价格影响小的交易

通过定义φε和步骤3，（Lθφε-^Lεφε（ζε，θε）→ 0为ε→ 0.因此，也考虑到 是第一个C orrector方程（3.19）的解：Lθη+ηTrcθDξ(·,ξ)-（2η+η）（Dξ） o (·,ξ))E-4Dξ(·,ξ)4xv+a（ζo）≥ 0.（6.20）现在，注意（2η+η）（Dξ o （ζo，\'ξ））E-4Dξ(·,ξ)4xv（ζo）≥ 0由于（6.9）。加上（6.20），这表明Lθη+ηTrcθDξ(·,ξ)+ A.（ζo）≥ 最后，注意ηTr[cθ0dξ（ζo，\'ξ）]=ηTr[cθ0 k（ζo）]不依赖于\'ξ。我们现在将η发送到零，以达到-Lθψ（ζo）≤ a（ζo）。这就完成了证明。6.3.2粘度上溶性粘度6.4。假设假设满足假设3.3和A，则ζ∈ D 7-→ U*（ζ，θ（ζ））=u*（ζ，θ（ζ））是第二修正方程（3.20）在D<上的粘度上解。证据考虑ζo∈ D<和∈ C1,2（D<）使最小ζ∈D<（严格）（u）*（ζ，θo（ζ））- ν（ζ））=u*（ζo，θo）- θ（ζo）=0，（6.21），其中θo:=θ（ζo）。我们必须证明-Lθψ（ζo）≥ a（ζo）。通过（6.4）和连续性，存在（ζε，θε）ε>0 D<×Rd，使得（ζε，θε）-→ε→0（ζo，θo），uε*(ζε, θε) -→ε→0件*（ζo，θo）和pε-→ε→00，其中pε：=uε*(ζε, θε)-φ(ζε). 根据假设（A1）和引理4.1，有ro>0和dεo∈ （0,1]满足|ζε- ζo|≤ro，| pε|≤ 1.和 oξξ(ζε, θε) ≤ 1/3，所有ε≤ ε. （6.22）此外，假设（A1）确保ι>0的存在，使得2/ι>-二十五∧ xv>2ι，在`Bro（ζo）上。（6.23）步骤1：对于每个ε∈ （0，ε），提供一个惩罚函数φε，以便在步骤2和3中为vε构造一个方便的测试函数。还提供一个常数ξ*, 与ε无关，这将在步骤5和6中使用。由于φ是光滑的，因此存在一个常数M<∞ 真是太棒了φ(ζ) ; ζ ∈\'Bro（ζo）≤ M- 4.（6.24）鉴于（6.22），有一个有限的d>0，因此|ζ- ζε|≥ d代表所有ζ∈ 兄弟(o） ，我们选择CO>0，这样cod≥ M

通过这种旋转，定义φε（ζ）：=φ（ζ）+pε- co |ζ-ζε|，并从（6.22）、（6.24）中观察，以及cothatφε（ζ）的选择≤ -3，对于所有ζ∈ Bro（ζo）和ε∈ （0，εo]。（6.25）回忆一下pε的定义和（6.22）中的最后一个术语，并观察以备以后使用- \'uε*(ζε, θε) + φε(ζε) ≥ -1/3，所有ε∈ （0，εo]（6.26）现在，一方面，将（6.23）与kE的正特性结合起来-4k产生了γE>0的存在，使得x（克-4k）（ζ）x4xv（ζ）≥ γE | x |，对于所有（ζ，x）∈另一方面，Bro（ζo）×Rd（6.27），以及E的连续性-4而且肯恩确信有这样的人E-4.|k |（ζ）4xv（ζ）≤ 克，尽管ζ∈\'Bro（ζo）。（6.28）也表示K，K，Kθ>0三个有限常数，以便以后使用，例如2 | K（ζ）|≤ K、 |cθ（ζ）|≤ 2Kθ，和Lθφ（ζ）≤ K、 总之ζ∈\'Bro（ζo），（6.29）式中φ（ζ）：=ν（ζ）-co |ζ-ζo |。