价格影响小的交易

固定时间范围T>0，并设F:=（Ft）T∈[0，T]是W产生的强化过滤。我们考虑一个拥有d+1资产的金融市场。第一个是安全的，其价格被假定为正常的。其他d资产是风险y，受影响的最佳报价S:=（S，…，Sd）如下DSR=uS（r，Sr，Yr）dr+σS（r，Sr，Yr）dWr，St=S，（2.1）对于状态变量y，取Rm的开放子集y中的值，动态变量y=uy（r，Yr）dr+σy（r，Yr）dWr，Yt=y。（2.2）映射（uS，σS）：[0，T]×（0，∞)d×Y 7-→ Rd×Md×qand（uY，σY）：[0，T]×y7-→ （s，y）中的Rm×Mm×qare连续和Lipschitz连续。此外，σs延伸到C1,2，并满足以下局部椭圆度条件：对于任何紧致子集B [0，T]×（0，∞)d×Y，存在常数γB>0，这样：十、σS= 十、σSσSx≥ γB | x |，对于所有x∈ 因此，对于任何初始数据（t，s，y）∈ [0，T]×（0，∞)d×Y，SDEs（2.1-2.2）有一个唯一的强解，我们用（St，s，Y，Yt，Y）表示。备注2.1。条件σS∈ C1，2允许产生引理4.1中第一个修正方程（3.13）的光滑解。使用[46]中的缓和论证可以削弱这种假设。2.2线性价格影响（2.1）中未受影响的最佳报价代表理想化价格，在这种价格下，最小数量可以缓慢交易，而不会对市场价格产生不利影响。相反，如果θ股票在一定时间间隔内交易t、 然后，这个ord er是以S+t的每股平均价格填写的θSt。

这种价格影响纯粹是“暂时的”，因为每次交易完成后，价格会立即恢复到其影响价值。此外，交易率的影响是线性的θ/t、 这可以通过过程∧t=λ∧（t，St，Yt，Xt）来描述，其中λ>0是一个sm所有参数，∧（t，St，Yt，Xt）是时间t、当前价格St、状态变量Yt和投资者当前（票据）财富Xt的C1,2函数，取对称的正定义d×d矩阵中的值。对于λ=0，通常的无摩擦模型可以得到任意数量θ可以在任何时间间隔内进行交易t以相同的价格St，总执行价格为θSt。当非平凡λ>0时，交易价格变得不那么有利，因为每个订单θ会产生额外的成本，与交易量成反比，与交易的执行时间成反比：θt∧tθTt、 这些考虑因素推动了以下连续时间模型。对于任何绝对连续的交易策略dθr=˙θrdr，θt=θ，（2.4）相应的（纸面）财富具有动态Cdxr=θrdSr- λ˙θr∧（r，Sr，Yr，Xr）˙θrdr，Xt=x.（2.5）也就是说，通常的无摩擦动力学是根据交易成本与交易率˙θ的平方来调整的。为了表示简单，我们写ζ：=（t，s，y，x）∈ D、 式中：=D<∪ TDFor模型还考虑了持续的价格影响，参见[6,2,30,24,44,1,48,22]和其中的参考。正如Garleanu和Pedersen[23]所指出的，可以假定∧的对称性，而不丧失普遍性，因为对称化版本（∧+∧）是另一种形式)/2导致相同的交易成本。正的不确定性意味着每一笔交易都有正的成本。价格影响参数的财富依赖性允许纳入投资者行为对市场流动性的反馈效应。

对于ex-amp-le，价格影响与投资者当前财富成反比，对应于Guasoni和Weber[27,28]的代表性投资者模型，其影响相对于总市值是恒定的。二次交易成本也可以由区块形状的限价指令簿[44]或基于做市商积累的库存风险的微观结构模型[22]来驱动。实证文献一致发现了挤压成本（例如[18,42]）。一些研究实际上报告了二次成本[12,41]，而另一些研究则指出，交易成本介于线性和二次之间（例如[4,56]）会对价格产生不稳定的影响。Garleanu和Pedersen[22]在相关模型中证明了各自优化器的收敛性。d<：=[0，T）×（0，∞)d×Rm×R和TD:={T}×（0，∞)d×Rm×R。使用这种符号，控制集合Θλ由F-逐步可测量的tradingrates˙θ组成，系统（2.4-2.5）允许对所有初始数据（ζ，θ）有唯一的强解（θt，θ，Xζ，θ，˙θ，λ）∈ D×Rd.备注2.2。因为时间导数对任何光滑函数都起着特殊的作用，所以便于记法→ R、 （分别为：D×Rd）→ R） 我们用Dа（分别为Dζа）表示а相对于其空间分量（s，y，x）的梯度。关于时间t的导数表示为自始至终。2.3偏好和清算在上述具有线性价格影响的市场中，投资者在某个特定的规划期T>0时，通过交易最大化终端财富的预期效用。她的效用函数U:R→ R∪ {-∞} 不减损，在其有效区域内部平滑且严格凹进。由于投资期限是确定的，因此必须考虑终端时间T的清算。

