价格影响小的交易

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英文标题：
《Trading with Small Price Impact》
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作者：
Ludovic Moreau, Johannes Muhle-Karbe, H. Mete Soner
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最新提交年份：
2015
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英文摘要：
  An investor trades a safe and several risky assets with linear price impact to maximize expected utility from terminal wealth. In the limit for small impact costs, we explicitly determine the optimal policy and welfare, in a general Markovian setting allowing for stochastic market, cost, and preference parameters. These results shed light on the general structure of the problem at hand, and also unveil close connections to optimal execution problems and to other market frictions such as proportional and fixed transaction costs.
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中文摘要：
投资者以线性价格影响交易一项安全资产和几项风险资产，以最大化终端财富的预期效用。在小影响成本的限制下，我们在考虑随机市场、成本和偏好参数的一般马尔可夫环境中明确确定最优政策和福利。这些结果揭示了当前问题的一般结构，也揭示了与最优执行问题和其他市场摩擦（如比例和固定交易成本）的密切联系。
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分类信息：

一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Portfolio Management        项目组合管理
分类描述：Security selection and optimization, capital allocation, investment strategies and performance measurement
证券选择与优化、资本配置、投资策略与绩效评价
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Analysis of PDEs        偏微分方程分析
分类描述：Existence and uniqueness, boundary conditions, linear and non-linear operators, stability, soliton theory, integrable PDE\'s, conservation laws, qualitative dynamics
存在唯一性，边界条件，线性和非线性算子，稳定性，孤子理论，可积偏微分方程，守恒律，定性动力学
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一级分类：Mathematics        数学
二级分类：Optimization and Control        优化与控制
分类描述：Operations research, linear programming, control theory, systems theory, optimal control, game theory
运筹学，线性规划，控制论，系统论，最优控制，博弈论
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一级分类：Quantitative Finance        数量金融学
二级分类：Trading and Market Microstructure        交易与市场微观结构
分类描述：Market microstructure, liquidity, exchange and auction design, automated trading, agent-based modeling and market-making
市场微观结构，流动性，交易和拍卖设计，自动化交易，基于代理的建模和做市
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PDF下载：
--> Trading_with_Small_Price_Impact.pdf (574.67 KB)

2022-5-5 19:59:23 上传

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关键词：Quantitative Optimization Conservation proportional mathematics

价格影响小的交易*Ludovic Moreau+Johannes Muhle KarbeH.Mete Soner§2015年3月31日摘要投资者通过线性价格影响交易安全和多个风险资产，以最大化终端财富的预期效用。在小影响成本的限制下，我们在考虑随机市场、成本和偏好参数的一般马尔可夫环境中明确确定了最优政策和福利。这些结果揭示了当前问题的总体结构，也揭示了与最优执行问题和其他市场摩擦（如比例和固定交易成本）的密切联系。数学学科分类：（2010）91G10、91G80、35K55、60H30。JEL分类：G11，C61。关键词：价格影响，投资组合选择，渐近性，同质化，粘性解。1简介即使在最具流动性的金融市场中，也只有少量商品可以在不影响市场价格的情况下快速交易。因此，对于大型投资者来说，平衡交易产生的收益与相应的价格影响成本至关重要。这个问题在最优执行文献中得到了大量关注，该文献研究了如何有效地将u p拆分为单个外源给定的顺序（参见[6,2,30,44]以及许多最近的研究）。相比之下，人们对具有价格影响的动态投资组合选择知之甚少，即如何根据市场动态和投资者偏好内生性地确定最优顺序的问题。在这里，之前的工作主要集中在订单量的线性价格影响，具体模型具有特定的市场动态和偏好[23,22,3,13,27,28]；有关详细讨论，请参见第5.1节。

