连续时间下的动态平均LPM和平均CVaR投资组合优化

分别取Iand i对δ和ρ的导数，得出δ>0和ρ>0的以下结果，我δ=（B）- γ） ψ（δ）+pγρpZδ+ρδ（s）- δ） p-1ψ（s）ds>0，我ρ=pγρp+1Zδ+ρδ（s）- δ） pψ（s）ds>0，我δ=（B）- γ） Δψ（δ）+pγρpZδ+ρδs（s）- δ） p-1ψ（s）ds>0，我ρ=pγρp+1Zδ+ρδs（s- δ） pψ（s）ds>0，（3.27），这意味着i与δ和ρ的单调性。因此，我们可以确定Ias 0<I（δ，ρ）<I的范围(∞, ∞) = B和0<I（δ，ρ）<I(∞, ∞) = BE[z（T）]。为了求解等式（3.25）和（3.26）系统，我们定义了以下函数I（ρ）：R+→ R如下所示，I（ρ）：=I（^δ，ρ），其中^δ满足I（^δ，ρ）=x。对于给定的ρ>0，由于I，0的单调性≤ I（η，ρ）≤ 我(∞, ρ） =BE[z（T）]成立。因此，存在一个唯一的满足I（δ，ρ）=x的δ。因此，I（ρ）定义良好。我们将证明I（ρ）是关于ρ的单调递减函数。因为I（δ，ρ）=xholds，我们有0=我δdδ+我ρdρ，=>dδdρ=-我ρ/我δ.（3.28）检查I（ρ）相对于ρ的导数会产生todI（ρ）dρ=我δdδdρ+我ρ,=-我δ我ρ+我ρ我δ/(我δ） ，（3.29）动态平均LPM和平均CVaR投资组合选择13，其中最后一个等式基于（3.28）。自从我/δ>0时，dI（ρ）/dρ的符号取决于（3.29）的分子。将（3.27）与（3.29）结合，进一步得出以下结果：，我ρ我δ-我δ我ρ=（pγ）ρ2p+1“Zδ+ρδs（s）- δ） p-1ψ（s）ds-Zδ+ρδs（s）- δ） p-1ψ（s）ds·Zδ+ρδ（s）- δ） p-1ψ（s）ds#-pγ（B）- γ） ψ（δ）ρp+1Zδ+ρδ（s- δ） p+1ψ（s）ds< 0，（3.30），其中最后一个不等式来自Cauchy-Schwarz不等式，Zδ+ρδs（s- δ） p-1ψ（s）ds<Zδ+ρδs（s）- δ） p-1ψ（s）ds·Zδ+ρδ（s）- δ） p-1ψ（s）ds。不等式（3.30）意味着dI（ρ）/dρ<0，这证明了I（ρ）的单调性。因此，对于任何d，如果d在I（ρ）的范围空间中，我们总是可以找到唯一的ρ，比如I（ρ）=d。现在，我们只需要乘以I（ρ）的范围。

由于定义n of i（ρ），我们定义ρ：=inf{ρ∈ R | I（δ，ρ）=x，δ≥ 0，ρ>0}，（3.31）’ρ：=sup{ρ∈ R | I（δ，ρ）=x，δ≥ 0, ρ > 0}.（3.32）从（3.27）和（3.28）中，我们知道dρ/dδ<0，如果I（δ，ρ）=xholds。不难看出ρ=0。当ρ→ 0，如下所示，limρ→0I（δ，ρ）=BH（δ）=x，=>\'\'δ：=H-1（x/B）。取ρ→ ρ和δ→δ产生I（ρ）的上限，supρ>0I（ρ）=limδ→δ,ρ→0I（δ，ρ）=BH（H）-1（x/B））。（3.33）现在，我们关注I（ρ）的下限。由于当I（δ，ρ）=xholds时，dρ/dδ<0，因此有两个候选的ρρ，即，∞ 或者当δ→ 0.Ifx≤ γE[z（T）]，我们通过检查limδ来确定ρ→0I（δ，\'ρ）=γH（\'ρ）- γHp+1（\'ρ）=γKp（\'ρ）=x，=> ρ=K-1p（x/γ），它导致I（ρ）的下限，inf0<ρ≤ρI（ρ）=limδ→0,ρ→ρI（δ，ρ）=γJp（K）-1p（x/γ））。（3.34）如果x≥ γE[z（T）]，我们有¨ρ=∞. 