连续时间下的动态平均LPM和平均CVaR投资组合优化

然后我们就有了z（T）z（T）a+ηz（T）ηz（T）≤λ+c英尺= aEz（T）z（T）z（T）≤λ+cη英尺+ηz（t）E（z（T）z（T））z（T）≤λ+cη英尺= aEelnz（T）z（T）lnz（T）z（T）≤lnλ+cηz（t）英尺+ηz（t）Ee2 lnz（T）z（T）lnz（T）z（T）≤lnλ+cηz（t）英尺= aem（t）+ν（t）Φlnλ+cηz（t）- m（t）ν（t）- ν（t）+ηz（t）e2m（t）+2ν（t）Φlnλ+cηz（t）- m（t）ν（t）- 2ν（t）！，（3.75）其中最后一个等式基于引理3。贴现的最优财富过程是概率测度P（见[20]）下的鞅，即我们有x*（t） =Ez（T）z（T）x*（T）英尺, T∈ [0，T]。从x的表达式*（T）在（3.6）中，我们可以计算x*（t） 澳大利亚证券交易所*（t） =Ehz（t）z（t）B- γ+ηz（T）- ληz（T）≤λ+γ -ηz（T）- ληz（T）≤λ+2γ| Fti。（3.76）设a=B-γ -对于（3.76）的第一部分，λ和c=0；对于（3.76）的第二部分，a=γ+λ和c=2γ。将（3.75）应用于（3.76）得出（3.69）中的结果。在假设2下，我们可以假设x*（t） 作为z（t）和t的确定函数，也就是说，存在一个函数G（·，·），使得x*= G（z（t），t）。现在让我们确定G（z（t），t）的函数形式。应用它–引理yieldsdG（z（t），t）=G（z（t），t）z（t）dz（t）+G（z（t），t）tdt+G（z（t），t）z（t）（θ（t）z（t））dt=(-z（t）G（z（t），t）z（t）r（t）+G（z（t），t）t+G（z（t），t）z（t）z（t）kθ（t）k）dt-G（z（t），t）z（t）z（t）θ（t）′dW（t）。（3.77）将（3.77）中的差异项与（2.4）中的财富过程进行比较，得出以下结论：π*（t） ′σ（t）=-G（z（t），t）z（t）z（t）θ（t）′。（3.78）根据（3.1）中θ的定义，将（3.78）两侧的σ（t）相乘得到π*（t） =-G（z（t），t）z（t）z（t）（σ（t）σ（t）′）-1b（t）。动态均值-LPM和均值CVaR投资组合选择23因此，从spect到z（t）的差异（3.69）进一步产生了（3.70）中的结果。根据定理1和定理2，我们可以通过求解方程（3.7）和（3.8）来识别拉格朗日乘子η和λ。方程（3.8）可以通过在（3.69）中设置t=0显式写出，得到（3.72）。