在本研究中，我们还关注线性价格影响。然而，我们允许任意偏好，以及市场的一般马尔可夫动力学*我们感谢彼得·班克、亚历克斯·M·G·考克斯、保罗·瓜索尼、扬·卡尔森、沈丽、刘仁、迪伦·波萨迈、维尔莫斯普罗卡吉、马修·罗森鲍姆、彼得·坦科夫和马尔科·韦伯进行了富有成效的讨论。我们也非常感谢两位匿名评论者非常仔细的阅读和许多非常有建设性的评论。+埃斯·祖里奇，瑞士祖里奇，拉米斯特拉斯101号，祖里奇，埃米尔·卢多维奇，法尔·马泰马提克分部，CH-8092。moreau@math.ethz.ch.部分由瑞士国家科学基金会（NSF 200021152555）和ETH基金会资助ETH Z–urich，f–ur Mathematik，R–amistrasse 101，CH-8092，Z–urich，瑞士和瑞士金融研究所，电子邮件johannes。穆勒-karbe@math.ethz.ch.部分由ETH基金会支持。§ETH Z¨urich，瑞士Z¨urich，R¨amistrasse 101，CH-8092，f¨ur Mathematik部门，瑞士Z¨urich和瑞士金融研究所，电子邮件计量。soner@math.ethz.ch.部分由瑞士国家科学基金会资助，资助项目为NF 200021 152555。价格和影响参数。尽管有这种普遍性，我们还是获得了关于小p水稻影响的最优政策和福利的显式公式。这些结果为h和d问题的一般结构提供了新的解释，也揭示了与其他市场摩擦的深层联系。与之前的研究[23,22,3,27,28]一样，结果表明，始终从当前位置θ∧t向无摩擦目标θ∧t硝化˙θ∧t进行交易是最优的。对于单个风险资产，以较小的线性价格影响∧t进行交易，这种渐近最优交易率由以下公式明确给出：˙θ∧t=s（σSt）2∧tRt（θt- θ∧t）。

（1.1）这里，σSti是风险资产的波动性，RTI是无摩擦投资者的“间接风险容忍过程”，即无摩擦价值函数的风险容忍度。因此，当前位置θ∧t更积极地向后推至无摩擦目标θtif i）当前偏差θ∧t-θ是大的，ii）市场波动率σsti高，iii）交易成本∧皮重低，或iv）投资者的风险承受能力低。对于恒定的市场、成本和偏好参数，这将简化为[22,3,27]得到的公式。在这里考虑的一般情况下，这些数量会随着当前的波动性、价格影响和（间接）风险承受能力不断更新。因此，最优策略是“短视的”，因为它以当前市场和偏好参数决定的速度朝着当前无摩擦最大化器（而不是预测的未来最优）交易。这一观察结果与小比例[43,54,35,34,33]和实际交易成本[38,5]的结果类似，“短视”政策也是渐近最优的。对于这些摩擦，风险分数总是保持在无摩擦起始位置附近的两个交易边界之间。相比之下，在价格影响下，保持一致接近不再是最佳选择。相反，最佳偏差遵循一个扩散过程，由无摩擦计时器驱动的波动和由控制（1.1）引起的均值回复。因此，最优政策的“确定”结构在很大程度上取决于所考虑的特定市场摩擦。

然而，“粗略”结构在每种情况下都是相同的，即与无摩擦目标的平均平方偏差保持在某个阈值以下，由相同的输入确定。实际上，对于较小的线性价格影响∧t，该阈值由以下公式给出：√Rt∧t（σSt）1/2σθt,其中σθt=pdhθit/dt是无摩擦目标策略的波动率。对于小比例的交易成本∧t，类似的界限如下：√Rt∧t（σSt）2/3σθt4/3.结果很容易扩展到多个风险资产，参见定理4.3和4.7。为了便于阐述，我们在本导言中将重点放在单个风险资产上。Garleanu和Pedersen[23,22]研究了针对无摩擦目标未来演变的对冲。这是在考虑t周围的小时间间隔时获得的（前导阶）平稳方差，然后i）改变时间以将其拉伸到整个半行，以及ii）通过相应的动态阈值对偏差进行归一化。有关更多详细信息，请参见[34,33]。如果θt=（t，St）是完全马尔可夫环境下的增量对冲，那么这就是“现金伽马”，即期权价格相对于标的物的二阶导数，乘以后者的平方值。通过注意到在这种情况下[32,49,25,35,34,33]与无摩擦目标的偏差大致一致，从而得出该界限，因此相应的平均平方偏差等于[43,54,35,34,33]中确定的非贸易区半宽的1/1。类似地，对于小型固定交易成本∧t，相应的阈值由下式给出：√Rt∧t（σSt）1/2σθt。因此，在每种情况下都有不同的普适常数，输入参数提高的功率也取决于手边的特定摩擦力。然而，在每个模型中，输入Rt、∧t、σSt和σθt是相同的。

