商品期货价格无限维模型的表示

S的表示形式简单地遵循了将连续线性泛函δ应用于f的表示形式。定理3.16应用于Lévy过程T（L（T））T≥0的协方差为T QT*产生了一类均值为零的R值不相关Lévy过程（Ln）n∈i的E（Ln（1））=1，因此t（L（t））=Xn∈IgndLn（t）。这样我们就有了-sψ（s）dL（s）=ZtXn∈我（犹他州）-sgn）σ（s）dLn（s）=Xn∈IZt（犹他州）-sgn）任何t的σ（s）dLn（s）≥ 0.这是f的第一个表示形式。在另一个假设下，我们有-sgnσ（s）dLn（s）=ZtZsUs-rg′nσ（r）dLn（r）ds+gnZtσ（s）dLn（s），从而完成了证明。指数曲线当然特别有趣，即形式为gn（x）=λne的曲线-γnx。在这种情况下，我们可以更明确地计算积分，结果表明，正向曲线f（t）对应于Lévy驱动的Ornstein-Uhlenbeck型过程之和：推论3.18。设I={1，…，d}，d∈ N、 （γN）N∈Ia族的成对不同元素inR+和（λn）n∈R，gn（x）：=λne-n的γ∈ 一、 x∈ R+并假设ogn∈ Hw，因此GNI属于x、 对任何人来说∈ 一、 oT QT*g=Pn∈Ihgn，gign，g∈ Hwandoβ在由gn，n生成的向量空间中具有值∈ I.Thenf（t）=Utf+Xn∈其中dxn（t）=（un（t）- γnXn（t））dt+σ（t）dLn（t）。无论如何∈ R+，其中Ln如定理3.17和un:R+×Ohm → R是一个可预测的过程。此外，我们有s（t）=f（t）+Xn∈其中dYn（t）=（un（t）- γnYn（t））dt+λnσ（t）dLn（t）对于任何t∈ R+。证据因为g′n=-λngn∈ 我们的GNI属于x、 自（γn）n∈我是两两不同的我们有∈它是线性独立的。让V Hwbe由gn，n生成的子空间∈ I和（g）*n） n∈（gn）n的双正交系∈五号。定义un（t）：=hg*n、 β（t）i，t∈ R+。商品市场中无限维远期价格模型的表示∈Ignun（t），t≥ 0

此外，Ut-sgn（x）=λne-γn（x+t）-s） =gn（x）e-γn（t）-s） ，利用定理3.17，得出f（t）=Utf+ZtUt-sβ（s）ds+Xn∈IZtσ（s）Ut-sgndLn（s）=Utf+ZUT-sXn∈Ignun（s）ds+Xn∈IgnZtσ（s）e-γn（t）-s） dLn（s）=Utf+Xn∈点火中兴通讯-γn（t）-s） un（s）ds+Ztσ（s）e-γn（t）-s） 地政总署署长(s)= Utf+Xn∈点火中兴通讯-γn（t）-（s）un（s）ds+σ（s）dLn（s）.定义实值流程xn（t）=中兴通讯-γn（t）-（s）un（s）ds+σ（s）dLn（s）,通过部件集成，它是一个Ornstein-Uhlenbeck过程dxn（t）=（un（t）- n（ndt）σn（ndt+nxt）。通过将δ应用于f的表示，S的表示简单地遵循（7）。请注意，条件是：∈ hw当然相当于z∞w（x）e-2γnxdx<∞.在w是指数函数w（x）=exp（αx）且α>0的典型情况下，当且仅当系数γn严格大于α/2时，满足该条件。确保第二个条件的一种可能性是确定行驶噪声L（t）：=Pdn=1gnBn（t），其中B是一些Rd值标准布朗运动。在这个特定的设置中，我们有推论3.19。设I={1，…，d}，d∈ N、 α>0，w（x）：=eαx对于任何x∈ R+，（γn）n∈γn>α/2和（λn）n的R+中成对不同元素的Ia族∈R，gn（x）：=λne-n的γ∈ 一、 x∈ R+并假设oL（t）=W（t）：=Pdn=1gnBn（t），ot是Hw上的身份运算符，o市场（F（t，t））0≤T≤t在Delbaen和Schachermayer[22，主要定理1.1]的意义下，不允许套利，其中B=（B，…，Bd）是Rd值标准布朗运动。Thenf（t）=Utf+Xn∈商品市场中无限维远期价格模型的IgnXn（t）表示，其中dxn（t）=（un（t）- γnXn（t））dt+σ（t）dBn（t）和un:R+×Ohm → R是一个可预测的过程。此外，我们有s（t）=f（t）+Xn∈其中dYn（t）=（un（t）- γnYn（t））dt+λnσ（t）dBn（t）对于任何t∈ R+。证据我们开始计算W的协方差算子Q。让V Hwbe是由g，…，生成的向量空间，广东。