基于（3.7），我们有*（T）]=EhB- γ -λ+ηz（T）ηz（T）≤λ+γ +λ-ηz（T）ηz（T）≤λ+2γi=EhB- γ -λln（z（T））≤lnλη+ηelnz（T）ln（z（T））≤lnλη+（γ+λ）1ln z（T）≤ln（λ+2γη）-ηeln z（T）ln z（T）≤ln（λ+2γη）i.（3.79）应用引理3到（3.79）得到（3.71）。（ii）根据命题2，我们知道x*（T）ta与（3.69）中的拉格朗日乘数λ=0和η=2γ/K的形式相同-1（x/γ）。注意，K-1（x/γ）只不过是（3.65）中给出的ρ。（iii）根据命题2，存在多个最优解，其中一个最优终端财富在（3.23）中给出。然后x*（t） π*（t） 可以通过使用引理3，类似于情况（i）的计算。根据δin（3.66）的定义，我们知道δ=H-1（x）-γE[z（T）]B-γ).定理4。在假设2下，问题的最优解（Pqlpm）为0≤ Q≤ 1如下所示。（i） 如果d<d<d，则最优财富过程为x*（t） =em（t）+ν（t）（B）- γ)Φ\'K（t）- ν（t）+ γΦ\'K（t）- ν（t）（3.80），最优投资组合策略为π*（t） =em（t）+ν（t）√2πν（t）（B）- γ） e-（`K（t）-ν（t））+γe-（`K（t）-ν（t））（σ（t）σ（t）′）-1b（t），（3.81），最佳目标值为- 十、*（T））q+]=γq（1- Φ（K（0）），（3.82），其中K（t）和K（t）定义为K（t）=lnληz（t）- m（t）ν（t），\'K（t）=lnλ+γq-1ηz（t）- m（t）ν（t），其中λ>0和η>0是以下两个方程的解，（B- γ)Φ\'K（0）+ γΦ\'K（0）= d、 （3.83）（B）- γ)Φ\'K（0）- ν(0)+ γΦ\'K（0）- ν(0)= E-m（0）-ν（0）x.（3.84）（ii）如果d≤ d x<γe-RTr（s）ds，最优财富过程和投资组合政策分别如（3.80）和（3.81）所示，其中λ=0和η=γq-1/^ρ，其中^ρ如（3.67）中所示。24高俊杰，周克强，李德军，曹克荣（iii）如果D≤ 丹克斯≥ γe-RTr（s）ds、最优财富过程和港口对账单分别如（3.73）和（3.74）所示。证据根据定理2和命题3，我们可以计算x*（t） π*（t） 使用与定理3的证明类似的方法来证明（i）、（ii）和（iii）情况。

我们在这里讨论细节。备注1。在定理3和定理4中，最优财富过程x*（t） 最优投资组合策略π*（t） 由市场的状态密度z（t）表示。虽然z（t）可以通过观察市场完成时的价格来计算，但在一般情况下，z（t）不能直接观察或计算。因此，将投资组合政策以反馈形式呈现更为有利，即，代表投资组合政策π*（t） 当前财富的中间值x*（t） 。取x的导数*（t） 关于（3.69）和（3.80）中的z（t），我们可以证明x*（t） 当B足够大时，是共同市场环境下z（t）的单调递减函数。也就是说，（3.69）和（3.70）中的表达式定义了x之间的一对一映射*（t） andz（t）。因此，理论上，我们可以用x代替z（t）*（t） 在（3.70）和（3.81）中，实现反馈型策略。因为没有用x来表示z（t）的解析形式*（t） 根据（3.69）和（3.80），我们应该首先离散z（t），然后计算相应的π值*（t） 还有x*（t） 对于每个z（t）。π的关系*（t） 安德斯*（t） 可通过曲线拟合方法大致实现。注意，x*（T）达到问题的上限（Pqlpm）可以用asP（x）表示*（T）=B）=P（z（T）≤λη).当市场机会集是确定性的时，这个概率可以显式地计算为P（x）的问题（Pqlpm）*（T）=B）=Φ（ln（λ/η）-m（0）u（0）），其中λ和η是问题（Plpm）的（3.71）和（3.72）的解，以及问题（Pqlpm）的（3.83）和（3.84）的解≤ Q≤ 1.4. 均值CVaR公式的最优投资组合策略。我们在这一部分求解均值CVaR投资组合优化模型（Pcvar）。回想一下（2.6）中对投资损失f（x（T））的定义，以及对损失的CVaR的定义[31]。