对于小比例或固定的交易成本，单一大宗交易在主导顺序上可以忽略不计，因此该问题逐渐消失。然而，随着价格的影响，清算成为一个不重要（且可能代价高昂）的问题。因为我们在这里关注的是T之前的动态交易，所以我们将清算问题分开如下。我们假设模型参数在时间T简单地冻结，投资者的终端位置θ迅速向无摩擦目标θT=θ（T，ST，YT，XθT）清算，使用Sch¨oneborn[53]的确定性均值-方差最优策略，风险容忍度RT=-U′（XθT）/U′（XθT）。这导致风险调整清算成本[53，等式（11）]为λ1/2P（T，ST，YT，XθT，θT），其中[53，T heorem 4.1]：P（ζ，θ）：=（θ- θ(ζ))Λ1/2(Λ-1/2σSσS∧-1/2）1/2∧1/2（2R）1/2（ζ）（θ）- θ(ζ)).由于这些清算成本对于较小的价格影响较小（λ~ 0），我们进而根据泰勒定理定义投资者的摩擦值函数：vλ（ζ，θ）：=sup˙θ∈˙Θλζ，θEhUXζ，θ，˙θ，λT- U′（Xζ，θ，˙θ，εT）λ1/2P（T，SζT，YζT，Xζ，θ，˙θ，εT，θζ，θT）i，（2.6）初始数据（ζ，θ）∈ 这里，˙θ贯穿于可容许控制的集合˙Θλζ，θ。这些必须满足（Xζ，θ，˙θ，εT）- U′（Xζ，θ，˙θ，εT）λ1/2P（T，SζT，YζT，Xζ，θ，˙θ，εT，θζ，θT）∈ L.（2.7）此外，我们需要能够使用比亚基尼和ˋCern\'y[7]中的简单分类来近似相应的财富过程。显然，第一个条件是确定终端功能的必要条件。第二个假设是一类具有经济意义的策略，其小到足以排除加倍策略，但大到足以在WeakaSumpions下包含优化器；有关更多详细信息，请参见[7]。

对于仅在正半线上确定的公用事业，近似属性被要求财富过程在[0，T]上为正取代。对于超线性摩擦，不必先验地排除加倍策略，以使摩擦问题适定[26]。然而，即使倍增策略不能随意扩展，其可用性仍可能导致valuefunction在终端时间T变得不连续，从而排除第7节中的经典验证定理。因此，我们不允许采用加倍策略。备注2.3。清算罚金P在以下两种重要的特殊情况下消失：1。对于[23,22,27,28]中的有限期问题，清算不是问题。事实上，随着时间的推移，终端清算计划的成本保持不变，而交易的累积收益却在不断增长。2.假设初始分配接近无摩擦目标。然后，对于总是快速向后者交易的策略，预期偏差总是很小。因此，在这种情况下，清算罚金的级别更高，可以忽略不计。然而，对于有限期问题和任意初始捐赠，必须明确考虑清算，见[3]。备注2.4。与其要求（2.6）中的无摩擦优化器进行清算，还可以对全额现金头寸进行清算，或者根本不收取清算罚金。这两种替代方案在经济上都有意义，但却使问题变得更加复杂。原因是，与比例成本或固定成本不同，人们无法建立或清算单一大宗交易的给定投资组合，且交易成本在领先的渐进顺序上可以忽略不计。

