利用高阶统计量推断价格和波动性的自激跳跃

所有统计数据均在2006年4月22日至2014年6月23日（含）的评估期内进行计算。经验尾部覆盖率经验覆盖率5%风险值1%风险值95%水电站间隔7。34%*2.86%*91.94%*M48。58%*3.91%*90.18%*+M58。06%*3.05%*+90.75%*+M87。96%*2.81%*91.09%*+M99。01%*4.62%*89.37%*+M104。62%+1.67%*96.38%*+M118。91%*4.36%*91.28%*5结论本文提出了一个非常灵活的随机波动率模型，其中价格和方差（因此，波动率）的动态变化通过两个跳跃强度的二元Hawkes过程进行调节。该模型允许价格跳变和差异跳变随着时间的推移聚集在一起，使两种类型的跳变同时发生，或以其他方式发生，并使价格跳变的发生影响后续差异跳变的可能性。构建了一个非线性状态空间模型，该模型使用S&P500市场指数的日收益率，以及波动性和价格跳跃的非参数度量，并使用混合吉布斯MH MCMC算法来估计模型，计算边际概率和各种预测量。正如文献中的标准，鉴于日内指数数据为分析提供了依据，我们得出的关于资产价格动态的结论仅与日内波动有关，包括夜间波动，可能需要对驱动其中动态的因素采用一组经过修改的假设。使用Bayes因子探索了大量替代模型，其中许多模型对一般状态空间规范施加了限制，总体结论有利于在价格和方差强度方面指定Hawkes动态的模型。

根据最一般的规定，估计在同一天或连续几天发生价格和波动性跳跃的概率接近20%，发现价格跳跃的大小与潜在波动性本身有关。对价格和方差跳跃的发生施加的动态结构也显示为指数回报预测（包括VaR预测）以及波动性和跳跃的非参数度量的预测增加了价值。一种特殊的28（条件确定性）替代方案——对数形式的RGARCH——在收益的CLS方面，在所有模型中表现最好，但在预测（对数）双功率变化方面，并不主导更复杂的状态空间规范，并且无法用于预测任何类型的跳跃。也许并不奇怪，我们的调查表明，价格跳跃强度与方差跳跃强度的时间序列行为存在质的不同。在整个样本期内，波动价格跳跃强度的集群相对较短且分散，而高方差跳跃强度的集群发生的频率较低，但发生时持续的时间较长。此外，方差跳跃强度的上升与负面市场事件密切相关，而价格跳跃强度没有相应的联系。因此，在指数收益建模中，量化了动态跳跃的重要性——以及尊重价格和波动性跳跃之间相互作用的特殊性质——之后，这些特征似乎应该在未来的风险管理策略中得到更仔细的关注。

重要的是，还需要进一步的工作来确定我们的定性结果对高频数据用于测量跳跃的发生和大小的方式的可靠性（见Dumitru和Urga，2012），以及在综合方差建模中观察到的四次性测量的使用（例如，见Dobrev和Szerszen，2010，以及Bollerslev，Patton和Quaedvlieg，2016）。作者目前正在沿着这些路线进行广泛的工作。附录A：对于参数κ和θ，假设之前的规格一致，从零开始截断，而参数σ2vis通过重新参数化被杠杆参数ρ阻塞：ψ=ρσ和ω=σ2v-ψ2; 见Jacquier，Polson andRossi（2004）。这种重新参数化很方便，因为给定V1:T，它允许ψ和ω分别作为正态线性回归模型中的斜率和误差方差系数进行预处理。然后，根据p（ψ|ω）给出的条件正态分布和反伽马分布形式的共轭先验规范，使用标准后验结果对ψ和ω进行直接采样~ N（ψ0=-0.005，σ20=ω/5.0）和p（ω）~IG（a=10，b=0.001），其中b表示此处讨论的inversegamma分布中的标度参数。选择ψ和ω的先验规格，使得ρ和σ变量的隐含先验分布相对不同，其范围与文献中报告的这些参数的经验值范围大致一致。对于参数u、γ、u和γp，规定了截断的统一先验。因此，在实线的负区域和正区域，这些参数的值的范围非常广泛，因此是预先规定的。

