价格影响小的交易

我们主要研究ζo在Rd\\{θ（ζo）}上的粘性上解性质∈ D<；其他性质要么是明显的，要么是类似的（比较引理6.8）。修正任意ζo∈ D<，并考虑光滑函数θ和θo∈ Rd\\{θ（ζo）}使得0=\'u*（ζo，θo）- θ（θo）=minRd\\{θo}（严格的）（\'u*（ζo，·）- φ(·)). （6.54）每n∈ N、 定义ψN：（ζ，θ）∈ D×Rd7-→ φ(θ) -n |ζ-ζo|和In:（ζ，θ）∈ D×Rd7-→ “u”*(ζ, θ) - ψn（ζ，θ）。根据引理6.2，有ro>0和bo≥ 0表示“u”*≥ -bo，on bo，（6.55），其中bo：=(R)Bro（ζo，θo）和ROI的选择使bo D<。通过波的紧致性和In的低连续性，有（ζn，θn）∈ 每一个n对应一个n∈ N.此外，还存在（ζ*, θ*) ∈ （ζn，θn）→ (ζ*, θ*) 作为n→ +∞, 可能是沿着一个子序列。现在，一方面，In（ζn，θn）在bo上的最小值是In（ζn，θn）≤ In（ζo，θo）=u*（ζo，θo）- θ（θo），它是有限的，不依赖于n。另一方面，如果ζ*6=ζo，（6.55）表示（ζn，θn）→ +∞ 作为n→ +∞. 因此，ζ*= ζo.现在，观察“u”*（ζo，θo）- θ（θo）=In（ζo，θo）≥ In（ζn，θn）表示“u”*（ζo，θo）- θ（θo）≥ 林恩芬→+∞In（ζn，θn）≥ “u”*（ζo，θ）*) - φ(θ*).因此θ*= θoby（6.54）中严格的最小属性。因此，（ζn，θn）∈ Int（Bo）表示足够大的n，通过构造，（ζn，θn）是In的局部最小值。引理6.7依次产生（Dθψn）E-4Dθψn（ζn，θn）≥ n（ζn，θn）。因此，发送n→ +∞ 在从引理4.1中回顾n是连续的之后，最终证明了断言。鉴于引理6.9和P位置6.5定义，对于每个ζ∈ D、 Rd的以下子集：Oζ*:=nθ∈ Rd:（Dθu）*)E-4Dθu*(ζ, θ) ≤ n（ζ，θ）o\\{θ（ζ）}，oζ*:=nθ∈ Rd:（Dθu）*)E-4Dθu*(ζ, θ) ≥ n（ζ，θ）o\\{θ（ζ）}。（在这里，不平等必须从正统意义上理解。）按结构，\'u*还有“你”*都是粘度低的。Eikonal方程的上解E-4Dθ~n（ζ，·）=n（ζ，·），在Oζ上*响应。Oζ*.