我们可以在I（δ，ρ）=xas（B）中识别相应的δ- γ） H（δ）+γE[z（T）]=x，=> δ=H-1（x）- γE[z（T）]B- γ） ，（3.35）14高俊杰，周克强，李德丽，曹国荣，这进一步导致了infρ>0I（ρ）=limρ→∞,δ→δ=（B）- γ） HH-1.十、- γE[z（T）]B- γ+ γ.（3.36）作为总结，（3.33）和（3.34）中I（ρ）的上限和下限分别在（3.22）和（3.21）中定义。因为I（ρ）是一个单调递减函数，对应于ρ，如果d∈ （d，\'d），我们可以找到唯一的ρ*> 0表示解si（ρ*) = d、 由于I（δ，ρ）的单调性，我们可以进一步替换ρ*返回toI（δ，ρ）求解δ*> 注意，对（λ，η）和（δ，ρ）是（3.24）的一对一映射，这就完成了这个命题中对（i）的证明。（ii）我们首先考虑当d=d时的情况。从（3.34）和x<γE[z（T）]中，我们知道当δ=0和ρ=°ρ=K时，（3.25）和（3.26）都成立-1p（x/γ），进一步表示λ=0和η=qγ-1/K-1p（x/γ）乘以（3.24）。

当d<d时，我们可以简单地证明λ和η也满足定理1（3.7）和（3.8）中的条件。（iii）当d=d×时≥ γE[z（T）]，从（3.36），我们知道（3.25）和（3.26）都适用于δ*= H-1（x）-γE[z（T）]B-γ） 和ρ→ ∞ 这意味着λ=0和η=0。从定理1（ii）的证明中，我们知道*（T）在集合X中是问题（Aq）的最优解。验证x并不难*（T）在（3.23）中给出，为此类解决方案之一。提议3。对于0的问题（Aq）≤ Q≤ 1.以下结果成立。（i） 如果d<d<d，则（3.14）中给出的解解决了问题（Aq），并且存在满足（3.15）和（3.16）中条件的λ>0和η>0的唯一对，等式保持为（3.15）。（ii）如果d≤ 当x<γE[z（T）]，在（3.14）中给出的解解决了λ=0且η=γq的问题（Aq）-1/H-1（x/γ）满足（3.7）和（3.8）中的条件。（iii）如果d≤ 丹克斯≥ γE[z（T）]，在（3.5）中定义的集合X是非空的，且为任意X∈ X是问题的解决方案（Aq）。其中一种解决方案可以如（3.23）所示构造。证据（i） 与命题2的证明类似，我们确定了d的范围，在该范围内，等式在（3.15）和（3.16）两种条件下都成立。我们把变量改为δ：=λ/η，ρ：=γq-1/η.（3.37）显然，我们有0≤ δ和0<ρ。当等式适用于（3.15）和（3.16）中的两个条件时，我们有两个等式系统，I（δ，ρ）=d，（3.38）I（δ，ρ）=x，（3.39），其中I（δ，ρ）和I（δ，ρ）定义为I（δ，ρ）：=BH（δ）+γH（δ+ρ）- H（δ）,I（δ，ρ）：=BH（δ）+γH（δ+ρ）- H（δ）.对于任何δ>δ>0，我们有i（δ，ρ）- I（δ，ρ）=（B）-γ） （H（δ）- H（δ））+γ（H（ρ+δ）- H（ρ+δ））>0，动态均值-LPM和均值CVaR投资组合选择，这意味着I（δ，ρ）相对于δ单调增加。使用类似的程序，我们可以证明I（δ，ρ）和I（δ，ρ）分别相对于δ和ρ单音递增。

重新排列（3.39）会产生h（δ+ρ）=x- （B）- γ） H（δ）γ。（3.40）（3.40）中的表达式有助于我们获得δ的上限和下限，即δ：=sup{δ∈ R | I（δ，ρ）=x，δ≥ 0，ρ>0}，δ：=inf{δ∈ R | I（δ，ρ）=x，δ≥ 0, ρ > 0}.由于H（·）的单调性，我们得到了0≤ H（δ）<H（δ+ρ）<H(∞) = E[z（T）]，这进一步导致h（δ）<x- （B）- γ） H（δ）γ<E[z（T）]，=>十、- γE[z（T）]B- γ<H（δ）≤xB。