那么对于任何h，g∈ 当h与V正交时，我们有hW（1），gi=0和hencehQh，gi=E（hW（1），hihW（1），gi）=0。让（g）*, . . . , G*d） 是V中（g，…，gd）的双正交系。为了n，k∈ 我们有hw（1），g*ni=Bn（1），因此为hQg*n、 g*ki=1{n=k}。因此，Qg=Pdn=1hg，gnign。现在我们证明β取向量空间V中的值 HwG生成，广东。Delbaen和Schachermayer[22，主要定理1.1]的资产定价基本定理产生了一个等价的概率测度Q，使得（F（t，t））0≤T≤对于任何T>0的情形，都是qf下的σ-鞅。因为P-动力学由f（t，t）=UTf+ZtUT给出-tβ（s）ds+ZtUT-通过使用Jacod和Shiryaev[35，定理III.3.24]，我们知道W（t）=WQ（t）+RtβQ（s）dS，其中WQ是Q-布朗运动，βQ:R+×Ohm → V是一个可预测的过程。因此，Q动力学由f（t，t）=UTf+ZtβQ（s）ds+Ztσ（s）UT给出-其中βQ（t）：=β（t）+σ（t）UT-tβ（t），t≥ 0是一个可预测的过程。然而，由于F（t，t），t∈ [0，T]是Q下的σ-鞅，我们有βQ=0。因此，UT-tβ（t）=-σ（t）UT-tβ（t）∈ Vfor any 0≤ T≤ T关于上述推论，有几点值得注意。首先，我们重新证明了商品市场中典型的现货价格模型是Ornstein-Uhlenbeck过程的和。Lucia和Schwartz[38]提出了一个布朗驱动的OrnsteinUhlenbeck动力学模型，用于计算北欧电力市场中的电力现货价格。他们提出了一个单因素或双因素模型，在后一种情况下，Ornstein-Uhlenbeck过程退化为漂移布朗运动。Benth、Kallsen和Meyer Brandis[11]提出了一类一般的电价模型，定义为具有不同均值回归速度的Ornstein-Uhlenbeck过程的总和，由Lévy过程驱动。

推论3.18告诉我们，我们在远期曲线动力学中对波动率结构ψ的具体选择意味着这种现货动力学。用Ornstein-Uhlenbeck过程的有限和表示远期曲线，也可以被视为商品市场中无限维远期价格模型和固定收益理论中利率模型的有限维实现理论的特例。在Bj"ork和Gombani[15]的论文中，证明了远期利率的随机偏微分方程的解可以表示为特殊波动率项结构的Ornstein-Uhlenbeck过程的线性组合。他们的结果与上面的推论3.18非常吻合。比约克和冈巴尼[15]的理论后来被菲利波维奇和泰奇曼[24,25]、埃克兰和塔夫林[23]以及最近的塔普[45]显著推广。Benth和Lempa[14]对Tappe[45]的理论进行了修改，并将其略微扩展到商品市场的前向曲线模型，作者将其应用于最优投资组合管理。Barth和Benth[7]设计并分析了基于双曲型随机微分方程数值解理论的远期价格动态模拟方案。该方法采用协方差算子分解和有限元方法。4.HW上的运营商在本节中，我们对HW空间上与远期价格建模相关的各类运营商进行了深入分析。在（6）中的前向价格f（t）的动力学中，我们在Noise L的波动率、ψ和协方差Q中存在算子。正迹类算子在平方可积Lévy过程中起着重要作用，参见Peszat和Zabczyk[41，第4.4节，第4.6节]。