通过对[46，引理5.4]的稍加修改，存在（hη）η∈(0,1]C∞（Rd；[0,1]）和（aη）η∈(0,1] (1, ∞) 满足hη=1，关于B（0），hη=0，关于Bcaη（0），|x|Dxhη（x）|≤ η和| x|dxhη（x）≤ C*,（6.30）对于所有x∈ 和一些常数C*> 0与η无关。最后，对于每个δ∈ （0，1），我们选择ξ*,δ> 0（ξ）*,δ） =1+2[K+KθK（6+C）*)γE（2δ）-δ).第2步：构建vε测试函数的“初稿”，用于构建第3步中的“真实”测试函数。对于每个（ε，η，δ）∈ （0，εo]×（0，1），定义ψε，η，δ：=v- εφε- ε(Hη，δ）oξε，其中hη，δ：ξ∈ Rd7-→ (1 - δ） hηξξ*,δ,归一化偏差ξξε的定义如（3.11）所示，以及 是Lemm a 4.1中第一个修正方程的解。我们想构造一个vε的局部最大化子*-ψε，η，δ（或等价物）ε，η，δ：=ε（vε*- ψε,η,δ)). 然而，它将使OUT低于需要进一步修改的ψε、η、δ，使之成为可能。实际上，considerIε，η，δ=-\'uε*+ φε+ ε(Hη，δ）o ξξε.到（6.26），因为Hη，δ≥ 0，Iε，η，δ（ζε，θε）≥ -1/3.

（6.31）另一方面 在引理4.1和（4.1）、（6.22）、（6.29）η中，δ∈（0,1）和0≤ Hη，δ（ξ）≤ 1{|ξ|≤aηξ*}意味着，对于所有（ζ，θ）∈\'Bro（ζo）×Rd:Iε，η，δ（ζ，θ）≤ φε（ζ）+Kε|ξξε|{124;ξξε|≤aηξ*,δ}(ζ, θ)≤ φε（ζ）+Kε（aηξ*,δ)≤ φε（ζ）+1，对于所有ε≤ εη，δ，（6.32），其中εη，δ：=εo∧ （K1/2aηξ）*,δ)-1.注意，在（6.32）中，与命题6.3中的亚解析性质证明不同，θ与θ（ζ）的偏差不受φε的惩罚。因此，即使是有限的，也没有必要达到这个上限。定义集合Qo:={（ζ，θ）∈ D<×Rd:ζ∈\'Bro（ζo）}，并从（6.32）thatsup（ζ，θ）观察∈QoIε，η，δ（ζ，θ）≤ supζ∈对于所有ε，Bro（ζo）{φε（ζ）+1}≤ εη,δ.因此，通过‘Bro（ζo）的紧性，φε（6.22）的连续性，以及εη，δ≤ εo，我们有：Iε，η，δ：=sup（ζ，θ）∈QoIε，η，δ（ζ，θ）<∞, ε ≤ εη,δ.因此，对于每个ε∈ （0，εη，δ），存在（^ζε，η，δ，ε，η，δ）∈Int（Qo）满足iε，η，δ^ζε,η,δ,^θε,η,δ≥ Iε，η，δ-ε. （6.33）步骤3：对于每个η，δ∈ （0,1）和ε∈ （0，εη，δ），最终提供一个测试函数ψε，η，δ和一个测试点（△ζε，η，δ，△ε，η，δ）∈Int（Qo），令人满意的maxqo（vε*-ψε，η，δ）=（vε*-ψε,η,δ)(~ζε,η,δ,~θε,η,δ).引入一个偶数实值函数f∈ C∞b（R）满足0≤ F≤ 1，f（0）=1和f（x）=0无论何时|x |≥ 1.也就是fixη，δ∈ （0,1）和ε∈ （0，εη，δ）。考虑¨ψε，η，δ（·，θ）：=ψε，η，δ（·，θ）- εfθ -^θε,η,δε，η：，以及vε*-ψε,η,δ（·，θ）=Iε，η，δ（·，θ）+εfθ -^θε,η,δ.由（6.33）和f（0）=1，\'Iε，η，δ^ζε,η,δ,^θε,η,δ= Iε，η，δ^ζε,η,δ,^θε,η,δ+ ε≥ Iε，η，δ+ε。