（3.41）（3.4 1）中的不等式提供了δ的下限和上限，如下所示：=如果x<γE[z（T）]，则为0，H-1.十、- γE[z（T）]B- γ如果x≥ γE[z（T）]，（3.42）’δ=H-1（x/B）。（3.43）从（3.40）开始，自δ∈ （δ，\'-δ），我们还有δ+ρ=H-1.十、- （B）- γ） H（δ）γ.（3.44）将（3.44）中的δ+ρ替换回（3.38）得到以下函数L（δ），L（δ）：=（B- γ） H（δ）+γHH-1.十、- （B）- γ） H（δ）γ.（3.45）我们首先证明了L（δ）是关于δ的单调递增函数。考虑到δ和δ满足δ<δ<δ和δ<δ<δ和δ>δ，我们得到（δ）：=（B- γ） H（δ）+γHH-1.十、- （B）- γ） H（δ）γ,L（δ）：=（B）- γ） H（δ）+γHH-1.十、- （B）- γ） H（δ）γ.设ρ和ρ满足δ+ρ=H-1.十、- （B）- γ） H（δ）γ, => （B）- γ） H（δ）+γH（δ+ρ）=x，（3.46）δ+ρ=H-1.十、- （B）- γ） H（δ）γ, => （B）- γ） H（δ）+γH（δ+ρ）=x（3.47）16高俊杰，周克周，李德丽，x.R.曹从（3.44）a和H（·）的单调性，我们有δ+ρ>δ+ρ。（3.46）和（3.47）之间的差异导致γE[z（T）1δ+ρ≤z（T）≤δ+ρ]=（B）- γ） E[z（T）1δ≤z（T）≤δ].（3.48）以下不等式成立，γ（δ+ρ）E[1δ+ρ≤z（T）≤δ+ρ] ≤ γE[z（T）1δ+ρ≤z（T）≤δ+ρ]，（3.49）（B）- γ） E[z（T）1δ≤z（T）≤δ] ≤ δ（B）- γ） E[1δ≤z（T）≤δ].（3.50）结合（3.49）、（3.50）和（3.48）得到γ（δ+ρ）E[1δ+ρ≤z（T）≤δ+ρ] ≤ δ（B）- γ） E[1δ≤z（T）≤δ].（3.51）（3.51）中的不等式意味着，L（δ）- L（δ）=（B）- γ） E[1δ≤z（T）≤δ] - γE[1δ+ρ≤z（T）≤δ+ρ]≥ （B）- γ)ρδ+ ρE[1δ≤z（T）≤δ] > 0.因此，函数L（δ）随δ的增加而单调增加。

然后，我们确定了L（δ）as，infδL（δ）=limδ的范围→δL（δ）（3.52）=γHH-1（x/γ）如果x<γE[z（T）]，（B- γ） HH-1.十、- γE[z（T）]B- γ+ γ如果x≥ γE[z（T）]，supδL（δ）=limδ→\'\'δL（δ）=BHH-1（x/B）,（3.53），其中（3.52）和（3.53）分别是（3.21）和（3.22）中定义的常数。因此，如果d∈ （d，\'\'d），由于L（δ）的唯一性，我们可以找到唯一的δ<δ*<使得L（δ*) = d、 同样，通过单音性，唯一解ρ*> 通过代入δ可以找到0*变成（3.40）。注意，两对（δ*, ρ*)和（λ，η）是（3.37）的一对一映射，这就完成了案例（i）的证明。（ii）我们首先考虑c ase d=d和x<γE[z（T）]。从（3.43）和（3.52）中，我们知道（3.38）和（3.39）中的两个方程组在δ=δ=0时成立，并且相应的ρ=^ρ=H-1（x/γ）乘以（3.40）。由于一对一映射（3.37），我们有λ=0和η*= γq-1/H-1（x/γ）。当d<d时，可以验证λ和η满足（3.15）和（3.16）中的两个条件，且（3.15）具有严格的不等式。（iii）与命题2中的情况（iii）相似，当d=d=d x时≥ γE[z（T）]，来自（3.52），（3.38）和（3.39）中的两个方程组的解为δ=δ=H-1（x）-γE[z（T）]B-γ） 和ρ→ ∞, 这进一步意味着η=0和λ=0。根据定理2第（ii）项的结果，我们得到了第（ii）项的结果。请注意，假设1对于命题2的证明是必要的，因为我们需要使用Hp（y）的可微性。然而，对于建议3，不需要这样的假设。动态均值LPM和均值CVaR投资组合选择命题2和命题3揭示了参数（d和γ）与拉格朗日乘子问题（Pqlpm）的存在性和唯一性之间的关系。

