价格影响小的交易

（3.16）通过（3.9）、（3.10）和（3.11），这确定了小价格影响（λ）的最佳交易率~ 0）as˙θλ（ζ，θ）~ -λ3/4ξ(ζ, ξξ(ζ, θ))2λΛ(ζ)xv（ζ）=-±sσs，1（t，s，y）2λ∧（ζ）R（ζ）（θ- θ(ζ))!.显然，人们应该总是朝着无摩擦位置θ交易，而不是远离它，因此kis的正号是（3.16）中的正确符号。因此，对于小λ，最优政策规定以符合（1.1）的比率qσS，1/（2λ∧R）向目标投资组合进行交易。进一步观察kgivesλ的显式形式 oξξλ= λ1/2 oξξ=U′λ1/2P onTD，因此u in（3.15）的终端条件为asu=0，onTD。（3.17）3.4校正方程在一般多维情况下，让我们现在陈述校正方程（3.13-3.14,3.17）的一般多维对应项。为此，我们首先介绍（3.12）中定义的局部二次变量cθ的d维对应物：cθ（ζ）：=dhθitdt（ζ）=（dζθ）σθσθDζθ。（3.18）使用此符号，一般多变量情况下的校正方程如下：定义3.6。

给定点ζ的（校正方程）∈ D、 未知对的第一个校正方程（a（ζ），(ζ, ·)) ∈ R×C（R）是ξσS二十五-TrcθDξ(·, ξ)+（Dξ）)Λ-1Dξ4.xv（·ξ）+a（ζ） =0，（3.19）加上归一化(ζ, 0) = 0.秒校正器方程使用第一个校正器中的常数项a（ζ），是函数u:D的简单线性方程→ R:(-Lθu=a，在D<，u=0，在TD。（3.20）我们说，) 是修正方程的解。对于单个风险资产（d=1）和单个状态变量（m=1），可以很容易地验证这些定义是否与上文第3.3节中试探性推导的方程一致。4主要结果我们的主要结果是在价格影响∧t=λ（·）较小的情况下，价值函数vλ的渐近展开~ 0，以及“几乎最优”的交易策略，该策略在领先订单上实现最佳性能。为了表述这些结果，设置`uλ（ζ，θ）：=v（ζ）- vλ（ζ，θ）λ1/2≥ 0.（4.1）然后，可以在我们的假设3.3下分析这种差异的前导阶行为，即摩擦值函数是相应DPE的粘性解，并满足以下抽象条件：假设a.（A1）（无摩擦问题的规律性）无摩擦值函数和最优投资策略θ属于C1,2。此外十五∧ (-xxv）>0。（A2）（局部均匀界）对于任何（ζo，θo）∈ D×Rd，存在ro，λo>0，使得supn\'uλ（ζ，θ）：（ζ，θ）∈ Bro（ζo，θo）∩ （D×Rd）和λ∈ （0，λo]o<∞.（A3）（比较）存在第二修正方程（3.20）的粘度解u。此外，还有一类函数C包含u，\'u*（·，θ（·））和u*（·，θ（·））使得≥ uforall u，u∈ 其中u（分别为u）是下半连续（分别为上半连续）粘性上解（分别为。

第二个修正方程（3.20）的次分辨率）。给你*, “u”*表示以下放宽的s限制：\'u*（ζ，θ）：=lim supλ→0,(ζ′,θ′)→（ζ，θ）\'uλ（ζ′，θ′，\'u*（ζ，θ）：=lim infλ→0,(ζ′,θ′)→（ζ，θ）uλ（ζ′，θ′，（4.2）表示所有（ζ，θ）∈ D×Rd，这是定义明确的上-下。假设A2下的下半连续函数。假设（A1）和（A3）是技术性的，可以通过对模型的系数函数施加充分的正则性条件来保证。关键假设是（A2），该假设假设由于价格影响λ∧较小而导致的价值函数的前导阶修正，将O阶（λ1/2）定义为λ→ 0.这种情况需要用更具体的参数进行验证。参见第7节和第8节，了解实现这一点的验证定理，了解动态规划方程的高效正则经典解。第7节提供了其有效性的便利条件，并在第8节的特定设置中进行了验证。与比例成本和固定成本的相关结果[54,5]一样，这些“验证定理”基于经典光滑解的可用性。特别是，u是C类引理4.1中（3.20）的唯一粘度解。假设假设（A1）满足。然后，第一个修正方程（3.19）由局部有界泛函（ζ）=Tr[cθk]（ζ）（4.3）和映射求解 : ξ 7-→ ξk（ζ）ξ，其中cθ=dhθi/dt是无摩擦目标策略θ和正半定函数k的局部二次变化∈ C1,2（D；Sd）定义为（ζ）=xvp-2.十五/xxvh∧1/2（λ-1/2σSσS∧-1/2）1/2∧1/2i（ζ）。此外，如果假设（A2）成立，则沿着无摩擦最优策略θ进行评估，这些米利米特’u*（·，θ（·）），u*（·，θ（·））分别是第二修正方程（3.20）的粘度子解和上解。证据

