）、Jarrow等人（2007）、Jarrow等人（2010），这意味着不存在套利机会。最近，Kardaras（2012）在一维情况下证明了以下结果。Takaoka（2010年）通过适当改变计算参数给出了多维案例的另一种证明，以应用Delbaen和Schachermayer（1994年）的经典结果，Song（2013年）仅通过使用资产过程的局部特征的属性。定理2.5。NUPBR条件等价于至少存在一个ELMD。脆弱而稳健的套利由于真实市场存在价格，这种套利在存在小交易成本或小观察误差的情况下消失，因此无法在实践中加以利用。这种被称为套利脆弱性的属性（Guasoni and R\'asonyi，2012）在以下两个定义中描述。定义2.6。当ε>0时，两个严格正过程S，~S为ε-close if1+ε≤■StSt≤ 1+εa.s.适用于所有t∈ [0，T]。定义2.7（脆弱性/稳健性）。我们说（P，S）市场的套利是脆弱的，如果yε>0，则存在一个过程，即ε-接近，这样（P，S）-市场满足NFLVR。如果套利不是脆弱的，我们就说它是稳健的。Guasoni和R\'asonyi（2012）表明，在差异环境中，如果原木价格过程的系数是局部有界的，套利是脆弱的。例如，当我们在贝塞尔的例子中引入小摩擦时，这个悲剧就消失了。Bender（2012）定义了一种简单的恶意套利策略，即买入并持有策略，如果投资者进行交易，该策略保证投资者的收益至少为ε>0。