连续时间下的动态平均LPM和平均CVaR投资组合优化

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英文标题：
《Dynamic Mean-LPM and Mean-CVaR Portfolio Optimization in Continuous-time》
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作者：
Jianjun Gao, Ke Zhou, Duan Li and Xiren Cao
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最新提交年份：
2014
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英文摘要：
  Instead of controlling \"symmetric\" risks measured by central moments of investment return or terminal wealth, more and more portfolio models have shifted their focus to manage \"asymmetric\" downside risks that the investment return is below certain threshold. Among the existing downside risk measures, the lower-partial moments (LPM) and conditional value-at-risk (CVaR) are probably most promising. In this paper we investigate the dynamic mean-LPM and mean-CVaR portfolio optimization problems in continuous-time, while the current literature has only witnessed their static versions. Our contributions are two-fold, in both building up tractable formulations and deriving corresponding analytical solutions. By imposing a limit funding level on the terminal wealth, we conquer the ill-posedness exhibited in the class of mean-downside risk portfolio models. The limit funding level not only enables us to solve both dynamic mean-LPM and mean-CVaR portfolio optimization problems, but also offers a flexibility to tame the aggressiveness of the portfolio policies generated from such mean - downside risk models. More specifically, for a general market setting, we prove the existence and uniqueness of the Lagrangian multiplies, which is a key step in applying the martingale approach, and establish a theoretical foundation for developing efficient numerical solution approaches. Moreover, for situations where the opportunity set of the market setting is deterministic, we derive analytical portfolio policies for both dynamic mean-LPM and mean-CVaR formulations.
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中文摘要：
越来越多的投资组合模型不再控制以投资回报或终端财富的中心时刻衡量的“对称”风险，而是将重点转移到管理投资回报低于一定阈值的“不对称”下行风险上。在现有的下行风险度量中，较低偏矩（LPM）和条件风险价值（CVaR）可能是最有前途的。在本文中，我们研究了连续时间内的动态平均LPM和平均CVaR投资组合优化问题，而目前的文献只看到了它们的静态版本。我们的贡献有两方面，一方面是建立易于处理的公式，另一方面是推导相应的分析解。通过对终端财富施加有限的融资水平，我们克服了平均下行风险投资组合模型中表现出的不适性。极限融资水平不仅使我们能够解决动态平均LPM和平均CVaR投资组合优化问题，而且还提供了一种灵活性，以抑制这种平均下行风险模型产生的投资组合政策的攻击性。更具体地说，对于一般的市场环境，我们证明了拉格朗日乘数的存在性和唯一性，这是应用鞅方法的关键步骤，并为发展有效的数值解方法奠定了理论基础。此外，对于市场环境的机会集具有确定性的情况，我们推导了动态平均LPM和平均CVaR公式的分析性投资组合政策。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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PDF下载：
--> Dynamic_Mean-LPM_and_Mean-CVaR_Portfolio_Optimization_in_Continuous-time.pdf (717.97 KB)

2022-5-5 18:35:28 上传

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关键词：投资组合优化 CVAR 投资组合 连续时间 lpm

连续时间动态平均LPM和平均CVAR组合优化*高建军+，周克，段莉§，曹锡仁¨摘要。越来越多的投资组合模型不再控制以投资回报或终端财富的中心时刻衡量的“对称”风险，而是将重点转移到管理投资回报低于一定阈值的“不对称”下行风险上。在现有的下行风险度量中，较低偏矩（LPM）和条件风险价值（CVaR）可能最有希望。在本文中，我们研究了连续时间内的动态平均LPM和平均CVaRportf优化问题，而目前的文献只看到了它们的静态版本。我们的贡献有两方面，一方面是建立易于处理的公式，另一方面是推导相应的分析解。通过对终端财富施加有限的融资水平，我们克服了平均下行风险投资组合模型中表现出的不适性。有限的资金水平不仅使我们能够解决动态平均LPM和平均CVaR投资组合优化问题，而且还提供了一种灵活性，以抑制这种平均下行风险模型产生的投资组合策略的攻击性。更具体地说，对于一般的市场环境，我们证明了拉格朗日乘数的存在性和唯一性，这是应用鞅方法的关键步骤，并为发展有效的数值求解方法奠定了理论基础。此外，对于市场环境的机会集是确定的情况，我们推导了动态平均LPM和平均CVA公式的分析组合策略。关键词。动态平均下行风险投资组合优化，下偏矩（LPM），条件风险价值投资组合（CVaR），随机控制，鞅方法。AMS科目分类。

