利用高阶统计量推断价格和波动性的自激跳跃

考虑到所提出模型的复杂性，以及我们希望得出推断的多个特征，我们补充了每日回报指标，定义为asrt=pt+1- pt，其中pt表示第t天结束时资产价格的对数，根据高频（日内）回报计算出三个额外的度量。为了清楚地说明问题，韦伯金在本节中，通过只关注收益的测量方程，详细描述其中的潜在成分。在第2.3节中，我们将介绍用于定义三个额外测量方程的高频量，明确观测量和潜在量之间的假设联系。在第2.4节中，我们将模型的所有组件收集在一起，引入适当的标签，以方便后续引用。然后，我们从基于日收益率的测量方程开始，rt=u+γVt+pVtξpt+ZptNpt，（7）潜在差异波动过程和潜在价格上涨成分Zpt驱动RTI的变化《不扩散条约》。差异波动率的（每日）演变由VT+1=κθ+（1）给出- κ） Vt+σvρ（rt- Zpt核不扩散条约- u - γVt）+σvp（1）- ρ2）VtξVt+ZvtNvt，（8）6明确考虑杠杆参数ρ。（7）和（8）中的误差分量ξp和ξvt分别定义为略微连续独立的N（0，1）序列，每t的corr（ξp，ξvt）=0。t天价格和波动性跳跃的潜在发生率表示为核不扩散条约~ 伯努利（δpt）（9）Nvt~ 伯努利（δvt），（10）与Npt=Npt+1-不扩散条约，Nvt=Nvt+1-Nvt，其中成功概率（分别）由离散强度过程驱动，δpt=αpδp∞+ (1 - αp）δpt-1+βpp核不扩散条约-1（11）δvt=αvδv∞+ (1 - αv）δvt-1+βvvNvt-1+βvp核不扩散条约-1+ β(-)副总裁Np(-)T-1.

（12） 离散跳跃强度δpta和δvt具有条件确定性结构，类似于潜在波动率的广义自回归条件异方差（GARCH）模型，滞后跳跃发生与GARCH模型中的滞后（平方）回报起着类似的作用（Bollerslev，1986）。假设稳定，价格强度过程的无条件平均值通过（11）的期望值确定，如下所示，E（δpt）=Eαpδp∞+ (1 - αp）δpt-1+βpp核不扩散条约-1.求公共值δp0=E（δpt=E）δpt-1.= E核不扩散条约-1.asδp0=αpδp∞αp- βpp.（13）类似地，（12）中方差跳跃强度过程的无条件平均值由δv0=E（δvt）=E给出δvt-1.= ENvt-1., 其中E（δvt）=Eαvδv∞+ (1 - αv）δvt-1+βvvNvt-1+βvp核不扩散条约-1+ β(-)副总裁Np(-)T-1.,导致δv0=αvδv∞+ βvpδp0+β(-)vpπpδp0αv- βvv，（14），其中πp=Pr（Zpt<0）表示价格上涨为负的概率。通过将δp0in（13）的表达式代入方程（14），δv0可以重新表示为静态参数的下列函数，δv0=αvδv∞αv- βvv+βvpαpδp∞+ β(-)vpπpαpδp∞（αv）- βvv）（αp- βpp）。确保∈ （0,1）和δv0∈ （0,1），限制条件0<δp∞<αp-βppαp，0<δv∞<αv-βvv-βvpδp0-β(-)vpπpδp0αv、0<βpp<αp<1和0<βvv<αv<1是必需的。请注意，（7）-（12）中使用的7个参数是连续时间模型（1）-（6）中相应参数的离散时间版本，但为了简化符号，使用了相同的符号。假设潜在波动率跳跃的大小呈指数分布，即Zvt~ 指数（uv），因此只允许正波动率跳跃。