在（A1）项下，断言的第一部分很容易通过直接计算进行验证。对于第二部分，首先要注意的是，固定半极限是由假设（A2）确定的，并且分别是上限。定义为下半连续。使用假设（A1）和（A2），我们在建议6.3、6.4和6.5中显示ζ∈ D 7-→ “u”*（ζ，θ（ζ））和ζ∈ D 7-→ “u”*（ζ，θ（ζ））分别为粘度亚基。S秒修正方程（3.20）的超解，定义如（4.3）所示。备注4.2。在以后使用时，请注意 总之，令人满意∈ Rd:(|| + |D（t，ζ）|)（·，ξ）1+|ξ|+（| Dξ）| + |D（t，ζ）（Dξ）)|)（·，ξ）1+|ξ|+| Dξ|(·, ξ) ≤ , 关于一类连续函数的D（4.4） : D→ R.我们现在陈述我们的主要结果，它决定了值函数的前导阶系数，假设A2，其展开式中的第一个非平凡项为O阶（λ1/2）：定理4.3。（价值函数的展开）假设假设满足假设3.3和A。然后，对于任何初始数据（ζ，θ）∈ D×Rd:\'uλ（ζ，θ）-→ u（ζ）+ζ, θ - θ(ζ),局部一致为λ→ 也就是说，摩擦值函数vλ（ζ，θ）具有展开式vλ（ζ，θ）=v（ζ）- λ1/2（u（ζ）+ζ, θ - θ(ζ)+ o（λ1/2）。这一结果的冗长证明被推迟到第6节。备注4.4。根据引理4.1中的显式公式，初始组合θ与无摩擦目标θ之间的偏差用λ1/2表示ζ, θ - θ(ζ)= λ1/2xv（ζ）p2R（ζ）（θ）- θ(ζ))Λ1/2(Λ-1/2σSσS∧-1/21/2(ζ)(θ - θ(ζ)).因此，对于初始位置θ足够接近无摩擦优化器θ（ζ），在前导阶O（λ1/2）处，它可以忽略不计。备注4.5。根据引理4.1，第一修正方程（3.19）中的项a是非负的。因此，如果[37，备注5.7.8]或更一般地[21，第一章]的正则性条件得到满足，则存在第二修正方程（3.20）的光滑经典解。

它允许Offeynman Kac代表U（ζ）=EZTtar、 St，s，yr，Yt，yr，Xζ，θr博士,= EZTt十五√2RTrdhθirdr∧1/2∧1/2σSσS∧1/2）1/2∧1/2（r，Sζr，Yζr，Xζ，θr）dr.（4.5）这里，Xζ，θ表示最佳无摩擦财富过程，R（ζ）：=-xv（ζ）/xxv（ζ）代表无摩擦间接效用函数的风险承受能力；（4.5）中的第二个等式来自引理4.1中a的显式公式。相反，如果无摩擦解和（4.5）是充分正则的，则概率表示（4.5）提供了第二修正方程（3.20）的解。第8节对此进行了阐述。备注4.6。众所周知，无摩擦问题的对偶极小值通常是一个双鞅测度Q（边际定价测度）的密度过程。它是由xv（r、Sr、Yr、Xr）/xv（t，s，y，x），对应价值函数的标准化财富导数，沿着最佳无摩擦财富过程进行评估（例如，参见第8节的简单示例；比较[50]的一般设置）。如果初始投资组合等于无摩擦starget，则θ=θ（ζ），定理4.3，（4.5）和一阶泰勒展开式表明vλ（t，s，y，x，θ）=vt、 s，y，x- CE（t，s，y，x）+ o（λ1/2），式中ce（ζ）=EQλ1/2zttrhdhθirdr∧1/2∧1/2σSσS∧1/2）1/2∧1/2i√2R（r，Sζr，Yζr，Xζ，θr）dr.因此，上述QeExpection给出了由于小价格影响而产生的确定性等效损失CE。这是投资者为了与你交易而放弃的初始捐赠金额。对于单个风险资产，从介绍中得出公式（1.2）。在第7节中提供的抽象假设A的充分条件B下，我们也可以产生一个“几乎最优”的策略，该策略可以实现OREM 4.3：定理4.7中的领先阶最优性能。

