连续时间下的动态平均LPM和平均CVaR投资组合优化

图5.2（a）和图5.2（b）显示了在不同时间点t=0.2、t=0.5和t=0.8，在therisky资产中的分配情况。一般来说，随着投资接近终点时间，平均LPM策略会增加其在风险资产中的分配。然而，当财富在三个临界点附近时，Plpm政策比Plpm政策对时间更敏感。我们可以计算x*（T）达到上限B=10，分别为2.2%和3。（Plpm）和（Plpm）分别为2%。如果我们把B增加到30，那么（Plpm）和（Plpm）的概率分别下降到0.7%和0.9%。也就是说，尽管问题中的财富水平（Plpm）和（Plpm）有一个上限，但财富水平实际达到这个上限的可能性非常小。图5。3绘制（x*（t） ，w*（t） 我们可以看到，当当前的财富水平为x时*（t） 如果高于阈值，当上限B增加时，对风险资产的配置会变得更加激进。然而，当当前财富低于或接近阈值时，（Plpm）和（Plpm）的最优策略对B都保持不变。因此，我们可以得出结论，尽管上限30 J.J.Gao，K.Zhou，D.Li，X.R.限制B影响投资政策，但投资组合权重对B实际上相当稳健，如果当前的财富没有太多偏离阈值。0.5 1 1.5 2 2.5 301234567891011z（T）x*（T） （Pmv）（P1lpm）（P2lpm）（a）最优财富x*（T）在T=10 0.5 1 1.5 2 2.5 301234567891011z（T）x时*（t） 最佳财富x*（t） 在t=0.50 12 3 4 5012345678910z（t）π时*（t） （Pmv）（P1lpm）（P2lpm）（c）最优投资组合π*（t） t=0.50 0.5 1 1.5 2 2.5 3012345678910x时*（t） w*（t） （Pmv）（P1lpm）（P2lpm）（d）最优投资组合和财富对（x）*（t） ，π*（t） ）t=0.5图。5.1.

最优财富和问题组合（Pmv），（Plpm）和（Plpm），例如1示例2。在本例中，我们将第4节研究的动态平均CVaR投资组合优化模型与[30]和[31]中提出的著名静态平均CVaR投资组合模型进行比较。我们采用了与[30]中给出的市场设置类似的市场设置，其中投资组合由三种资产构成，标准普尔500指数（s&P 500）、长期美国政府债券（债券）和美国小型资本股（小盘）的投资组合。我们将[30]中列出的月度回报率的统计数据（见[30]中的表1和表2]）换算为年度回报率。表5.2列出了资产回报的均值和协方差。请注意，预期收益率和协方差矩阵是通过使用样本均值和样本协方差来估计的。与[30]中的假设不同，我们假设资产收益率为对数正态分布，而非正态分布，正如我们在本研究中假设的那样，资产价格遵循（2.2）中的SDE，当市场参数具有确定性时，由此得出的资产收益率分布确实为对数正态分布。我们假设漂移率vect或u（t）和波动率矩阵σ（t）是常数，即对于所有t，u（t）=u和σ（t）=σ∈ [0，T]。从表5.2中，我们可以看到动态平均LPM和平均CVaR投资组合选择310 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.51.53.55.57.59.511.513.515x*（t） w*（t） t=0.2t=0.5t=0.8（a）和（w）*（t） ，x*（t） ）一对（Plpm）0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 4-0.51.53.55.57.59.511.513.515x*（t） w*（t） t=0.2t=0.5t=0.8*（t） ，x*（t） ）一对（Plpm）图5.2。

配对（最优投资组合）*（t） ，x*（t） 在t=0.2、t=0.5和t=0.80 0.5 1 1.5 2.5 3 3.5 4051015x时，样本1中的问题（Plpm）和（Plpm）*（t） w*（t） B=10B=20B=30B=40*（t） ，x*（t） ）一对（Plpm）0.5 1 1.5 2 2.5 3051015x*（t） w*（t） B=10B=20B=30B=40*（t） ，x*（t） ）一对（Plpm）图5.3。最优投资组合策略对（w*（t） ，x*（t） 对于不同的计算参数u和σ，t=0.5时样本1中的问题（Plpm）和（Plpm），如下所示：=0.13460.05300.1722, σ =0.1428 0.0094 0.10020.0094 0.0728 0.00310.1002 0.0031 0.2353.在这个例子中，我们假设市场是完整的，这进一步意味着风险的市场价格是θ（t）=0.4864, 0.4269, 0.4510′尽管如此，t∈ [0，T]。动态平均CVaR投资组合政策可根据推论1计算。对于静态买入和持有政策，我们使用蒙特卡洛模拟方法（例如，参见[30]）来计算CVaR值CVaR[f（x（t））]。更具体地说，我们首先根据表5.2中列出的平均值和协方差，从对数正态分布中生成三种资产收益的10个样本。请注意，虽然静态优化模型包含与问题（Pcvar）中相同的约束条件，但它的最佳端口对开仅在购买和持有类型中寻求。我们可以通过求解线性规划问题来计算买入并持有政策的VaR值32高俊杰，周克强，李德丽，X.R。