因为f（x（T））的累积分布函数定义为ψ（y）=P（f（x（T））≤ y） 给定置信水平β对应的β尾分布为ψβ（y）=0，如果y<VaRβ，ψ（y）- β1 - β、 如果≥ VaRβ，（4.1），其中VaRβ=inf{y|ψ（y）≥ β}. 然后，损失函数f（x（T））的CVaR被赋予asCVaR[f（x（T））]：=Zf（x（T））≥VaRβf（x（T））dψβ（y），（4.2），其中当y的分布是离散的时，积分应理解为求和。请注意，上述CVaR定义适用于损失函数f（x（T））的一般分布函数，参见Rocka flular和Uryasev[31]动态平均LPM和平均CVaR投资组合选择25，了解离散分布和连续分布情况之间的一些细微差异。为了解决平均CVaR投资组合优化问题（Pcvar），我们利用了[30]和[31]中引入的CVaR参数化d表达式。引理2。终端财富损失f（x（T））的CVaR可计算如下，CVaR[f（x（T））]=minαnα+1- βE（\'xT）- x（T）-α)+o、 （4.3）其中α是一个辅助变量。引入参数α并使用（4.3）重写问题的目标函数（Pcvar），得到问题（Pcvar）的以下等价公式，（Pcvar）minπ（·）∈LF（0，T；Rn）），αJ（α）：=α+1- βE（\'xT）- x（T）-α)+,（4.4）根据E[x（T）]≥ d、 （x（·），π（·））统计（2.4），0≤ x（T）≤ B.（4.5）为了解决问题（Pcvar），我们首先解决固定α（Pcvar（α））的以下辅助问题：minπ（·）∈LF（0，T；Rn）E（\'xT）- α - x（T））+从属于E[x（T）]≥ d、 （x（·），π（·））统计（2.4），0≤ x（T）≤ B.表m（Pcvar）和（Pcvar（α））之间的区别在于，决策变量α被固定为问题中的常数（Pcvar（α）），这使得π（·）成为唯一的决策向量。

因此，我们可以首先解决给定α的问题（Pcvar（α）），然后确定最优α*其中，最优投资组合策略为（Pcvar（α*)) alsosolves（Pcvar）。一旦α被确定为问题（Pcvar（α）），如果我们考虑- α等于γ，那么（Pcvar（α））的形式与（Plpm）相同。然而，当α变化时，dis变化。从（3.63）到0≤ Q≤ 1.我们重新定义了问题中的固定α（Pcvar（α））asd（α）=（（\'xT）- α） Φ（F（ρ（α））如果x<（\'xT- α） e-RTr（s）ds（B）- \'xT+α）Φ（F（δ（α））+\'xT- α如果x≥ （\'xT）- α） e-RTr（s）ds，（4.6），其中F（·）在命题5中定义，且^ρ（α）和δ（α）由以下方程确定，^ρ（α）：e-RTr（s）dsΦF（ρ（α））- ν(0)=x\'xT- α、 （4.7）δ（α）：e-RTr（s）dsΦF（δ（α））- ν(0)=十、- （\'xT）- α） e-RTr（s）dsB- \'-xT+α。（4.8）注意，\'d可由（3.22）计算得出，它与α无关。在假设2下，让（4.9）α*:= arg min J（α），26 J.Gao，K.Zhou，D.Li，X.R.Caoj（α）：=α -γ1 - β(1 - Φ（\'K（0，α））如果d（α）<d<\'d，α-γ1 - β(1 - Φ（`K（0，α）），如果d≤ d（α）和x<e-RTr（s）ds（xT）- α） ，α如果d≤ d（α）和x≥ E-RTr（s）ds（xT）- α).+∞, 否则（4.10）推论1。