另一方面，假设潜在价格跳跃的大小由两部分组成：幅度和符号，以确保充分描述实测价格跳跃分布的经验观察双峰特征（见第4节对这一点的进一步讨论）。具体地说，我们假设Zpt=SZptexp（Mpt），其中，对于前面定义的πpas，随机变量SZpt=-1的概率πp+1的概率（1- πp）决定价格上涨的迹象，而mpt~ Nup+γpVt，σ2p（15） 确定对数量级，平均值与下方波动率Vt成正比。驱动（7）中收益的因素可解释如下。与实证金融文献（例如，见Engle和Ng，1993年，Maheu和McCurdy，2004年，Malik，2011年）一致，不同的价格冲击，√Vtξpt，以及价格跳跃的发生，Zpt《不扩散核武器条约》被统称为“新闻”。价格有规律的适度波动，如drivenby√Vtξpt，假设由典型的日常信息流产生，且（所有其他因素相同）的影响的典型方向为√Vt+n的后续周期的符号Vt。然而，价格上涨的发生，由Npt=1，可被视为比预期大得多的冲击，可能表明市场状况发生变化，随后价格和/或方差跳变的概率通过此处采用的跳变强度模型进行相应调整。也就是过程NPTCA可以被视为潜在的自我激励：刺激价格跳跃的未来强度（因此发生）的增加（通过（11）），以及刺激（或激励）方差跳跃的未来强度的增加（通过（12））。

阈值参数β(-)vpin（12）允许负价格跳变对方差跳变强度（以及波动水平）可能产生的额外影响，为杠杆提供了额外的渠道，如上所述。从（7）和（8）的形式来看，这两种跳跃的发生对收益的影响是明确的。从（7）中可以看出，t时刻给定价格上涨的直接影响，Jpt=ZptNpt，仅在时间t时才可感受到。然而，通过（11）中的动态强度过程，可以产生价格跳跃的集群，从而产生收益中的后续最大值，从而推动8的后续实现《不扩散条约》。在时间t，给定（正）方差跳变的影响将通过Vt+1过程的持续性随时间向前推进，由κ决定。也就是说，如果回报率差异在任何时期内跳跃，它在随后的时期内将倾向于保持较高水平，因此，预期将导致连续价格的较大变动，而不是其他情况下发生的变动。此外，由（12）中的动态强度过程驱动的任何方差跳跃聚类，都只会导致极值圈结果聚类的夸大。可以说，潜在方差的集群跳跃通常与持续的市场不稳定有关，在市场压力加剧的时期，方差跳跃强度预计会增加并保持较高水平。我们在第4节回到这一点。2.3根据巴恩多夫-尼尔森和谢泼德（2002年）、克雷尔（2008年）、高桥等（2009年）、多布雷夫和泽森（2010年）、杰奎尔和米勒（2010年）、汉森等（2012年）、曼尼松-索恩等（2012年）的精神，对波动性和价格上涨进行高频测量。

（2012）和Koopman和Scharth（2013）等，我们利用高频数据，用基于收益变化非参数测量的额外方程补充（7）中的测量方程：其差异分量和跳跃分量。正如现在的标准知识一样，已实现方差定义为vt=MPt<ti≤t+1r2ti，（16），其中rti=pti+1- pTi表示观测到的超视距t到t+1的回报，有M个这样的回报，是在无微观结构噪声的假设下二次变化的一致估计。（例如，见巴恩多夫-尼尔森和谢泼德，2002年和安徒生、博勒斯列夫、迪博尔德和拉比，2003年）。二次方差QVt，t+1，反过来，通过QVt，t+1=Vt，t+1+J2t，t+1，其中Vt，t+1=Rt+1tVsds表示综合方差，而J2t，t+1=PNpt+1t<s，捕捉到由于短期波动性和价格跳跃成分而导致的从水平t到水平t+1的收益变化≤t+1（Zps）2表示价格跳变。双功率变化时，BVt=π2MPt<ti≤t+1 | rti|rti-1., （17） RVtin（16）和BVtin（17）之间的差异是Vt、t+1（同样，在没有微观结构噪声的情况下）的一致测量值，可作为价格跳跃变化的测量值，因此构成了对任何特定日期跳跃变化显著性的各种测试的基础；例如，见巴诺·弗夫-尼尔森和谢泼德（20042006）以及黄和陶辰（2005）。三个利用RVT和BVTAR中信息内容的测量方程构造如下。首先，我们定义了一个指标，表明在第t天，Ipt=1（ZRJ，t>ca），（18）其中ZRJ，t=RJtr发生或以其他方式9价格上涨π24+ π - 5.M-1最大值1，T QtBV2t, （19） RJt=（RVt）- BVt）/RVT和ca=Φ-1(1 - a） 是标准正态分布中的临界值，与显著水平a相关。

