价格影响小的交易

特别是，这表明定理4.7的交易率是通用的，因为它既适用于纯投资问题（如[23,27]），也适用于期权对冲（如[3]）。唯一的挑战是无摩擦的目标战略。从定理4.3中展开的价值函数反过来又使我们能够计算效用系数a l a Hodges和Neuberger[29]以及Davis、Panas和Zariphopoulou[16]的一阶近似值。5.4与上述章节中具有比例和固定交易成本的模型的联系，我们认为，交易率（5.1）普遍存在于各种优化问题中，且线性价格影响很小。现在，我们想将这一政策与其他市场摩擦的对应政策进行比较，即比例和固定交易成本。乍一看，各自的政策大相径庭。在线性价格影响下，一个人总是以一个确定的、绝对连续的速度朝着无摩擦的目标交易。相比之下，比例交易成本和固定交易成本都会导致无摩擦计时器周围出现“无交易区域”。在这个地区，投资者仍然不活跃，只有在其边界上的交易才被突破。这种不同的“精细结构”是对各种规模的交易进行不同惩罚的结果：线性价格影响产生的二次交易成本对于小型交易而言较低，因此始终进行交易是最佳选择。相反，它们对于大订单来说高得令人望而却步，因此无法实施大宗交易（如固定成本）或“当地时间类型”的反映（如比例成本），并且无法保持无摩擦目标的位移，即使其非常小。与二次成本相比，比例交易成本对小额交易的惩罚更为严厉，导致了一个非贸易区。

然而，由于较大的交易受到的惩罚较少，因此该头寸始终可以通过在边界上的反映（“以固定利率推动”）在该区域内调整。在固定成本的情况下，所有交易都会受到同样的惩罚。因此，实际上，许多小型交易变得不可行，一旦突破了非贸易区的边界，头寸就会立即重新平衡到无摩擦目标。尽管存在这些根本性差异，但正如我们现在非正式讨论的那样，所有三种市场摩擦都会导致一种惊人相似的“粗糙结构”。事实上，在按比例交易成本∧t的情况下，投资者总是在无摩擦目标周围的非交易区域保持其实际头寸，该目标的半宽度可以通过小成本明确确定[43,54,34,33]。在这一地区的内部，投资者的投资组合发展不受控制，在边界处出现瞬时反应。在前导阶，这种扩散过程的分布可以用反射布朗运动的均匀定常定律来近似[49,32,25,35,34,33]。因此，实际位置与无摩擦目标的平均平方偏差是按比例交易成本的三分之一给出的，已经得到了许多相应的结果，正式的[58,35]和严格的[8,9,45]。这些论据可以像[33]中一样严格。对应的非贸易区的半宽度：√Rt∧t（σSt）2/3σθt4/3，其中σθt=pdhθit/dt是无摩擦优化器θ的波动率。对于固定的交易成本，在非贸易区内，投资组合再次不受控制地移动，但一旦其边界被打破，就会直接重新平衡到无摩擦的目标位置。

在主导顺序下，这会导致概率密度偏离“帽函数”给出的概率密度，这是布朗运动在到达对称区间边界时在原点终止并重新开始的平稳定律。因此，与无摩擦优化器对应的偏差方差等于相应非贸易区半宽度的六分之一：√Rt∧t（σSt）1/2σθt。因此，随着功率和常数的变化，最优策略由每种情况下的相同等式决定。具有线性价格影响的最优交易率（1.1）会导致偏差t=θ∧t- θt遵循均值回复扩散过程：dt=-s（σSt）2∧tRttdt+dθt.用于较小的冰冲击（λ~ 0）这是一个局部的Ornstein-Uhlenbeck过程（在全局范围内，如果无摩擦目标策略遵循布朗运动且平均回复速度恒定），具有高斯平稳律和前导阶方差√Rt∧t（σSt）1/2σθt.同样，特定的摩擦力贡献了相应的幂和一个普适常数。相比之下，输入参数和相应的比较静态是通用的：如果市场风险高于投资者的风险承受能力，如果交易成本是实质性的，或者如果无摩擦目标策略规定了大量的再平衡，那么小摩擦的影响是大的。综上所述，尽管不同的交易成本导致“微观”层面上的最优政策从根本上不同，“宏观”图景令人惊讶地稳健。6定理4.3的证明本节包含我们第一个主要结果的证明，即小价格imp作用λ∧（·）的值函数vλ的渐近展开~ 定理4.3中的0。自始至终，我们写λ=ε和∧（ζ）=E（ζ），以避免使用分数幂。