因此，相应的比较静态具有普遍性：如果价格风险相对风险承受能力较高，如果交易成本较低，或者如果无摩擦目标策略相对不活跃，因此无法在很少调整的情况下实施，则平均而言，无摩擦目标被严密跟踪。最优交易率（1.1）也揭示了与最优执行文献的密切联系。事实上，对于较小的价格影响，（1.1）局部对应于Almgren和Chriss[2]以及Schied和Sch¨oneborn[51]的最佳执行策略，执行顺序由与无摩擦目标的偏差决定。因此，具有sm所有价格影响的动态投资组合选择可以解释为“向无摩擦目标最优清算”，后者以及市场、影响和偏好参数都会不断更新。最优政策的绩效，以及由于有限的市场深度而导致的福利损失，也可以量化。在领先顺序中，由于价格影响较小而导致的确定性同等损失，即无风险交易的现金等价物，由以下公式给出：ZTs（σSt）∧t2Rtσθtdt. （1.2）因此，如果i）与投资者的风险承受能力Rt相比，波动率σsti测量的市场风险较高，ii）交易成本∧皮重较大，或iii）无摩擦目标策略高度活跃，波动率σθt较大，则p rice imp act具有显著的福利效应。由于所有这些数量通常都是时间依赖性和随机性的，因此必须对其进行适当的平均，跨越时间和州。

在这里，针对无摩擦投资者的“边际定价指标”Q进行各州平均，即，小摩擦的影响被定价为边际路径依赖期权。对于可以以闭合形式求解的无摩擦模型，表示法（1.2）易于简化公式。总的来说，这种出口可以进一步揭示价格影响和其他市场摩擦之间的联系。事实上，对于不同的交易成本，公式（1.2）中关于sm all price impact（所有价格影响）造成的确定等价损失的类似物仍然成立。只有宇宙常数和输入功率需要改变，比如与无摩擦目标的平均偏差。例如，在小比例交易成本∧t的情况下，（1.2）的类比如下[54,35,34]：ZTs9（σSt）∧t32Rtσθt4/3dt.要看到这一点，请注意，在这种情况下，偏差的近似概率密度是一个“帽函数”，因此相应的平均平方偏差由[38,5]确定的非贸易区半宽的六分之一给出。对于几种风险资产，这种对应关系仍然成立，其中[52,53]对最优清算进行了研究。也就是说，对偶鞅测度通过通常的一阶条件连接到原始优化器。这一指标下的预期对应于小型净债权的效用差异价格[15,36,39]，即“边际定价指标”。因此，模型输入σSt、∧t、Rt和σθ中的单调性保持不变，对应的比较静力学对于每个小摩擦都是相同的。对于具有恒定绝对风险承受能力的投资者，即具有指数效用的投资者，我们的结果很容易允许通过改变度量纳入随机捐赠。