（19）分母中的术语QT表示综合四次性的估计值，ZRJ在无跳跃的假设下，由于定义中使用的特定标准化，具有极限标准正态分布；详见黄和陶晨（2005）。然后，将（18）中的指标函数视为（9）中潜在价格跳跃发生的噪声度量。也就是说，我们指定了测量方程Ipt=伯努利（β）如果Npt=1Bernoulli（α）如果Npt=0。根据数据估计出常数概率α和β。第二，我们假设（15）中的潜在（对数）价格跳跃大小是由witherror byfMpt=ln测量的eZpt, （20） 式中，Ezpt=pmax（RVt- BVt，0），（21）通过指定测量方程，fMpt=Mpt+σMpξMptforeZpt6=0，其中ξMpt~ i、 i.d.N（0，1）。第三，作为综合波动性的直接衡量标准，BVtis假设会带来关于差异波动性过程的嘈杂信息，包括此类过程中的任何跳跃。

因此（为了更好地证明高斯测量误差假设的合理性，利用BVtin对数形式），我们指定了一个最终测量方程，即ln BVt=ψ0+ψ1ln Vt+σBVξBVt，其中ξBVt~ i、 i.d.N（0，1），其中ln Vt是ln Vt，t+1的离散化，而作为自由参数的ψ0和ψ1的估计允许ln bvt是ln Vt的有偏度量。1注意，当ln zpt=0时，从（21）开始，当RVt- BVt≤ 0，我们不认为这些数据提供了关于价格上涨规模的任何信息，在这种情况下，FMPT是未定义的。102.4完整的离散时间状态空间模型为了清晰起见，我们在这里收集模型的所有组件，从四个测量方程开始：日收益率：rt=u+γVt+pVtξpt+ZptNpt（22）价格上涨指标：Ipt=伯努利（β）如果Npt=1Bernoulli（α）如果Npt=0（23）对数价格跳跃大小：fMpt=Mpt+σMpξMpt（foreZpt6=0）（24）对数双功率变化：ln BVt=ψ0+ψ1ln Vt+σBVξBVt。（25）随机状态过程包括：潜在波动率：Vt+1=κθ+（1）- κ） Vt+σvρ（rt- Zpt核不扩散条约- u - γVt）+σvp（1）- ρ2）VtξVt+ZvtNvt（26）潜在价格上涨发生：核不扩散条约~ 伯努利（δpt）（27）潜在波动率跳跃发生：Nvt~ 伯努利（δvt）（28）潜在价格跳跃大小：Zpt=SZptexp（Mpt）（29）潜在波动率跳跃大小：Zvt~ 指数（uv），（30），其中潜在价格跳变Zptin（29）的规格由两个随机成分的乘积给出，其中一个与跳变方向有关：SZpt=-1的概率πp+1的概率（1- πp）和另一个与原木价格跳跃幅度有关的参数：Mpt~ Nup+γpVt，σ2p.最后，两种条件确定状态由以下公式给出：价格跳跃强度：δpt=αpδp∞+ (1 - αp）δpt-1+βpp核不扩散条约-1（31）波动率跳跃强度：δvt=αvδv∞+ (1 - αv）δvt-1+βvvNvt-1+βvp核不扩散条约-1+ β(-)副总裁Np(-)T-1.