（6.34）此外，通过定义f，如果∈ Rdsatis|θ-^θε，η，δ|>1，然后Iε，η，δ（ζ，θ）=Iε，η，δ（ζ，θ）。因此，设置Qε：={（ζ，θ）∈ Qo:|θ-^θε,η,δ| ≤ 1} 因为（ζε，η，δ，ε，η，δ）∈ Qε，这个等式与（6.34）相结合意味着supqεIε，η，δ>supQoIε，η，δ≥ supQo\\QεIε，η，δ=supQo\\QεIε，η，δ。结果：sup（ζ，θ）∈Qo’Iε，η，δ（ζ，θ）=sup（ζ，θ）∈QεIε，η，δ（ζ，θ）。因此，通过Iε、η、δ的上半连续性和Qε的紧致性，存在（△ζε、η、δ、△ε、η、δ）∈ qoiε，η，δ。事实上，（ζεηδεηδ）∈Int（Qo），因为（6.22），（6.31），f≥ 0和ε∈ （0，εη，δ）给出Iε，η，δ~ζε,η,δ,~θε,η,δ≥\'Iε，η，δ（ζε，θε）≥ Iε，η，δ（ζε，θε）=0，而（6.25），（6.32），f≤ 1和ε∈ （0，εη，δ]带εη，δ≤ 1表示Iε，η，δ≤ Iε，η，δ≤ -2+ε<0，开Qo。第4步：显示每个η的δ∈ (0, 1), {ξξε(~ζε,η,δ,~θε,η,δ) ; ε ∈ （0，\'εη，δ]}是一致有界的，因此沿着一个子序列向某个\'ξη，δ]收敛∈ Rdasε→ 0.根据前面的步骤和命题3.6，-Lθε，η，δ+Hεψε,η,δ(~ζε,η,δ,~θε,η,δ) ≤ 此外，通过（6.23），Hη，δ，asξ的构造*不依赖于ε和f∈ C∞b（R），可能会减小εη，δ>0 y ieldsx′ψε，η，δ（△ζε，η，δ，△ε，η，δ）>0和εx（φ+ε）(Hη，δ）oξξε) ≤ ι十五。在引理6.1中应用（Rii）则给出-ξξεσSxxv+Lθ′φε+TrhcθDξ(Hη，δ）o ξεi-RεL-（Dθψε，η，δ）E-4Dθψε，η，δ4εx′ψε，η，δ(~ζε,η,δ,~θε,η,δ) ≤ 0，（6.35）式中φε（·，θ）：=φε- εf（|θ-^θε，η，δ|），对于某些常数C>0和所有ε∈ （0，εη，δ]：|RεL |（|ζε，η，δ，θε，η，δ）≤ Cε + |εξξε| + |εξξε|(~ζε,η,δ,~θε,η,δ).现在假设{ξξε（~ζε，η，δ，~θε，η，δ）；ε∈ （0，\'-εη，δ]}不是沿着某个子序列一致有界的。然后，通过构造Hη，δ和asξ*,δ不依赖于ε，因此(Hη，δ）oξξε及其所有导数消失。另一方面，f∈ C∞b（R）表示|（Dθψε，η，δ）E-4Dθψε，η，δ|≤ εcf对于某些常数cf。

最后，通过构造φε，η，δ和ζε，η，δ∈Bro（ζo），我们得出结论（Dθψε，η，δ）E-4Dθψε，η，δ4εx′ψε，η，δ（△ζε，η，δ，△ε，η，δ）→ 0，作为ε→ 在可能增加C>0之后-ξξεσSxxv+Lθ′φε(~ζε,η,δ,~θε,η,δ) ≤ C1 + |εξξε| + |εξξε|(~ζε,η,δ,~θε,η,δ).用γ>0表示（2.3）中对应于集合¨Bro（ζo）的常数。