假设波动反馈参数γ从上到下是有界的，这与高频文献中最近发现的负波动反馈一致。（例如，见Bollerslev等人，2006年，以及Jensen和Maheu 2014年）。共轭逆伽马先验应用于参数σ2p和σ2BV，两个先验分布均以平均值0.5为中心，标准偏差（相对较大）为0.5。共轭β先验用于无条件跃迁强度δp0和δv0。选择这些先验的超参数，使先验平均值0.1与观测到的样本平均值相匹配Np1:T.反过来，δV0的先验分布与δp0的先验分布相等，这源于先前的信念，即如果价格出现跳跃(Npt=1），那么方差过程也可能包含ajump（即，Nvt=1）。对uv采用共轭逆伽马先验，这意味着先验平均值为0.007，先验标准偏差为0.002，其中先验平均值是最大值（RVt）平均值的一部分- BVt，0）。假设初始随机方差是退化的，V1=θ+uvδv0κ。跳跃强度参数αp，βpp，βvp，β(-)vp，α和βvv，符合第2.2节中列出的理论限制，以及之前认为βvp>0和β(-)vp>0。

表5记录了每个参数的先前平均值和标准偏差。表5：参数向量φ参数先验规范中每个元素的先验规范平均标准偏差uU(-10,10）05.77γU(-10, 0) -5.2.89ρρ，σv接头-0.34 0.33upU(-100，100，100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）100）0 0）0）0.5 5 0 0.5 5 0 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5 5πp p pβpβββpβpβ（a（a（a（a（a（a（a（a（a（a（a（a（a（a（a（a（a（a（a（a（a（a（a（a（a（a（a（a（a（a（a（a）5）5）5）5）5）5）5）vρ，σv 0.012 0.003uvIG（a=20，b=1/7.2）7e-32e-3δp0β（a=1，b=9）0.10.03αpU（0，1）0.50.29βppU（0，1）0.50.29δv0β（a=1，b=9）0.10.03αvU（0，1）0.50.29βvvpu（0，1）0.50.29βvpU（0，1）0.50.29β(-)vpU（0，1）0.5 0.29附录B.1:MCMC MFC算法（34）中从关节后部采样的MCMC算法可分为七个主要步骤，如下所述：每次迭代的算法1:1。样本V1:V1:T | Zv1:T中任意长度的锡块，Nv1:T，Mp1:T，Np1:T，SZp1:T，Y1:T，φ使用MH取样，如下所述。样品Nv1：从一个街区到另一个街区Nv1:T | V1:T，Zv1:T，Mp1:T，Np1:T，SZp1:T，Y1:T，φ使用条件独立的伯努利结构303。样本Zv1:Tin来自Zv1:T | V1:T的单个块，Nv1:T，Mp1:T，Np1:T，SZp1:T，Y1:T，φ使用条件独立的截断正态结构4。样品Np1：从一个街区到另一个街区Np1:T | V1:T，Zv1:T，Nv1:T，Mp1:T，SZp1:T，Y1:T，φ使用条件独立的伯努利结构5。样本Mp1:T从Mp1:T | V1:T，Zv1:T，Nv1:T，Np1:T，SZp1:T，Y1:T，φ使用条件独立的正规结构6。样本SZp1:Tin来自SZp1:T | V1:T，Zv1:T的单个区块，Nv1:T，Mp1:T，Np1:T，Y1:T，φ使用条件独立的伯努利结构7。