从引理6.9的第一部分观察到∈ D<（即，在终端时间之前），我们有以下简化：Oζ*= Oζ*= Rd\\{θ（ζ）}，或等效（Oζ）*)c=（Oζ）*)c={θ（ζ）}。因此，我们对所有ζ进行了以下估算∈ D<：\'u*(ζ, ·) ≤ “u”*(ζ, θ(ζ)) + ξξ(ζ, ·)k（ζ）ξ（ζ，·），on（Oζ）*)c、 “u”*(ζ, ·) ≥ “u”*(ζ, θ(ζ)) + ξξ(ζ, ·)k（ζ）ξ（ζ，·），on（Oζ）*)c、 （6.56）对于ζ∈ TD，Oζ的这种简化*或Oζ*没有。然而，结合引理6.9的第二部分和命题6.5，我们发现（6.56）适用于所有ζ∈ TD也是如此，因此f或所有ζ∈ D.对于以后的美国，也要注意以下几点。对于任何ζ∈ D、 我们有θ（ζ）/∈ Oζ*∪ Oζ*. 因此，假设（A1）和σSσ的椭圆度对于函数n定义的以下估计值（6.50）：n（ζ，θ）>0对Oζ*∪ Oζ*.现在引入，对于任何ζ∈ D、 算子hζ：（θ，r，q）∈ Rd×R×Rd7-→ -n（ζ，θ）r+qE-4（ζ）q.同样，对于M>0，C类-负函数→ R从下面以-然后我们可以对ζC的性质进行比较-M：引理6.10。假设假设（A1）满足任何ζ∈ D、 设Oζ是rdf的子集，其中n（ζ，·）>0在Oζ上，设v1ζ，v2ζ，v3ζ∈ C-M（对于某些M>0）为下半连续、光滑和上半连续函数，满足（在粘度意义上为v1ζ和v3ζ）：Hζ（·v1ζ，Dθv1ζ）≥ 0，Hζ（·v2ζ，Dθv2ζ）=0，Hζ（·v3ζ，Dθv3ζ）≤ 0，在Oζ上。（6.57）如果v1ζ≥ v2ζ≥ v3ζ在Rd\\Oζ上，我们有v1ζ≥ v2ζ≥ v3ζ在Rd证明上。固定ζ∈ D，为了清晰起见，将其从符号中删除。我们关注的是不平等v≥ 五、另一个类似地得到。对于引理陈述中的vand vas，假设有θ∈ O和α>0，使得v（θ）- v（θ）≤ -α<0，（6.58）并朝着一个矛盾的方向努力。

选择β∈ C∞（Rd），满足0≤ β ≤ 对于所有x，β（0）=1，Dθβ（0）=0和β（x）=0∈ Rd\\\'B（0）和定义，对于所有η>0：Φη：θ∈ Rd7-→ （五）- 五、- 2Mβη（·-其中βη（x）：=β（x/η）。由C-对于βη的有界性，我们已经研究了Φη>-∞. 因此，对于每个δ>0，就有θδ∈ Rd使得φη（δ）≤ infdΦη+δ。（6.59）选择一个函数χ∈ C∞（Rd）令人满意的0≤ χ ≤ 1，χ（0）=1，如果|x |>1，则χ（x）=0，以及|Dθχ|≤ c、 对于与δ无关的常数c>0。对于每个δ>0，设χδ：=χ（·- θδ）那么，对于所有δ>0:0≤ χδ≤ 1，χδ（θδ）=1，如果|θ，则χδ（θ）=0- θδ|>1和Dθχδ|≤ c、 现在确定，对于每个η，δ>0:ψη，δ：θ∈ Rd7-→ (Φη- 2Δχδ）（θ）=（v- 五、- 2Mβη（·-θ) - 2δχδ)(θ).一方面，（6.59）反过来使我们能够推断，对于所有η，δ>0，ψη，δ（δ）=Φ（δ）- 2δ ≤ infRdΦη- δ<infdΦη。另一方面：ψη，δ（θ）=Φη（θ）≥ 总的来说，信息θη∈ 因此|θ- θδ|> 1.因此，ψη，δ的下半连续性产生了我们可以找到一个最小序列（^θη，δ）η，δ>0的ψη，δ。此外，χδ≥ 0，（6.58），定义ψη，δ得到ψη，δ（^θη，δ）≤ Ψη,δ(θ) ≤ -α - 200万。