这些算符是对称Chilbert-Schmidt算符的平方，我们提供了这些算符的完整特征。事实证明，Hwa上的Hilbert-Schmidt算子几乎是积分算子。此外，我们还分析了积分算子和乘法算子的特殊情况，它们与商品和能源的具体建模目的密切相关。在本节中，操作员W将HWL映射到WF定义的L（R+）中=√wf′（15）将变得有用。它认为（δ，W）：Hw→ R×L（R+），f7→ （f（0），√wf′（16）是Hilbert空间Hwand R×L（R+）的等距同构。积分算子。一类有用的算子是积分算子。自然地，HWF上的积分算子定义为asIf（x）=Z∞元素f的r（x，y）f（y）dy（17）∈ 嗯。显然，如果∈ hw取决于积分核函数R:R+7→ R.然而，使用表示式f（y）=f（0）+Zyf′（z）dz，商品市场中无限维远期价格模型的表示式29we findif（x）=z∞r（x，y）dy f（0）+Z∞r（x，y）Zyf′（z）dz-dy=z∞r（x，y）dy f（0）+Z∞Z∞zr（x，y）dyf′（z）dz。该表示法中的第一项是核r给出的函数与f的求值为零的乘积。第二项也是一个积分算子，但现在的形式是f（x）=Z∞某些核函数q:R+7的q（x，y）f′（y）dy→ R.我们在续集中研究了这些，并在第4.3小节中考虑了多应用运算符。定义4.1。让我们问：R+→ R是可测量的。HWITH kernelq上的积分算子是在其域dom（T）上为这些函数f定义的∈ 满足（1）R的HW∞|q（x，y）f′（y）| dy<∞ 对于任何x∈ R+和（2）x7→R∞q（x，y）f′（y）dy∈ h由f（x）：=Z给出∞q（x，y）f′（y）dy，f∈ dom（T），x∈ R+。例如，可以在HW上实现噪声场L，并将其协方差算子Q表示为积分算子。

这意味着我们通过核函数Q定义Q，如上述定义所示。该核函数给出了曲线L（t）上两个相邻位置之间相关性的函数描述。此外，在（5）bean积分算子中的f的动力学中加入ψ，使我们能够将噪声L与核函数q混合，在某种意义上，核函数q可以缩放不同位置的各种噪声源，以在一个函数中弥补噪声。这是对有限维噪声情况的自然概括，其中一种典型情况是具有易失性，即噪声向量中各种分量的线性组合。为了理解积分算子，我们按照以下方式进行。备注4.2。如果T是一个具有核q的积分算子，那么它是定义在任何地方的，即其域等于Hwif且仅当（1’）q（x，·）/√W∈ 任意x的L（R+）∈ R+和（2’）x7→R∞q（x，y）f′（y）dy∈ HWF∈ 嗯。条件（1\'）确保fq（x）：=R∞q（x，y）f′（y）dy，x∈ R+定义了一个可测量的函数。而条件（2\'）确保FQ实际上是硬件的一个元素。有时，核为q的积分算子T可以推广到那些函数f∈ 积分器在哪里∞q（x，y）f′（y）dy对任何x都有意义≥ 然而，我们不能期望得到的函数是HW的成员，甚至是连续的，但正如我们接下来展示的，它们是可测量的。这一技术扩展需要以后进行。商品市场中无限维远期价格模型的表示30引理4.3。设T是核为q和f的积分算子∈ 就这样∞|q（x，y）f′（y）| dy<∞对于任何x∈ R+。定义（x）：=Z∞任意x的q（x，y）f′（y）dy∈ R+。那么fq是一个可测量的函数。证据让rn:R+→ 所以rn是基本的rn→ q点态与| rn（x，y）|≤ 2 | q（x，y）|。让gn:R+→ 所以GNI是基本的，gn→ f′点态Lesbegue-a.e.和| gn（x）|≤2 | f′（x）|。然后rngn→ qf′和|rngn |≤ 4|qf′|。