（32）模型的所有后续引用均使用本节中的方程式编号。3.贝叶斯推理。1概述为了便于记法，我们在时间点t处共同表示测量向量asYt=rt、Ipt、fMpt、ln BVt0，潜在状态向量为Xt=及物动词，不扩散条约，Nvt、SZpt、Mpt、Zvt静态参数也由向量φ=（u，γ，ρ，up，γp，σp，πp，α，β，σMp，ψ0，ψ1，σBV，κ，θ，σv，uv，δp0，αp，βpp，δv0，αv，βvv，βvp，β）共同表示(-)vp）0。（33）此外，我们通常将时间索引变量表示为，例如，对于t=1，…，W1:t=（W1，…，Wt）0。。。，T，其中W1:0为空。与（22）-（32）中完整模型相关的关节后密度，随后用MF表示，满足（X1:T，φ| Y1:T）∝ p（Y1 | X1，φ）p（X1 |φ）p（φ）TQt=2p（Yt | X1:t-1，φ）×p（Xt | X1:t-1,φ). （34）注意，该关节后部假设δp1=δp0，δv1=δV0，以及Nv1=Np1。在（34）中的先验p（φ）的说明中，我们对φ的各种元素使用了非信息分布和弱信息分布的组合。除了利用模型中嵌入的回归结构产生的参数的自然分组之外，我们对单个参数采用了先验独立性。附录A中记录了p（φ）各分量的详细规格。鉴于状态空间表示的复杂性，以及未知量集的高维性，用（34）表示的后验值不可用封闭形式。因此，Gibbs和Metropolis-Hastings（MH）MCMC算法的杂交被开发出来，以从联合后验分布中获得静态参数和感兴趣的潜在变量的绘图，并通过推理（包括后验预测分布的构造）进行这些绘图。该算法的详细信息，包括参考Maneesoonthorn等人。

（2012）附录B.1.3.2中给出了对方差状态向量V1:T进行采样所采用的多步算法的完整描述，并强调了它们的边际可能性。我们规范的一个新方面是，它允许价格和方差跳跃的动态行为，以及这些极端运动之间的各种依赖关系。因此，通过对各种简单规范的调查，探索这种丰富的动态结构是否具有经验性是有意义的。为此，我们考虑了表1中总结的几种相互竞争的模型，其中大多数嵌套在完整的模型规范MFin（22）至（32）中，所有这些模型都将在第4节中进行经验评估。首先（参考表格最左边一栏中的模型标签），没有阈值成分的模型（即，没有因出现负价格跳变而对方差跳变强度产生的差异影响）被指定为M1。接下来，模型M2通过从δvt中删除两个价格跳跃反馈项，说明价格跳跃的发生对差异跳跃强度没有任何影响。价格和差异跳跃同时发生，或差异根本不跳跃，分别对应于M3和M4中规定的进一步限制。请注意，M4与12Ait-Sahalia等人（2015年）提出的模型有一些共同的特点，尽管在这里是在单一的资产设置中。在M5到M7模型中，作为使用二元Hawkes过程的替代方法，跳跃强度被指定为潜在方差的各种函数（线性和非线性），M5与Bates（1996）、Pan（2002）和Eraker（2004）采用的模型有一些共同特征。

然后，在M8中，我们指定了恒定的跳跃强度，通过Duffee等人（2000）的独立跳跃（SVIJ）模型产生随机波动性，而在M9中，我们考虑了价格和方差跳跃的情况，由此产生的潜在过程与传统的Heston（1993）平方根模型一致。最后，我们提供了一种状态空间形式的替代方案，采用了Hansen等人（2012）的条件决定论RGARCH（1,1）模型，具体为asrt=phtztht=v（ht）-1，BVt-1） （35）BVt=m（ht，zt，ut），（36）其中zt~ N（0，1）和ut~ N（0，σ2u），带v（.）和m（.）分别定义确定性方差和双功率方差的演变。在我们的比较中，我们包含RGARCH的线性和对数线性规范，分别用M10和M11表示，详情见表1。当然，这两个模型并不嵌套在一般状态空间框架中，用于估计相关后验密度的单独MCMC算法的详细信息见附录B.2。为了检验这十二个模型的相对优点，计算它们对应的边际似然值p（Y1:T | Mi），（37）对于i=F和i=1。。。，11，是必需的。在假设每个模型的先验概率相等的情况下，全状态空间模型MF相对于任何限制模型Mi的后验优势比等于Bayes因子BFi，依次由BFi=p（Y1:T | MF）p（Y1:T | Mi）给出。（38）给定Bayes因子bFair和BFj，与模型MJ相关的模型M的Bayes因子可简单地表示为BFi，j=BFj/BFi。请注意，MFC和前八个比较器模型都是使用全套测量值进行估计的。