（6.60）Asβ，χδ≤ 1.由此得出（v）-v） （η，δ）≤ -α+2δ<0，对于所有δ<α/2。因此，ηδ∈ 对于这么小的δ。作为v，v∈ C-Mandχδ≤ 1,Ψη,δ(^θη,δ) ≥ -M- 2Mβη（δ）-θ) - 2δ.再加上（6.60），这就得到了2mβη（δ）-θ) ≥ M- 2δ>0，对于所有（η，δ）∈ (0, ∞) ×（0，M/2）。通过βη的定义，进而得出βη，δ∈\'Bη（\'θ）f或全部（η，δ）∈ (0, ∞) ×（0，M/2）。因为ηδ∈ O、 （6.57）总产量（η，δ）∈ (0, ∞) ×（0，M/2）∧ α/2）：H（·，v，Dθ（v+2Mβη（·）-θ) + 2δχδ))(^θη,δ) ≥ 0和H（·，v，Dθv）（^η，δ）=0。当O上的n>0时，这将给出[（v）- （v） [（η，δ）-[D]θE-4Dθ(^θη,δ)]- [D]θvE-4Dθv（^η，δ）]n（^η，δ）≤ 0，与 := （v+2Mβη（·-θ) + 2δχδ). 正如我们在上面看到的，ηδ∈\'Bη（\'θ），存在\'θη∈\'Bη（\'θ），使得^η，δ→ηasδ→ 0，可能沿着一个序列，依次为η→θasη→ 0

因此，考虑到假设（A1），vand及其梯度的连续性，Dθβ（0）=0和|Dθχδ|≤ c在不考虑δ的情况下，在发送第一个δ后得到以下极限：→ 0然后η→ 0:lim infδ，η→0（v）（η，δ）- （v） （θ）≤ 0.因为θ7-→ （v） （θ）是下半连续的，它跟在（v+v）（v）后面- v） （θ）≤ 0，Asv+v<0，因为v，v∈ C-M、 这与（6.58）相矛盾，从而证明了这一论断。现在，为了所有人（ζ，θ）∈ D×Rd，定义映射“u”*,“u”*,~u*,~u*: D×D→ R如下所示：\'u*(ζ, θ) = -E-“u”*（ζ，θ）u*（ζ，θ）=-E-（‘u’*(ζ,θ(ζ))+ξξ（ζ，θ）k（ζ）ξ（ζ，θ）），u*（ζ，θ）=-E-“u”*（ζ，θ）u*(ζ, θ) = -E-（‘u’*(ζ,θ(ζ))+ξξ（ζ，θ）k（ζ）ξ（ζ，θ））。我们可以很容易地证明，变量的这种变化产生了引理6.10中Eikonalequation的有界解，对于引理6.10：引理6.11，比较原理适用于有界函数类。假设假设满足假设3.3、（A1）和（A2）。那么，对于所有ζo∈ D、 映射“u”*（ζo，·），~u*（ζo，·），\'u*（ζo，·），和*（ζo，·）分别是Hζo（·u）的粘度溶液、经典溶液、粘度上溶液和经典溶液*, Dθu*) ≤ 0，Hζo（·u）*, Dθu*) = 0，关于OζO*,Hζo（·u）*, Dθu*) ≥ 0和Hζo（·u）*, Dθu*) = 0.关于OζO*.此外，“u”*=~u*关于（OζO）*)坎德·u*=~u*关于（OζO）*)c、 综合前面的所有结果，我们现在可以证明命题6.6：命题6.6的证明。首先从（4.1）、（4.2）和“u”的定义中观察*还有“你”*那个-1.≤“u”*≤“u”*< 0，所以“u”*,“u”*∈ C-. Lemmata 6.10和6.11依次得出，对于任何（ζ，θ）∈ D×Rd:~u*(ζ, θ) ≤“u”*（ζ，θ）和“u”*(ζ, θ) ≤~u*(ζ, θ).作为“u”*≤“u”*根据定义，这会产生“u”*(ζ, θ(ζ)) + ξξ（ζ，θ）k（ζ）ξ（ζ，θ）≤ “u”*(ζ, θ) ≤ “u”*(ζ, θ) ≤ “u”*(ζ, θ(ζ)) + ξξ（ζ，θ）k（ζ）ξ（ζ，θ）。提案6.6现在来自美国的定义*你呢*在（6.3）中。