因此，支配收敛定理yieldsh（x）：=Z∞q（x，y）f′（y）dy=limn→∞Z∞rn（x，y）gn（y）dy.然而，hn:R+→ R、 x7→R∞rn（x，y）gn（y）dy是基本的，因此是可测量的。因此，他给出了可测函数的逐点极限，从而得到了可测函数。回想一下，对于任何序列（fn）n，算子T被定义为闭合的∈在T的域中，使Fn收敛到某个f∈ Hwand T收敛到某个g∈ 我们在T和T f=g的域中有fis。通常，在L（R+）积分算子上，对于积分表达式产生L-函数的那些函数，精确定义的积分算子是不闭合的！，参见Grafakos[30，定理I.1]。然而，满足条件（1\'）的积分算子T是闭合的，正如我们现在所展示的。引理4.4。设T是核为q的积分算子。假设备注4.2中的（1\'）是满足的，即q（x，·）/√W∈ 任意x的L（R+）∈ R+。那么T是一个闭线性算子。证据T的线性很明显。定义b（x，y）：=q（x，y）/pw（y）对于任何x，y∈ R+。然后b（x，·）∈ 任意x的L（R+）∈ R+是假设的。让（fn）n∈Nbe T域中的一系列元素，它们在Hw中收敛到某个f，使得T FN在Hw中收敛到某个g。重新调用（15）中定义的运算符，它是一个连续线性运算符。因此Wfn→ W在L.让x∈ R+。我们有q（x，·）f′n=b（x，·）Wfn→ b（x，·）Wf=q（x，·）f′，其中收敛于L（R+）。HenceT fn（x）=Z∞q（x，y）f′n（y）dy→Z∞q（x，y）f′（y）dy=：h（x）。引理3.1得出T fn（x）→ g（x）。因此，h=g。因此，h∈ 这意味着∈ dom（T）和g=tf。商品市场中无限维远期价格模型的表示如下推论表明，积分算子是连续的当且仅当其处处定义。与备注4.2中的声明相比，这是一个巨大的改进。

然而，积分算子的有界性条件并不是处处都定义的，涉及的问题更多。推论4.5。设T是核为q的积分算子。T是连续的当且仅当下列两条语句满足时。（1）q（x，·）/√W∈ 任意x的L（R+）∈ R+。(2)x7→R∞q（x，y）f′（y）dy∈ HWF∈ 嗯。证据假设这两个条件都满足，那么T的定义无处不在。引理4.4证明T是闭算子。闭图定理表明T是一个连续的线性算子。现在假设T是一个连续线性算子。让f∈ Hwand x∈ R+。那么f在T的域中，因此它通过定义andZ满足条件（2）∞|q（x，y）/w（y）（wf′（y））| dy=Z∞|q（x，y）f′（y）| dy<∞.因为这对任何f都是正确的∈ 我们的结论是→ q（x，y）/w（y）∈ L（R+）。这证明了这个推论。让我们考虑一个例子，它构成了电力市场的一个重要案例。在我们对远期曲线动力学f（t）的定义中，请参见（5），我们用固定的交货时间x对合同的远期价格进行建模∈ R+。在电力市场中，一个是在给定的时间段内进行合同交付的交易，这些合同可以被视为在交付期内的每个固定时间点持有一个货代交付组合（见Benth和Koekebakker[12]）。如果我们用Fτ（t，x）表示交货时间为x的合同在t时的远期价格∈ R+和交货时间τ∈ R+，我们发现fτ（t，x）=τZx+τxf（t，y）dy。（18） 远期价格Fτ（t，x）是函数y7的平均值→ 按照市场惯例，f（t，y）在交付期[x，x+τ]内。

