连续时间下的动态平均LPM和平均CVaR投资组合优化

当q=0时，根据我们的符号，我们有（γ）- x（T））+=1x（T）≤γ和E[（γ- x（T））+]=P（x（T）≤ γ） ，这是罗伊在其开创性的安全第一原则[32]中考虑的灾难概率，而γ可以被视为灾难级别。当q=1且γ=E[x（T）]时，下侧风险度量E[（E[x（T）]-x（T））+]成为半绝对偏差（或目标半绝对偏差）。当q=2且γ=E[x（T）]时，下行风险度量为E[（E[x（T）]- x（T））+]产生半方差（或目标半方差）。让“XT”成为终端财富的给定安全水平。“xT”的一个可能候选者可能是“xT=E[eRTr（s）ds]x，（2.5），这是将所有初始财富投资于无风险账户的预期终端财富。对于上界B，我们合理地假设B>max{d，\'xT，γ}。在我们的工作中，我们还研究了动态平均CVaR投资组合优化。我们对投资损失的定义如下：f（x（T））：- x（T）。（2.6）我们采用Rockafellar和Ur yasev[31]对投资损失的CVaR定义，并使用符号CVaR[f（x（T））]表示投资损失的C VaR。平均CVaR投资组合优化模型现在正式发布如下，（Pcvar）minπ（·）∈LF（0，T；Rn）CVaR[f（x（T））]，根据E[x（T）]≥ d、 {x（·），π（·）}统计量（2.4），0≤ x（T）≤ B、 6高俊杰，周国强，李德民，曹国荣，其中所有其他符号的定义与（Pqlpm）中的定义相同。正如我们将在本文后面展示的那样，施加在终端财富上的上限B基本上控制着投资组合政策的积极性。B的价值越大，投资组合政策就越激进。如果我们最终决定，问题（Pqlpm）和（Pcvar）将变得不适定（参见，例如[18]），即投资者将采取最终立场。

从realapplications的角度来看，任何产生极高终端财富的投资组合都是不现实的。因此，如[10]所述，对终端财富施加上限是合理和正当的。此外，这种上限也可以作为控制投资者攻击性水平的设计变量。我们还证明了终端财富达到其上限的概率相对于上限水平单调递减。因此，上界非常大的公式可以被视为无上界公式的近似值。还要注意的是，no-stat表示终端时间x（T）≥ 0，实际上确保整个财富过程不破产，即x（t）≥ 0代表t∈ [0，T]（见[7]中的命题2.1）。动态平均LPM公式的最优投资组合策略。在本节中，我们使用鞅方法（例如，参见[28]和[20]）开发问题的解决方案（Pqlpm）。鞅的主要思想是确定最优终端财富x*（T）通过解决静态优化问题，然后确定最优投资组合策略π*（·）复制（产生）x的最佳财富分配的过程*（T）3.1。最佳终端财富。从（2.2）中的完整市场环境中，我们可以找到一个独特的等价鞅测度（EMM），这样风险资产的贴现定价过程是可预测的。假设EMM的Radon-Nikod\'ym导数，P，与原始测量值P有关，为ξ，即ξ：=dP/dP，其中ξ是FT可测量的随机变量。

根据Girsanov定理[20]，RadonNikod\'ym导数过程ξ（t）=E[ξ| Ft]可以表示为指数鞅，dξ（t）=ξ（t）θ（t）′dW（t），其中，θ（t）是m×1向量值的Ft适应随机过程向量，因此选择θ（t）使过程dW（t）=θ（t）dt+dW（t）成为概率P下的布朗运动。为了消除证券结算价格过程的漂移项，我们让θ（t）为θ（t）=σ（t）-1b（t），a.s.，代表t∈ [0，T]。（3.1）然后，我们将状态价格密度定义为z（t）：=ξ（t）/S（t），满足以下SDE（dz（t）=-z（t）r（t）dt+θ（t）′dW（t）,z（0）=1，（3.2）或者，等价地，我们可以表示ssz（t）asz（t）=exp-Ztr（s）+kθ（s）kds-Ztθ（s）′dW（s）.在文献中，z（t）也被称为一个波动过程，它将离散的财富过程x（t）转换为一个鞅，也就是说，我们有z（t）x（t）=e[z（s）x（s）| Ft]，动态均值LPM和均值CVaR投资组合选择7≤ T利用这一性质，通过求解下列静态优化问题（Aq）minx（T），可以找到问题（Pqlpm）的最优终端财富x（T）∈LFT(Ohm,R） E(γ - x（T））q+,根据E[x（T）]≥ d、 （3.3）E[z（T）x（T）]=x，（3.4）0≤ x（T）≤ 在我们解决问题（Aq）之前，我们需要以下引理。引理1。考虑到以下两个问题（B）和（L），（B）minY∈CE[f（Y）]，受制于：E[Y]- B≥ 0，E[ZY]- a=0和（L（λ，λ））minY∈CE[f（Y）- λ（Y）- b） +λ（ZY）-a） ]，其中C LFT(Ohm; R） 是一个凸集，f（·）是一个标量值凸函数，Z∈LFT(Ohm; R） 是一个随机变量∈ R、 b∈ R、 λ∈ R+和λ∈ R.如果Y*解问题（L（λ）*, λ*)) 对于某些λ*λ*和满意度E[Y]*] ≥ b和E[ZY*] = a、 西尼*用λ解问题（B）*（E[Y*] -b） =0和λ*（E[ZY*] -a） =0。