91G10、91G80、91G601。介绍60年前马科维茨[26]开创的均值-方差（MV）公式奠定了现代组合理论的基础。最重要的是，均值-方差模型捕捉到了投资组合选择中两个冲突目标之间的基本多目标性质，即最大化投资回报和最小化投资风险之间的本质。作为平均方差分析的自然推广，平均风险权衡分析框架已成为投资组合管理的标准。在平均风险转移分析的框架下，风险度量的目的始终是将投资不确定性映射到定量水平，以便可以根据预期投资回报明确计算交易。与更抽象（尽管在数学上更严格）的预期效用最大化框架相比，这种直接、有吸引力的风险管理方法通常更受金融业从业者和学术界研究人员的青睐。然而，选择合适的风险度量方法本质上不仅是一门科学，也是一门艺术。虽然方差项惩罚均值两侧的不确定性，但在过去半个世纪里，已经提出了许多下行风险度量来量化*这项研究工作得到了中国自然科学基金会本科生71201102、中国教育部博士项目基金会grand20120073120037以及香港研究资助委员会UHK 414513和CUHK414610的部分资助。

第三作者感谢Patrick Huen Wing Ming系统工程与工程管理教授的支持。+上海交通大学自动化系，中国上海香港中文大学系统工程与工程管理系。§通讯作者。香港中文大学系统工程与电子工程管理系，香港。电子邮件：dli@se.cuhk.edu.hk.中国上海交通大学自动化系。2高俊杰，周克强，李德民，曹国荣投资收益低于一定目标的风险。在这些下行风险度量中，Fishbburn[14]提出的下偏矩（LPM）是一个最重要的类别，具有显著的特征。LPM使我们能够用两个参数表示下行风险度量的一般形式，即基准水平γ（由投资者自己设定）和时刻顺序q（代表投资者的风险态度）。由于对q和γ的不同组合提供了自由度，我们可以采用LPM来追求投资组合优化中的不同投资目标。例如，将LMP中的q=0设置为短缺概率，这也相当于Roy[32]提出的安全第一规则；设置q=1会产生预期后悔（ER）的风险度量（见Dembo[11]）；设置q=2会导致风险度量低于目标值的半偏差，或者如果γ被设置为预计的终端财富，则会导致半方差。Bawa和Lindenberg[6]表明，与q=0、1或2相关的LPM分别对应于第一、s经济或三度随机优势。与方差相比，THLPM更符合经典效用理论和sto惩罚优势法则（参见[27]）。Konno等人。

[22]通过实证测试证明LPM在投资组合管理实践中的突出作用。Zhu等人进一步考虑了LPM风险度量下的稳健投资组合选择[38]。自20世纪90年代中期以来，风险价值（VaR）在金融行业变得流行起来，被定义为具有特定的巨大损失可能性的临界点。然而，VaR因其一些不受欢迎的特性而受到广泛批评。更具体地说，VaR未能满足Artzner等人[3]提出的一致风险度量公理系统。最关键的是，VaR的非n-凸性导致了解决相应的投资组合优化问题的困难。另一方面，条件风险价值（CVaR），也称为预期缺口，被定义为超过VaR的损失的预期值[30]。CVaR具有凸性、单调性和均匀性等优良性质。Rockafelland Uryasev[3 0][31]证明了CVaR可以通过解决一个辅助线性规划问题来计算，在这个问题中，VaR不需要事先知道。继Rockafellar和Uryasev（[30][31]）的基础工作之后，CVaR已广泛应用于投资组合选择和风险管理的各种应用中，例如衍生投资组合[1]、信用风险优化[2]和稳健的投资组合管理[36]。上述文献中研究的几乎所有平均下行风险投资组合优化模型都被定义为静态环境，由此衍生的投资组合政策具有买入和持有性质。毫无疑问，这类静态模型不适用于投资期较长的投资问题。在过去十年中，一些研究工作使用随机规划方法[12][13][17]研究均值-C VaR投资组合优化。