CAO资产预期利率资产收益率统计标准普尔500债券小盘股和P500 0.1213 0.039 0.0028 0.0504债券0.0522 0.0028 0.006 0.0023小盘股0.1645 0.054 0.0023 0.0917表5.2（Pcvar）CVaR（f（x（T））CVaR（f（x（T）））dβ=0.9β=0.95β=0.99β=0.9β=0.95β=0.95β=0.9911β=0.091.091.0030.074 0.07811.20 1.351 1.718 2.394 0.079 0.098 0.14811.40 1.618 2.034 2.756 0.104 0.123 0.23811.60 1.870 2.300 3.212 0.130 0.150 0.34711.80 2.042 2.649 3.589 0.158 0.179 0.47312.00 2.319 2.849 3.997 0.187 0.208 0.61512.20 2.434 3.227 4.377 0.218 0.239 0.77412.40 2.752 3.437 4.850 0.249 0.271 0.94812.60 2.989 3.809 5.150 0.282 0.304 1.13912.80 3.252 3.939 5.557 0.316 0.338 1.34613.00 3.405 4.342 5.884 0.351 0.373 1.570表5.3与这些样本相关的买入持有保单和动态保单之间的比较。在本例中，我们使用CPLEX 12.3作为相应线性规划问题的解算器（参见[30]）。表5.3比较了静态买入并持有政策和我们因解决问题而产生的动态政策（Pcvar）之间的CVaR值。对于不同等级的β（=0.9,0.95,0.99）和不同等级的目标终端财富d，我们可以观察到动态平均CVaR投资组合政策总是显著降低静态模型的CVaR值。例如，当投资者的预期最终财富为12（或相当于，预期目标回报率为20%）且资本水平为95%时，如果他执行买入并持有静态投资组合政策，相应的CVaR为2.849，如果他执行动态平均CVaRportfolio政策，则CVaR仅为0.208。图5.4绘制了买入并持有（BnH）政策和我们的动态投资组合政策（Dyn）的平均CVaR有效边界。

我们可以看到，当信心水平β增加时，买入并持有政策的有效边界比动态平均CVaR政策产生的边界更敏感。6.结论。本文研究了动态投资组合选择中两个长期存在的难题：动态均值LPM和动态均值C VAR投资组合优化问题，并完全解决了这两个问题。通过在终端财富上增加有限的资金水平，我们确保了这两个问题的适定性，这进一步使我们能够使用鞅方法来描述解。我们已经证明，在一些温和的条件下，静态套期保值方程通常存在拉格朗日乘数，这是采用这种动态均值-LPM和均值-CVaR组合选择的关键330 1 2 3 4 5 61111.211.411.611.81212.212.412.612.813CVaRd BnHβ=0.9BnHβ=0.95BnHβ=0.99Pcvar，β=0.9Pcvar，β=0.95Pcvar，β=0.95Pcvar，β=0.99Fig。5.4. 例2的平均CVaR有效前沿由买入并持有保单和动态保单法生成。当市场机会集是确定性的时，我们可以实现这些问题的分析性投资组合策略。我们的例子表明，在管理下行风险方面，动态平均LPM投资组合政策比众所周知的均值方差投资组合政策表现更好。与静态买入持有均值CVaR投资组合政策相比，动态投资组合政策可以显著降低CVaR水平。我们的动态平均下行风险投资组合显示了一些突出的特点，例如，实施这样的政策可以将CVaR值控制在非常低的水平，即使预期回报设定在较高的水平。然而，使用这些投资组合政策的代价也可能相当高。

通常，动态平均LPM或平均CVaR策略要求在投资组合中购买大量资产。因此，在动态平均LPM和动态平均CVaR模型中施加无短路约束将更为现实，值得我们进一步努力。附录：引理1的证明。证据在下面的证明中，我们使用v（·）来表示问题（·）的最优值。由于问题（B）的最优解是问题（L（λ，λ））的可行解，我们有一个弱对偶关系v（L（λ，λ））≤ v（B），对于任何λ∈ R+和λ∈ R.另一方面，如果Y*∈ C解问题（L（λ）*, λ*)) 还有Y*满足感E[Y]*] ≥ b和E[ZY*] = a、 然后是Y*是（B）的一个可行解，它意味着v（B）≤ v（L（λ）*, λ*)). 再加上弱二元关系，我们得到了v（L（λ）*, λ*)) = v（B），这进一步意味着λ*（E[Y]-b） =0和λ*（E[ZY]- a） =0。也就是说，Y*解决问题（B）。现在，我们证明另一个方向。让我来*是问题（B）的解决方案和34 J.J.高，周，李，曹X.R.J*= 五（B）。我们构造了问题（B）asO的e pigraph集：=(κ, κ, κ)′∈ R| Y∈ C、 b- E[Y]≤ κ、 E[ZY]- a=κ，κ≥ E[f（Y）].（6.1）显然，由于f（·）的凸性，集合O是R中的凸集。我们构造了另一个集合M：=（0,0,J）∈ R | J<J*}, 这也是凸的。我们有OTM=. 如果OTM 6=, 存在（0，0，^J）∈ OTM。自（0,0,J）∈ M、 我们有^J<J*. 类似地，（0，0，^J）∈ O意味着存在^Y∈ C使E[^Y]≥ b、 E[Z^Y]=a和E[f（^Y）]≤^J<J*. 也就是说，^Y是问题（B）的解，目标值较小，这与Y的最优性相矛盾*.

