利用高阶统计量推断价格和波动性的自激跳跃

然而，鉴于价格或潜在波动性成分中没有任何特定的跳跃，M9、M10和M11模型不利用观察到的价格跳跃信息，所有三个模型仅使用RTA和BVtas序列上的观察进行估计。这为我们提供了两种计算这些模型的贝叶斯因子的可能性。首先，我们可以仅使用RTA和BV上的观测来计算边际概率，并仅比较三种边际概率。或者，我们可以使用一个额外的因子来增加这些边际可能性，该因子适合13个价格跳跃测量，使用与模型中无跳跃的强加一致的先验值来计算。然后，通过计算Bayes因子，将后一种（扩展）量与其他八种规格进行比较。我们在第4节中记录了两种形式的结果。表1：比较评估中使用的全套模型的规格说明。

本文描述的所有参数限制都与等式（38）和（39）或等式（43）和（44）的参数有关。模型限制描述fn一个完整状态空间模型：（22）到（32）M1β(-)vp=0不含阈值分量M2β的完整模型(-)vp=βvp=0完整模型，无价格跳跃反馈M3Npt=同时跳跃的NvtFull模型4Nvt=0霍克斯模型，无波动性跳跃SM5δpt=αp0+αp1Vtδvt=αv0+αv1vt状态相关跳跃强度：线性rm6δpt=αp0+αp1Vt+αp2V2tδpt=αv0+αv1Vt+αv2v2t状态相关跳跃强度：quadraticM7δpt=exp（αp0+αp1Vt）1+exp（αp0+αp1Vt）δvt=exp（αv0+αv1Vt）1+exp（αv0+αv1Vt）状态相关跳跃强度：逻辑M8δpt=δp0，δvt=δv0恒定跳跃强度δpt=0和δvt=0无跳跃的随机波动模型10ht=ω+βht-1+γBVt-1BVt=ξ+аht+τ1zt+τ2（z2t- 1） +utRGARCH模型：linearM11ln-ht=ω+βln-ht-1+γln BVt-1ln BVt=ξ+аln ht+τ1zt+τ2（z2t- 1） +utRGARCH模型：对数线性模型Miin（37）的边际可能性难以计算，尤其是对于状态空间规范，由于存在潜在变量的数量，需要在非常大的维度上计算积分。根据Chib（1995）和Chib and Jeliazkov（2001），除了与给定模型估计相关的完整MCMC算法外，我们还使用一系列辅助MCMC算法的输出来估计每个模型的边际可能性。该计算的具体细节见附录c。

本附录还简要说明了三种受限模型（M9、M10和M11）的边际概率计算。143.3预测性能参考时间t的联合测量向量，以及模型Mi，i=F和i=1。。。，11.基于最新信息的一步预测分布- 1由p（Yt | Y1:t）给出-1，Mi）（39）=Zp（Yt | Y1:t-1，X1:t，φi，Mi）p（X1:t | Y1:t）-1，φi，Mi）p（φi | Y1:t-1，Mi）dX1:tdφi，其中φide表示与模型Mi相关的静态参数向量，X1:trep表示其中的全部潜在变量。当然，对于RGARCH模型，X1:t是一个空集，因此积分只发生在φ上。众所周知（例如，见Geweke，2001），任何模型Mi，i=F和i=1。。。，11，在整个样本期1至T内计算，可表示为对数边际预测密度之和，每个密度均与Mi相关，并在相应的观察值下进行事后评估：ln p（Y1:T | Mi）=TXt=1ln p（Yt | Y1:T-1.Mi）。（40）因此，Bayes因子BFiin（38）实际上可能被解释为在整个重采样周期内提供了模型MF相对于模型Mi的预测精度的测量。重要的是，（40）中的成分预测分布不依赖于任何未知参数，并且反映了在不参考任何未来信息的情况下对预测的评估。然而，在计算全样本Bayes因子时，缺少与预测性能MFO Mi在样本期内的变化有关的任何信息。

为了更好地捕捉这种动态预测行为，我们计算了（T）评估（子）期内对数分数（CLS）的累积差异- T0）交易日，根据LSI（n）=nXt=T0+1lnp（Yt | Y1:t）-1，MF）p（Yt | Y1:t-1，密歇根州）, （41）对于n=T0+1。。。，T相对于CLSi（n），CLSi（n）值的增加-1） ，表明参考模型MF相对于Mi在预测Yn的所有四个元素方面的表现有所改善，CLSI的持续阳性水平表明在这段时间内，MF相对于Mi的持续预测优势。请注意，为了使这组连续CLSi（n）计算中的早期值可靠，使用由T0观测值Y1:T0组成的初始样本来初始化计算。（另见Gewekeand Amisano，2010年）。通过MCMC和粒子滤波算法的组合，对（39）进行估计，随后对（41）进行计算，第4.4.15节提供了进一步的详细信息。为了补充与联合测量向量Yt有关的CLS结果，第4.4节还报告了与Yt的某些单独子向量相关的预测性能。用gt表示YT的任何子向量。然后我们定义了GTA[g]CLSi（n）=nXt=T0+1ln的边际CLSp（gt | Y1:t）-1，MF）p（gt | Y1:t-1，密歇根州）, （42）对于n=T0+1。。。，T具体而言，我们报告了回报率的预测结果，其中gt=rt，对数双功率变化，其中gt=ln BVt，以及包含价格跳跃指标和规模组成的双变量子向量，其中gt=fMpt，Ipt0.（43）计算（42）中包含给定GT的边际CLS的术语，需要对（39）和（41）中用于计算节理数量的方法进行相对较小的修改，详情见第4.4节。