由于随机规划公式在其模型设置中同时采用离散时间和离散状态，这种离散状态的模型避免了沉重的计算负担，只能处理两个或三个阶段的问题。在动态平均风险投资组合优化模型中，最成熟的发展似乎在于动态平均方差（MV）投资组合优化。虽然均值-方差分析开始了投资组合选择领域，但由于动态规划意义上的方差项不可分离，它扩展到动态CMV版本的过程近40年来一直受阻。在Li和Ng[23]以及Zhou和Li[35]分别为离散时间和连续时间MV投资组合选择公式推导出明确的投资组合政策后，通过使用嵌入动态均值-LPM和均值-CVaR投资组合选择3模式，动态MV模型得到了飞跃式的发展，例如参见[24][25][37][19]。最近，动态MVportfolio优化中的时间一致性主题吸引了越来越多的关注（例如，参见[4][9][8]）。尽管平均下行风险模型似乎是动态CMV模型的自然延伸，Jin等人[18]表明，连续时间环境下的一般平均下行风险组合优化模型是不适定的，因为无法实现最优值。除了这样一个负面结果之外，还存在一些与连续时间投资组合选择问题相关的研究工作，其中下行风险度量起到了作用。例如，Basak和Shapiro[5]考虑了具有VaR约束的连续时间效用最大化模型。Yiu[34]使用随机控制方法研究了一个类似于[5]的问题。然而，Yiu[34]中的VaR风险约束是在整个投资过程中定义的。

Gundeland Weber[16]将VaR风险约束扩展为短缺风险约束。最近，Chiu等人[10]在安全第一标准下解决了动态资产负债管理问题，这可以被视为短缺概率度量。本文研究了连续时间环境下的平均下行风险投资组合优化问题。更具体地说，我们研究了动态平均LPM和平均CVaR por tfolio优化方案。在重新认识此类问题的不适性（参见，例如Jin等人[18]）时，我们采用了与[10]中类似的解决方案，将终端财富的资金水平上限附加到此类问题上。在连续时间平均LPM和平均CVaR投资组合优化模型中，如果终端财富是无限的，投资者会非常积极地将其终端财富推到单位。对资金水平增加限制将把这种不规则的投资组合政策控制在合理水平。因此，这种上限也可以被视为控制投资者攻击性水平的设计变量。我们进一步证明，最终财富达到这样一个上限的概率随着上限的大小而降低。对于一般的市场机会，我们证明了拉格朗日乘子的存在性和唯一性，这是应用鞅方法的关键步骤。这些理论结果为发展求解动态平均LPM和平均CVaR组合优化问题的数值解法奠定了基础。当市场机会集具有确定性时，我们进一步推导了平均LMP和平均CVaR组合优化问题的半解析投资组合策略。与动态MV投资组合策略相比，动态平均LPM投资组合策略显示出非常独特的特征。

当市场状况良好时，与MV投资者相比，平均LPM投资者倾向于更积极地投资风险y资产。当市场条件处于中等状态时，平均LPM投资者倾向于将更多财富分配到无风险资产中。然而，当市场状况处于不良状态时，平均LPM投资者再次在风险资产中分配比MV投资者更多的财富。这种现象可以被视为动态平均LPM投资者的赌博效应。总之，平均LPM投资政策表现出双边阈值类型的特征，即在任何时间t，当当前财富分别低于或高于特定水平时，投资者增加其在风险资产中的配置。对于动态平均CVaR投资组合政策，我们对真实市场数据的实验结果表明，与静态类型的买入和持有平均CVaR投资组合政策相比，CVaR度量可以显著改善。其余部分的安排如下。在第2节中，我们介绍了市场设置和动态平均LMP和动态平均CVaR投资组合优化问题4 J.J.Gao，K.Zhou，D.Li，X.R.Caolem配方。在第3节和第4节中，我们分别推导了动态平均LPM和动态平均CVaR优化问题的最优投资组合。然后，我们在第5节中给出了示例，比较了动态均值LPMportfolio策略与动态均值方差投资组合策略，以及动态均值CVaR投资组合策略与静态投资组合策略。最后，我们在第6节总结我们的论文。在整个过程中，符号1B表示指示器功能，即如果条件B为真，则1B=1，否则为0；A′表示矩阵A的转置，（A）+表示A的非负部分，即（A）+=a1a≥0

