经济物理学的几何化：另一种测量方法

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英文标题：
《Geometrization of Econophysics : An Alternative Approach for Measuring
  Elements of Risk Management of an Economic System》
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作者：
M.E.Kahil
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最新提交年份：
2013
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英文摘要：
  The relationship between micro-structure and macro-structure of complex systems using information geometry has been dealt by several authors. From this perspective, we are going to apply it as a geometrical structure connecting both microeconomics and macroeconomics . The results lead us to introduce new modified quantities into both micro-macro economics that enable us to describe the link between them. The importance of such a scheme is to find out -with some accuracy- a new method can be introduced for examining the stability of an economic system. This type of requirement is expressed by examining the stability of the equations of path deviations for some economic systems as described in a statistical manifold. Such a geometization scheme of economic systems is an important step toward identifying risk management factors and so contributes to the growing literature of econophysics.
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中文摘要：
几位作者利用信息几何学研究了复杂系统的微观结构和宏观结构之间的关系。从这个角度来看，我们将把它作为连接微观经济学和宏观经济学的几何结构来应用。这些结果引导我们在微观和宏观经济学中引入新的修正量，使我们能够描述它们之间的联系。这样一个方案的重要性在于找到一种新的方法来检验一个经济系统的稳定性，而且要有一定的准确性。这种要求是通过检验统计流形中描述的某些经济系统的路径偏差方程的稳定性来表达的。这种经济系统的地理化方案是识别风险管理因素的重要步骤，因此有助于经济物理学文献的增长。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：General Finance        一般财务
分类描述：Development of general quantitative methodologies with applications in finance
通用定量方法的发展及其在金融中的应用
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PDF下载：
--> Geometrization_of_Econophysics_:_An_Alternative_Approach_for_Measuring_Elements_.pdf (120.11 KB)

2022-5-5 09:28:54 上传

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关键词：经济物理学 测量方法 物理学 Quantitative Econophysics

经济物理学的几何化：衡量经济系统风险管理要素的另一种方法2013年10月17日。E.Kahilabstract几位作者利用信息几何学研究了复杂系统的微观结构和宏观结构之间的关系。从这个角度来看，我们将把它作为连接宏观经济学和宏观经济学的几何结构来应用。这些结果促使我们在微观和宏观经济学中引入新的修正量，使我们能够描述它们之间的联系。这样一个方案的重要性在于找到一个新的方法来检验一个经济系统的稳定性。这类要求通过检查统计流形中描述的某些经济系统的路径偏差方程的稳定性来表示。这种经济系统的地理化方案是识别风险管理因素的重要步骤，因此有助于不断增长的地球物理学文献。1引言众所周知，风险管理问题与社会经济系统以及流行病学有关。风险管理的一个核心问题是开发预测模型，以监管甚至预防未来可能导致整个系统不稳定的事件。管理风险的必要性促使许多人寻求一种决定性的模型，使我们能够在限定的参数范围内准确描述这种预测模型。对这种模型的要求可以从一个普通微分方程组开始，以检查系统的演化。

这样的系统，即使有能力用非线性偏微分方程来表达，在处理当前经济系统中的一些问题时也显得很幼稚。10月埃及吉萨现代科学与艺术大学埃及相对论集团（ERG）埃及开罗新开罗美国大学。邮件：kahil@aucegypt.eduOne其中之一就是寻找这样一种思维方式，使我们能够通过引入一些基于物理学的思想来表达任何经济问题或金融状况，因为它可以通过一种新的范式转变来重新审视这些问题。我们的方法基于使用信息几何描述经济问题。这种类型的几何体用几个相互关联和相互作用的事件的概率分布替换其流形中的每个点。信息几何学的这种应用使我们能够深入研究微观经济要素之间的相关性，并描述这些相关性在宏观经济空间中如何演变，从而提供一种机制，将微观和宏观经济因素联系在一起。然而，与此同时，这样一个目标是遥不可及的，但这种思维方式可能会表明，对于每个微观经济要素来说，都有责任建立相应的宏观经济要素。因此，它可能会拖累我们的注意力去推测微观经济因素是否可以准确地描述众所周知的相应宏观经济因素。换言之，我们认为每个宏观要素都是由几个可识别的微观经济要素构成的，并且可以使用信息几何对这种关系进行精确定义。