将YT的各个元素的预测值分离出来，也使我们能够直接比较M9、M10和M11模型与MF的预测性能，这两个模型预测gt=Rt和gt=ln BVT未来值的准确度。在M10和M11的情况下，由于没有随机潜在变量，使用从关节后部提取的MCMC计算预测量是标准的，不需要任何额外的过滤步骤。4实证应用4。1数据描述和初步分析对于下文记录的实证分析，4598项关于开盘至收盘对数标准普尔500指数收益率（rt）、价格跳跃指标（Ipt）、对数价格跳跃大小的观察结果fMpt分析了1996年1月3日至2014年6月23日期间的对数双功率变化（ln BVt）。指数数据由亚太证券业研究中心（SIRCA）代表路透社提供，原始日内指数数据已使用类似于Brownlees和Gallo（2006）的方法清理。根据高频数据构建的测量基于五分钟固定采样，并采用“最近价格”法（Andersen、Bollerslev和Diebold，2007）构建相隔五分钟的相关回报，仅在纽约证券交易所市场交易时间内记录指数值。本节中报告的数值结果是使用JAVA和MATLAB编程语言的组合生成的。

第4.2节仅报告了完整模型的静态参数的边际后验点和区间总结，所有竞争模型的结果记录在在线补充附录的表1中。在图1中，我们提供了四个指标中的两个的图形表示，即整个样本期的RTA和BVT（后者为原始和对数形式），记录在图16中。图1：标准普尔500指数对数收益率（rt）曲线图（面板a）；1996年1月3日至2014年6月23日的双功率变化（BVt）及其对数（ln BVt）（图B）。年化形式。正如图1中的两个面板所显示的，以及在这个设置中完全可以预期的，波动性集群是一个显著的特征。2008年底，收益率出现了最极端的变化，同时出现了前所未有的BVT值。在BVt中周期性观察到的大跳跃，除了收益序列本身的跳跃证据，再加上这两种类型的跳跃向集群的趋势，都为价格和波动性跳跃的动态模型的具体化提供了动力。在图2的面板A中，我们绘制了有符号跳跃规模度量Ipt×eZpt×sign（rt）的时间序列，分别在（18）和（21）中定义了iptandzpta，数据表明价格跳跃强度平均为10.64%。2组合测量值显示在左侧轴上。3样本期内观察到的价格跳跃大小的显著变化，包括小跳跃和大跳跃的集群，是显而易见的，在这一延长期内，不存在负价格跳跃占主导地位的特殊趋势（此处仅通过出现负回报来确定）。

在样本期内，会出现大跳跃的集群；然而，规模最大的集群发生在市场最动荡的三个时期：2001年底和2001年9月11日恐怖袭击后的整个2002年；2008年和2009年的全球金融危机时期；2011年是欧元区债务危机的顶峰。价格上涨幅度的对数测量值fMpt（如（20）中所定义）也包含在A组中，2参考（18），Iptis使用Tauchen和Zhou（2011）建议的0.001的显著水平来定义。3我们重申，价格上涨的迹象仅被建模为潜在过程（如（29）中所述），并与模型中的所有其他未知因素一起进行估计。我们不认为价格上涨的迹象与当天的回报迹象完全一致。我们以回报的符号表示价格上涨的方向，仅用于初步诊断。17图2：面板A叠加了1996年1月3日至2014年6月23日的两个时间序列图：i）实线（和左手边轴）描绘了价格上涨发生率（Ipt）的测量结果，即价格上涨规模的测量结果eZpt, 以及返回的标志（rt）；ii）虚线（和右侧轴）描绘了对数价格跳跃大小测量fMpt. B组绘制了签名价格指数的经验分布直方图eZpt×符号（rt）当价格跳升指标显示出现ajump的时候。其数值显示在右侧轴上。