为了简化我们的符号，我们使用（a）q+表示（（a）+）q，这意味着（a）+的第q次幂函数。最后，标准正态随机变量X的累积分布用Φ（y）：=P（X）表示≤ y）=√2πRy-∞经验(-s） ds。2.市场环境和问题表述。我们考虑一个市场，其中有n个风险资产和一个无风险资产，可以在时间范围[0，T]内连续交易。所有随机性都由完全过滤概率空间建模(Ohm, F、 P，{Ft}t≥其中Wi（t）和Wj（t）对于所有的i6=j是相互独立的。设LF（0，t；Rn）是Rn值的、Ft适应的、平方可积的随机过程和LFT的集合(Ohm; Rn）Rn值FT可测量随机变量的集合。无风险资产的价格过程S（t）由以下顺序微分方程控制，（dS（t）=r（t）S（t）dt，t∈ [0，T]，S（0）=S>0，（2.1），其中r（T）是无风险回报率，这是一个可测量的标量值随机过程。n种风险资产的价格过程满足以下随机微分方程（SDE）系统：dSi（t）=Si（t）ui（t）dt+nXj=1σij（t）dWj（t）, T∈ [0，T]，i=1，n、 Si（0）=Si>0，i=1，n、 （2.2）其中ui（·）和σij（·）分别是升值率和波动率。我们假设所有的ui（·）和σij（·）都是一致有界的标量值Ft可测随机过程。此外，我们假设波动率矩阵σ（t）：={σij（t）}n，ni，j=1满足以下非退化条件，σ（t）σ′（t） I，为了所有0≤ T≤ T、 a.s.，（2.3）对于某些>0。

在上述背景下，我们有一个完整的证券市场模型。拥有初始财富的投资者在时间0时进入市场，并在时间范围[0，T]内将其财富持续分配到n个风险资产和无风险资产中。设x（t）为时间t时投资者的总财富。表示投资组合“a.s.”代表“几乎肯定”，不包括发生概率为零的事件。在下面的讨论中，我们简单地忽略了满足一定条件的随机变量的这一项。动态平均LPM和平均CVaR投资组合选择5π（t）过程=π（t），··，πn（t）′带π（·）∈ 如果（0，T；Rn），其中πi（T）是在时间T分配给风险资产i的金额。由于我们在本研究中不考虑投资过程中的交易成本，投资者的财富过程x（T），则满足以下随机微分方程（SDE），dx（t）=r（t）x（t）+b（t）′π（t）dt+π（t）′σ（t）dW（t），x（0）=x，（2.4），其中b（t）是由b（t）定义的超额收益：=u（t）- r（t）u（t）- r（t）·un（t）- r（t）′.在这项研究中，我们将重点研究平均下行风险投资组合优化。特别是，我们有兴趣研究以下平均LPM模型，（Pqlpm）minπ（·）∈LF（0，T；Rn）E[（γ）- x（T））q+]受E[x（T）]≥ d、 {x（·），π（·）}统计量（2.4），0≤ x（T）≤ B、 其中d是投资者希望获得的最低预期财富，B是投资者施加的可获得最终财富的上限γ∈ R是给定的基准水平，q是一个给定的非负整数，代表时刻的顺序。采用模型（Pqlpm）意味着投资者只关注x（T）小于b e nchmark水平γ的情况，投资者将该水平设定为“灾难性”终端财富的阈值。