利用高阶统计量推断价格和波动性的自激跳跃

由βvv测量的δvt中的自激励动力学，远强于由βvp测量的前一次价格跳跃事件及其由βvp测量的阈值分量的反馈(-)vp，βvp和βvp的边缘后验密度(-)Vp高度集中，四舍五入的平均值接近于零。瞬时共跳概率，由基于MCMC的Pr估计测量(Nvt=1|Npt=1），为9.7%，而在价格上涨后的一段时间内，波动率将随之上升的可能性为10.7%。因此，虽然估计模型将观察到的价格上涨反馈的重要性贴现为波动率上涨强度，但它仍然足够灵活，能够捕捉价格和波动率同时上涨（且接近同时上涨）的现象，预计此类事件发生的概率接近20%。第4.3节通过比较边际可能性，对价格和方差跳跃的动态结构的重要性，以及跳跃的存在进行了进一步评估。有趣的是，与文献中报道的其他估计值相比，κ的值相当高，一种可能的解释是，潜在方差过程的持续程度部分由我们的规范5中方差跳跃强度的动态模型捕获。

与仓促波动性相关的其他参数的MPM，例如ρ、σv、θ和uv，与文献中报告的参数基本一致（例如，见Broadie等人，2007年Maneesoonthorn等人，2012年和Dait-Sahalia，Fan和Li，2013年），尽管幅度略有不同，可能是由于采样周期不同。图3的A板和B板分别显示了在估计期内的每个时间点计算的跳跃强度过程δp和δvt的MPMs和95%HPD间隔的时间序列图。从两个面板的比较中可以明显看出，价格和波动性的动态变化非常明显。价格跳跃聚类——与δpt的持续高值期相关——在整个样本期内间歇性发生，且没有任何明显的市场状况跟踪。价格跳跃强度的增加既相对短暂（与方差跳跃相比），又与观察到的跳跃幅度（图2，图A）较大或较小的时期有关。也就是说，价格上涨强度的增加似乎只与价格大幅上涨的时期相关。然而，研究发现，价格上涨的幅度与波动水平有关，参数γpB的MPM和95%HPD区间位于高度正区域。相比之下，在高波动期，方差跳跃倾向于聚集，与δVT5相关的边际后验均值和95%HPD间隔增加。表1中列出的替代模型的后验结果（记录在在线补充附录中）进一步支持了这一观察结果。

简言之，在对波动率跳跃（M3、M4、M8和M9）的动力学进行限制性假设的情况下，这些规范下的差异波动率比其他规范下更持久。在这些情况下，无条件差异的幅度也更大。21图3:1996年1月3日至2014年6月23日期间价格跳跃强度δpt（图A）和波动跳跃强度δvt（图B）的后验结果。蓝色实线代表边际后均值（MPM），而95%HPD间隔由红色虚线表示。与观察到的波动率指标BVt的上升相一致，如图1的B组所示。如图4所示，δVT的一些急剧上升要么与某些关键事件同步，要么在这些事件之后不久发生，图中绘制了2007-2014年期间δVT的MPM。特别是，雷曼兄弟（Lehman Brothers，2008年9月）的倒闭和随后美联储（Federal Reserve，2008年12月）的干预，紧随其后的是在整个抽样期间观察到的最大方差跳跃强度水平（MPM在2009年3月18日达到47%的峰值）。在最近的美国债务上限担忧和欧元区债务危机（从2009年底开始）的不同阶段，债务上限的MPM大幅上升也很明显，尽管其幅度小于全球金融危机期间观察到的上升。一旦经过多次方差跳跃的周期，δvt的值下降得相当缓慢，这种高水平的持续性与表2.64.3模型等级中αvrecorded的点和区间估计值一致。表3报告了11个模型中每一个的对数边际可能性，即m1到M11，以及完整模型MF的对数边际可能性，并在整个样本周期内进行了计算。