7假设的充分条件在本节中，我们为抽象假设a提供了一组充分条件，在这个抽象假设a下，我们的主要定理4.3成立。这些充分条件是验证定理的典型条件（比较，例如[57]），可以在具体模型中轻易验证，见第8节。此外，在这些条件下，定理4.7中的策略在小p riceimpact成本的领先顺序下确实是最优的。自始至终，我们假设给出了无摩擦值函数和相应的最优策略θ。功能VSaties十五∨(-xxv）>0，是无摩擦DPE（3.3）的经典C1,2-解。策略θ具有一阶条件（3.5）的特征，属于C1,2。特别是，假设（A1）满足任何正函数f:D→ R、 我们用cfg表示由fin控制的函数类g，其意义如下（这里，D表示D）：lim supζ的空间边界→D | g |（ζ）1+|f |（ζ）=0。（7.1）使用该符号，假设A有效性的充分条件如下：假设B。（B1）存在一个非负函数χ∈ C1,2令人满意-D<上的Lθχ>0；（B2）存在第二修正方程（3.20）的经典C1,2-解^u，其中：，) 是引理4.1中第一个修正方程（3.19）的解；（B3）^u和通过概率表示（4.5）定义的函数u属于Cχ；（B4）反馈策略θε（ζ，θ）：=-[E]-4Dξ] o ξξε(ζ, θ)2εxv（ζ）=E-2（E）-2σSσ东南方-2） 1/2Eε(-2.十五/xxv）1/2（ζ）×θ（ζ）- θ），从定理4.7是一个容许控制。（B5）集^vε：=v- ε^u- ε o ξξε.

对于每一个ε>0，就有一个函数γε，使得| vε|≤ γεonD×R，对于所有（ζ，θ，ε）∈ D×R×（0，∞):监督≤R≤Tγεr、 Sζr，Yζr，Xζ，θ，εr，θt，θ，εr∈ L.如果经典无摩擦验证定理适用，则这些假设是满足的，参见[57]及其引用。特别是，它们通常存在于可以显式求解的具体模型中。（B6）余数RεLof引理6.1，计算ψε=^vε，满足：EZTtRεL+~Rr、 Sζr，Yζr，Xζ，θ，εr，θt，θ，εr博士≤ εβ（ζ，θ），对于某些连续函数β：D×Rd→ R、 其中，对于所有人（ζ，θ）∈ D×Rd:~R（ζ，θ）：=[（Dξ）)E-4Dξ] o ξξ4(十五）^u- xθDξ o ξξ+ 十、 o ξξ(ζ, θ).备注7.1。假设（B5）需要假设（B4）中候选策略的额外可积性。这使我们能够在下面命题7.2的证明中的验证论证中，沿着局部停止时间序列应用支配收敛。在假设（B6）下，渐近展开的剩余部分可以沿着候选几乎最优策略控制。实际上，这个余数是ε级的，这不仅使我们能够恢复假设（A2），而且还可以证明所提出的策略在主导顺序O（ε）下是最优的。在具体环境中，这两个假设可以通过对驱动假设（B4）控制˙θε的差异的估计来验证，比较第8节。提议7.2。假设B意味着假设（A2）、假设（A3），其中C=Cχ和U*= U*= u=^u.证明。第一步：证明假设（A2）。Fix（ζ，θ，ε）∈ D<×Rd×（0，∞), 设置（X，θ）：=（Xζ，θ，ε，θt，θ，ε）和Υ：=（Sζ，Yζ，Xζ，θ，ε，θt，θ，ε）以简化符号，并定义停止时间τεn:=t∧ inf{u≥ t:Υu/∈ Bn（ζ，θ）}，n≥ 1.通过v，θ的光滑性和假设（B2），我们得到了^vε∈ C1,2（D×Rd）。