该变量中的函数反映（通过EZPT的对数变换）观察到的价格上涨幅度的变化，幅度较大的变化会产生FMPT的较大正值，而幅度很小的变化会产生FMPT的负值。图2的面板B描绘了符号跳转大小度量Ipt×eZpt×sign（rt）的直方图。与A组中的时间序列图一致，没有证据表明在整个样本期内，负跳发生的频率高于正跳。此外，经验分布被视为双峰分布，在零附近的概率很小，反映了一个事实，即在发生显著跳跃的条件下，跳跃的大小必然远离零。这种观察到的价格上涨幅度的双峰特征在文献中似乎没有得到认可，潜在变量Zpt通常采用高斯分布。（例如，SeeEraker等人，2003年，Tauchen和Zhou，2011年）。相比之下，我们的方法18只在ZpTis非零时，才采用Mpt作为潜在（对数）跳跃大小Mpt的（噪声）度量，因此既适应了观察到的双峰性，又避免了Zptitself的高斯假设。44.2隐含的霍克斯动力学为了说明我们的全状态空间模型MF隐含的动力学结构，我们在此提供与静态参数相关的摘要信息，包括与全样本周期对应的两个跳跃强度过程的参数。表2中报告的是（33）中静态参数的边际后验均值（MPMs）和95%最高后验密度（HPD）区间，根据30000次MCMC抽签（在30000次抽签磨合期后）计算得出，其中每5次抽签保存一次。

表中还报告了根据保留的后验抽签计算的效率因子，估计为给定未知的一组MCMC抽签的样本平均值的方差与假设独立样本的样本平均值的方差之比。在适当的情况下，所有参数汇总均按年度报告。例如，参数θ的大小与年化方差量一致，而κ反映了该年化方差的日常持续性。我们还记录了表中最后两行对同时和连续价格和波动率跳跃可能性的点估计和区间估计。表2中报告的效率因子（静态参数）范围为1到150，与方差跳跃强度相关的某些参数产生的值最高。在选定的时间点（此处未报告）计算的所有潜在变量的效率因子范围为3到5。使用MH方案绘制的所有参数的验收率在15-30%之间，绘制V1:T（内部块）的验收率（计算为至少一个V1:T块在整个MCMC链上更新的次数比例）约为99%。通过检查图形CUSUM图（Yuand Mykland，1998），并使用海德堡（Heidelberger）和韦尔奇（1983）以及格韦克（1992）规定的收敛诊断方法，也证实了所有未知数的MCMC链的收敛性。当然，与两个跳跃强度过程相关的参数是我们最感兴趣的。动态价格跳跃强度δpt具有相当强的持续性，如αp的相对较低的MPM所示，βppp的95%HPD区间远高于零，与自激的存在相一致。

这里报告的α和β的大小，一旦按年度计算，与ait-Sahalia等人（2015年）报告的参数一致，他们（如前所述）提出了价格跳跃的霍克斯过程，但在随机波动性规范中忽略了方差跳跃。长期方差跳跃强度的MPMδv0，与之前报告的（可比）数量相比，相对较高（Eraker等人，2003年，Eraker，2004年和Broadie4我们感谢一位匿名裁判，他强调在我们的价格跳跃规模建模中需要考虑这种非高斯性。19表2:1996年1月3日至2014年6月23日标准普尔500指数的经验结果，包括全状态空间模型MF。参数MPM 95%HPD区间效率因子u0.199（0.139,0.256）1.59γ-8.628（-9.955，-5.679）1.10ρ-0.357（-0.421，-0.289）6.54up-0.419（-0.435，-0.403）6.43γp10。955（9.967,11.970）22.83σp0。207（0.187,0.226）13.84πp0。382（0.297,0.470）12.76α8.99e-4（2.39e）-5,3.33e-3） 1.82β0.814（0.633,0.956）17.17σMp0。183（0.162,0.203）13.47ψ00.970（0.796,1.142）116.60ψ11.290（1.255,1.325）81.16σBV0。436（0.423,0.450）5.75κ0.116（0.092,0.167）45.97θ8.19e-3（7.41e）-3,9.11e-3） 15.79σv0。016（0.014,0.017）19.25uv9。66e-3（8.21e）-3,0.012）48.48δp00。132（0.108,0.170）14.96αp0。097（0.072,0.127）9.18βpp0。062（0.047,0.079）12.12δv00。121（0.082,0.158）41.23αv0。035（0.024,0.050）149.68βvv0。030（0.021,0.043）134.58βvp5。51e-4（1.33e）-5,2.00e-3) 1.77β(-)vp1。14e-3（3.11e）-5,3.84e-3） 2.34Pr(Nvt=1|Npt=1）0.097（0.059,0.139）20.35PrNvt+1=1|Npt=10.107（0.066,0.149）30.1220等，2007）。方差跳跃强度过程也比价格跳跃强度过程更持久，αVb的MPM在量级上低于αp。此外，βvv的非零MPM表明，存在自激动力学的证据。