从表达式f（t，y）=f（t，x）+ZyxFx（t，z）代表y≥ x、 我们从富比尼的理论中发现，EMFτ（t，x）=τZx+τxf（t，x）+ZyxFx（t，z）dzdy=f（t，x）+τZx+τxZx+τzdyFx（t，z）dz=f（t，x）+z∞qτ（x，y）F商品市场中无限维远期价格模型的x（t，y）Dy表示，qτ（x，y）=τ（x+τ）- y） 1[x，x+τ]（y）。用Tτ表示核为qτ的积分算子。我们观察到函数y7→ 对于每个给定的x，qτ（x，y）在[x，x+τ]上有支撑∈ R+，因此推论4.5中的条件（1）非常满足，因为w是w（0）=1的连续递增函数。此外，由于（Tτf）′（x）=τddxZx+τx（x+τ- y） f′（y）dy=f（x+τ）- f（x）τ- f′（x）它认为z∞w（x）（（Tτf）′（x）+f′（x））dx≤τZ∞w（x）Zx+τx（f′（y））dyτdx≤τZ∞Zx+τxw（y）（f′（y））dyτdx≤τZ∞w（y）（f′（y））dy<∞,每f∈ 我们分别使用了Jensen不等式，w是递增的，以及Tonelli定理。因此，通过三角不等式我们发现，kTτfkw≤ kTτf+f kw+kf kw<∞.这表明推论4.5的条件（2）是满足的，这意味着Tτ是Hw上的连续积分算子。此外，Fτ（t）∈ Hw适用于任何前向曲线f（t）∈ 嗯。因此，我们得出结论，给定交付长度τ的电力远期价格动态可以在Hw中通过应用连续积分算子以及Hw中实现的远期曲线上的单位映射来实现：Fτ（t）=（Id+tτ）（F（t））我们注意到交付长度τ被视为一个参数。实际上，我们可以将其作为第二个变量引入，并以与Hw类似的方式在R+上引入函数空间。我们把这个留给未来的研究。我们继续对Hw上的积分算子进行一般分析。为了证明由函数q定义的积分算子是有界的，考虑Schur引理是有用的（参见Grafakos[30，附录I.1]）。

注意，这个引理有时被称为舒尔测试。然而，我们首先必须识别HW上的积分算子和L（R+）上的积分算子。定理4.6。设T是核q上的积分算子。假设q对其第一个分量defineb（x，y）有绝对导数：q（x，y）pw（x）/w（y）并假设（1）q（0，·）/√W∈ L（R+）（2）supx∈RR∞|b（x，y）| dy=：A<∞ 和（3）supy∈RR∞|b（x，y）| dx=：b<∞.商品市场中无限维远期价格模型的表示33t被密集定义并以c为界：=Z∞q（0，y）w（y）dy+AB1/2.因此，T可以唯一地推广到连续线性算子。此外，b在其第二个变量中是局部可积的，因此我们可以定义函数Q*（y，x）：=Zysw（x）w（z）b（x，z）dz。T的对偶是一个连续线性算子，以c和T为界*g（y）=Zyq（0，z）w（z）dzg（0）+Z∞Q*（y，x）g′（x）dx，代表g∈ Hw，y∈ R+使wg′∈ L（R+）∩ L∞（R+）。此外，如果加上（1′）q（x，·）/√W∈ L（R+），对于任何x∈ R+，那么T是一个连续线性算子。如果q*（y，·）/√W∈ L（R+）代表任何人∈ R+，然后是T的表示*扩展到硬件中的所有功能。证据Schur引理，参见Grafakos[30，附录I.1]，得出thateRf（x）：=Z∞b（x，y）f（y）dy，f∈ D（eR），x∈ R+是L（R+）上的一个算子，其界（AB）为1/2，其域包括L（R+）∩L∞（R+）。自从q（x，y）=pw（y）/w（x）b（x，y），我们从条件（2）和w的局部有界性得出结论：q是局部可积的。LetfW:L（R+）→ Hw，G7→Zx（w（z））-1/2g（z）dz。fw是等距的，WfW是L（R+）上的恒等式，其中W在（15）中定义。ThusR:=fWeRW是一个密集定义的算子，其界（AB）为1/2。让f∈ hw使得f′是连续的，并且具有紧凑的支撑C∈ dom（eR）和f∈ 多姆（R）。