It^o在Turns中的公式得出^vε（ζ，θ）=E^vετεn，Υτεn-ZτεntLθεvε+ε[（Dξ)E-4Dξ] o ξξε4xv+εR（u，Υu）du.根据引理6.1，Lθ^vε（ζ，θ）=Lθv+εξξεσS二十五- Lθ^u-TrcθDξ o ξξε+^RεL(ζ, θ).现在，对v使用无摩擦DPE（3.4），对^u使用第二修正方程（3.20）（根据假设（B2）），并定义 （参见引理4.1），获得^vε（ζ，θ）=E^vετεn，Υτεn- εZτεnt^RεL+~Rε（u，Υu）du≤E^vετεn，Υτεn+ εβ（ζ，θ），其中等式遵循fr om（B6）。根据（B5）和终端条件^u（T，·）=0，支配收敛依次产生^vε（ζ，θ）≤ 埃胡Xζ，θ，εT- U′（Xζ，θ，εT）P（T，ΥT）i+εβ（ζ，θ）≤ vε（ζ，θ）+εβ（ζ，θ），（7.2）as n→ ∞. 这里，最后一个不等式来自财富过程Xζ、θ、ε的可容许性（参见假设（B4））和摩擦值函数的定义（2.6）。通过（4.1）中uε的定义，（7.2）给出了uε（ζ，θ）≤ （^u+εβ+ o ξξ)(ζ, θ). （7.3）假设（A2）依次来自^u、β和.第二步：证明假设（A3）成立，然后*= U*= u=^u.让^u∈ C1,2（D）∩ Cχ是（3.20）的经典解，让u∈ Cχ（分别为u∈ Cχ是（3.20）such thatu的较低（分别为上）半连续粘度上解（分别为下解）≥ ~u≥ uonTD。我们证明≥ ~u on D；不平等≤ uis也获得了类似的结果。相反，假设存在^ζ∈ D<因此（u- ~u）（^ζ）<0。如果κ>0足够小，我们就有（u- ~u+κχ（^ζ）<0。此外，正如（7.1）中Cχ的定义所暗示的（u- 在D的空间边界附近，u+κχ>0，因此存在ζκ∈ 我就是这样想的- ~u+κχ）=（u- ~u+κχ）（ζκ）≤ （u）- ~u+κχ（^ζ）<0。作为你≥ ~u onTD，ζκ∈ TD意味着χ（ζκ）<0，这与χ相矛盾≥ 0英寸（B1）。因此，ζkis是u的内部最小值- （~u）- κχ），以及ugives的粘度上解性质-Lθ（~u）- κχ)(ζκ) ≥ A.

因为u是-Lθu=a，它在Lθχ处跟随th≥ 0，这与（B1）相矛盾。因此，美国≥ 如所述，u在D上。将（7.3）应用于任何子类（ζε，θε）并使用^u∈ Cχ（cf（B3））产生u*, U*∈ Cχ。由于经典解^u也是（3.20）的粘性解，命题6.3、6.4和上面建立的比较结果表明*≥ ^u≥ U*. 作为你*≥ U*根据定义，这表明^u=u*= U*.（4.5）中定义的功能是局部扩展的，因为∈ Cχ和χ∈ C1,2。因此，u是（3.20）的粘性解，其如下所示：u=^u=u*= U*. 作为推论，我们得到了第二个主要结果，定理4.7：推论7.3。在假设3.3和B下，（B4）中定义的投资策略˙θε在前导顺序O（ε）处是最优的。也就是说，对于D×rd的每个紧致子集B和ε>0，都有一个常数KεB>0，使得KεB→ 0为ε→ 0和vε（ζ，θ）-εKεB≤ 埃胡Xζ，θ，εT- U′（Xζ，θ，εT）P（T，SζT，YζT，Xζ，θ，εT）i，对于所有（ζ，θ）∈ B和ε>0，其中（Xζ，θ，ε，θt，θ，ε）定义为（B4）。证据在命题7.2的证明中，我们展示了（7.2）：v（ζ）- εu（ζ）- ε o ξξ(ζ, θ) - εβ(ζ, θ) ≤ 埃胡Xζ，θ，εT- U′（Xζ，θ，εT）P（T，SζT，YζT，Xζ，θ，εT）i。因此，这一推论源自定理4.3中所示的Uλ的局部一致收敛。8例在本节中，我们展示了如何在具体环境中验证我们的所有技术假设。为了清晰起见，我们不追求最小的假设。自始至终，我们考虑一个具有指数效用函数的投资者-E-ηx对于常数绝对风险规避η>0.8.1投资组合选择，我们首先关注一个投资组合选择问题。