在假设2下，问题的最优解（Pcvar）采用以下形式之一：（i）如果d（α*) < d</d，然后是x*（t） π*（t） 你是givenasx吗*（t） =em（t）+ν（t）（B）- \'-xT+α*)Φα-t，K*) - ν（t）（4.11）+（xT）- α*)Φ\'K（t，α*) - ν（t）,π*（t） =em（t）+ν（t）√2πν（t）（B）- \'-xT+α*)E-（`K（t，α）*)-ν（t））（4.12）+（xT- α*)E-（`K（t，α）*)-ν（t））（σ（t）σ（t）′）-1b（t），其中K（t，α）和K（t，α）表示为K（t，α）=lnλ（α）η（α）z（t）- m（t）ν（t），\'K（t，α）=lnλ（α）+1η（α）z（t）- m（t）ν（t），（4.13），其中λ（α），η（α）是以下两个方程的解，（B- \'-xT+α）Φ\'K（0，α）+ （\'xT）- α)Φ\'K（0，α）= d、 （4.14）（B）- \'-xT+α）Φ\'K（0，α）- ν(0)+ （\'xT）- α)Φ\'K（0，α）- ν(0)（4.15）=eRTr（s）dsx。（ii）如果d≤ d（α）*) x<e-RTr（s）ds（xT）-α*), 然后是x*（t） π*（t） 分别用λ（α）表示asin（4.11）和（4.12）*) = 0和η（α）*) = 1/^ρ(α*), 式中^ρ（α）*)如（4.7）所示。（iii）如果d≤ d（α）*) 和x≥ E-RTr（s）ds（xT）- α*), 当存在多个最优解决方案时。其中一个解决方案是asx*（t） =em（t）+ν（t）（B）- \'-xT+α*)ΦK（t，α）*) - ν（t）+ γπ*（t）=√2πν（t）em（t）+ν（t）（B）- \'-xT+α*)E-（K（t，α）*)-2ν（t））σ（t）σ′-1b（t），其中K（t）：=自然对数δ(α*)/z（t）-m（t）/带δ（α）的ν（t）*) 是（4.8）的解。证据对于任何固定的α，pr问题（Pcvar（α））的形式与（Plpm）相同。因此，对于第（i）种情况，用“xT”代替γ- α到（3.80），（3.81），（3.83）和（3.84）分别导致动态平均LPM和平均CVaR投资组合选择，结果分别为（4.11），（4.12），（4.14）和（4.15）。对于第（ii）和（iii）种情况，我们只需将γ替换为“xT”- α分别出现在定理4的（ii）和（iii）中。（3.82）中的objectvalue变成[（\'xT- α - 十、*（T））+]=（xT- α)(1 - Φ（`K（0，α）））。从引理2中，我们知道CVaR[f（x（T））]可以通过最小化（4.3）中的α来计算。可以证明（4.10）中定义的J（α）是α+1-βE[（\'xT- 十、*（T）- α)+].请注意，optima lα*（4.9）中的定义可能不是唯一的。

由于x的分布函数的特殊性*（T）根据[31]中的定理10，集合{α|α=arg minαJ（α）}是一个封闭且有界的区间。由于目标函数J（α）相对于α是凸的，我们可以使用以下梯度搜索程序来寻找一个最优α*在推论1中。α搜索算法*输入：问题参数（Pcvar），小正数>0和ζ>0，步长θ>0。步骤0选择α← α为起始点，小正数>0为停止标准。转至步骤1。步骤1对于给定的α，让^α← α+ζ，然后通过（4.10）计算J（α）和J（^α）。进入下一步。步骤2计算梯度κ=J（α）- J（α）/ζ. 如果|κ|<，返回α作为最优解。反过来，设α=α+θ·κ。转到SETP1。请注意，在执行上述梯度搜索程序时，控制步长起着关键作用。此外，上述过程只能保证α的一个最优解*.5.举例说明和比较。在本节中，我们首先研究一个示例，将本文推导的动态平均下行风险组合策略与众所周知的动态平均方差组合策略进行比较。对于具有确定性机会集的市场环境，[35]对于具有随机机会集的情况，[25]对于具有破产限制的情况，[7]解决了连续时间动态均值-方差投资组合选择问题。

在本节中，我们将我们的结果与[7]中的结果进行比较，在[7]中，无破产限制是我们在本文中针对平均下行风险投资组合模型所做的。让我们首先讨论以下动态均值-方差组合优化模型（Pmv）minπ（·）的解决方案∈LF（0，T；Rn）var[x（T）]：=E[x（T）]- （E[x（T）]）根据E[x（T）]=d，（x（·），π（·））统计动力学（2.4），0≤ x（T）。与[7]中Bielecki等人引入了一种有效的证券来表示最优财富过程和最优投资组合政策不同，我们用状态价格密度z（t）来表示最优财富过程和投资组合政策。实际上，z（t）也可以被视为一种艺术形式。虽然这两种方法是等效的，但我们修改了[7]中的结果，以满足我们进行比较的目的。28高俊杰，周克强，李德丽，曹国荣我们仍然使用鞅方法来解决问题（Pmv），并通过解决以下辅助问题（Amv）minX来找到最优终端财富∈LFT(Ohm,R） E[X]- d、 受制于E[X]=d，E[z（T）X]=X，0≤ 十、定理5。（i） 最优终端财富问题（Amv）是x*=(λ - ηz（T））1λ-ηz（T）≥0，（5.1），其中参数λ>0和η>0是以下两个方程组的解，E[（λ- ηz（T））+]=2d，（5.2）E[x（T）（λ）- ηz（T））+]=2x。（5.3）（ii）在假设2下，分别给出了asx的最优财富过程和最优投资组合政策*（t） =λem（t）+ν（t）Φ（K（t）- ν（t））-ηz（t）e2m（t）+2ν（t）Φ（K（t）- 2ν（t）），（5.4）π*（t）=λ2ν（t）√2πem（t）+ν（t）-（K）-ν（t））-ηz（t）e2m（t）+2ν（t）ΦK（t）- 2ν（t）(5.5)-√2πν（t）e-（K（t）-2ν（t））（σ（t）σ（t）′）-1b（t），其中K（t）=ln（λ/η）-分别在（3.61）和（3.62）中定义了m（t））/ν（t）以及m（t）和ν（t）。