下面描述的φ| X1:T，Y1:ta中的样本φ该算法最具挑战性的部分是步骤1，即方差过程V1:T的生成，因为vt的非线性函数在测量方程（22）和（25）以及状态方程（26）中具有特征。正如Maneesoonthorn等人（2012年）所述，我们对潜在波动率采用了多步算法，扩展了Stroud、M¨uller和Polson（2003年）提出的方法。在该算法中，非线性状态空间模型适用于期权和基于现货价格的测量，预测风险溢价是主要关注点。在当前上下文中，这涉及使用与潜在方差向量V1:Tand和两个观测向量r1:Tand ln BV1:T相对应的混合指示向量来扩充状态空间模型，混合指标确定了相关状态或观测方程的适当线性化，并用于建立线性高斯模型，以在MH子链中使用。V1：皮重的候选向量以块为单位进行采样和评估。在充分考虑不同模型结构和数据类型的情况下，Maneesoonthorn等人的附录A提供了有关本文所用算法的该部分细节的有效信息。必要时，在步骤7中使用MH子链对φ元素进行采样。考虑到V1:Tand Mp1:T的绘制，以及（22）-（32）中出现的所有未知数，参数u、γ、up、γp、ψ0和ψ1可以被视为回归系数，精确的绘制以标准方式从高斯条件后验分布中产生，由于之前指定的先验分布而适当截断。条件方差项σ2BV、σ2和σ2的抽样方案是标准的，带有反伽马条件后验项。

类似地，参数πp、α和β使用吉布斯方案进行采样，因为这三个参数都具有闭合形式的条件β后验概率。如附录A所述，参数ρ和σvare通过ψ=ρσ和ω=σ2v的条件间接采样- ψ2，分别采用正态和逆伽马分布形式。条件upv1:T的抽签，Nv1:Tand Zv1:T，参数κ、θ、ψ和ω分块绘制，利用了具有截断高斯误差的（条件）线性回归结构的优点，并具有约束σ2v≤ 2κθ。与价格和方差跳跃过程相关的静态参数处理如下。方差跳跃大小的平均值uv直接从逆格玛分布中取样，无条件跳跃强度δp0和δv0直接从β后验值中取样。每个参数，αp，βpp，αv，βvv，βvp，β(-)vp，在MH算法中使用适当的候选贝塔分布进行采样，受限条件确保（31）和（32）定义平稳过程，并且（13）和（14）定义在[0,1]区间。强度参数δp∞δv∞, 然后，使用（13）和（14）中的显式关系，以及基于（31）和（32）的向量δv1:Tandδp1:Tupdated进行确定性计算。第3.2节Mi，fori=1。。。，9.以类似的方式进行。31附录B.2:RGARCH模型的MCMC算法RGARCH模型M10和M11的关节后部满意度p（φ| Y1:T）∝ p（Y1 |φ）p（φ）TQt=2p（Yt | Y1:t）-1,φ),对于M10，Yt=（rt，BVt）0，对于M11，Yt=（rt，ln BVt）0。为了进行估计，我们采用方差目标法，并重新参数化ω=σ20（1）- β - γ） ，σ20表示收益的无条件方差。

对于这两个模型，参数向量的元素是相同的：φ=（σ20，β，γ，ξ，φ，τ1，τ2，σ2u）0。我们对σ20和σ2u施加非信息先验：反伽马先验IG（a=3，b=1）；β和γ采用单位区间上的统一优先级；ξ、ψ、τ1和τ2的先验值在-20和+20。由于模型中不涉及潜在变量，因此从关节后部采样的MCMC算法非常简单，只需要σ20、β和γ的步骤。附录C：边际似然计算（37）评估的基本思想是认识到它可以被重新表达为asp（Y1:T | Mi）=p（Y1:T |φi，Mi）p（φi | Mi）p（φi | Y1:T，Mi），（44）模型Mi后支撑中的任意点φiI，其中φide表示与模型Mi相关的静态参数向量。（44）右侧分子的第一个组成部分是潜在变量的可能性，以Mi为条件。也就是说，p（Y1:T |φi，Mi）=ZpY1:T | X（i）1:T，φi，MiPX（i）1:T |φi，MidX（i）1:T（45）（44）右侧的分母只是（静态）参数向量的条件后验密度，也被潜在变量p（φi | Y1:T，Mi）=Zp边缘化φi | Y1:T，X（i）1:T，MidX（i）1:T.（46）在高密度后点φ处对（45）的评估*i（即φi元素的边缘后验均值向量）是直接的，使用模型Mi的完整MCMCrun的输出；即p的闭式表示Y1:T | X（i）1:T，φi，Mi是潜态X（i）1:T的平均值，并在给定点φ处计算*i、 （46）的计算更加困难，尤其是当需要在φi的绘制中使用吉布斯算法和MH算法的组合时。