有一种单一的风险资产，其动态系数=uS（Yt）dt+σS（Yt）dWt，由一维自主差异驱动：dYt=uY（Yt）dt+σY（Yt）dρWt+p1-ρWt.这里，W=（W，W）是二维标准布朗运动ρ∈ [-1,1]，以及映射uS，uY，σS，σY:r7-→ R all有界且光滑，具有所有阶的有界导数，且波动率σS，σyar有界远离零。然后，Y和S都得到了很好的定义，其结果类似于[59]中的无摩擦值函数和无摩擦DPE的经典解，在这种情况下，它可以转化为线性一致抛物方程。asv（vce）=写入的vce值-ηxw（t，y），（8.1），相应的最优策略由θt=θ（t，Yt）=uS（Yt）ησS（Yt）+ρσy（Yt）ησS（Yt）给出yw（t，Yt）w（t，Yt）。与[59，定理3.1]类似，我们验证了w，θ也是有界且光滑的，具有所有阶的有界导数。特别是，第7节中对无摩擦问题的所有正则性假设都是满足的。此外，根据Novikov的条件和Girsanov的定理xv（t，Yt，Xθt）/xv（0，y，x）是等价鞅测度eq的密度过程，eq是优化问题的对偶极小值。现在，考虑恒定的线性价格影响，∧t=λ=ε>0。然后，我们所有的技术假设成立，我们得到以下结果：定理8.1。在第8节的设置中，假设3.3和B得到满足，因此定理4.3和7.3适用。因此，以反馈形式给出了一个具有小恒定价格影响∧t=λ=ε的领先订单最优策略，即˙θεt=rησS（Yt）2ε（θt）- θεt）。

（8.2）值函数的相应一阶修正如下：vε（t，y，x，θ）=vt、 y，x- CE（t，y，θ）+ o（ε），式中ce（t，y，θ）=ε√2η情商ZTtyθ（Yt，yr）σy（Yt，yr）σS（Yt，yr）博士+ σS（y）（θ（0，y）-θ).该规范允许可预测的回报，如[17,43,23,22,13]所示。为了确保arigorous验证定理具有足够的可积性，我们通过假设所有系数的有界性来截断状态变量的大值。非线性动力学和随机波动性可以轻松处理。对于w来说，这是由相应的Feynman-Kac表示法得出的。由于所有的系数都是平滑的，因此可以将偏微分方程与wand的所有导数进行类似的区分。证据由于指数效用不需要状态约束，（弱）动态规划，而摩擦值函数的粘性解性质（假设3.3）可以按照Bouchard和Touzi[11]的思路推导。现在让我们验证假设B。首先，请注意，由于所有系数函数的有界性和光滑性，它遵循f-rom支配收敛和it^o公式，即概率表示（4.5）是第二修正方程（3.20）的经典解。特别是，（B2）是满意的。接下来，我们很容易验证（B1）和（B3）也适用于χ（t，y，x）=e-在E-y+y+v（t，y，x）, 如果选择足够大的。（8.2）中的反馈策略˙θε意味着风险股的相应数量θε解（随机）线性方程。因此，它由θt，θ，ε=e显式给出-R·t√ησS（Yr）/2εdrθ+Z·t呃√ησS（Ys）/2εdsqησS（Yr）/2εθ（r，Yr）博士.因此，θε定义良好且一致有界。因此，相应的财富过程（2.5）也得到了很好的定义，相应的效用（2.7）可通过Novikov条件和θε、θ、us和σs的有界性进行积分。