将（6.23）与Lθ′φε和∧ζε，η，δ的连续性结合起来∈Bro（ζo），然后我们得到γζε（ηζε，η，δ，θε，η，δ）≤ C1 + |εξξε| + |εξξε|(~ζε,η,δ,~θε,η,δ).这与{ξξε（＠ζε，η，δ，＠ε，η，δ）；ε∈ （0，\'εη，δ]}是无约束的。特别是，沿着一个子序列，（△ζε，η，δ，ξε（△ζε，η，δ，δ，θε，η，δ））因此收敛到某个有限点（\'）ζη，δ，δ，ξη，δ）∈D<×Rdasε→ 0.第5步：显示每个δ∈ （0,1），有‘ηδ∈ （0，1）使得{ξη，δ；η∈ (0, ηδ]}  Bξ*,δ（0），因此可能沿着子序列收敛到一个点^ξδ∈ Bξ*,δ(0).首先，请注意，前面的步骤意味着引理4.1中（Ri）的要求得到了满足，因此（6.35）中的余数RεL（ηζε，η，θε，η）收敛为零→ 0.通过所有相关函数的连续性，发送ε→ 0英寸（6.35）表示-(ξη,δ)σS二十五-[Dξ（Hη，δ)]E-4Dξ（Hη，δ）)4.十五(ζη,δ,ξη,δ)≤Lθφ+TrhcθDξξ（Hη，δ)我(ζη,δ,ξη,δ).（6.36）我们首先关注这种不平等的右侧。As（°ζη，δ）（η，δ）∈(0,1)\'Bro（ζo），结合引理4.1和（6.29）以及（6.30）中的最后一项，给出了所有（η，δ）∈ (0, 1):Lθφ+TrhcθDξξ（Hη，δ)我(ζη,δ,ξη,δ) ≤ K+Kθ（6K+C）*K） 。（6.37）现在考虑（6.36）中的左侧，并省略参数（‘ζη，δ，’ξη，δ），以简化注释。As0≤Hη，δ≤ (1 - δ） 还有E-4是积极的定义，我们-(ξη,δ)σS二十五-[Dξ（Hη，δ)]E-4Dξ（Hη，δ）)4.十五≥ -(ξη,δ)σS二十五- (1 - δ） [Dξ]E-4Dξ4.十五（6.38）-2(1 - δ） Hη，δξ*,δ[Dξ]E-xH4D·ξ*,δ4.十五（6.39）-(1 - δ)ξ*,δ[Dxh·ξ*,δ]E-4Dxh·ξ*,δ4.十五。

（6.40）因为 求解第一修正方程（3.19），其中（6.38）项满足-(ξη,δ)σS二十五- (1 - δ） [Dξ]E-4Dξ4.xv=（2δ）- δ） [Dξ]E-4Dξ4.十五≥ (2δ - δ） γEξη,δ,如果第二个不等式来自（6.27）和引理4.1，回想一下‘ζη，δ∈\'Bro（ζo）。接下来是引理4.1、（6.28）、（6.30）和‘ζη，δ∈\'Bro（ζo）表示以下估算值f或（6.39）：-2(1 - δ） Hη，δξ*,δ[Dξ]E-xH4D·ξ*,δ4.十五≥ -4(1 - δ） ηKEξη,δ.同样，对于（6.40），我们有-(1 - δ)ξ*,δhDxh·ξ*,δ我E-xH4D·ξ*,δ4.十五≥ -(1 - δ） ηKEξη,δ.这三者加在一起，就等于-(ξη,δ)σS二十五-[Dξ（Hη，δ)]E-4Dξ（Hη，δ）)4.十五≥ξη,δ(2δ -δ） γE- 柯（1）- δ)η (4 + (1 - δ)η).现在，注意（2δ-δ） 对于所有δ，γE>0∈ (0, 1). 因此，对于每个δ∈ （0,1），存在‘ηδ∈ （0，1）使-柯（1）-δ)η(4 + (1 - δ)η) ≥ -(2δ -δ） γE/2和-(ξη,δ)σS二十五-[Dξ（Hη，δ)]E-4Dξ（Hη，δ）)4.