Bayes6模型M5到M7所暗示的波动率跳跃强度的动力学与本文所描述的没有什么不同，因为这三个模型都假设跳跃强度是由潜在波动过程驱动的。关键差异在于价格跳跃强度的动态，这三个模型（以及在线补充文件中的报告）显示的MPMs和δp的95%HPD区间表明价格跳跃强度大致恒定。这种模型隐含的特征显然与图2（面板a）中明显的价格跳跃指标的经验特征不一致。22图4：2007年1月3日至2014年6月23日（含）期间方差跳跃强度过程δvt的时间序列图，以及各种重要市场事件的发生时间，包括最近的全球金融危机，以及与美国债务上限和欧元区债务危机有关的事件。根据（38）计算与MFM相关的M11到M11的系数，即MFM的边际可能性与Mi的边际可能性之比，i=1，2。。。，11，并以对数形式记录。我们还报告了所有这些模型的排名（从1到12），基于它们的边际可能性值。7如前所述，仅当使用额外成分（基于两个跳跃测度）补充直接从RTA和BVT测度计算的边际概率时，M9到M11的边际概率才与其他模型的边际概率直接可比。这些增加的数据记录在表3的中间部分。

为完整起见，我们还在表格底部面板中记录了仅基于RTA和BVT测量的边际可能性，这些数据不允许与其余九个模型进行直接比较。从表3中记录的结果中得到的关键信息是，数据有力地支持了针对价格和波动性跳跃的建议鹰派规范。当与限制性稍强的替代品M1和M2相比时，全动态模型的对数边际可能性仅较低，这两种替代品分别假设价格与波动率之间没有阈值效应和反馈效应。这种对m1和m2的支持与以下事实相一致：大部分后部肿块与βvp和βvp相关(-)如表2中报告的MPM和95%HPD间期所示，全动态模型MF中的Vp接近于零。施加同期价格和差异跳跃（M3）的模型表现不佳，该模型总体排名第九，确实比完全不允许波动跳跃的模型（M4，排名第六）和跳跃强度恒定的模型（M8，排名第八）排名更低。如第3.2节所述，除了与所讨论的两个模型相关的完整MCMC算法外，还需要一系列辅助MCMC算法来计算任何给定的Bayesfactor。

所有辅助算法在10000次绘制的磨合期后产生10000次绘制。23在建模时避免霍克斯结构。动态强度（M5、M6和M7）排名在MFC及其两个最接近的受限版本M1和M2之下，而赫斯顿和RGARCH模型（M9、M10和M11）是所有模型中性能最差的模型。在后三种模型中，当与其他模型分开考虑时，对数ICRGARCH规范排名最高，但没有提供与任何适应跳跃的模型接近的样本数据解释。表3：对数边际概率和模型排名，使用1996年1月3日至2014年6月23日（含）的数据计算。模型ln（边际似然）ln BFiRankingMF-10024 0 3M1-9861-163 1M2-9957-67 2M3-12868 2844 9M4-10639 615 6M5-10686 662 7M6-10618 594 5M7-10076 52 4M8-10773 749 8带M9-27793 17769 10价格上涨M10-33486 23462措施M11-26830 16806 11不带M9-12521 N/A N/A不带A不带A不带A不带A不带A措施M11-11558 N/A不带A4。4预测性比较上一节中进行的练习记录了替代模型在整个样本期内的相对性能。在本节中，我们计算（41）中的“联合”CLS和第3.3节中讨论的三个边际CLS值，仅在最近一段时间内，使用训练样本初始化计算。

我们再次使用完整模型MFA作为参考模型，但这一次仅对与之最为不同的替代模型进行比较，即：M4，其中价格跳跃采用了霍克斯结构，但忽略了波动性跳跃；M5，其中强度采用线性（非霍克斯）动态结构；8M8，其中跳跃强度恒定；M9，在状态空间结构中完全没有跳跃建模；以及M10和M11，它们对方差采用条件确定性规定，也避免跳跃。数据集中的第一个T0=2500个观测值用于为每个模型8生成模型M6和M7的相对预测性能，其中VT的非线性函数用于跳跃强度，与M5非常相似。24考虑（41）和（42）中的初始预测分布（对于T0+1）。为了减少获得所有后续预测分布的计算负担，相关静态参数集合的后验分布仅在此后每250次观测中更新一次。对于状态空间模型，在2006年2月22日至2014年6月23日的2098个交易日（其中包括评估期）中，每一个交易日都会递归地绘制一步潜在向量Xt+1。为此，采用了一种基于静态参数提取的粒子滤波算法。根据建议，从相关的状态转变密度中对候选遗嘱颗粒进行取样，后者由第2.4节中的模型和表1中详述的限制条件规定。