利用后验概率的结构，我们分解了p（φ）*i | Y1:T，Mi）转化为五种组分密度，如：p（φ*i | Y1:T，Mi）=p（φ*1i | Y1:T，Mi）p（φ*2i |φ*1i，Y1:T，Mi）·p（φ*5i |φ*1i，φ*2i。。。，φ*4i，Y1:T，Mi，（47）式中φ1i=σBV，uv，δp0，δv0，ρ，σv，up，α，β，πp，σMp, φ2i=（αp，αv，κ，γp，ψ0），φ3i=（βpp，βvv，θ，σp，ψ1），φ4i=（βvp，u）和φ5i=β(-)副总裁，γ. 按照Chib（1995）和Chib及Jeliazkov（2001）概述的方法，五条额外的辅助MCMC链，每一条链都有不同程度的调节，因此自由参数的数量减少，然后运行，以估计（47）的最后五个组分中的每一个，然后在φ处进行评估*ji，j=2。。。，5.（47）右侧的第一个组件不涉及此类条件，按照通常的方式，根据整个MCMC链的输出进行估算。RGARCH模型的边际似然度的计算也遵循类似的方法，尽管潜在变量不起作用，辅助链的选择32由这些模型的参数集的性质决定。边际似然公式10还包括一个雅可比系数，该系数解释了一个事实，即M10为原始度量BVt指定了一个模型，而所有其他的都是根据转换度量ln BVt指定的。最后，给出了M9、M10和M11模型的两种边际似然：一种只考虑模型中直接使用的测量值，YT=（rt，ln BVt）0；还有一个使用完整测量集Yt=rt、ln BVt、Ipt、fMpt0.第二种形式的边际可能性允许对本文考虑的所有模型进行比较。

由于M9、M10和M11中实际上都排除了价格上涨的可能性，因此我们采用以下规格：Ipt~ Bernoulli（α）表示价格上涨发生在rence和FMPT之间~ N-10，σ2Mp对于原木价格上涨幅度，附录A中给出了α和σ2Mpde的先验值。在（23）中嵌套的IPT规范与对于所有t，Npt=0。假定之前对MPT的预期是一个很大的负值，因为这反映了价格上涨幅度接近于零。与这些度量相关的边际似然分量很容易评估，其闭式表达式为p（Ipt|Mj）和pfMpt | Mjj=9、10和11的分析可用。参考文献[1]Ahoniemi，K.，Fuertes，A.和Olmo，J.（2015），“隔夜新闻和每日股票交易风险限额”，金融计量经济学杂志，14，1-27。[2] Ait-Sahalia，Y.，Cacho Diaz，J.和Laeven，R.J.A.（2015），“利用相互激励的跳跃过程对金融区域进行建模”，《金融经济学杂志》，117585-606。[3] Ait-Sahalia，Y.，Fan，J.和Li，Y.（2013），“杠杆效应之谜：在高频率下解开偏见的来源”，《金融经济学杂志》，109224-249。[4] Andersen，T.G.，Bollerslev，T.和Diebold，F.X.（2007），“粗糙化：在收益波动性的测量、建模和预测中包含跳跃成分”，《经济学和统计学评论》，89701-720。[5] Andersen，T.G.，Bollerslev，T.和Huang X.（2011），“基于已实现变化度量的投机价格波动建模简化框架”，经济计量学杂志，160176-189。[6] Bandi，F.M.和Reno，R.（2016），“价格和波动率共同跳升”，《金融经济学杂志》，119107-146。[7] 巴恩多夫-尼尔森，O.E.和谢泼德，N。