十五≥(2δ -δ） γEξη,δ. （6.41）最后，将（6.36）与（6.37）和（6.41）结合起来给出ξη,δ≤2[K+Kθ0（6K+C*K） [（2δ-δ） γE<（ξ）*,δ） ，完成第5步。第6步：总结命题的证明。首先，请注意ξη,δ< ξ*,δ、 总的来说η∈ （0，\'ηδ]，加上Hη的定义，δ给出Hη，δ（\'ξη，δ）=1-δ及其导数van ish forall（δ，η）∈ （0，1）×（0，ηδ）。设（ζδ，ξδ）表示（子）序列的极限（ζη，δ，ξη，δ）为η→ 0.根据粘性溶液理论中的经典论点（cf，例如[14]），（6.21）暗示^ζδ=ζo.结合（6.35）和以下事实： 依次求解第一个校正方程（3.19）yields0≥(2δ -δ） （Dξ）)E-4Dξ()4.xv+Lθ+（1）- δ） a（ζo，^ξδ）≥ Lθν（ζo）+（1）- δ） a（ζo）。这里，最后一个不等式直接来自δ∈ （0,1），引理4.1，（6.23），以及E-4.因为a（ζo）不依赖于δ，所以发送δ→ 0完成该职位的发布。6.3.3终端条件6.5。

假设假设满足假设3.3和A，那么*（ζ，θ（ζ））=u*（ζ，θ（ζ））=0，对于所有ζ∈ TD。证据根据定义，我们有*(ζ, θ(ζ)) ≥ U*(ζ, θ(ζ)) ≥ 因此，有必要向你展示*(ζ, θ(ζ))) ≤0，对于所有ζ∈ TD。相反，假设有（ζo，δ）∈ TD×（0，∞) 这样，随着θo:=θ（ζo）：u*（ζo，θo）≥ 5δ > 0. （6.42）步骤1：为vε提供一个测试函数ψε*以及vε的局部极小值*-ψε. 根据（6.4），存在（ζε，θε）ε>0 D×Rd使得（ζε，θε）-→ε→0（ζo，θo）和uε*(ζε, θε) -→ε→0件*（ζo，θo）。（6.43）假设沿着子序列，ζε∈ TD。然后，假设3.3和命题3.1中的终端条件与 ≥ 0（参见引理4.1）yielduε*（ζε，θε）=（uε）*-  o ξξ)(ζε, θε) ≤ 0，这与小ε的（6.42）相矛盾。因此，我们可以假定ζε∈ D<。（6.44）通过与命题6.3的证明类似的论证，假设（A1）和（A2）结合（6.42）和（6.43）使我们能够找到≥ α>0，co>0，ι>0，εo>0，这样，对于所有ε∈ （0，εo]：（ζε，θε）∈ 波，α，θε- θ(ζε)≤ δ/co和uε*(ζε, θε) ≥ 4δ,十五∧ (-二十五）≥ 2ι和 o ξξ≤ βα（6.45）uε上的δ*-βφ（·；ζε）<0在Bα上\\Bo，α，（6.46），其中Bα：=（Bα（ζo）∩ D） ×Bro（θo）以及bo，α：=n（ζ，θ）∈\'Bα：ζ∈\'Bα（ζo）和θ∈\'B\'ro（θo）o，\'φ：（ζ，θ；ζ′）∈ D×Rd×d7-→ 有限公司ζ -ζ′+θ - θ(ζ).通过E的积极不确定性和连续性-4结合假设（A1），存在γe>0，从而ξE-4ξxv（ζ）≥ γE |ξ|，对于所有ξ∈ Rd和所有ζ∈\'Bα。（6.47）另一方面，σ砂假设（A1）的连续性意味着‘γ>0，因此-ξσS二十五≤ \'γ|ξ|，对于所有ξ∈ Rd和所有ζ∈\'Bα。（6.48）因此，我们可以选择“φ足够大以满足”γ定义的恒定硬币- coγE≤ 0.（6.49）定义φε：（ζ，θ）∈ D×Rd7-→ δT- tT- tε+？（ζ，θ；ζε）。然后，通过假设（A1）和（6.44），函数ψε：=v- εφε是光滑的。