通过稍微滥用旋转，我们还通过ε对与价格影响问题相关的所有数量进行了索引。例如，我们在这里为摩擦值写vε，E是唯一的对称正定义矩阵，该表示成立。函数vλ，用θε等表示相应的最优投资组合θ∧。定理4.3的证明策略如下：引理4.1以及第6.3节（见命题6.3、6.4和6.5）和假设（A3）的结果*(ζ, θ(ζ)) ≥ u（ζ）≥ “u”*（ζ，θ（ζ）），对于所有ζ∈ D.另一方面，我们在命题6.6（函数u*你呢*其中定义了第6.2）条，即对于所有（ζ，θ）∈ D×Rd:\'u*(ζ, θ(ζ)) ≤ “u”*(ζ, θ) -  oξξ(ζ, θ) ≤ “u”*(ζ, θ) -  oξξ(ζ, θ) ≤ “u”*(ζ, θ(ζ)).这两个估计共同证明了定理4.3.6.1余数估计第一步——也是最繁琐的一步——是估计定理4.3中展开式的余数。这与[54，备注3.4，第4.2节]类似；另见[9，引理4.4]。引理6.1。假设假设（A1）满足，回忆ζξε（ζ，θ）=（θ）-θ(ζ))/ε. 固定ε>0，两个C1,2（D×Rd）-函数φ和w，并定义ψε：（ζ，θ）7-→ v（ζ）- εφ(ζ, θ) - εwε（ζ，θ），其中wε（ζ，θ）：=wo ξε（ζ，θ）=w（ζ，ξε（ζ，θ））。集合Dιε={xψε>0}∩ {εx（φ+εwε）/十五≤ ι} 对一些人来说ι<1。那么：Lθψε=εξξεσS二十五- Lθφ-TrcθDξw+ RεL,Hεψε=ε（Dξw）oξξε)E-4Dξwoξξε4xv+RεH+^Lεφ，在Dιε上，带^Lεφ：=（Dθφ）E-4（Dθφ+2εDξwoξξε)4xv+εxφ4(xv）（Dθφ）E-4Dθφ，（6.1）θ定义为（3.5），其中RεLand RεHare连续映射定义在Dιε上，使得：（Ri）对于每个有界集B D×Rd×Rd，存在εB>0，使得ε-1（|RεL |+|RεH |）（ζ，θ）：（ζ，θ，ξξε（ζ，θ））∈ B、 ε∈ （0，εB]是有界的；让B D是一个有界集。假设φ∈ C∞b（b×Rd）和满足性（4.4）。

然后，存在εB>0和CB>0，使得| RεL（ζ，θ）|+RεH（ζ，θ）|≤ CB公司1 + ε |ξξε| + ε|ξξε|,总之ε∈ （0，εB]和（ζ，θ）∈ B×Rd证明。为清楚起见，请写下：=θuS以及∑θ=θσS,对任何人来说θ∈ Rd.我们研究Dιε，为了简洁起见，省略了相应的参数。第一步：展开线性操作符。首先，使用θ=θ+εξε，得到Lθv=Lθv+？θεξεDζv+Trhσθ（？θεξε）Dζvi+εξξεσSxxv=Lθv+（εξξε）uSxv+σS′σD（s，y）(xv）+σSσSθ二十五+εξξεσSxxv=εξξεσSxxv，无摩擦DPE（3.3）和无摩擦优化器θ的一阶条件（3.5），由于假设（A1）成立。同样的计算也得到了Lθ（εφ）=εLθφ+εRε，其中Rε：=（εξε）uSxφ+σS′σD（s，y）(xφ）+σSσSθxxφ+εξξεσSxxφ。现在，观察ξε=ξ/ε，通过定义ξξ和wε：Dζwε=Dζw-εDζθDξw，Dζζwε=εDζθDξwDζθ-εDζθDζ（Dξw）+Dζ（Dξw）Dζθ+DζζθDξw+ Dζζw.因此（回忆（3.18））：Lθ（εwε）=εTrhDζθσθσθDζθDξwi+εRε，（6.2）带Rε：=εtwε+εμθ+εξξε·Dζwε+εTrσθ+εξξεσθ+εξεDζζwε-εDζθσθσθDζθDξw= εtw- εDtθ·Dζw+εuθ+εξε·Dζw-εμθ+εξε·DζθDξw+Trhσθσ0εξξε+ σ0εξξεσθ+ σεξξεσ0εξξεDζθDξwDζθi- Trhσθ+εξεσθ+εξξεεDζθDζ（Dξw）+Dζ（Dξw）Dζθ+DζζθDξw- εDζwi、 RεL:=Rε+Rε的断言估计值现在来自假设（A1），（4.4），以及SDE系数（2.1），（2.2），（2.4）和（2.5）的连续性。第二步：展开非线性算子。首先，请注意Dιε上的xψε>0；从何而来（注3.4）：Hεψε=（Dθψε）E-4Dθψε4εxv×1- εx（φ+εwε）/十五。右手边的一阶展开式依次给出εψε=（Dθψε）E-4Dθψε4ε十五1 + εxφ十五+ εRε，带| Rε|≤（Dθψε）E-4Dθψε4εxv×εxwεxv+（1）- ι)×εx（φ+εwε）(xv）=（Dθφ+εDξw）E-4（Dθφ+εDξw）4xv×εxw-εxθ·Dξwxv+2εxφ- εxθ·Dξw+εxw(1 - ι)(xv）！，其中我们使用了我们正在研究的Dιε的第一个估计值。