（几乎最优策略）假设满足假设3.3和B。然后，反馈控制˙θ∧（ζ，θ）=λ-1/2Λ-1/2(Λ-1/2σSσS∧-1/2）1/2∧1/2（2R）1/2！(ζ)(θ(ζ) - θ), ζ ∈ D、 θ∈ Rd在前导阶O（λ1/2）处是最优的，其中R（ζ）=-xv（ζ）/xxv（ζ）表示无摩擦价值函数v的风险容忍度。对于单个风险资产（d=1），该公式适用于˙θ∧（ζ，θ）=sσS2λ∧R(ζ)(θ(ζ) - θ），根据（1.1）的规定。这一结果在第7.5节解释和应用中得到了证实。在这一节中，我们讨论了我们的主要结果的解释，它们与市场摩擦投资组合选择的现有文献的联系，以及它们如何应用于基于确定性的期权价格和对冲策略。为简单起见，我们主要关注单一风险资产（d=1）的情况，并请感兴趣的读者参考Guasoni和Weber[28]，详细讨论具有价格影响的多元Black-Scholes模型中的投资组合选择。5.1与其他具有价格影响的投资组合选择模型的联系让我们首先将我们的结果与现有文献中最密切相关的研究进行比较。Garleanu和Pedersen[23,22]认为投资者具有有限的视野和本地均值方差偏好，他们会立即消费交易收益。这些投资者交易由算术布朗运动驱动的多个风险集，并遵循平稳的马尔可夫状态变量。在这种情况下，对于随时间变化的风险规避或波动性，最优策略的特点是多维非线性常微分方程（此后为ODE）的解。

如果状态变量为OrnsteinUhlenbeck型，风险规避和波动率为常数，且价格影响与资产协方差矩阵成正比，则后者可以用封闭形式求解。与Garleanu和Pedersen一样，Almgren和Li[3]也关注局部均值方差p参考。对于遵循算术布朗运动的单一风险资产，以恒定线性价格影响进行交易，他们研究了欧式期权的套期保值。在期权的“伽马”为常数的假设下，得到了最优交易率的显式公式。Guasoni和Weber[27,28]研究了一个全局优化问题，即一个具有恒定相对风险厌恶的投资者，在长期内从终端财富中最大化效用。对于遵循几何布朗运动的资产价格和与（代表性）投资者财富成反比的价格影响，它们通过阿贝尔方程的解来描述最优策略和相应的福利。在小交易成本的限制下，显式公式可以提供精确解的极好应用。上述研究涉及偏好（本地标准与全球标准、常数绝对值与常数相对风险规避）、资产动力学（算术与几何布朗运动）、价格影响（与股票数量成比例与财富交易量成比例）和时间范围（有限与有限）。对于较小的价格影响参数，每个模型的广义结论都是相同的。事实上，为了简单起见，请考虑单一风险资产。然后，对于小交易成本，交易率——在每个模型中都有适当的解释——是线性的，i）无摩擦目标位置的位移，ii）由恒定市场、成本和偏好参数确定的常数。本研究扩展并统一了这些结果。