这反过来又使我们能够在不同的价格和对冲策略中获得效用。由于波动率在等价测度变化下是不变的，因此交易率（1.1）是完全通用的，因为它既适用于最优投资，也适用于套期保值；只有无摩擦的输入需要相应地改变。相应福利损失的公式（1.2）反过来导致基于效用的衍生价格，这符合霍奇斯和纽伯·格尔[29]以及戴维斯、帕纳斯和扎里普·霍普卢[16]的精神。我们使用动态规划和匹配渐近性来证明上述结果。为了概述这种方法，让vbe计算初始数据ζ的无摩擦值函数。同样，对于较小的线性价格影响∧t=λ（·），letvλ是其对应物。由于摩擦，vλ不仅取决于ζ，还取决于投资者目前持有的股份数量。然后，主要的技术目标是了解uλ（ζ，θ）：=v（ζ）的极限行为-vλ（ζ，θ）λ1/2≥ 0，作为λ↓ 0.Evans[19]针对均质化问题开发的粘度方法适用于该分析。事实上，它提供了一种技术来推导由松弛半极限“u”满足的方程*还有“你”*uλ等于λ↓ 0.然后，通过比较结果，可以得出结论，这些极限是相等的。特别地，这证明了uλ的局部一致收敛性。在这种方法中，极限函数仅依赖于“原始”变量ζ至关重要。然而，在我们的上下文中，放松的半极限“u”*还有“你”*还要依赖于θ-变量，我们需要分别识别这种依赖性。事实上，我们首先表明*还有“你”*, 分别是[40,31]中研究的Eikonal型方程的子解和上解：（Dθu）=n，其中n是光滑的非负函数，在θ变量中是二次的。一般来说，上述方程式没有比较原则。

然而，使用变换技术，我们证明了非负解的比较结果。这意味着光滑二次函数的存在 实际位置θ和无摩擦最佳位置θ（ζ）之间的差异，使得θuλ（ζ，θ）的松弛半极限不存在θ依赖性- （ζ，θ）然后，我们使用上述粘度技术分析这些极限。对于[54]中具有比例交易成本的效用最大化，对于[46]中的几种风险资产，对于[9]中的随机捐赠，以及[5]中具有固定交易成本的模型，最近也获得了类似的不对称结果。在这些模型中，由于动态规划方程中的梯度约束，半极限可以表示为θ-变量的凹陷，因为从实际位置到无摩擦目标的单一交易在领先顺序上可以忽略不计。相比之下，在我们的框架内，此类大宗交易是不可能的，因为它们会产生有限的价格影响。这就需要通过Eikonal方程进行新颖的分析。对于具有小比例成本的相关渐近性，参见[58,8,35,9,45]。众所周知，无摩擦价值函数取决于时间t、风险资产和状态变量的当前值s和y，以及投资者的财富x。这些值收集在ζ=（t，s，y，x）中。这里，λ~ 0是渐近展开的小参数，∧（·）是给定的时间、资产价格和状态变量的当前值以及投资者财富的确定性函数。本文的其余部分组织如下。模型在第2节中设置为u p。之后，我们陈述了无摩擦和有摩擦的动态规划方程，然后转向控制它们在小价格影响下的渐近关系的修正方程。

为了更好的可读性，我们首先在一个简单的环境中试探性地推导出校正方程，然后陈述它们的一般版本。随后的第4节包含了我们的主要结果，小价格影响下价值函数的渐近展开式和相应的几乎最优交易政策。这些结果、其含义以及与文献的联系将在第5节中讨论，并在第6节中得到证实。之后，在第7节中，我们为我们的技术假设提供了一组充分的条件，这是验证结果的标准（参见[57，定理4.1]）。最后，在第8节中，我们将展示如何在具体模型中验证第7节的条件。贯穿符号，Md×m表示d×m矩阵的空间，SDM表示对称d×d矩阵的子空间。为了k≥ 1，x∈ 当r>0时，我们对以x为中心的半径r的开球写出Br（x）；\'Br（x）和Br（x）分别给出了它的闭包和边界。对于光滑函数φ：（t，x，…，xk）→ R、 我们写作t，xiД表示相应的部分导数。二阶导数表示为xixj~n等。我们分别为梯度向量和关于空间分量的Hessian矩阵写Dа和Dа。对于任何subs et I {1，··，k}，D（xi）i∈土地（xi）i∈i关于（xi）i的梯度和Hessian∈I.Cidenotes表示I次连续可微函数，Cibis表示子空间有界导数，C1,2表示函数一次。两次在时间上连续可区分。变量空间。最后，对于任何局部有界函数v，相应的下半连续和上半连续曲线用v表示*, 五、*.2.模式2。1未受影响的普莱斯莱(Ohm, F、 P）是支持q维布朗运动W的完全概率空间。