另一方面，如果问题（B）有解Y*, 然后存在λ*λ*以至于*alsosolves问题（L（λ）*, λ*)).我们把引理1的证明放在附录中。引理1基本上表明问题（B）可以通过研究相应的拉格朗日松弛问题（L（λ，λ））来解决。在给出主要结果之前，我们定义了以下集合X：=Y∈ LFT(Ohm; R） |γ≤ Y≤ B、 E[Y]≥ d、 E[z（T）Y]=x.（3.5）考虑函数E的凸性问题(γ - x（T））q+, 我们用q分开箱子≥ 从0中选择1≤ 问题中的q<1（Aq）。对于这两种情况，问题的最优终端财富（Aq）分别由以下两个定理给出。定理1。当q>1时，问题的最优解（Aq）有以下两种形式之一。（i） 如果X=, 最优解可以用asx表示*（T）=B1ηz（T）≤λ+γ -ηz（T）- λqQ-1.λ<ηz（T）≤λ+qγq-1，（3.6）其中拉格朗日乘数η>0和λ≥ 如果0满足以下条件，则为ηz（T）≤λ+ E“γ-ηz（T）- λqQ-1.λ<ηz（T）≤λ+qγq-1#≥ d、 （3.7）成为z（T）1ηz（T）≤λ+ E“z（T）γ-ηz（T）- λqQ-1.λ<ηz（T）≤λ+qγq-1#=x，（3.8）8高俊杰，周克强，李德丽，x.R.曹，如果不等式（3.7）严格成立，λ=0。（ii）如果X 6=, 然后是任意的随机变量*（T）∈ 对于问题（Aq），X是最优的。证据为了简化符号，我们在下面的讨论中分别使用z和X表示z（T）和X（T）。引入拉格朗日乘子λ≥ 0和η∈ R、 对于问题（Aq）中的约束（3.3）和（3.4），分别产生以下问题（Aq）的拉格朗日分解，min0≤十、≤B^g（X）=Eh（γ）- 十） q+- λ（X）- d） +η（zX）- x） i.（3.9）忽略常数项，我们首先解决内部逐点优化问题min0≤十、≤Bg（X）=（γ）- 十） q+- λX+ηzX。（3.10）我们首先假设η>0。由于z是一个随机变量，问题（3.10）的最优解取决于不同的z值。

如果γ-十、≥ 0，问题（3.10）还原最小值0≤十、≤γg（X）=（γ- 十） q- λX+ηzX。（3.11）可以验证g（X）是凸的，r espe ct to X在0范围内≤ 十、≤ γ. 函数g（X）满足的静态点g（X）=-q（γ）- 十） q-η1+z- λ = 0, =>^X=γ- （ηz）- λq）q-1.如果0≤ ηz- λ ≤ qγq-1，那么我们有0≤^X≤ γ. 因此，问题（3.11）的最优解是X*=带g（X）的^X*) = (1 -q） （ηz）-λq）qq-1+（ηz）-λ)γ. 如果ηz-λ ≤ 0，那么g（X）是关于X的单调递减函数，这意味着问题（3.11）的最优解是X*= 带^g（X）的γ*) = γ（ηz）- λ). 如果ηz- λ ≥ qγq-1，最优解为X*= 0与g（X）*) = γq.如果γ- 十、≤ 0，问题（3.10）变成≤十、≤Bg（X）=-λX+ηzX。（3.12）最优解为X*= 带g（X）的B*) = （ηz）- λ） B如果ηz- λ<0和X*= γ与g（X）*) = （ηz）- λ） γifηz- λ ≥ 作为总结，我们可以得出结论，当η>0时，问题（3.9）的最优解为x*=B、 如果ηz≤ λ;γ -ηz- λqQ-1，如果λ<ηz≤ λ+qγq-1.0，如果λ+qγq-1<ηz.（3.13）由于引理1，我们知道拉格朗日方法提供了问题m（Aq）的必要和有效条件。因此，X*当问题（Aq）满足案例（i）中（3.7）和（3.8）给出的条件时，解决问题（Aq）。如果η<0或η=0且λ>0，我们知道g（X）是关于X的严格递减函数。因此，问题（3.9）的最优解是X*= B、 这永远无法满足约束条件（3.4）。唯一剩下的情况是η=0和λ=0。在这种动态均值-LPM和均值-CVaR投资组合选择情况下，松弛问题（3.10）退化为min0≤十、≤Bg（x）=（γ）- 十） q+。也就是说，任何X*这令人满意≤ 十、*≤ B是问题（3.9）的最优解。因此，X*当X时，问题的解（Aq）是什么*也满足（3.3）和（3.4）。等价地，我们可以使用（3.5）中的集合X来描述这样的解决方案。Wethus完成案例（二）的证明。定理2。