此外，参数η和λ是以下两个方程的解，λΦ（K（0））- ηem（0）+ν（0）Φ（K（0）- ν（0））=2d，（5.6）λem（0）+ν（0））Φ（K（0）- ν(0)) - ηe2m（0）+2ν（0）Φ（K（0）- 2ν（0））=2x。（5.7）证据。结果（i）c的证明可以在[7]中找到，结果（ii）可以用类似于定理3中的证明的方法证明。例1。我们考虑以下示例来证明平均LPM问题（Pqlpm）的性质，所有市场参数的设置与[18]的示例7.1相同。无风险利率为r（t）=0.06，对于t，只有一种风险资产的u（t）=0.12和σ（t）=0.15∈ [0，T]。初始财富为x（0）=1（例如，以千美元为单位），预期最终收益为d=1.3，投资期限为T=1年。基准水平设定为γ=e0。06x（0）=1.0618，这是仅在银行账户中投资的回报。我们还将终端财富的上限设为B=10。现在，我们将平均LPM投资组合优化模型（Plpm）和（Plpm）与平均方差投资组合模型（Pmv）进行比较。我们首先根据命题5计算参数d（见表5.1）。利用定理3和定理4，我们求解了成对动态均值-LPM和均值CVaR投资组合选择29ηλd′dPlpm0。2007年0.7852 1.0618 1.9847Plpm0。7852 0.3261 1.0618 1.9847Pmv3。421 5.7694-表5.1根据（3.71）和（3.72）针对问题（Plpm）的拉格朗日乘数η和λ示例1中的参数λ和η；根据（3.83）和（3.84）针对问题（Plpm）；根据表5.1中列出的（5.6）和（5.7）分别针对问题（Pmv）。

根据定理3、4和5，我们还可以计算最优财富x的解析表达式*（t） 最优投资组合策略π*（t） 分别针对问题（Plpm），（Plpm）和（Pmv）。图5.1（a）和5.1（b）显示了最佳财富x*（t） 分别在t=1和t=0.5时的问题（Plpm），（Plpm）和（Pmv）。我们可以看到，当z（t）很小时，即市场状况良好，财富水平为x*（t） 问题数量（Plpm）远高于问题产生的财富水平（Pmv）。Asz（t）增加，即市场状况变得更糟，财富水平（Pmv）比财富水平（Plpm）或（Plpm）更快地降至零。至于投资组合政策π*（t） ，如图5.1（c）所示，我们可以看到（Pmv）的平均方差政策为状态z（t）的中间范围分配了大部分财富。然而，当市场状态良好时，（Plpm）和（Plpm）的平均LPM策略在风险集合中分配更多财富。当市场状况处于中间状态时，平均LPM投资者倾向于将其财富配置为无风险资产。与直觉思维相反，当市场状况变得更糟（即z（t）增加）时，平均LMP投资组合政策会增加其在风险集合中的需求。图5.1（d）绘制了风险资产中的比例w*（t） =π*（t） /x*（t） ，和x*（t） ，并展示了阈值类型的一个特征，即存在一个约为1的阈值，在该阈值之下或之上，LPM投资者会增加其在风险资产中的配置。与（Plpm）政策相比，当当前财富x（t）低于阈值时，（Plpm）政策更具侵略性，当财富高于阈值时，两者之间出现类似的模式。这种特征与均值-方差策略和效用最大化生成的策略明显不同。