这一假设的细节将在未来的研究中进一步发展。2经济系统的数学建模2。1使用微分方程的确定性模型众所周知，描述确定性模型的方法之一是通过推导微分方程来检验和预测系统在不同时间的演化。描述这种宏观经济增长的原始模型的尝试如下[1]DKDt=I（t），（1）Y=C（t）+S（t），S（t）=I（t）and（t）=uY（t）K（τ）=νY（τ），其中Y（τ）是国民收入，S（t）是每年的补偿和积累量，I（t）是每年的投资量；K（t）是每年的资本额，而ν是一个任意常数。为了获得更好的数学公式，可以修改上述模型，使Lotika Volterra成为[2]：dKdt=-αKI+αK（2）和didt=αKI+αI（3），其中α和α是常数系数。然而，这些常数与当前的情况不匹配，尤其是在处理可能施加一些随机参数的大量数据时。这导致我们用一系列平滑概率分布函数来代替它们，这些函数有自己的均值和方差[3]2.2经济系统的几何化宏观经济学的几何化概念源于将描述宏观经济情况的每个元素表示为一个维度：在宏观经济学空间中描述的维度越多，预测宏观经济行为的更大进动。从这个角度来看，重要的是首先将宏观经济的模型定义为二维曲线空间。“弯曲”一词被承认包含其内容的混乱。

这个空间的测地线方程和测地线偏差方程将使我们能够通过相应的偏差向量来研究这样一个系统的演化及其稳定性趋势。在这项工作中，我们通过提出一个经济系统中的所有作用变量都可以用一个多重经济模型中的维度来表示，从而将宏观经济学几何化。这项技术可以类似地用于描述流行病异速空间[2]L=gabUaUb（4）的演化，其中U是与参数t相关的t向量。然而，在这种方法中，我们将使用Bazanski-La grangian从一个滞后rangian获得路径和路径偏差方程：L=gabUaDψbDt（5），其中a，b=1，2，3。。n和dψαdt是关于参数和直线元素的协变导数，由Rao[4]dS=σidui+σidσi（6）定义，其中，ui是宏观经济空间元素的平均值，σ是相同元素的标准偏差。考虑到宏观经济空间K=K，K。。。。。。K（n），I=I，I。。。。。。。其中封闭的空间（K，I）是资本收益的二维宏观空间。取偏差向量ψc和切向向量uc的变量，分别得到路径方程ducdt+ΓcabUaUb=0（7）及其路径偏差方程dψcDt=rcabduubψd.（8）。因此，可以从以下Bazanski-Lagrangian[5]L=gνUuKIDψKIDt（9）中获得KI模型的路径和路径偏差方程，其中UuKI=（K，I）和ψKI=（ψK，ψI）。根据偏差向量ψσ的变化，我们得到路径方程dkdt+K+I+2ΓKI=0，（10）和didt+K+I+2ΓKI=0的以下分量。

（11） 取速度向量Uσ的变化量，我们得到路径偏差方程[6]的相应分量：DψKDt=RKψI+RKIψK+RKIψI+RIψK，（12）和DψIDt=RKψI+RKIψK+RKIψI+RIψK.（13）尽管宏观经济学的几何化元素的这一步骤非常有用，但它对于描述风险管理问题的真实因素仍然是不可接受的。这是因为宏观经济学和微观经济学变量之间缺乏联系。如果没有一些几何技术来表达和关联这两个领域，就无法实现这样的定位。一种可能的方法是使用经济物理学的几何化方法，即应用最大熵法的信息几何。3.经济物理学：经济学是一个复杂的系统物理学和经济学之间的相互作用导致了一些不规则的问题的研究，如高频金融、金融风险和一些复杂的系统，使用一门叫做经济物理学的跨学科科学。经济物理学始于20世纪90年代中期。[7] 主要处理经济学和金融市场中的复杂问题，以获得经济学和金融中模糊问题的相关解释，例如异质代理人和远离均衡的情况。因此，一个复杂系统的符号可能导致用热力学的方法来表达它——它们是由许多具有高度非线性特征的相互作用主体组成的系统。这些数据量可以对金融市场中资产价格动态的几个方面进行详细的统计描述。这些结果基于金融资产价格动态的一些复杂数据。热力学模型导出了温度和熵。由于没有关于这些变量的信息，不可能为这两个系统找到正确的平衡条件。

平衡统计力学的基本定律是Botlzamann-Gibbs定律，即能量的概率分布为p（E）=Ce-E/T，其中C为标准化常数，T为有效温度。推导波茨曼-吉布斯定律的主要要素是能量守恒。因此，我们可以概括出，在一个大的统计系统中，任何守恒量在平衡状态下都应该具有指数概率分布[7]。人们发现，金钱定律与能量定律是一致的。i、 例如，货币也可以守恒，例如金融势能+金融i alki4neticienergy=常数[8]，其分布遵循玻尔兹曼-吉布斯定律：p（m）=Ce-男/巴特（14）Z∞p（m）dm=1和，Z∞mp（m）dm=m/N，取C=\'Tand\'T=m/N。因为m=nbmb。这里m是货币，`T是每个经济主体的平均货币量，类似于物理系统中的温度。假设一个经济系统由N个代理组成。。。。。。。。总收入I（t）它对应于这些代理人之间的收入分配模式之和，作为国家与该收入的统计权重，使用该任务的特征函数n（I（t），n）。现在，有可能引入平衡的概念。我们可以认为两个系统处于平衡状态，如果收入分配函数保持不变，则不会出现代理人之间的收入流动。假设一个系统的总收入为N，代理数为，另一个系统的总收入为I，代理数为，如果系统由两个子系统N（E，N）和N（E，N）组成，那么总收入和代理数分别为E+E和N+N。