只有当d∈ （d，`d），问题（Aq）中的两个拉格朗日乘数都是正的，或者换句话说，（3.3）和（3.4）中的两个约束在问题中是真正有效的。我们将这种情况归类为常规情况。当d<d时，参数d不再影响问题。我们将这种情况归类为退化病例。作为总结，我们在表3.2中列出了不同情况下的条件，在这些情况下，最优终端财富x*问题（Aq）的（T）已确定。条件q>10≤ Q≤ 1x*（T）由x确定*（T）由命题2中的d<d<d情形（i）和命题3d中的情形（i）确定≤ d、 命题2中的x<γE[z（T）]情况（ii）命题3d中的情况（ii）≤ d、 x≥ γE[z（T）]命题2中的案例（iii）命题3中的案例（iii）表3.1最优终端财富x的分类*（T）问题（Aq）在问题（Pqlpm）中，特别是对于常规情况，研究达到上界B的概率将是有趣的。表示最优终端财富x*（t） 以P（x）的形式到达上边界B*（T）=B）。那么，下面的结果是正确的。提议4。在问题（Pqlpm）中，如果d<d<d，则概率P（x*（T）=B）相对于B单调递减。此外，如果x<γE[z（T）]，则wehavelimB→∞P（x）*（T）=B）=0。证据（i） 我们首先证明了q>1的结果。与命题2类似，我们在（3.7）和（3.8）中分别用δ=λ/η和ρ=（λ+γ）/η替换变量λ和η，从而得到（3.25）和（3.26）。由于假设1成立，我们可以检查（3.25）和（3.26）的以下总差异，我δdδ+我ρdρ+我BdB=0，我δdδ+我ρdρ+我BdB=0。通过消除dρ求解这两个方程，得到以下结果，dδdB=我ρH（δ）-我ρH（δ）我δ我ρ-我ρ我δ.（3.54）从（3.30）中，我们知道（3.54）的名词是正的，即：。，我δ我ρ-我ρ我δ> 0.18高俊杰，周克强，李德荣，X.R。

我们现在检查（3.54）分子的符号。通过使用（3.27），我们得到我ρH（δ）-我ρH（δ）=γpρp+1“Zδ+ρδ（s）- δ） pψ（s）dsZδ-∞τψ（τ）dτ-Zδ+ρδs（s）- δ） pψ（s）dsZδ-∞ψ（τ）dτ#=γpρp+1Zδ+ρδZδ-∞(τ - s） （s）- δ） pψ（τ）ψ（s）dsdτ<0。因此，我们可以得出结论：dδ/dB<0，这进一步意味着δ随着B的增加而减小。注意概率P（x*（T）=B）=P（z（T）≤ δ） =H（δ）是δ的单调递增函数。因此，概率P（x*（T）=B）相对于B减小。从（3.21）和（3.22）开始，如果x<γE[z（T）]，我们知道与B无关，并且当B增大时，d增大。因此，对于给定的d∈ （d，\'d），当B增加时，d将保持在间隔（d，\'d）内。从（3.25）开始，我们有I（δ，0）≤I（δ，ρ）=d，这意味着H（δ）≤ 因此，当→ ∞, H（δ）单调递减为0。（ii）我们使用与命题3类似的符号，以0证明该情况≤ Q≤ 1.支持δ和ρ同时求解（3.38）和（3.39）。我们现在证明了当B增加时δ单调递减。特别地，让B>带δ，ρ，δ和ρ解（3.38）和（3.39）中的两个方程组，即（BH（δ）+γH（δ+ρ）- H（δ）= d、 BH（δ）+γH（δ+ρ）- H（δ）= x、 （3.55）（BH（δ）+γH（δ+ρ）- H（δ）= d、 BH（δ）+γH（δ+ρ）- H（δ）= x、 （3.56）我们想证明δ>δ。