vε的低连续性*反过来，可以从（6.46）中得出，在Bα上，函数vε*-ψε有一个局部极小值（∧ζε，θε）∈ 波，αInt（Bα）。此外，通过（6.45），该最小值满足uε*(~ζε,~θε) ≥ δ、 重复导致（6.44）的参数，显示ζε∈ D<。第二步：总结证据。鉴于前面的步骤和假设3.3，我们-Lθε+Hεψε(~ζε,~θε) ≥ 0，对于所有ε∈ （0，εo）.通过构造ψε和因为（～ζε，～θε）∈\'Bα，可能减少εogives（～ζε，～θε）∈ {xψε>0}∩ {εx（φ+εwε）≤ ι所以（Ri）成立。因此，引理6.1产生-ξξεσSxxv+Lθφε-（Dθθφ）E-4Dθ′φ4ε十五-x′φ4(xv）（Dθθφ）E-4Dθ′φ+Rε(~ζε,~θε) ≥ 0，其中Rε（～ζε，～θε）一致有界于ε∈ （0，εo）。因此，通过假设（A1）和ψε的构造，存在一个与ε无关的常数C>0，从而：(-δT- tε-ξξεσS二十五-4co |ξξε|E-4|ξξε|4xv）（ζε，θε）≥ -C、 总之ε∈ （0，εo。）回想一下（ζε，εε）∈βα；因此，（6.47-6.49）收益率(-ξξεσS二十五-4co |ξξε|E-4|ξξε|4xv）（ζε，θε）≤ (γ - coγE）ξξε（＠ζε，＠θε）≤ 0.结果：δ/（T）- tε）≤ C、 总之ε∈ （0，εo）。注意ζois T的时间分量，因为ζo∈ TD。相比之下，ζε的时间常数为tε。对于小ε，这与（6.43）相矛盾，完成了证明。6.4 Eikonal方程本节致力于证明以下结果，这在证明我们的主要定理4.3时至关重要。提案6.6。假设假设假设3.3、（A1）和（A2）是满足的*(ζ, θ(ζ)) ≤ U*(ζ, θ) ≤ U*(ζ, θ) ≤ U*（ζ，θ（ζ）），对于所有（ζ，θ）∈ D×Rd.为了便于标注，定义为：（ζ，θ）∈ D×Rd7-→ -2.十五二十五ξξσS(ζ, θ). （6.50）根据假设（A1），这是一个非负光滑函数。引理6.7。假设假设满足假设3.3、（A1）和（A2）。

然后，你*还有“你”*分别是Eikonal方程（Dθu）的（不连续的）粘性子解和上解*)E-4Dθu*≤ n、 分别是（Dθu*)E-4Dθu*≥ n、 在D<×Rd.证明上。我们关注的是次解析属性；同样地得到了上解的性质。考虑（ζo，θo）∈ D<×Rd和平滑的functionа使得maxD<×Rd（严格的）（\'u*-~n）=（`u*-θ）（ζo，θo）=0。由“u”的定义*, 存在（ζε，θε）ε>0 D<×Rd，其中（ζε，θε）-→ε→0（ζo，θo），\'uε*(ζε, θε) -→ε→0\'u*（ζo，θo）和pε：=\'uε*(ζε, θε) - φ(ζε, θε) -→ε→00.（6.51）通过假设（A1）、（A2）和（6.51），有ro，εo，ι>0，使得2/ι≥ -二十五∧十五≥ ιon Bo，|pε|≤ 1 , (ζε, θε) ∈ Bro（ζo，θo）和b*:= sup{uε*(ζ, θ) : (ζ, θ) ∈ Bo，ε∈ （0，εo]}<∞,（6.52）式中，Bo:=B4ro（ζ，θo）。