因此，我们计算εψε=ε（Dξw）E-4Dξw+（Dθφ）E-4（Dθφ+2εDξw）4xv+εxφ4(xv）（Dθφ）E-4Dθφ+ε（Rε+Rε），其中Rε：=2εxφ（Dθφ）E-4Dξw+ε（Dξw）E-4Dξw4(十五）。同样，对RεH:=Rε+Rε的断言估计现在遵循所涉及函数的连续性、假设（A1）和（4.4）。连同第1步，这就完成了证明。6.2半放松的限制*, U*与具有比例[54,46,9]或固定交易成本[5]的模型不同，放宽的半限制是uε=（v- vε）/ε确实取决于当前价格影响模型中投资者投资组合中的股票数量。因此，同质化带来的关键简化显然打破了道恩定律：一阶修正项中的变量数量与原始摩擦值函数中的变量数量相同，而不是简化为[54,46,9,5]中无摩擦对应项的变量。然而，至关重要的是，第3.3节中的启发性论点表明，uε仅取决于通过二次函数得到的风险股的初始数量 由FirstCorrector方程确定。对于中间时间，这是由于摩擦DPE的扩展，在最终时间，这是（2.6）中清算罚金定义的结果。事实上，后者的选择是精确的，这样一个简单的二次函数就可以完成这项工作，参见备注2。4.减去该惩罚条款后，剩余的一阶修正与当前投资组合无关，如比例成本和固定成本。要继续，定义所有ε>0的映射uε：D×Rd→ R byuε：=\'uε- ε o ξξε，（6.3），其中归一化偏差ξξε（ζ，θ）=（θ- 无摩擦目标θ的θ（ζ））/ε定义见（3.11）和（ξ） 是引理4.1中构造的第一个修正方程的解。

在（4.2）中，相应的松弛半极限定义为asu*（ζ，θ）：=lim supε→0,(ζ′,θ′)→（ζ，θ）uε（ζ′，θ′），u*（ζ，θ）：=lim-infε→0,(ζ′,θ′)→（ζ，θ）uε（ζ′，θ′）。显然，族{uε：ε>0}和{uε：ε>0}d没有相同的松弛半极限。的确，你*还有“你”*与θ-变量无关，这一点在t=t时很明显。在过去，我们都会看到*你呢*不要依赖于θ-变量（fort=T也很明显）。这将被事后验证，与[54]相反，在[54]中，这可以被预先检查为放松的半极限\'u*还有“你”*, 关键是用于确定主要结果。定义，对于所有ε>0和（ζ，θ）∈ D×Rd，uε*（ζ，θ）：=v（ζ）- vε*（ζ，θ）ε和uε*（ζ，θ）：=v（ζ）- vε*（ζ，θ）ε，其中vε*和vε*分别表示vε的上半连续包络和下半连续包络，并观察u*（ζ，θ）=lim supε→0,(ζ′,θ′)→（ζ，θ）uε*（ζ′，θ′），u*（ζ，θ）=lim infε→0,(ζ′,θ′)→（ζ，θ）uε*(ζ′, θ′). （6.4）以下是假设（A2）、（A1）以及引理4.1的简单结果：引理6.2。假设假设（A2）和（A1）满足。然后，对于所有（ζo，θo）∈ D×Rd，有ro，εo>0，这样-∞ < uε*≤ uε*< +∞, 关于Bro（ζo，θo）∩ D、 总之ε∈ （0，εo）。特别是松弛半极限u*你呢*是局部有界的。6.3沿着无摩擦优化器的PDE表征在本节中，我们显示ζ∈ D 7-→ U*（ζ，θ（ζ））=u*（ζ，θ（ζ））和ζ∈ D 7-→ U*（ζ，θ（ζ））=u*（ζ，θ（ζ））分别是第二修正方程（3.20）的粘度亚解和上解，其中（a，) 是在EMMA 4.1.6.3.1粘度-亚粘度-性质-比例6.3中构造的第一个校正方程（3.19）的解。假设假设满足假设3.3和A，则ζ∈ D 7-→ U*（ζ，θ（ζ））=u*（ζ，θ（ζ））是第二修正方程（3.20）在D<上的粘度亚解。证据