根据（3.37）中δ和ρ的定义，我们有δ<δ+ρ和δ<δ+ρ。注意，如果δ>δ+ρ，那么我们有δ>δ，这就完成了单调性的证明。因此，我们只需要考虑δ<δ+ρ的case。对于任何y<y<δ+ρ，我们有H（y）-H（y）δ+ρ-H（y）-H（y）δ+ρ= E[1y≤z（T）≤y]-δ+ρE[z（T）1y≤z（T）≤y]≥ (1 -yδ+ρ）E[z（T）1y≤z（T）≤y] >0，（3.57），这进一步意味着（H（y）-当y>0时，δ+ρH（y））相对于y单调增加。

检查（3.55）和（3.56）中第一个方程式之间的差异，得出（B）- γ） H（δ）- （B）- γ） H（δ）=γH（δ+ρ）- H（δ+ρ）.（3.58）如果δ+ρ<δ+ρ，由于H（·）的单调性，我们有（B）- γ） H（δ）<（B）- γ） H（δ），动态均值LPM和均值CVaR投资组合选择19，这进一步意味着δ>δ。接下来我们考虑δ+ρ>δ+ρ的情况，其下（3.58）变成（B）- γ） H（δ）- （B）- γ） H（δ）=γ（E[1δ+ρ≤z（T）≤δ+ρ]).（3.59）类似地，检查（3.55）和（3.56）中第二个方程的差异，得出（B）- γ） H（δ）- （B）- γ） H（δ）=γE[z（T）1δ+ρ≤z（T）≤δ+ρ]≥ γ（δ+ρ）E[1δ+ρ≤z（T）≤δ+ρ].（3.60）把（3.59）和（3.60）结合起来，使（B）更接近- γ)H（δ）-H（δ）δ+ρ≤ （B）- γ)H（δ）-δ（H）ρ.我们已经在（3.57）中证明了H（y）-δ+ρH（y）是y<δ+ρ的单调递增函数。因此，δ<δ，我们可以得出结论，当B增加时，δ单调增加，这进一步意味着P（x*（T）=B）=H（δ）是B的非单调递减函数∈ 当我们增加B时，概率P（x*（T）=B）≥ 0和H（δ）<d/B，当B变成in-finity时，我们有肢体→∞P（x）*（T）=B）=0.3.3。具有确定性机会集的特殊市场环境。在本节中，我们考虑市场参数具有确定性的情况，即以下假设成立。假设2。无风险收益率r（t）、漂移率ui（t）、i=1、·n和波动率σij（t）、i、j=1、·n都是t对t的确定函数∈ [0，T]。在假设2下，我们可以导出最优财富过程和问题组合过程（Pqlpm）的显式表达式。

请注意，（3.2）中定义的沉降过程z（t）意味着z（t）/z（t）遵循对数正态分布。换句话说，lnz（T）/z（T）遵循正态分布，其平均值m（t）和方差ν（t）给定asm（t）=-ZTt（r（s）+kθ（s）k）dτ，t∈ [0，T]，（3.61）ν（T）=ZTtkθ（s）kds，T∈ [0，T]。（3.62）作为特例，当t=0时，ln（z（t））服从正态分布，均值和方差分别为m（0）和ν（0）。此外，我们还可以计算[z（T）]=e-RTr（s）ds。在假设2下，命题1减少了s toUe-RTtr（s）ds≤ 十、*（t）≤ 是-RTtr（s）ds，因为我们可以使用附录中的引理3显式地计算E[z（T）/z（T）| Ft]。我们首先研究（3.21）和（3.22）中的参数d如何在这样一个具有确定性机会集的市场中变得更加明确。提议5。