最后一个估计意味着d>0的存在，其中|ζ-ζε|+ |θ - θε|≥ d、 对所有人（ζ，θ）∈ Boandε∈ （0，εo。）另一方面，连续的φ产生1∨ sup{2+b*- φ(ζ, θ) : (ζ, θ) ∈ Bo}=:M<+∞, 所以我们可以选择一个常数≥ M/d>0，与ε无关。由此得出φε（ζ，θ）≥ 2+b*- ν（ζ，θ），适用于所有（ζ，θ）∈ Boandε∈ （0，εo]，（6.53）式中φε：（ζ，θ）∈ D×Rd7-→ 有限公司|ζ -ζε|+ |θ - θε|.现在，定义ψε：=v- ε（pε+ψ+φε）和Iε：=（vε）*- ψε）/ε。一方面，我们有iε（ζε，θε）=0。另一方面，通过定义pε，uε*, φε，以及（6.52）和（6.53）：Iε（ζ，θ）≥ 1代表所有（ζ，θ）∈ 波。通过Iε的上半连续性，可以得出Iε在Bo上允许一个内部极小值（ζε，θε）。此外，经典参数[14]显示（ζε，θε）→ （ζo，θo）asε→ 因此，假设3.3 imp中的粘性上解性质-（Lθε+Hε）ψε（ηε，θε）≥ 0，对于所有ε∈ （0，εo）。在可能降低εo>0后，我们得到xψε（△ζε，△ε）>0。

因此，引理6.1，φε的连续性，以及φε及其导数随ε消失的事实→ 0收益率-ξξσSxxv+εRε-（Dθ~n）E-4Dθθ4xφε(~ζε,~θε) ≥ 0，其中εRε→ 0为ε→ 0.发送ε→ 0依次给出-ξξσSxxv（ζo，θo）≥（Dθ~n）E-4Dθθ4xv（ζo，θo），它证实了所断言的粘度亚溶解特性。接下来，我们展示“u”*还有“你”*满足[14，定义7.4]：引理6.8中的广义终端条件。假设假设假设3.3、（A1）和（A2）满足，那么，\'u*还有“你”*分别是Minn’u的（不连续）粘度亚溶液和上溶液*- ξξkξξ；（Dθu*)E-4Dθu*- 不≤ 0，开TD×Rd和maxn\'u*-ξξkξξ；（Dθu*)E-4Dθu*- 不≥ 0，开TD×Rd证明。考虑（ζo，θo）∈ TD×Rd和平滑的function~n，使得0=（\'u*- θ）（ζo，θo）=maxD×Rd（严格）（\'u*- φ).假设存在δ>0，其中u*（ζo，θo）- ξξ（ζo，θo）k（ζo）ξ（ζo，θo）≥ δ. 重复命题6.5的论证，然后给出-ξξσSxxv（ζo，θo）≥（Dθ~n）E-4Dθθ4xv（ζo，θo），下面是亚固结性质。同样地得到了上解的性质。接下来，我们展示“u”*, “u”*如果ζ-变量是固定的，并且它们仅被视为θ-变量的函数，也可以求解Eikonal方程：引理6.9。假设假设满足假设3.3、（A1）和（A2）。那么，对于任何ζo∈ D<，函数θ7-→ “u”*（ζo，θ）和θ7-→ “u”*（ζo，θ）分别是（（Dθθθ）E-4Dθ~n=n，在Rd\\{θ（ζo）}，θ≥ “u”*（ζo，·）（分别为。≤ “u”*（ζo，θ（ζo）），在{θ=θ（ζo）}上。对于任何ζo∈ TD，函数θ7-→ “u”*（ζo，θ）和θ7-→ “u”*（ζo，θ）分别是minn\'u的粘度亚溶液和上溶液*（ζo，·）- ξξk（ζo）ξ（ζo，·），（Dθu*)E-4（ζo）Dθu*（ζo，·）- n（ζo，·）o≤ 0，最大*（ζo，·）- ξξk（ζo）ξ（ζo，·），（Dθu*)E-4（ζo）Dθu*（ζo，·）- n（ζo，·）o≥ 0.证明。