考虑ζo∈ D<和∈ C1,2（D<）使最大ζ∈D<（严格）（u）*（ζ，θo（ζ））- ν（ζ））=u*（ζo，θo）- θ（ζo）=0，（6.5），其中θo:=θ（ζo）。我们必须证明这一点-Lθψ（ζo）≤ a（ζo）。第一步：提供一个定位序列。通过（6.4）和连续性，存在（ζε，θε）ε>0D<×Rd，使得（ζε，θε）-→ε→0（ζo，θo），uε*(ζε, θε) -→ε→0件*（ζo，θo）和pε-→ε→00，（6.6）式中pε：=uε*(ζε, θε) - φ(ζε). （6.7）现在，一方面，引理6.2保证了ro的存在，ε>0，这样，对于Bo:=Bro（ζo）×Bro（θo），我们有b*:= sup{uε*(ζ, θ) , (ζ, θ) ∈ Bo，ε∈ (0, ε]} < ∞. 另一方面，根据假设（A1），存在α∈ （0，ro]对于哪个θ∈Bro（θo），关于Bα（ζo），（6.8），在这里和下面的粘度证明中，我们总是选择足够小的rosu，以保证相应的邻域包含在D<resp中。D.对于某些人来说，ι>0:2/ι>-二十五∧ xv>ι，在‘Bα（ζo）上。（6.9）现在，选择d>0，以便：ζ -ζ′≥ d、 对于所有（ζ，ζ′）∈\'Bα（ζo）\\Bα/2（ζo）××Bα/4（ζo）。通过连续性，我们有sup2+b*-φ(ζ) ; ζ ∈\'Bα（ζo）=: M<+∞, 我们反过来定义常数co:=M/（d）∧ （ro））。根据（6.6）、假设（A1）以及引理4.1，并在必要时减少εo>0，我们得到：|ζε- ζo|∨ |θε- θo|≤α,θε- θ(ζε)≤ 1/3co，| pε|≤ 1.和 o ξξ(ζε, θε) ≤ 1/3，所有ε∈ 然后，用Bα：=Bα（ζo）×Bro（θo），观察我们仍然有uε*(ζ, θ) ≤ B*, 对所有人（ζ，θ）∈βα和ε∈ （0，εo）。步骤2：为vε构造一个测试函数*和一系列局部内部极小值。对于每个ε∈ （0,1），定义φε：（ζ，θ）∈ D×Rd7-→ 有限公司|ζ - ζε|+θ - θ(ζ)并引入以下“Bα”子集：Bo，α：=“Bα/2（ζo）×”Br/2（θo）。回顾（6.8）、（6.10）和co的选择，得出φε（ζ，θ）≥ 2+b*-ψ（ζ），对于所有ε≤ εoand（ζ，θ）∈\'Bα\\Bo，α。（6.11）另一方面，（6.10）第一行中的最后一个估计给出：φε（ζε，θε）≤ 1/3.