由于a和M都是凸集且彼此不相交，通过使用orem[29]的分离超平面，存在和（φ，φ，φ）6=（0，0，0），因此，对于任何（κ，κ，κ）∈ O和（0，0，J）∈ M、 φκ+φκ+φκ≥ （6.2）φJ≤ .（6.3）根据（6.1）中的定义，我们必须≥ 0和φ≥ 否则，φκ+φκ从下到上是无界的（κ和κ可以在集合O中成为一体），这与（6.2）相矛盾。条件（6.3）表示φJ≤ 所有J<J*, 然后我们得到φJ*≤ . 和（6.2）一起，我们有φf（Y）+φ（b）- E[Y]）+φ（E[ZY]- （a）≥  ≥ φJ*,（6.4）对于任何Y∈ C.现在我们首先假设φ>0。将（6.4）的两边除以φgivesrise tof（Y）+λ（b- E[Y]）+°λ（E[ZY]- （a）≥ J*,（6.5）对于任何Y∈ C、 式中，λ=φ/φ和λ=φ/φ。与弱二元关系一起，（6.5）中的不等式意味着v（B）=v（L（\'\'λ，\'\'λ））和\'λ（E[Y]-b） =0。因此，Y*解决了问题（L（¨λ，¨λ）），这就完成了φ>0时情况的证明。现在，我们证明φ6=0。如果φ=0，则（6.4）中的不等式变成φ（b）- E[Y]）+φ（E[ZY]- （a）≥ 0，（6.6）表示任何Y∈ C.设Y是（B）的内部可行解，条件（6.6）变成φ（B）- E[\'Y]）≥ 由于严格的可行性，我们有b- E[\'Y]<0，而φ=0。注意（φ，φ，φ）6=（0，0，0），因此φ6=0。因此，（6.6）中的条件为φ（E[ZY]-（a）≥ 0代表一切∈ C、 这是不可能的。注意，有一个严格的内部可行解∈ C使得φ（E[Z\'Y]-a） =0。也就是说，在Y附近，我们总能找到Y∈ C s uchφ（E[Z)Y]- a） <0。因此，我们可以得出φ6=0的结论，从而完成我们的证明。严格内可行点也称为可行集的相对内点。设fb为问题（B）的可行集。

对于给定的点Y，如果我们能找到一个以Y为中心的开放球，那么FBTOB 那么“Y”是一个严格可行的内部点。动态平均LPM和平均CVaR投资组合选择35附录：引理3。引理3。设Y是一个随机变量，分别服从正态分布的均值u和方差v。那么，我们有≤d] =expau+avΦD- uv- av,（6.7）式中Φ（·）是标准正态随机变量的累积分布函数。证据设Z=（Y）-u）/v。然后Z遵循标准正态分布和[eaYY]≤d] =E[ea（zv+u）zv+u≤d]=√2πZd-uv-∞经验-（z）- 2azv- 2audz=√2πexp（2au+av）Zd-uv-∞经验-（z）- av）dz=expau+avΦD- uv- av,这正是（6.7）。参考文献[1]S.Alexander，T.F.Coleman和Y.Li，最小化衍生品组合的CVaR和VaR，J.银行金融，30（2006），第583-605页。[2] F.Andersson，H.Mausser，D.Rosen和S.Uryasev，具有条件风险价值准则的信用风险优化，数学。程序B辑，89（2001），第273-291页。[3] P·阿特兹纳、F·德尔班、J·M·埃伯和D·赫阿瑟。一致的风险度量，数学。《金融》，第9期（1999年），第203-228页。[4] S.Basak a和G.Cha bakauri，动态平均方差资产配置，修订版。财务部。《研究》，23（2010），第2970-3016页。[5] S.Basak和A.Shapiro，《基于风险价值的风险管理：最优政策和资产定价》，修订版。财务部。《研究》，第14卷（2001年），第371-405页。[6] V.S.Bawa和E.B.Lindenberg，《平均低部矩框架下的资本市场均衡》，金融经济学杂志，5（1977），第189-200页。[7] T.Bielecki，H.Q.Jin，S.R.Pliska和X.Y.Zhou，禁止银行贷款的连续时间平均方差概率选择，数学。《金融》，15（2005），第213-244页。[8] T.比约克，A.穆尔戈西和X.Y.周，具有状态相关风险规避的均值-方差投资组合优化，数学。财务，DIO:10.1111/j.1467-9965.2011.00515。x、 [9]崔晓云，D。

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