这可能会导致人们认为平衡状态。允许我是收入的一部分，它从子系统（1）传递到子系统（2），每个统计权重都会发生变化，从n（I）变成- 一、 N）到N（I2）+E、 N）。根据等概率原理，这些子系统的最可能状态是最大的统计状态，即函数Total（e，e，N，N）的最大值。整个系统被视为其基础，即总收入保持E+E，不转移代理人，因此，该系统的总体统计权重为total（E，E，N，N）=N- 1（E，N）Xn- 2（E，N）考虑到在这种情况下，E+E=常数E=-从这个角度来看，ntotal的最大值是ln（ntotal）的最大值。因为，ln ntotal=ln n+ln n n，它给出了从平衡条件得到最大统计权的条件：ddEln n（E，n）=-邓恩（E）- E、 N），（15）E=-Eto giveddEln n（E，n）=ddEln n（E，n）。如果两个系统有这样一个条件，则ddEln（E，n）=ddEln（E，n）=ddEln（E，n）=ddEln（E，n）。从热力学的角度来看，它是温度的倒数。e、 ddEln n（e，n）=T，（16），统计权重的对数称为系统的熵。因此，在平衡状态下，相互作用的系统应具有相同的温度。为了将上述现象与经济学联系起来，值得一提的是，如果经济系统几乎是同质的，并且不意味着从一个子系统流向另一个子系统，那么它就处于平衡状态。然而，只有在没有将这些部分分离开来，从而没有注意到重大收入流动的情况下，同质性才存在。系统是两个子系统具有相同温度时的平衡状态，如果不知道系统的熵，就无法计算出该温度。

[11] 3.1熵动力学：信息几何识别给定系统从一种状态过渡到另一种状态的细节的方法完全是通过检查其概率分布的变化。关于过渡态最可靠的信息是达到最大熵。最大熵可以通过描述其演化的统计流形中的可能轨迹来进行几何解释。可以认为，最大熵方法可以将状态流形转换为度量空间[11]。这意味着两个不同状态之间的变化可以用它们之间的距离来表示，而这个距离可以用统计流形来定义。这个空间的基本几何结构源于这样一个考虑：在空间的每个点上，都存在一个n维流形，一个微空间[11]。让任何经济系统的微观状态都用x来标记，让q（x）dx是d（x）范围内微观状态的数量。此外，还存在一个由α定义的宏观状态，表示以以下方式表示微观状态的n个变量的期望值：<aα>=Zdxp（x）aα（x）=α，其中变量aα（x）（α=1，2，nA），。在Θα的每个值处都有一组坐标，表示宏观空间。

这样，集合Θ定义了系统状态的大空间的2l维空间，即统计流形Ms。因此，概率分布p（x |Θ）表示由Θα[12]创新的q（x）中包含的先验信息，该信息可以通过最大化熵（p）=-Zdxp（x）logp（x）q（x）（17）两种状态Aα和Aα+dAα之间的差异由以下方法得出的一个小值DsD=Zdxp（x |Θ） 对数p（x |Θ）Θα 对数p（x |Θ）Θβ（18）通过为每个宏观状态分配一个属于统计模型的条件概率，来确定统计模型宏观状态之间的区分能力。这种赋值赋予统计流形度量结构。具体来说，Fisher Rao信息gmuν（Θ），即μν（Θ）=Zdxp（x |Θ）ulogp（x |Θ）νlogp（x|Θ），（19）式中u，ν=1,2,3,2L和u=Θu定义了宏观状态之间的区分能力度量。Ms的统计流形。众所周知，应用信息几何学需要度量gabis对称和正定义，Fisher度量具有以下特性：1。微变量变换下的不变性[13]。p（x |Θ）→ ^p（^x |Θ）=[Fxp（x |Θ）]。(20)2.统计宏观空间重参数化下的协方差→ ^gab=[Θc^ΘaΘd^Θbgcd（Θ）]，（21）使得^gab（^Θ）=Zdx‘p（x |^Θaln\'p（x|^Θ）bln\'p（x|^Θ）。4宏观经济学中的几何化使用信息几何描述宏观经济增长模型的几何化方案使用丰富的信息几何，将宏观统计空间中的每个点定义为一个微观结构世界，包含相关和不相关的变量。在每一版本中，用于检查系统稳定性的几何和测地线方程将不同，这将在未来的工作中进行研究。