我们在定理4.7中的最优策略表明，从总体上讲，这种结构确实普遍适用，即使是对资产价格、因素和成本的一般马尔可夫动力学，以及对终端财富的任意偏好。在每种情况下，最佳交易率（以交易的股票数量计）由˙θ∧t=s（σSt）2∧tRt（θt）给出- θ∧t）。（5.1）更一般地说，状态变量中一类线性政策的显式解由[13]研究。对几种风险资产的讨论是类似的，但公式更复杂，更难解释。如果驱动布朗运动是算术的，那么资产的局部方差（σSt）是恒定的，因此在恒定的交易率下，得到了与所持股份数量成比例的恒定价格影响∧，以及恒定的风险容忍度R，这与Garleanu和Pedersen[23,22]以及Almgren和Li[3]的结果一致。如果驱动布朗运动是几何运动，如Guasonian和Weber[27,28]所述，那么（σSt）=σSti与平方资产价格成正比。因此，如果风险容忍度RTI与当前财富Xθ∧t成正比（即，如果相对风险厌恶度为常数），且价格影响与当前股价的平方成正比，且与当前财富成反比，则得出恒定交易率（就相对财富周转率˙θ∧tSt/Xθ∧t而言），Guasoni和Weber[27,28]中的∧t=λSt/Xθ∧tas。对于更一般的偏好以及价格和成本动态，如果差异、风险承受能力和影响成本动态更新，则同一政策仍然是最优的。这些输入都是“短视的”，因为它们是由无障碍问题和模型的当前状态决定的。特别是，对于局部偏好（如[23，3]）和全局最大化问题（如[27]和本研究），可以获得相同的前导顺序修正。

这与比例交易成本的情况类似，局部和全局偏好也会导致小成本的相同前导订单修正[54,34,43,33]。5.2与最优执行文献的联系最优交易率（5.1）也可以与最优执行文献联系起来，后者研究如何有效地拆分单个外源给定的订单。事实上，关键参数——方差的平方根乘以风险规避，除以交易成本的两倍——在分析阿尔姆格伦和克里斯[2]以及希德和肖内伯恩[51]时也起着关键作用。这可能与目前的动态投资组合模型有关，如下所示。假设投资者目前持有一个头寸θ∧t。在没有摩擦（λ=0）的情况下，她会立即向最优无摩擦配置θt交易。在价格影响（λ>0）的情况下，她会以有限的绝对连续利率˙θ∧t从（5.1）向后者交易。局部而言，后者对应于θ∧t阶的最佳初始执行率-θt由Almgren和Chriss[2]以及Schied和Sch¨oneborn[51]确定。同样的道理也适用于多维环境，Schied、Sch¨oneborn、Tehranchi[52]和Sch¨oneborn[53]都研究过最优执行。因此，在每个非常短的时间间隔内，动态投资组合选择策略对应于朝向无摩擦目标位置的Almgren Chr iss执行路径。也就是说，对于较小的价格影响，本地交易安排是相同的，市场、价格影响和偏好参数随时间动态更新。

关键区别在于，这里没有要执行的单笔买卖订单；取而代之的是追踪一个随时间动态演化的移动目标。5.3应用于基于效用的期权定价和Hedging假设考虑中的投资者具有常数绝对风险规避η>0，即指数效用函数U（x）=-E-ηx。那么，可以通过改变测量值来吸收终点时间T的随机终点。也就是说，定义dphdp=e-ηHE[e]-ηH]，Almgren和Chriss[2]考虑了均值-方差偏好，而Schied和Sch¨oneborn[51]将其分析扩展到了一般的冯·诺依曼-摩根斯坦效用。然后，投资者的问题等价于在同等概率下没有随机禀赋的纯投资问题。如果度量的改变使模型的结构保持不变，则随机禀赋可以在不增加额外困难的情况下处理。在当前设置中，假设投资者在时间t出售了一个带payoff h（ST）的欧式期权，以获得溢价p。那么，h=p-h（ST），因此测量值的变化由RadonNikodym导数dPH/dP=eηh（ST）/e[eηh（ST）]控制。给定充分的正则性，相应密度过程ZHt=E[dPHdP | Ft]的马尔可夫性质由时间、基础和状态变量的函数f（t，St，Yt）给出，该函数可由其^o公式和ZH的鞅性质确定。然后，通过相应地调整价格和状态变量的漂移率，利用Girsanov定理计算PHC下的模型动力学。如果f及其导数在PH下也充分正则，满足条件B，则主要结果定理4.3和4.7仍然适用。