当0≤ Q≤ 1.以下情况适用于问题（Aq）：（i）IfX=, 以下解决方案解决了问题（Aq），x*（T）=（B）- γ） 1ηz（T）≤λ+γ1ηz（T）≤λ+γq-1，（3.14）式中η>0和λ≥ 0满足以下条件，为[1ηz（T）≤λ] +γE[1λ<ηz（T）≤λ+γq-1] ≥ d、 （3.15）BE[z（T）1ηz（T）≤λ] +γE[z（T）1λ<ηz（T）≤λ+γq-1] =x.（3.16）此外，如果不等式（3.15）严格成立，则λ=0。（ii）如果X 6= 其中X定义在（3.5）中，则任何随机变量X*（T）∈ X是问题的最优解（Aq）。（iii）当q=1时，如果问题（Aq）有最优解，则解只能采用（i）或（ii）中的一种形式。证据我们使用了类似于定理1的符号。首先我们假设η>0。当0≤ 十、≤ γ、 问题（3.11）是最小化关于X的凹函数（3.11），最小值只能在边界点处，或者X*= 0与g（X）=γqor X*= γ与g（X）=-λγ+ηzγ。比较两个边界点的函数值得到X*= 如果ηz>γq，则为0-1+λ和X*= γifηz≤ γq-1+ λ. 结合γ的情况- 十、≤ 在问题（3.10）中，拉格朗日松弛问题（3.9）的解如下：*=B、 如果ηz≤ λ;γ、 如果λ<ηz≤ λ+γq-1.0，如果λ+γq-从引理1，我们知道X*是问题的最优解（Aq）如果X*案例（i）中给出的满意度（3.15）和（3.16）。情况（ii）的证明与定理1中情况（ii）的证明相同，这与η=0和λ=0的情况相对应。当q=1时，问题的目标函数（Aq）是凸的。

从引理1出发，拉格朗日方法刻画了（Aq）的所有解。从定理1和定理2中，我们知道最优最终财富x*问题（Pqlpm）的（T）取决于拉格朗日乘数λ和η的不同值，这取决于问题（Pqlpm）的参数，例如目标d和基准γ。我们将在第3.2节详细讨论这些参数与拉格朗日乘数之间的关系。从理论上讲，一旦最优终端财富X*众所周知，最优投资组合策略可以通过求解以下向后随机微分方程（BSDE），（dx（t）来描述=r（t）x（t）+θ（t）′u（t）dt+u（t）′dW（t），x（t）=x*.（3.17）让x*（t） 你呢*（t） 是（3.17）中线性BSDE的解。那么最优投资组合策略π*（t） 满足你*（t） =σ（t）′π*（t） 。在一般情况下，在（3.17）中的BSDE可能没有明确的解决方案。然而，由于市场参数是确定性的，最优财富过程和投资组合政策可以明确表达，如第3.3节所示。从（3.17）中的BSDE，我们可以得到整个财富过程的上限和下限。回想一下，在终端时间x（T）的无破产约束≥ 0，实际上确保整个财富过程不会破产，即x（t）≥ 0代表t∈ [0，T]（见[7]）。同样，我们将展示，施加在终端财富上的上界B也会导致整个财富过程的上界。提议1。问题（Pqlpm），如果我们有≤ x（T）≤ B、 其中0≤ U<B，那么财富过程以U为界z（T）z（T）|英尺≤ 十、*（t）≤ 是z（T）z（T）|英尺, a、 其中过程z（t）在（3.2）中定义。证据