（6.12）我们现在定义所有ε，η∈ （0，1），函数ψε，η：=v- ε（pε+φ+φε）- ε(1 + η) oξξε，并表明vε*-ψε，η（或相当于Iε，η：=（vε）*-ψε，η）/ε）允许一个内部局部极小值。通过（6.3）中uε的定义，Iε，η=-uε*+ （pε+φ+φε）+η oξξ.结合pε与（6.12）的定义以及（6.10）中的最后一项，我们首先注意到，对于所有（ε，η）∈ （0，εo）×（0，1）:inf‘BαIε，η≤ infBo，αIε，η≤ Iε，η（ζε，θε）≤ 2/3.另一方面，因为 ≥ 通过引理4.1，它由（6.10）和（6.11）得出iε，η（ζ，θ）≥ 1，适用于所有（ζ，θ）∈\'Bα\\Bo，α和ε∈ （0，εo。）因此，通过Iεη的下半连续性和Boα的紧性，存在一个极小值（△ζε，△ε）∈“Bo，α\'Bα。（后者也取决于η，但我们没有明确指出这种依赖性，因为它在这里并不重要。）对于所有ε∈ （0，εo]和η∈ （0,1）：Iε，η~ζε,~θε≤ 0和εξξε(~ζε,~θε)∨~ζε- ζo≤ r、 （6.13）对于一些常数r>0，我们记得εζξε（挈ζε，θε）=θε- θ(~ζε).步骤3：显示每个η∈ （0，1），存在Cη>0，使得|ζξε（|ζε，θε）|≤ Cη，ε ∈ （0，εo。）As（～ζε，～θε）是vε的内部局部极小值*-ψε，η通过第2步，vε的粘度上解性质（3.6）得到-Lθε+Hεψε,η~ζε,~θε≥ 0.（6.14）从（6.9）和（6.13）中观察到，在可能降低εo>0后，我们得到xψε，η>0和εx（φ+εwε）≤ ιxv，ε∈ （0，εo）。因此，引理6.1中（Ri）的要求得到满足，因此，对于所有ε∈ （0，εo）：Lθεψε，η（ζε，θε）=εξξεσS二十五-Lθ′φε-（1+η）TrcθDξ（ζε，εε）+εRεL（ζε，εε），Hεψε，η（ζε，εε）=ε（1+η）（Dξ） o ξξε)E-4Dξ o ξξε4xv+^Lε′φε！|ζε，θε（6.15）+εRεH.在这里（回忆（6.7）），φε：=pε+φ+φεε（6.16）和Rε：=RεL+RεH，满足|Rε|（|ζε，θε）≤ c、 总之ε∈ （0，εo]，（6.17）对于某些常数c>0。现在，用它重写上面的Lθεψε，η 是第一修正方程（3.19）的解。

总之ε∈ （0，εo），估算（6.14）得出：ηξξεσSxxv+Lθ′φε+（1+η）a- Rε+（1+η）（Dξ o ξξε)E-4Dξ o ξξε4十五-（1+η）（Dξ） o ξξε)E-4Dξ o ξξε4十五-^Lεφε（ζε，θε）≥ 0.（6.18）观察E为正定义，η≥ 0:[1 + η - （1+η）]（Dξ o ξξε)E-4Dξ o ξξε4十五≤ 0.我们在下面的第4步中证明，有一个常数c>0，使得f或ε∈ （0，εo]：-^Lε′φεε（～ζε，～θε）≤ c、 （6.19）将其与（6.18）、（6.9）、（6.17）和椭圆度条件（2.3）相结合，给出sc+c+n（1+η）a+Lθφεo（△ζε，△ε）≥ （ηηγo/2）|ξξε|（ιζε，θε），对于所有ε∈ （0，εo]，对于某些γo>0。现在，通过考虑a和Lθ′φε以及（6.10）和（6.13）的连续性，得出步骤3的结论。第四步：证明（6.19）。回想一下（6.1）中^Lε的定义；作为E和kare的积极定义，如下所示：-^Lε^φεε≤ -（1+η）（Dθθφε）E-4（Dξ） o ξξε)2ε十五-x′φε4(xv）（Dθφε）E-4Dθθφε≤ -（1+η）4co |ξξ|ξξE-4kξε十五-x′φε4(xv）（Dθφε）E-4Dθθφε≤ -x′φε4(xv）（Dθφε）E-4Dθφε，其中第二个不等式来自基于（6.16）中θφε的定义和 引理4.1。通过构造φε，以及（6.13）和（6.9），这就产生了所需的上边界cat（～ζε，～θε）。第五步：总结命题的证明。在上一步中，（§ζε，ξξε（§ζε，θε））ε∈（0，\'εη]是一致有界的。因此，存在（\'ζ，\'ξ），可能沿着一个子序列，（△ζε，ξξε（△ζε，θε））→（\'ζ，\'ξ）asε→ 此外，根据（6.5），粘度溶液理论中的经典参数给出了ζ=ζo，参见，例如[14]。（注意‘ξ’依赖于η，但我们将在下面看到这种依赖是无害的。）通过（6.14），limε→0-εLθε+Hεψε,η~ζε,~θε≥ 0.利用（6.15），我们进一步推导出thatlimε→0-ξξεσSxxv+Lθφ+Lθφε+1+ηTrcθ0dξ o ξξε-（1+η）（Dξ） o ξξε)E-4Dξ o ξξε4xv+Rε-^Lεφε！~ζε,~θε≥ 0，其中，引理6.1中的by（Ri）：Rε~ζε,~θε→ 0，作为ε→ 0