调查中的四个模型的预测能力通过两种方式进行评估：通过联合和边际累积对数分数评估所有相关测量的概率预测的准确性；仅就收益率测量而言，最高预测（HPP）区间覆盖率和风险价值（VaR）预测的准确性而言。4.4.1累积日志分数评估图5中的面板A至D依次描述了与完整测量向量Yt相关的联合CLS分数，以及gt=rt、gt=ln BV和gt的边际[g]CLS分数=fMpt，Ipt0，如（43）所示。从A组可以明显看出，在评估期间，全动态模型MF主导了利用全套测量值M4、M5和M8的所有三个模型。整个过程中的正CLS分数与表3中记录的完整样本期的正对数贝叶斯因子一致。根据M9LN的预测结果，M9LN的预测结果将继续与M9LN的预测结果保持一致。与这两组结果形成一定对比的是，在B组和D组中，MFin预测收益和价格上涨的相对性能在整个评估期间都会发生变化，MFin有时会被某些替代规范所主导，尽管总体上仍然是最佳模型（如两个CLS分数的最终正值所示）。有趣的是，（在B组中）在预测收益方面，在所有状态空间模型中，MFC在高波动期表现最好——在2008年下半年的GFC深度和2011年的欧元区债务危机期间——所有四个CLS曲线在这些点上都有很强的正斜率。

显然，在这些动荡时期，MFC中包含的动态规格具有特别的预测能力（回报）。与条件确定性RGARCH规范M10和M11相比，全状态空间模型总体上优于线性规范M10，但相对于对数线性规范M11，性能较差。在预测单独与价格上涨相关的指标（PanelD）时，MFD的表现与M4和M5大致相当，两者都采用某种动态结构来预测价格上涨强度。然而，与M8相比，MF25模型具有恒定的跳跃强度，显然占主导地位。4.4.2风险价值预测和水电站覆盖率作为最后一项工作，我们评估了第4节中提到的五种备选模型的能力。4.1准确估计预测尾部分位数，并产生具有准确经验覆盖率的95%HPP区间。我们在这里只关注回报的预测分布，分位数估计与1%和5%VAR的预测一致。表4报告了所有五种竞争模型的VAR和HPP间隔相关的经验覆盖率统计数据。我们还报告了Christo Offersen（1998）测试的结果，包括正确无条件覆盖率和（预先规定的）间隔的独立性。产生的预测未能拒绝这两项测试的模型被认为足以预测VaR。结果表明，所有七个被评估的模型的经验覆盖率与评估期内95%水电站区间的名义覆盖率存在显著差异。这就是说，覆盖率都很合理（绝对意义上），MF1的表现与M11相当，经验覆盖率非常接近95%的水平，并且是唯一不拒绝独立违规无效假设的模型。

除了两种情况——M5的1%VaR预测和M10的5%VaR预测——之外，其他所有情况下，竞争模型都会产生独立超越的VaR预测，MFS是三种模型之一，其经验尾部覆盖率接近名义分位数概率。也许并不令人惊讶的是，（赫斯顿）模型M9表现出了最差的表现（HPP和尾部覆盖率的中间值），在该模型中，无价格或波动率跳跃成分是最显著的。总之，这些结果与上一节中报告的边际收益计算得出的排名一致。他们证实了在这种实证环境中同时考虑价格和方差跳变的重要性，并且强调了增加基本随机波动性结构的附加值，以及价格和波动性跳变的特殊动态结构，如霍克斯过程所示。26图5:2006年2月22日至2014年6月23日期间，与竞争车型相关的CLSiof MFM4（黑色实线）、M5（红色虚线）、M8（绿色虚线）、M9（蓝色粗虚线）、M10（紫色粗虚线）和M11（橙色虚线）。面板A-Ddepict依次为：Yt、rt、ln BVt的CLS分数，以及（43）中给出的联合价格上涨度量GT。评估期间的相关观测数据也以浅灰色点绘在每个面板B-D的背景中。27表4：第2列和第3列给出了经验尾部覆盖率，分别计算为低于5%和1%VaR预测的观察收益的比例。第4列给出了预测收益分布95%水电站区间的经验覆盖率。上标*和+表示统计上不同于名义水平的经验覆盖率，其超标率分别未通过5%显著水平的独立性测试。