让我们考虑以下边界条件为x（T）=B（dx（T）的BSDE=r（t）x（t）+θ（t）′u（t）dt+u（t）′dW（t），x（t）=B.（3.19）根据[21]，式（3.19）的解可以表示为‘x（t）=be[z（t）z（t）| Ft]。（3.20）通过使用比较定理（文献[21]中的定理2.2]），我们可以得出以下结论：*（t）≤\'x（t）代表t∈ [0，T]，a.s。。对于x的下界，我们可以使用类似的参数*（t） .3.2。拉格朗日乘数的存在性。根据定理1和定理2，我们知道问题（Aq）的拉格朗日乘数λ和η可以通过检查（3.7）和（3.8）中q>1的条件来确定；或（3.15）和（3.16）中的条件表示0≤ Q≤ 分别为1。然而，在这一点上，我们不能保证这些拉格朗日乘子的存在性和唯一性。此外，在这个阶段，问题的最优解（Aq）在定理1和定理2中的形式（i）或（ii）是不明确的。正如[19]所指出的，拉格朗日乘子的存在与问题本身的适定性有关。另一方面，从应用的角度来看，投资者通常会调整投资目标d，以生成不同的有效投资组合进行比较。因此，研究参数sd和γ对问题（Aq）的影响非常重要。在陈述主要结果之前，我们需要以下假设。假设1。z（T）的概率密度函数ψ（·）是一个连续函数。我们首先定义，对于一些正数p>0，关于随机变量z（T），Hp（y）：=E[（z（T））pz（T）的一些p阶偏矩函数≤y] ，Kp（y）：=H（y）- Hp+1（y）/yp，Jp（y）：=H（y）- 惠普（y）/yp。显然，当p=0时，H（y）退化为z（T）的分布函数。

从z（T）的定义可以看出，当y>0时，Hp（y）是一个单调递增函数，相对于y，动态均值LPM和均值CVaR投资组合选择11。在假设1下，我们还可以证明，当y>0时，Kp（y）和jp（y）也是单调递增函数。从本质上讲，取Kp（y）和Jp（y）相对于y的导数可以得到Kp（y）dy=dH（y）dy-dHp+1（y）/DYYYP-pHp+1（y）yp+1=pHp+1（y）yp+1>0，dJp（y）dy=dH（y）dy-dHp（y）/DYYYP-pHp（y）yp+1=pHp（y）yp+1>0，这意味着y>0时Kp（y）和Jp（y）的单调性。对于给定的问题（Pqlpm），我们定义了以下参数d，这些参数在解决问题（Pqlpm）d中起关键作用：=γJpK-1pxγp=q时- 1，如果x<γE[z（T）]，q>1，γHH-1.xγ, 如果x<γE[z（T）]，0≤ Q≤ 1，（B）- γ） HH-1.十、- γE[z（T）]B- γ+ γ、 如果x≥ γE[z（T）]，（3.21）`d:=BHH-1（x/B）.（3.22）注意K-1p（x/γ）和H-1（x/B）定义明确。由于Kp（·）的单调性→ 0和y→ +∞ 分别产生infy>0Kp（y）=0和supy>0Kp（y）=E[z（T）]。条件x<γE[z（T）]意味着K的存在-1p（x/γ）。类似的论点也适用于H-1（x/B）和H-1（x/γ）。下列命题保证了定理1和定理2中拉格朗日算子λ和η的存在唯一性。提议2。

对于q>1的问题（Aq），在假设1下，以下结果成立。（i） 如果d<d<d，问题（Aq）的解由（3.6）给出，并且存在满足（3.7）和（3.8）中条件的λ>0和η>0的唯一对，等式保持为（3.7）。（ii）如果d≤ 当x<γE[z（T）]时，问题（Aq）的解由（3.6）给出，λ=0，η=qγq-1/K-1q-1（x/γ）满足（3.7）和（3.8）中的条件。（iii）如果d≤ 丹克斯≥ γE[z（T）]，那么问题（A）有多个解，其特征是（3.5）中定义的集合X，其中一个解是X*（T）=（B）- γ） 1z（T）≤H-1（x）-γE[z（T）]B-γ)+ γ.（3.23）证据。（i） 我们通过确定（3.7）和（3.8）的d范围来证明这个结果。为了简化符号，我们将条件（3.7）和（3.8）中的变量λ和η改为δ：=λ/η，ρ：=qγq-分别为1/η（3.24）。不，那是0≤ δ和0<ρ。在接下来的部分中，我们假设p=1/（q）- 1).当这两个等式都成立时，（3.7）和（3.8）中的条件变成两个12 J.J.Gao，K.Zhou，D.Li，X.R.方程的系统，I（δ，ρ）=D，（3.25）I（δ，ρ）=X，（3.26），其中I（δ，ρ）：=BH（δ）+γH（δ+ρ）- H（δ）-γρpZδ+ρδ（s）- δ） pψ（s）ds，I（δ，ρ）：=BH（δ）+γH（δ+ρ）- H（δ）-γρpZδ+ρδs（s- δ） pψ（s）ds。我们证明了I（δ，ρ）和I（δ，ρ）是关于δ和ρ的单调增函数。为了简化符号，除非必要，我们不显式地写出参数inI（δ，ρ）和I（δ，ρ）。假设1暗示了土地和土地的差异性。