因此，在没有违约金的情况下，如果投资者的初始仓位远离无摩擦目标以节省交易成本，期限较短的投资者只会进行很少的交易。相比之下，随着时间的推移，他们将更积极地进行交易，从长期来看从最佳仓位获得收益。要求完全清算会导致类似的不均匀性。事实上，随着时间的临近，投资者的注意力逐渐从再平衡转向维持最佳风险回报交易，转向清算计划。相比之下，对无摩擦目标的清算会导致（渐进）p问题的“静止”版本，这里不考虑建立和清算投资组合的影响，将作为单独的最优执行问题来处理。3.动态规划与修正方程在这一节中，我们分别阐述了用无摩擦函数和摩擦值函数求解的动态规划方程。对于较小的价格影响，其差异通过所谓的“修正方程”的解来描述。为了提供一些直观信息，我们首先针对单个风险资产和状态变量试探性地推导这些公式。然后，我们陈述了一般的多维版本。3.1在没有价格影响的无摩擦情况下，差异（St，s，y，Yt，y）仍然被定义为des（2.1-2.2）的强解，但是，随着交易成本的增加，财富动态（2.5）减少了todXζ，θr=θrdSr，Xζ，θt=X。在这里，控制θ（现在不一定是绝对连续的）表示投资组合中持有的风险股的数量。控制集由F-逐步测量的过程设定值组成，以使上述SDE允许一个唯一的强解Xζ，θ。

如上所述，我们仅限于U（Xζ，θT）的容许控制的子集Θζ∈ 五十、 相应的财富过程可以用[7]中的简单策略来近似。无摩擦值函数定义如下：v（ζ）：=supθ∈ΘζEhUXζ，θTi、 （3.1）标准参数（比较，例如[20]）表明，无摩擦值函数V解决了动态规划方程（此后为DPE）f或手头的问题：命题3.1。假设vis是局部有界的。然后它是一个（不连续的）粘度解infθ∈Rdn-Lθvo=0，在D<，v（T，ζ）=U（x），在TD，（3.2）式中，对于ψ∈ C1,2和（ζ，θ）∈ D×Rd:Lθψ（ζ，θ）：=tψ+θ·Dζψ+TrhσθσθDζψi（ζ，θ），带θ（ζ）：=uSuYθ·uS（ζ） 和σθ（ζ）：=σSσYθσS(ζ).备注3.2。假设vis与xxv<0。然后，由于σ表示椭圆度条件（2.3），因此对于所有ζ，vθ（ζ）=0（3.3）的经典解∈ D<或者，等效地，tv+uDv+Trh′σ′σD（s，y）vi(ζ) =(θ)σSσSθ二十五（ζ） ，（3.4）最优投资策略θ（ζ）满足- (xxvσSσSθ（ζ）：=uSxv+σS′σD（s，y）(xv）（ζ），（3.5）与‘σ：=σYσ.事实上，鉴于SDE系数的充分规律性，s标准验证参数（比较，例如[57]）表明马尔可夫反馈策略θu:=θu、 St，s，yu，^Xt，s，y，x，θu，Yt，yu, U∈ [t，t]在这种情况下是（3.1）的最佳f。请注意，我们滥用符号，使用相同的符号来表示策略的反馈描述及其作为随机过程的演变。3.2具有价格影响的动态规划方程考虑到无摩擦值函数为局部有界，其摩擦对应物vλ从上到下均为局部有界，因为Ρλζ，θ中的任何绝对连续控制都可以由Ρζ中的控制产生，效用函数U为非减函数，惩罚函数Pis为非负函数。

此外，我们假设vλ也从下方局部有界，即存在至少一种策略，可以用有限效用关闭任何初始位置。接下来，我们将讨论具有线性价格影响的相应DPE。在没有状态约束的情况下，即对于在整个实线上是有限的公用设施，后者可以从Bouchard和Touzi[11]的弱动态编程原理中推导出来。如果仅在R+上要求公用事业公司的财富保持正值，这一点预计仍然成立，见[10]。但是，在出现摩擦时，将其严格化更为微妙，一些具体例子见[5,55]。因此，我们建议将DPE作为此处考虑的一般设置中的一个假设：假设3.3。摩擦值函数vλ是局部有界的，并且是(-Lθvλ-Hλvλ=0，在D<×Rd上，vλ=U- U′λ1/2P，开TD×Rd，（3.6）式中，对于ψ∈ C1,2和（ζ，θ）∈ D×Rd:Hλψ（ζ，θ）：=sup˙∈Rdn˙θ·Dθψ-λ˙θΛ˙θxψo（ζ，θ），（3.7）和清算罚金P的定义见第2.3节。备注3.4。PDE（3.6）通常必须根据半连续的斜率Hλ来理解，*, Hλ*ofHλ：（ζ，qx，qθ）∈ D×R×Rd7-→ sup˙θ∈Rdn˙θ·qθ- λ˙θ∧（ζ）˙θqxo。（我们使用简写符号Hλψ（ζ，θ）：=Hλ（ζ，xψ（ζ，θ），Dθψ（ζ，θ）））然而，我们有Hλ，*= Hλ*= D×（0）上的Hλ，∞) 因此，对于满足光滑测试函数ψ的情况，这种松弛是超光滑的D×Rd上的xψ>0。此外，在这种情况下，∧的正定义给出了（3.6）中的第一行可以重写为-Lθψ+（Dθψ）Λ-1Dθψ4λxψ（ζ，θ）=0，表示所有（ζ，θ）∈ D<×Rd，（3.8），其中我们使用了（3.7）中的逐点运算计时器：˙θλ（ζ，θ）：=∧-1Dθψ2λxψ（ζ，θ）。