在假设2下，我们对问题（Pqlpm），d有以下结果=γΦF（°ρ）- E-RTr（s）dsΦF（°ρ）- v（0）/ρ如果x<γe-RTr（s）ds，q=2，γΦF（ρ）如果x<γe-RTr（s）ds，0≤ Q≤ 1，（B）- γ)ΦF（δ）+ γ如果x≥ γe-RTr（s）ds，（3.63）\'d=BΦ（F（\'δ）），（3.64），其中，\'ρ、δ、^ρ和δ分别是以下四个方程的解，e-RTr（s）dsΦF（°ρ）- ν(0)+e2m（0）+2ν（0）’ρΦF（°ρ）- 2ν(0)=xγ，（3.65）e-RTr（s）dsΦF（δ）- ν(0)=十、- γe-RTr（s）dsB- γ、 （3.66）e-RTr（s）dsΦF（ρ）- ν(0)=xγ，（3.67）e-RTr（s）dsΦF（°δ）- ν(0)=xB，（3.68）带F（y）：=（ln（y）- m（0））/ν（0）。证据让我们首先考虑x<γe的情况-RTr和DSQ=2。从din（3.21）的定义开始，我们得到了k（△ρ）=E[z（T）1z（T）≤ρ] - E[z（T）1z（T）≤ρ]/ρ=E[eln（z（T））ln（z（T））≤ln（ρ）]- E[e2-ln（z（T））ln（z（T））≤ln（？ρ）/？ρ=x/γ，使用引理3得到（3.65）。然后我们可以计算dasd=γH（°ρ）- H（‘ρ）/’ρ= γE[1ln（z（T））≤ln（ρ）]- E[eln（z（T））ln（z（T））≤ln（ρ）／ρ,在（3.63）中给出了第一种情况。

我们可以用类似的方法计算其他情况下的d。对于q=2和0的情况，以下两个定理给出了显式最优财富过程和最优投资组合问题策略（Pqlpm）≤ Q≤ 分别为1。定理3。在假设2下，问题的最优解（Plpm）如下所示。（i） 如果d<d<d，则最优财富过程为x*（t） =em（t）+ν（t）（B）- γ -λ)ΦK（t）- ν（t）+ (γ +λ)ΦK（t）- ν（t）+z（t）ηe2m（t）+2ν（t）ΦK（t）- 2ν（t）- ΦK（t）- 2ν（t）（3.69）动态均值LPM和均值CVaR投资组合选择，最优投资组合策略为π*（t）=(√2πν（t）em（t）+ν（t）h（B）- γ -λ） e-（K（t）-ν（t））+（γ+λ）e-（K（t）-ν（t））i-ηz（t）e2m（t）+2ν（t）hΦK（t）- 2ν（t）- ΦK（t）- 2ν（t）-√2πν（t）E-（K（t）-2ν（t））- E-（K（t）-2ν（t））（一）σ（t）σ′-1b（t），（3.70），其中K（t）和K（t）由K（t）=ln定义ληz（t）- m（t）ν（t），K（t）=lnλ+2γηz（t）- m（t）ν（t）和λ>0和η>0是以下两个方程的唯一解（B- γ -λ） Φ（K（0））+（γ+λ）Φ（K（0））（3.71）+ηem（0）+ν（0）（Φ（K（0）- ν(0)) - Φ（K（0）- ν（0））=d，em（0）+ν（0）（B）- γ -λ） Φ（K（0）- ν（0））+（γ+λ）Φ（K（0）- ν(0))（3.72）+ηe2m（0）+2ν（0）Φ（K（0）- 2ν(0)) - Φ（K（0）- 2ν(0))= x、 （ii）如果d≤ d x<γe-RTr（s）ds，最优财富过程和投资组合政策分别如（3.69）和（3.70）中所示，其中λ=0和η=2γ/。（iii）如果d≤ 丹克斯≥ γe-RTr（s）ds，最优财富过程和投资组合是给定的*（t） =em（t）+ν（t）（B）- γ)ΦK（t）- ν（t）+ γ,(3.73)π*（t）=√2πν（t）em（t）+ν（t）（B）- γ） e-（K（t）-2ν（t））σ（t）σ（t）′-1b（t），（3.74），其中K（t）：=自然对数δ/z（t）- m（t）/ν（t），δ为（3.66）的解。证据（i） 我们首先考虑d<d<d的情况。以下结果适用于任何一对参数a>0和c>0。请注意，z（t）是Ft自适应的，且λ>022 J.J.Gao，K.Zhou，D.Li，X.R.Cao和η>命题2中的0。