（3.9）3.3单一目标的启发式展开是为了证明，对于所有（ζ，θ）∈ D×Rd，摩擦值函数h作为渐近展开式vλ（ζ，θ）=v（ζ）- λ1/2u（ζ）- λ oξλ（ζ，θ）+o（λ1/2）。（3.10）在这里，我们写道 o ξξλ(ζ, θ) := （ζ，ξλ（ζ，θ））对于任何初始财富，这在单一大宗交易中都是完全可能的，因为交易的成本比例或执行成本非常小。在线性价格影响下，只能实施绝对连续的交易策略。因此，必须将确定在正半线上的ut ilities限制为只做多的投资组合，并对资产动态施加有效的可集成性，即使是确定在整个实线上的公用事业，详情见第8节。对于 : (ζ, ξ) ∈ D×Rd7-→ （ζ，ξ）和“快”变量ξλ（ζ，θ）：=θ- θ（ζ）λ1/4（3.11）测量实际位置与无摩擦目标（3.5）之间的偏差，重新标度为λ→ 0.备注3.5。价值函数和最优策略的渐近标度是由Guasoni和Weber[27]的相应结果驱动的。为了激发描述渐近性的修正方程（参见第3.4节），让我们首先针对单个风险资产（d=1）和单个状态变量（m=1）正式推导它们。两个过程都由二维布朗运动（q=2）驱动，波动率σS：=σS，1σY：=σY，1σY，2,因此，价格和国家冲击与σY相关，16=0。在这个简单的框架中，冲击矩阵∧只是D上的一个正的、光滑的标量函数。假设vand vλ分别是（3.2）和（3.6）的经典解，满足十五∧ (-二十五）∧ xvλ>0。假设函数θ，u， ξλ属于C1,2，并引入无摩擦优化器的局部二次变化：cθ0（ζ）：=dhθidt（ζ）=σSsθ+σSYyθ+σSθxθ(ζ) +σYyθ(ζ) ≥ 0

（3.12）请注意，θ指的是最优无摩擦策略作为一个随机过程的演变，其中适当的状态变量被插入其反馈描述中。3.3.1将ansatz（3.10-3.11）插入摩擦DPE（3.8）中的C或R方程导致0=-Lθv- λ1/4ξξλuSxv+σS，1sxv+σSσY，1xyv+σS，1θ二十五- λ1/2-Lθu+σS，1xxvξξλ-cθξξ +(ξ)4Λ十五+ o（λ1/2）。在这里，无摩擦DPE（3.3）和无摩擦优化器的一阶条件（3.5）使第一行消失。观察（3.10）中的映射u独立于θ，因此Lθu也只是ζ的函数。因此，方程中λ1/2阶的剩余项也不应依赖于θ。因此，我们首先寻找函数a:D→ 就是这对吗(, a） 是解决方案，用于固定（t、s、x、y）∈ D<，第一修正方程σS，1ξ二十五-cθξξ +Λ-1(ξ)4.xv+a=0，（3.13），然后确定u为第二修正方程D<上的解- Lθu- a=0。（3.14）几个资产和状态变量的相应计算是类似的，但更繁琐。现在，将ansatz（3.10）插入摩擦值函数vλ的终端条件（3.6）中，并将终端条件（3.2）用于其无摩擦对应物v。这表明u对应的终端条件由λ1/2u+λ给出 o ξξλ=U′λ1/2P，开TD。（3.15）设R=-十五/xxv表示无摩擦价值函数的风险承受能力。因为我们假设-二十五∧xv>0时，第一个校正方程（3.13）很容易被改写为σS，12∧Rξ+cθ2∧十五ξξ -ξ2Λ十五-a∧xv=0。显然，当实际位置与无摩擦目标重合时，不应因偏离而受到惩罚。因此，我们施加了额外的约束（·，0）=0，获得显式解(, a） 与（ζ，ξ）=k（ζ）ξ，以及ask=±（λ）xv）qσS，1/（2∧R），a=cθ0 k。